精品解析：山东省烟台市栖霞市2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

栖霞市2024－2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，24道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置． ②答第I卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净． ③答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答． ④保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 顺次连接四边形四边中点得到矩形，则四边形（　　） A. 一定是菱形 B. 一定是矩形 C. 对角线一定互相垂直 D. 对角线一定相等 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理及矩形的性质即可证得该四边形的特征 【详解】解：如图所示： ∵E、F、H、G分别是、、、的中点， 根据三角形中位线定理得：，， ∵四边形是矩形，即， ∴． 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，构造三角形利用三角形中位线定理是解题的关键． 2. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，明确二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零是解题关键． 根据二次根式和分式有意义的条件进行解答即可． 【详解】解：代数式有意义， ，． 解得∶且． 故选：D． 3. 用配方法解一元二次方程时可配方得（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，根据配方法的步骤求解即可． 【详解】解：移项，得， 配方，得， 即， 故选：A． 4. 如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（       ） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题重点考查矩形的性质、菱形的判定与性质、轴对称的性质等知识，正确地画出将完全展开后的图形是解题的关键． 将完全展开后得到四边形，由，，证明四边形是平行四边形，而，则四边形是菱形，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，将完全展开后得到四边形， 由折叠得， ， 、、三点在同一条直线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 故选：C． 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握其性质，混合运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，不是同类二次根式，不能合并，原选项计算错误，不符合题意；   故选：C ． 6. 下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； B．，，所以与是同类二次根式，故此选项符合题意； C．，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； D．，，所以与不是同类二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．根据菱形的性质得到，根据勾股定理求出，再利用面积计算即可． 【详解】解：四边形为菱形， ， ， ， ， ， ． 故选C． 8. 下列代数式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可．本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A. 是最简二次根式，符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意； C. ，不符合题意； D. ，不符合题意； 故选：A． 9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 10. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2027 D. 2026 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由是方程的一个实数根，可得．由根与系数的关系，可得．代入即可求解． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， ． 是方程的两个实数根， ． ， 故选A． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 11. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的性质结合勾股定理求得，进而可得，结合已知可得，根据，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为，对角线，交于点， ，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， 的长为． 12. 当时，化简的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式有意义的条件，先判断a，b的正负，再根据二次根式的性质化简． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 方程的实数根为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解绝对值方程． 分和两种情况，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：当时，方程为，即， 则， ∴或， 解得，（舍）； 当时，，即， ， 则或， 解得，（舍）； 综上，方程的实数根为， 故答案为：． 14. 幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为___________． 5 10 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，先根据幻方规则和二次根式的混合运算分别求得A、B、C、D，然后代值求解即可． 【详解】解：∵方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等， ∴， ， ， ， ∴ ． 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】k≤5且k≠1 【解析】 【详解】解：∵一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根， ∴k﹣1≠0，且b2﹣4ac=16﹣4（k﹣1）≥0， 解得：k≤5且k≠1. 故答案为：k≤5且k≠1. 16. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；连接，由勾股定理求出，再由直角三角形斜边上的中线性质得，然后证四边形是矩形，得，当A、P、C三点共线时，最小，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵P是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当A、P、C三点共线时，最小， ∴的最小值是7， 故答案为：7． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分． 要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） 【答案】（1）2 （2） （3）6 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算． （1）先算括号里，再算除法； （2）先将二次根式化为最简二次根式，再进行加减运算，即可求解； （3）先根据平方差公式和二次根式的乘法计算，再算加减． 【小问1详解】 原式 【小问2详解】 原式 【小问3详解】 原式 18. 解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）， （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）整理后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 ∴ 解得； 【小问2详解】 或 解得，； 【小问3详解】 ∴或 解得，． 19. 如图，已知四边形和均是正方形，点K在上，延长到点H，使，连接．求证：四边形是正方形 【答案】见解析 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定等知识，得出是解题关键． 利用正方形的性质结合全等三角形的判定方法证明可证明结论； 由全等的性质可得，同理可证得，再利用正方形的判定方法得出答案． 【详解】证明：∵四边形和都是正方形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 同理可得： ∴， ∴四边形是正方形 ． 20. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 【答案】（1）且 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根，解一元二次方程，熟练掌握相关知识并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）由方程有两个不相等的根，可得，由一元二次方程的定义可得，由此即可求得m的取值范围； （2）利用求根公式表示出方程的两个根，即可得证． 【小问1详解】 解：， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴且， ∴的取值范围是且； 【小问2详解】 证明：∵， ∴由求根公式得 ， ∴， ， ∴无论为何值，方程总有一个固定的根是1 ． 21. 〖阅读理解〗 小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ， ， ， ． ． 〖学以致用〗 （1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）88 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化、完全平方公式的运用，单项式乘多项式的计算，理解二次根式分母有理化的计算方法是解此题的关键． （1）利用二次根式分母有理化的计算法则并通过探索数字规律进行计算求解； （2）先利用分母有理化求出，从而得到，再表示出，代入原式求出结果即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ，即， ， ， 原式． 22. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角，等腰直角和等腰直角，连接．当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】，见解析 【解析】 【分析】先证明，得出， 再证明四边形是平行四边形，根据，求出，即可证明此时四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形；证明如下： ∵和为等腰直角三角形， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定方法． 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若满足，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与判别式的关系，根据根与系数的关系，求出； （1）根据方程有两个不相等的实数根可得，解不等式即可； （2）根据根与系数的关系可得，，可以求出，再由绝对值的性质得到关于m的一元二次方程，求解即可； 【小问1详解】 关于x的方程有两个不相等的实数根， 解得； 【小问2详解】 由题意得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （舍），， m的值为； 24. 在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q， 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 栖霞市2024－2025学年度第二学期期中质量检测 八年级数学试题 温馨提示： 1．本试卷共8页，共三道大题，24道小题．本试卷满分120分；考试时间为120分钟． 2．学生在答卷过程中不允许使用计算器． 3．使用答题卡时请注意： ①答题前，务必认真核对条形码上的姓名、准考证号和座号，将学校、姓名、考号、座号完整的填写在相应位置． ②答第I卷时，必须使用2B铅笔填涂答题卡上相应题目的答案标号，修改时，要用橡皮擦干净． ③答第II卷时，必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，要求字体工整、笔迹清晰，务必在题号所指示的答题区域内作答． ④保证答题卡清洁、完整．严禁折叠、严禁在答题卡上做任何标记，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带． ⑤若未按上述要求填写、答题，影响评分质量，后果自负． 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10小题，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 顺次连接四边形四边中点得到矩形，则四边形（　　） A. 一定是菱形 B. 一定是矩形 C. 对角线一定互相垂直 D. 对角线一定相等 2. 若代数式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 3. 用配方法解一元二次方程时可配方得（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将矩形（）按如图所示步骤进行折叠及剪裁，若将完全展开后，则所得到的图形一定是（       ） A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 5. 下列各式中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 7. 中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得，直线交两对边于点E，F，则线段EF的长为（ ） A. B. C. D. 8. 下列代数式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 10. 已知是方程的两个实数根，则的值是（ ） A. 2029 B. 2028 C. 2027 D. 2026 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共6个小题，满分18分，只要求填写最后结果．） 11. 如图，正方形的边长为，对角线，交于点，为边上一点，且，则的长为 _________________ ． 12. 当时，化简的结果是______． 13. 方程的实数根为____________． 14. 幻方是一种传统游戏，类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则的值为___________． 5 10 15. 若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1=0有实数根，则k的取值范围是_____． 16. 如图，在矩形中，E，F分别是边上的动点，P是线段的中点，，G，H为垂足，连接．若，则的最小值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，满分72分． 要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1） （2） （3） 18. 解方程 （1） （2） （3） 19. 如图，已知四边形和均是正方形，点K在上，延长到点H，使，连接．求证：四边形是正方形 20. 已知：关于x的一元二次方程． （1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）求证：无论m为何值（），方程总有一个固定的根． 21. 〖阅读理解〗 小明同学在解决问题“已知，求的值”时，他是这样解答的： ， ， ， ． ． 〖学以致用〗 （1）化简：； （2）已知，求的值． 22. 如图，以的三边为直角边分别向外作等腰直角，等腰直角和等腰直角，连接．当满足什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 23. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）若满足，求m的值． 24. 在菱形中，，点分别是边上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证： 【深入探究】 （2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $