精品解析：上海市宝山区2024-2025学年下学期八年级数学期末试卷

2024学年第二学期期末考试八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分，考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二答题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 是二项方程 B. 是二元二次方程 C. 是分式方程 D. 是无理方程 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀硬币10次，正面朝上的次数是5次 B. 从一个装有白球和黑球的袋子中随机摸出一个球，摸出的是红球 C. 任意画一个多边形，其外角和 D. 从八年级学生中任选13个人，其中有2人出生的月份相同 3. 下列判断正确的是（ ） A. B. 方向相反两个向量叫做互为相反向量 C. 如果，那么 D. 如果，那么 4. 已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 5. 已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形的是（ ） A. B. C. ， D. 6. 如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 直线的截距是____________________． 8. 方程的解是________． 9. 方程组的解是________． 10. 将直线向上平移5个单位后所得直线解析式为________． 11. 如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 12. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是________． 13. 一个不透明的口袋里装有2个红球、3个白球，它们除了颜色外其他都相同．每次从口袋里摸出1个球，观察记录颜色后再放回搅匀．如果连续5次摸出的都是白球，那么第6次摸出红球的概率是________． 14. 2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米/小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为x千米/小时，那么根据题意可列出方程________． 15. 一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 16. 如图，已知梯形中，，，，，那么________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、 相交于点E，，，如果轴，那么的长为________． 18. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 三、解答题：（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解方程：． 20. 解方程组： 21. 如图，在矩形中，对角线、交于点E，点F在的延长线上，且，连接AF． （1）写出图中所有与相等的向量：________； （2）填空：________，________； （3）在图中直接作出（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）． 22. 为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） （1）小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ （2）小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 23. 已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果四边形为矩形，，，求的长． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形正方形． （1）当点的横坐标为时，求直线的表达式； （2）当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； （3）点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 25. 在平行四边形中，对角线相交于点O，，，E是边上的一点，连接． （1）如果， ①如图1，当点E为中点时，求证：四边形为菱形； ②如图2，设，求y与x的函数解析式（不用写定义域）； （2）连接，如果是以为腰的等腰直角三角形，求的长．连接 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024学年第二学期期末考试八年级数学试卷 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分，考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二答题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 是二项方程 B. 是二元二次方程 C. 是分式方程 D. 是无理方程 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了整式方程、分式方程、无理方程及二元二次方程的定义．根据整式方程、分式方程、无理方程及二元二次方程的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A：方程 是整式方程，但二项方程要求仅含两项且为同一未知数的正整数次幂（形如 ）．此方程含 和 （次数不同），不符合二项方程定义，故错误； 选项B：方程 含两个未知数 和 ，且 的次数为 ，符合二元二次方程的定义（含两个未知数且最高次数为2的整式方程），故正确； 选项C：方程 的分母为常数4，不含未知数，属于整式方程（去分母后为 ），而非分式方程，故错误； 选项D：方程中，是常数，根号下不含未知数，属于一次整式方程，不是无理方程，故错误； 综上，正确答案为 B． 故选：B． 2. 下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 抛掷一枚质地均匀的硬币10次，正面朝上的次数是5次 B. 从一个装有白球和黑球的袋子中随机摸出一个球，摸出的是红球 C. 任意画一个多边形，其外角和是 D. 从八年级学生中任选13个人，其中有2人出生的月份相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类．根据随机事件的定义，可能发生也可能不发生的事件为随机事件．逐一分析各选项是否为必然事件、不可能事件或随机事件． 【详解】解：选项A：抛硬币10次，正面朝上的次数可能为0到10次中的任意值，虽然理论期望为5次，但实际结果不确定，属于随机事件； 选项B：袋中无红球，摸出红球不可能发生，属于不可能事件； 选项C：多边形外角和恒为，无论边数多少均成立，属于必然事件； 选项D：根据鸽巢原理，13人中至少有2人生日在同一月份，属于必然事件． 综上，只有选项A是随机事件． 故选：A． 3. 下列判断正确的是（ ） A. B. 方向相反的两个向量叫做互为相反向量 C. 如果，那么 D. 如果，那么 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念和运算．根据向量的基本概念和运算逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：选项A：． 向量相减结果应为零向量，但题目中的“0”未用向量符号（如或黑体0），表示标量0，因此该选项表述不严谨，错误； 选项B：方向相反的两个向量叫做互为相反向量． 相反向量的定义是方向相反且长度相等的两个向量．选项仅提到方向相反，未说明长度相等，错误； 选项C：若，则． 向量相等的充要条件是方向与长度均相同，因此模必然相等，正确； 选项D：若，则． 模相等仅说明长度相同，方向可能不同（如两个不同方向的等长向量），因此错误． 综上，正确选项为C． 故选：C． 4. 已知一次函数的图象如图所示，那么下列说法错误的是（ ） A. B. C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象性质．利用待定系数法求出一次函数的解析式，然后根据函数的性质进行判断即可． 【详解】解：将，代入一次函数解析式， 得， 解得， 所以解析式为 ； ，故A选项不符合题意； ，故B选项不符合题意； 观察图象可知，当时，，故C选项符合题意； 观察图象可知，当时，，故D选项不符合题意； 故选：C． 5. 已知四边形，对角线相交于点O，下列条件中，能判断它是平行四边形是（ ） A. B. C. ， D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐一分析选项，选项D满足对角线互相平分且一组对边平行的条件． 【详解】解：选项A中，，但无法证明另一组对边平行或相等，可能存在等腰梯形的情况，故排除； 选项B中，，仅说明被平分，但未给出被平分的条件，无法确定四边形为平行四边形； 选项C中，且，但这两个角并非对角，无法通过边角关系直接判定为平行四边形； 选项D中，（即被O平分）；由可得（内错角相等），结合，，可证，从而，此时对角线均被O平分，满足对角线互相平分判定条件，故四边形为平行四边形． 故选：D． 6. 如图，在正方形中，、分别为边、的中点，以点为圆心、的长为半径画弧交线段于点，直线交于点，如果，那么正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，设的中点为，连接，，过点作于点，证明四边形，四边形是矩形，则，根据直角三角形斜边中线性质得，则，由此得是等边三角形，进而得，，，继而得是等边三角形，由此得，则，，再求出得是等腰直角三角形，则，进而得，由此即可得出正方形的边长． 【详解】解：如图，过点作于点，设的中点为，连接，，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵点、分别为边、的中点， ∴，， ∴， ∵AD∥BC， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由作图可知：， ∴， 在中，点是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴正方形的边长为． 故选：B． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，含角的直角三角形的性质及勾股定理等知识点，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 直线的截距是____________________． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】一次函数y=kx+b在y轴上的截距是b． 【详解】解： ∵在一次函数y=2x﹣3中， b=﹣3， ∴一次函数y=2x﹣3在y轴上的截距b=﹣3． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，数形结合思想解题是本题的解题关键． 8. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程的解是， 故答案为：． 9. 方程组的解是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，解题的关键是掌握消元的思想． 先将①式变形，然后利用代入消元法求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 将代入②得：， 整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，， ∴原方程组的解为：或． 故答案为：或． 10. 将直线向上平移5个单位后所得直线解析式为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，解题时要熟练掌握并能灵活运用“上加下减，左加右减”的平移规律是关键．由直线向上平移5个单位，从而结合“上加下减，左加右减”的平移规律，即可计算得解． 【详解】解：由题意，直线向上平移5个单位， 结合“上加下减，左加右减”的平移规律，可得平移后的直线解析式为， 故答案为：． 11. 如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，由直线经过第二象限，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵直线经过第二象限， ∴． ∴． 故答案为：． 12. 用换元法解方程时，如果设，那么原方程可化为关于y的整式方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查换元法解分式方程，正确进行计算是解题关键． 设，则：，将方程转化为：，再去分母转化为整式方程即可． 【详解】设，则：， ∴原方程化为：， ∴去分母转化为整式方程可得： ， 故答案为：． 13. 一个不透明的口袋里装有2个红球、3个白球，它们除了颜色外其他都相同．每次从口袋里摸出1个球，观察记录颜色后再放回搅匀．如果连续5次摸出的都是白球，那么第6次摸出红球的概率是________． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】此题考查概率公式求概率，可以直接应用求概率的公式计算即可． 【详解】解：因为每次只摸出一只小球时，布袋中共有小球个，其中红球有2个， 所以第6次摸出黄球的概率是， 故答案为：． 14. 2024年世界人工智能大会上展示的无人汽车和飞行汽车的技术突破备受瞩目．已知某品牌飞行汽车的最高时速比无人汽车快150千米/小时，若两车分别以各自的最高速度行驶80千米，飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时．设无人汽车的最高时速为x千米/小时，那么根据题意可列出方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，去理解题意是解题的关键． 设无人汽车的最高时速为x千米/小时，则飞行汽车的最高时速为千米/小时，分别表示其飞行时间，根据飞行汽车所用时间比无人汽车少0.5小时建立方程即可． 【详解】解：设无人汽车的最高时速为x千米/小时，则飞行汽车的最高时速为千米/小时， 由题意得：， 故答案为：． 15. 一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．设该多边形的边数为，根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，这个多边形的边数是7． 故答案：7． 16. 如图，已知梯形中，，，，，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，过点D作交于点F，证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质进一步得出是等腰三角形，过点D作于点E，由三线合一可得出，然后利用勾股定理线求出，进而再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：过点D作交于点F， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴是等腰三角形， 过点D作于点E， 则点E是的中点， ， ∴ 在中， ， 在中， ， 故答案为： 17. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线、 相交于点E，，，如果轴，那么的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系、矩形的性质、直角三角形的性质、等边三角形性质和判定、勾股定理，解题的关键是证明是等边三角形，进而求解．取的中点，连接，先根据勾股定理求得的长度，根据直角三角形的性质得到，进而得出是等边三角形，再根据矩形的性质及轴证明是等边三角形，从而得到答案． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 在中，，， ， 的中点， ， ， 是等边三角形， ， 轴， ， 矩形， ， 是等边三角形， ， 故答案为：2． 18. 如图，在菱形中，对角线与相交于点O，．将边沿着过点O的一条直线翻折，点C的对应点为E，点B的对应点为F，连接，如果点E落在线段上，那么的面积为________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，解题的关键是确定折叠后点落在射线上． 由菱形得到，，，然后根据折叠的性质确定点落在射线上，，在由三角形公式即可求解． 【详解】解：如图 ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵折叠，点C的对应点为E，且点E落在线段上， ∴，折痕平分，即平分， ∴在射线上， ∴， ∴的面积为， 故答案为：5． 三、解答题：（本大题共7题，其中第19至22题每题10分，第23至24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握解一元二次方程是解题的关键． 由，可得，整理得，然后计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 解得，，， 检验，当时，，当时，， ∴方程的解为． 20. 解方程组： 【答案】：， 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，掌握消元的方法是解题的关键． 先将②式进行因式分解为两个二元一次方程，再与①式组合成两个新的方程组，分别求解即可． 【详解】解：， 由②得：， ∴或， 原方程组可化为：或， 分别解得：或 ∴原方程组的解为：，． 21. 如图，在矩形中，对角线、交于点E，点F在的延长线上，且，连接AF． （1）写出图中所有与相等的向量：________； （2）填空：________，________； （3）在图中直接作出（保留作图痕迹，不要求写作法，写出结论）． 【答案】（1）、 （2）； （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了向量的线性运算，相等向量的定义，熟练掌握向量线性运算法则，是解题的关键． （1）根据相等向量的方向和长度都相同，找出与相等的向量即可； （2）根据向量的线性运算法则进行运算即可； （3）过点B作，截取，连接，则即为所求． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上分析可知：与相等的向量有和； 【小问2详解】 解： ； ∵， ∴； 【小问3详解】 解：即为所求． ∵，， ∴， ∴． 22. 为提高控制精度从而减少误差导致的输液不良事件，医疗输液器（图1）中的流量调节器从滚轮式改进为带刻度的旋钮式（图2）．小明发现，在相同档位下，不同粘度的液体流速存在着差异．于是他对此展开实验研究．（实验假设：对于旋钮式输液器设定的任意一个档位，同种液体的输液速度保持恒定．） （1）小明用旋钮式输液器设定了每小时120毫升的档位测试液体A的流速，输液袋内初始药液量为250毫升，得到输液袋剩余药液量y（毫升）和时间x（分钟）之间的关系如图3所示： ①求y关于x的函数解析式（不写定义域）； ②判断液体A的实际流速是否与设定流速（120毫升/小时）一致？若一致，请说明理由；若不一致，假设液体A的实际流速与设定流速成正比，则想要达到每小时120毫升的流速，应该把旋钮式输液器的流速设定为多少毫升/小时？ （2）小明用相同档位测试液体B和液体C的实际流速．实验发现：液体B的流速比液体C每小时快60毫升，因此输250毫升液体C所需时间是输200毫升液体B所需时间的2倍，求用该档位输液时液体B和液体C的实际流速． 【答案】（1）①②不一致，160 （2）该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图形和性质，利用待定系数法求函数解析式，列分式方程解决实际问题等内容，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，并找出等量关系列出方程． （1）①利用待定系数法即可求出函数解析式； ②求出实际流速进行比较即可，利用待定系数法求出正比例函数，代入求值即可； （2）假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为，根据等量关系列出分式方程，进行求解即可． 【小问1详解】 解：①假设函数解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴函数解析式为； ②不一致，理由如下： 当函数值为0时， ， 解得， ， ， ， 所以，液体A的实际流速是否与设定流速不一致， 假设液体A的实际流速为，设定流速为，， 将代入上式得，， 解得， ∴ 当时，代入得， ， ， 所以，应该把旋钮式输液器的流速设定为160毫升/小时； 【小问2详解】 解：假设液体C的实际流速为，则液体B的实际流速为， 根据题意得， 解方程得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意， 此时，， 所以，该档位输液时液体B的流速为，液体C的实际流速为． 23. 已知：如图，在平行四边形中，点O为对角线的中点，过点O作交边、于点E、F，联结、． （1）求证：四边形为菱形； （2）如果四边形为矩形，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题关键． （1）由矩形的性质可，进而得出，结合O为对角线的中点得出，即，即可得出四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （2）根据勾股定理求出，然后根据菱形的性质和勾股定理求出，进而可以解决问题． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵O为对角线的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为矩形，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点轴交于点，点在射线上（不与点重合），点在轴上（点在点左侧），四边形是正方形． （1）当点的横坐标为时，求直线的表达式； （2）当点在射线上运动时，设点的横坐标为，用表示点的坐标，判断点是否始终在（1）中的直线上？并说明理由； （3）点在轴上，如果四边形是等腰梯形，求点的坐标． 【答案】（1） （2），在，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，先求出、，再由正方形性质得到，最后由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）的求解过程，同理求解即可得到，将代入验证即可得到答案； （3）由（2）中知，根据四边形是等腰梯形，分两种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：直线，点在直线上，点的横坐标为， ，即， ， 当时，则，解得，即， 四边形是正方形， ， , 设直线的表达式为， 将、代入得， 解得， 直线的表达式为； 【小问2详解】 解：在，理由如下： 由（1）知，直线的表达式为， 当点在射线上运动时，设点的横坐标为， ， 则， 四边形是正方形， ，则, 将代入，得， 即此时，在（1）中的直线上； 【小问3详解】 解：如图所示： 由（2）知，， 根据题意，分两种情况： 当时， 直线， 当时，，即， 设直线，将代入得， 直线， 当时，则，解得， ， 如果四边形是等腰梯形，则， ，即， 解得或， 当时，、， 、， 四边形是平行四边形（舍去）； 当时，、， 、， 四边形是等腰梯形，此时； 当时，则点与点重合， 如果四边形是等腰梯形，则， 过点作轴，如图所示： 四边形是正方形， ， ， ， ； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查一次函数与四边形综合，涉及一次函数图象与性质、正方形性质、待定系数法确定函数表达式、等腰梯形定义、两点之间距离公式等知识．数形结合，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 25. 在平行四边形中，对角线相交于点O，，，E是边上的一点，连接． （1）如果， ①如图1，当点E为中点时，求证：四边形为菱形； ②如图2，设，求y与x的函数解析式（不用写定义域）； （2）连接，如果是以为腰的等腰直角三角形，求的长．连接 【答案】（1）①见解析；② （2）或 【解析】 【分析】（1）①可得垂直平分，则，再由平行四边形的性质以及勾股定理逆定理证明，则，即可证明其为菱形； ②过点作交延长线于点，根据平行线间的距离相等得到，然后证明，则，由勾股定理得到，代入化简即可得到函数解析式； （2）分两种情况讨论：①当时，则，，再由勾股定理即可求解；当，时， 过点作于点，则，则，再运用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 ①证明：∵平行四边形中，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形为菱形； ②解：过点作交延长线于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， 在中，， ∴， ∴， 化简整理得：； 【小问2详解】 解：①当时，如图 ∴， ∵， ∴， ∴； 当，时，如图： 过点作于点， ∴为中点， ∴， ∴， ∴， 综上：当是以为腰的等腰直角三角形，的长为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，勾股定理及其逆定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质，函数关系式，全等三角形的判定与性质等知识点，难度较大． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$