精品解析：河南省商丘市2024-2025学年高二下学期6月期末联考数学试题

2024-2025学年度高二6月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 3. 已知两个变量与对应关系如下表： 1 2 3 4 5 5 7.5 9 10.5 若与满足线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 与正相关 B. 在处的残差为0.25 C. D. 变量每增加一个单位，的值一定增加1.25个单位 4. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 5. 从这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 120 6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，直线，点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 8. 如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.当时，上第一象限内的点满足的面积为，则（ ） A. 6 B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确有（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有3件次品的8件产品中任取3件，取到的次品数为，则 10. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 11. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成角为 D. 点到平面DEF的距离为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面的法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为__________. 13. 已知是函数的极值点，则__________. 14. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，在三棱锥中， 是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 17. 某校数学兴趣小组为了研究本校学生每天整理错题与成绩的关系，在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表： 整理数学错题情况 数学成绩 合计 总评优秀 总评非优秀 每天都整理 95 不是每天都整理 40 100 合计 200 （1）补全上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关； （2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3841 6.635 7.879 10.828 18. 已知双曲线. （1）若直线与双曲线相交于两点，线段中点坐标为，求直线的方程. （2）若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线的斜率为正，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度高二6月联考 数学试题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间120分钟，满分150分 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 分析】根据方向向量与直线斜率关系求斜率，再由斜率与倾斜角关系求倾斜角. 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 2. 已知椭圆的左､右焦点分别为是椭圆上任意一点.若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆方程及其定义和焦点位置得，进而求离心率. 【详解】由题设，且，则， 所以. 故选：B 3. 已知两个变量与对应关系如下表： 1 2 3 4 5 5 7.5 9 10.5 若与满足线性相关关系，且经验回归方程为，则下列说法正确的是（ ） A. 与正相关 B. 在处的残差为0.25 C. D. 变量每增加一个单位，的值一定增加1.25个单位 【答案】A 【解析】 【分析】利用样本中心在回归直线上求参数判断C；根据回归直线一次项系数判断A；计算残差判断B；由回归直线的实际意义判断D. 【详解】由题设，， 所以，可得，又，即与正相关，A对，C错； 由时，，残差为，B错； 由回归方程说明随变化值的变化趋势，不能说变量每增加一个单位，的值一定增加1.25个单位，D错. 故选：A. 4. 已知数列满足，且对任意的，都有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题设得，即原数列的奇数项为等比数列，应用等比数列的通项公式求目标项. 【详解】由题设，又， 故的奇数项是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以. 故选：D 5. 从这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于7000的奇数个数是（ ） A. 24 B. 36 C. 60 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设千位可选，个位可选，其它两个数在余下的数字任选2个，应用分类分步计数原理及排列数求四位数的个数. 【详解】由题设，千位可选，个位可选，其它两个数在余下的数字任选2个， 当千位选7，则个位有2种选法，其它两个数有种； 当千位选8，则个位有3种选法，其它两个数有种； 所以共有种. 故选：C 6. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知在区间上恒成立，分离参数可得结果. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上单调递减，所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 因为，所以，故， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B. 7. 已知函数，直线，点是曲线上任意一点，点是直线上任意一点.设点间的距离为，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断直线、的位置关系，再对函数求导，根据题意知与直线平行且与相切的直线，其对应切点到直线的距离，即为的最小值，即可求. 【详解】由，令，且， 所以，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 所以，即直线恒正上方， 由题设且，与直线平行且与相切的直线， 该直线与的切点到直线的距离，为的最小值，无最大值，又， 令，可得，则，故切点为， 所以最小. 故选：D 8. 如图所示的曲线过坐标原点上的点到两定点的距离之积为定值.当时，上第一象限内的点满足的面积为，则（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令且，根据已知得、曲线为，进而确定，再应用两点距离公式即可得. 【详解】令且，由题设有，可得， 又为定值，且曲线过原点，则， 所以时，，则， 代入，可得，即， 所以，可得，故，故， 所以. 故选：B. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 若随机变量和满足，且，则 B. 若随机变量，则 C. 若随机变量，则 D. 在含有3件次品的8件产品中任取3件，取到的次品数为，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由期望的性质列方程求判断A；由正态分布的对称性求概率判断B；应用二项分布的方差公式求方差判断C；应用超几何分布的概率求法求概率判断D. 【详解】A：由，则，得，对； B：由，且，则，对； C：由，则，错； D：由题设，对. 故选：ABD 10. 已知在的展开式中，各项的二项式系数之和为64，则下列说法正确的有（ ） A. B. 只有第4项的二项式系数最大 C. 的系数为 D. 各项系数之和为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据二项式系数和得，结合二项式系数的性质及展开式通项公式判断A、B、C，最后应用赋值法求各项系数之和判断D. 【详解】由题设，可得，A对； 展开式共有7项，故只有第4项的二项式系数最大，B对； 展开式通项为，， 令，可得，则的系数为，C对； 令，则，D错. 故选：ABC 11. 如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ） A. 与EF相交 B. 平面DEF C. EF与所成的角为 D. 点到平面DEF的距离为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断． 【详解】对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误； 对于选项B，在直三棱柱中， ． ，F分别是AC，AB的中点， ， ． 又平面DEF，平面DEF， 平面故B正确； 对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，． 1，，0，． ，，． 与所成的角为，故C正确； 对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量． 0，，1，， 由，即，得 取，则，0，， 设点到平面DEF的距离为d． 又2，， ， 点到平面DEF的距离为，故D正确． 故选：BCD 【点睛】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知平面法向量为，直线在平面外，且方向向量，则直线与平面的位置关系为__________. 【答案】平行 【解析】 【分析】应用空间向量数量积的坐标运算得，结合已知即可得位置关系. 【详解】由题设，又直线在平面外， 所以直线与平面的位置关系为平行. 故答案为：平行 13. 已知是函数的极值点，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】对函数求导，根据极值点求得，注意验证，进而求函数值. 【详解】由题设， 所以，可得，则， 当或时，当时， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 所以是极值点，满足题设，故， 所以. 故答案为： 14. 已知圆的圆心在直线上，且圆经过点，则圆的标准方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】设圆的标准方程为，根据点在圆上、圆心在直线上列方程求解即可. 【详解】设圆的标准方程为， 则，解得， 所以圆的标准方程为. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 在等差数列中，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）应用等差数列的性质及通项公式求基本量，进而写出等差数列的通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设，则，又， 若数列的公差为，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）得，则， 所以， 所以， 所以. 16. 如图，在三棱锥中， 是边长为4的正三角形，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）求二面角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）详见解析（2）（3） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，由证明线线垂直； （2）求出两平面法向量，由法向量夹角得二面角； （3）为平面SCM的一个法向量，点B到平面SCM的距离． 【详解】（1）证明：取的中点，连接 因为，，所以且. 因为平面平面，平面平面，所以平面，BO平面ABC， 所以. 如图所示，建立空间直角坐标系 则 所以 因为 所以； （2）由（1）得，所以 设为平面的一个法向量，则 ，取，则，所以 又因为为平面的一个法向量，所以 所以二面角的余弦值为. （3）由（1）（2）可得，为平面的一个法向量. 所以点B到平面的距离. 17. 某校数学兴趣小组为了研究本校学生每天整理错题与成绩的关系，在本校某年级学生中随机抽取了200名学生，调查他们平时的数学成绩和整理数学错题的情况，现统计的部分数据如下表： 整理数学错题情况 数学成绩 合计 总评优秀 总评非优秀 每天都整理 95 不是每天都整理 40 100 合计 200 （1）补全上述样本数据的列联表，并判断是否有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关； （2）按照比例采用分层随机抽样的方法从不是每天都整理数学错题的学生中随机抽取5名学生，再从这5名学生中选3名做进一步访谈，设这3人中数学成绩总评非优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，没有； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）根据已知写出列联表，应用卡方公式求值，结合独立性检验的基本思想得结论； （2）由分层抽样确定人数分布，则有，再应用超几何分布的概率求法求分布列，进而求期望. 小问1详解】 由题设，列联表如下： 整理数学错题情况 数学成绩 合计 总评优秀 总评非优秀 每天都整理 95 5 100 不是每天都整理 60 40 100 合计 155 45 200 所以， 故没有的把握认为学生的数学成绩总评优秀与每天都整理数学错题有关； 【小问2详解】 由题设，抽取的5人中有3人总评优秀，2人总评非优秀， 所以，则，，， 所以分布列如下， 0 1 2 则. 18. 已知双曲线. （1）若直线与双曲线相交于两点，线段的中点坐标为，求直线的方程. （2）若为双曲线右支上异于右顶点的一个动点，为双曲线的右焦点，轴上是否存在定点，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）利用点差法可求出直线斜率，再求直线方程即可； （2）利用正切二倍角公式结合点在双曲线上化简可得； 【小问1详解】 设，则，作差得， 又线段的中点坐标为，则， 所以，可得， 所以，即；经检验成立 【小问2详解】 假设存在定点，使得， 设，焦点，若时，， 所以，化简得， 又，则，整理得对恒成立， 所以，可得， 当，此时为等腰直角三角形，也成立， 综上，. 19. 已知函数. （1）当时，若曲线在点处的切线的斜率为正，求的取值范围； （2）当时，求函数的单调递减区间； （3）若函数在区间上只有一个极值点，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）减区间； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求导，利用条件可得即可求解； （2）求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的单调递减区间； （3）令，分析知函数在上有且只有一个异号零点，对实数的取值进行分类讨论，结合题意可得出关于实数的不等式，可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 当，则且，可得，， 曲线在点的切线斜率为正，则，得； 【小问2详解】 由，则，，所以， 由，可得且， 所以函数的单调递减区间； 【小问3详解】 由题设， 令，由函数在区间上只有一个极值点， 所以在区间上有一个变号零点， 当，则在上，不符； 当，则开口向上且对称轴为，则在上单调递增， 又，且，符合； 当，则开口向下且对称轴为，又， 只需或，不符； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$