精品解析：广西壮族自治区柳州市上进联考2024-2025学年高一下学期6月期末联合考试数学试题

柳州市高一年级下学期期末联合考试 高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册占20%，必修第二册占80%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义直接求解. 【详解】由集合，得或，而， 所以. 故选：B 2. 在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出辅助线，得到线面垂直，点到平面的距离为的长，最后根据正方体的性质即可得解. 【详解】如图所示，连接，交于点， 因为四边形为正方形， 所以，即， 又因为平面，平面， 所以， 又因为，平面， 所以平面， 所以点到平面的距离为的长， 因为正方体棱长为2， 所以， 所以点到平面的距离为. 故选：C. 3. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. 1 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】先将复数变形，可得实部和虚部，即可求解. 【详解】因为， 所以实部与虚部分别为和，所以和为. 故选：. 4. 某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（ ） A. 至少有1名男生与全是男生 B. 至少有1名男生与全是女生 C. 恰有1名男生与恰有2名男生 D. 至少有1名男生与至少有1名女生 【答案】C 【解析】 【分析】写出各个事件包含的情况，根据互斥事件以及对立事件的概念，即可得出答案. 【详解】对于A，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，A错误； 对于B，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，B错误； 对于C，事件恰有1名男生指有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，C正确； 对于D，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况， 事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，D错误. 故选：C 5. 利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式求出，再利用斜二测画法求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 6. 在平行四边形中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算求解判断. 【详解】依题意，. 故选：D. 7. 江西赣州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附属建筑物，距今已有1000多年的历史，是一座典型的宋代高层楼阁式砖塔，是我国第六批全国重点文物保护单位.如图，某校高一年级数学实践小组为了测得其塔高，在点测得塔底位于北偏东方向上，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点60米的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为（ ）（参考数据：） A. 39米 B. 46米 C. 49米 D. 52米 【答案】C 【解析】 【分析】转化为解三角形问题，利用正弦定理、直角三角形的性质进行求解. 【详解】如图，平面，， 在中，，则，， 在中，. 故选：C 8. 现有一块棱长为4正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形，设，分别求出四面体的表面积和三棱台的表面积，由这两部分的表面积相等，求出，即可求出截面面积. 【详解】如图正四面体，， ，令，截面， 由，得，即，则， ，四面体为正四面体， 四面体的表面积为：， 梯形的面积为，则三棱台的表面积为： ， 由，得，解得， 所以截面. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若直线上的三个点在平面内，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用球的定义判断A；利用线面位置关系判断BC；利用平面的基本事实判断D. 【详解】对于A，球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等，A正确； 对于B，第一条直线与平面相交，若另一条直线与平面不相交，则该直线在平面内或与平面平行， 此直线与第一条直线相交或异面直线，与两条直线平行矛盾，B错误； 对于C，直线，由，得存在过的平面，则， 由，得存在过的平面，则，而，则， 又，因此，C正确； 对于D，直线上的三个点在平面内，则，D正确. 故选：ACD 10. 若，，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据充分条件及必要条件的定义结合不等式的性质即可对选项逐一判断. 【详解】对于，，所以是的充要条件，故错误； 对于，由可得，即，充分性成立， 反之，不一定推出，必要性不成立， 所以是的充分不必要条件，故正确； 对于，由可得，所以，反之不成立， 所以是的充分不必要条件，故正确； 对于，因为，所以是的充要条件，故错误. 故选：. 11. 如图，在四面体中，，，，二面角的大小为，记的中点为，则（ ） A B. C. 可能为直角 D. 若平面，则异面直线与夹角的余弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定性质推理判断A；利用二面角的定义，结合余弦定理和基本不等式推理判断B；利用余弦定理推理判断C；利用异面直线夹角的定义求解判断D. 【详解】对于A，由，T为的中点，得，而，平面， ，则平面，又平面，因此，，A正确； 对于B，由，得是二面角的平面角，， 由余弦定理得， ，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，， ，即，C错误； 对于D，取中点，连接，则，是异面直线与所成角或其补角， 由平面，平面，得，由， 得，，而，， ，，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.3，0.2，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为_______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式列式计算即得. 【详解】记打印机发生故障为事件，电脑发生故障为事件， 由题意，，， 所以，， 因为事件，相互独立， 所以时间，相互独立， 所以. 故答案为：. 13. 已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”） 【答案】外心 【解析】 【分析】设对应点为，根据复数的向量表示及向量减法的几何意义得，即可得结论. 【详解】设对应点为，且， 根据向量减法的几何意义知，即到三角形三个顶点的距离相等， 所以在复平面内对应的点为的外心. 故答案为：外心 14. 已知函数，若，则的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 【分析】由解析式得，结合已知得，且，进而有，最后应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，则， 所以， 又函数在上单调递增，且， 所以，且，则， 当且仅当时取等号，即的最小值为2. 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量的数量积坐标表示求解即可； （2）由，的夹角为锐角，则，且，不共线，建立不等式组求解即可. 【小问1详解】 若，则，，所以 所以. 【小问2详解】 向量，， 若，的夹角为锐角，则，且，不共线， 故，所以的取值范围为. 16. 近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249. （1）求这5个数据的60%分位数及平均数； （2）从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数计算公式和平均数计算公式即可得到答案； （2）写出所有样本空间，并列举出满足题意的样本点，最后利用古典概型的公式即可得到答案. 【小问1详解】 因为，所以这5个数据的60%分位数为：， 平均数为：， 所以这5个数据的60%分位数为，平均数为. 【小问2详解】 从个数据中任取个数据， 样本空间 ，共含有个样本点， 设事件表示“取到的2个数据都小于这个数据的平均数”， 则，共含有个样本点， 所以. 则从这5个数据中任取2个数据，取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率为. 17. 把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象. （1）求的单调递增区间； （2）若在区间上存在最小值，求的取值范围. 【答案】（1），； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由图象平移得，再由正弦函数性质求单调增区间； （2）由正弦型函数的性质及区间存在最小值有或，即可得. 小问1详解】 将所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），则， 再向左平移个单位长度，得到， 令，，可得，， 所以的单调递增区间为，； 【小问2详解】 由（1）及已知得，又在区间上存在最小值， 所以或，且，可得或. 18. 记中的内角的对边分别为，且． （1）证明：； （2）若，且边上的中线的长度为，求a的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、 三角恒等变换的知识化简已知条件，从而证得. （2）利用余弦定理列方程，化简求得的值. 【小问1详解】 由正弦定理可得， 又为的内角，故． 代入上式，有， 即． 又，若，必有，不符合题意， 则，同理，则．又，则． 【小问2详解】 不妨设为边上的中线，在中， 有， 由（1）可得，故，即． 在中，有． 即． 解得． 19. 如图，在三棱台中，，是边长为的等边三角形，且，，，. （1）证明：平面平面； （2）求的长； （3）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件及线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理证明即可； （2）过点作交于，连接，设，在中，由余弦定理得，最后在中由勾股定理即可求解； （3）取中点，中点，连接，根据条件得，，故为平面与平面的夹角，然后在中，由余弦定理求解即可. 【小问1详解】 由题意，因为， 且，平面， 所以平面， 在三棱台中， 平面平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面. 小问2详解】 由（1）可知，平面， 因为平面， 所以， 又因为是边长为的等边三角形， 所以， 所以与全等， 所以，即， 又因为， 所以， 在中，由余弦定理得， 解得， 所以， 如图①所示，过点作交于，连接， 因为， 所以四边形为矩形， 所以， 设，则， 在中，由余弦定理得， 则， 在中，由得 ，解得， 故. 【小问3详解】 如图②所示，取中点，中点，连接， 因为为等腰三角形，，， 所以， 因为为等腰三角形，，点为中点， 所以，， 又因为，点为中点，点为中点， 所以， 因为平面平面， 所以为平面与平面的夹角. 如图③所示，在直角梯形中，过点作，交与， 且， 所以， 在中，由余弦定理得. 所以二面角的夹角余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柳州市高一年级下学期期末联合考试 高一数学试卷 试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.考查范围：必修第一册占20%，必修第二册占80%. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，请将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在棱长为的正方体中，点到平面的距离为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3. 复数的实部与虚部之和为（ ） A. B. C. 1 D. 5 4. 某网球社团有3名男生和5名女生，从中任选2名同学参加网球比赛，下列各对事件中互斥而不对立是（ ） A. 至少有1名男生与全是男生 B. 至少有1名男生与全是女生 C. 恰有1名男生与恰有2名男生 D. 至少有1名男生与至少有1名女生 5. 利用斜二侧画法画出的直观图如图阴影部分所示，其中，，则（ ） A 4 B. C. 2 D. 6. 在平行四边形中，，，记，，则（ ） A. B. C. D. 7. 江西赣州慈云塔始建于北宋天圣元年，是古代慈云寺的附属建筑物，距今已有1000多年的历史，是一座典型的宋代高层楼阁式砖塔，是我国第六批全国重点文物保护单位.如图，某校高一年级数学实践小组为了测得其塔高，在点测得塔底位于北偏东方向上，塔顶的仰角为，在的正东方向且距点60米的点测得塔底位于北偏西方向上（，，在同一水平面），则塔的高度约为（ ）（参考数据：） A. 39米 B. 46米 C. 49米 D. 52米 8. 现有一块棱长为4的正四面体实心木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为（ ） A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的有（ ） A. 球体是旋转体的一种，且球面上的点到球心的距离都相等 B. 现有两条平行直线，其中一条直线与一个平面相交，那么另一条直线可能与这个平面不相交 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行 D. 若直线上的三个点在平面内，则 10. 若，，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在四面体中，，，，二面角的大小为，记的中点为，则（ ） A. B. C. 可能为直角 D. 若平面，则异面直线与夹角的余弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 某办公室的打印机与电脑在一周内发生故障的概率分别为0.3，0.2，且故障事件相互独立，则这两台设备在一周内都不发生故障的概率为_______. 13. 已知复数，，在复平面内对应的点分别为，，，且点，，连接后构成三角形.若复数满足，则在复平面内对应的点为的________.（填“外心”“重心”或“垂心”） 14. 已知函数，若，则最小值为_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 近两年，在AI概念的加持下，AR（增强现实）眼镜、AI（人工智能）眼镜、VR（虚拟现实）眼镜、音频眼镜等智能眼镜迎来高光时刻，已知2022-2026年中国智能眼镜市场规模统计数据及预测（单位：亿元）依次为5，15，47，112，249. （1）求这5个数据的60%分位数及平均数； （2）从这5个数据中任取2个数据，求取到的2个数据都小于这5个数据的平均数的概率. 17. 把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到的图象. （1）求的单调递增区间； （2）若在区间上存在最小值，求的取值范围. 18. 记中的内角的对边分别为，且． （1）证明：； （2）若，且边上的中线的长度为，求a的值． 19. 如图，在三棱台中，，是边长为的等边三角形，且，，，. （1）证明：平面平面； （2）求长； （3）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $