精品解析：浙江省丽水市2024-2025学年高一下学期6月期末教学质量监控数学试题

丽水市2024学年第二学期普通高中教学质量监控 高一数学试题卷 （2025.06） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上. 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，是第二象限的角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求得，然后求得. 【详解】由于，是第二象限的角， 所以， 所以. 故选：C 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据垂直向量的数量积为零，建立方程，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：D. 3. 有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知数据求出中位数、平均数、众数、极差，判断它们的大小即可. 【详解】由题设数据，其中位数、众数为3，平均数，极差为， 所以最大的为极差. 故选：C 4. 要得到函数的图象，只要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据正弦函数平移的原则即可得到答案. 【详解】， 则把函数图象上所有的点向右平移个单位即可. 故选：D 5. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B正确. 考点：空间点线面位置关系． 6. 已知的三个内角的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】应用正弦定理求角的大小即可. 【详解】由正弦定理有，可得，则， 又，则，可得或. 故选：C 7. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分层随机抽样的平均数和方差公式即可算出答案. 【详解】， 故选：D 8. 已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦函数建立方程求解，按照大小顺序列举出方程的解，根据题意建立不等式，可得答案. 【详解】由，解得或， 化简可得或， 当时，；当时，；当时，； 当时，， 由题意可得，解得. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数，下列选项正确的是（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用复数的除法、模的计算及共轭复数定义判断各项正误. 【详解】由，易知与互为共轭复数，A对； ，B对； ，C错； ，D对. 故选：ABD 10. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ） A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用列举法分别求出事件，，，，的概率，结合互斥事件、相互独立事件的定义直接求解． 【详解】解：甲、乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次， 基本事件总数， 记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”， 则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”， 则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”， 则事件包含的基本事件有18个，分别为： ，，，，，，，，， ，，，，，，，，， ， 事件包含的基本事件有9个，分别为： ，，，，，，，，， ， ，事件、是相互独立事件，故正确； 事件与能同时发生，故事件与不是互斥事件，故错误； ，故正确； 包包含的基本事件有9个，分别为： ，，，，，，，，， ．故错误． 故选：． 11. 已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（ ） A. 若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为； B. 若P在线段A1B上运动，则的最小值为； C. 若p在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D. 若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】 对于A，由AB∥CD，知∠BAP即为异面直线AP与CD所成角，由此能求出异面直线AP与CD所成角的正切值为；对于B，将△AA1B与四边形A1BCD沿A1B展开到同一个平面上，线段AD1的长度即为AP+PD1的最小值，利用余弦定理得AD1；对于C，当P为中点时，三棱锥P﹣ABC体积最大，此时三棱锥P﹣ABC的外接球球心是AC中点，半径为，其表面积为2π；对于D，平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等，只需与过同一顶点所成的角相等即可，若点E、F、G、H、M、N分别为相应棱的中点，可得平面EFGHMN∥平面PQR，且六边形EFGHMN是正六边形，由此能求出截面最大面积． 【详解】对于A，如图（1），由AB∥CD，知∠BAP即为异面直线AP与CD所成角， 正方体的棱长为1，连结BE， 在Rt△ABE中，AB＝1，BE， tan，故A正确； 对于B，如图（2），将△AA1B与四边形A1BCD沿A1B展开到同一个平面上，如图所示， 由图知，线段AD1的长度即为AP+PD1的最小值， 在△AA1D1中，利用余弦定理得AD1，故B错误； 对于C，如图（3），当P为中点时，三棱锥P﹣ABC体积最大， 此时三棱锥P﹣ABC的外接球球心是AC中点，半径为，其表面积为2π，故C正确； 对于D，如图（4），平面α与正方体的每条棱所在直线所成的角都相等， 只需与过同一顶点所成的角相等即可，如图， AP＝AR＝AQ，则平面PQR与正方体过点A的三条棱所成的角相等， 若点E、F、G、H、M、N分别为相应棱的中点， 可得平面EFGHMN∥平面PQR，且六边形EFGHMN是正六边形， 正方体棱长为1，∴正六边形EFHMN的边长为， ∴此正六边形的面积为，为截面最大面积，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】方法点睛：求线段长度相加最值最值问题经常立体问题平面化；把两线放到同一平面；截面问题结合线面平行现在定理画出截面是关键 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量坐标求得数量积以及模长，利用投影向量的计算，可得答案. 【详解】由，则，， 所以向量在向量方向上的投影向量为. 故答案为：. 13. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为__________． 【答案】0.26 【解析】 【分析】根据独立事件公式求解即可. 【详解】由题意可得，“恰有一人中靶”事件可分为“甲中靶，乙不中靶”和“乙中靶，甲不中靶”， ∴两个人射击一次恰有一人中靶的概率为 ； 故答案为：0.26. 14. 过重心的直线与边交于点，且，直线将分成两部分，分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】通过作辅助线，利用相似三角形和重心性质得到的关系，再根据三角形面积比与的关系，结合均值不等式求出的最大值. 【详解】 直线过的重心，与边交于点，且，则， 连接并延长交于，过作，过作，分别交的延长线于， 根据重心的性质可知，，不妨设,由，得， ； ，，， 是梯形的中位线，， 根据三角形面积公式可得，， 根据基本不等式，即，当时取得等号， ，即，的最大值为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 【答案】（1）； （2）众数、平均数依次为62分、65分； （3）学生甲能得到奖励，理由：成绩低于分的频率为，成绩低于分的频率为，则得到奖励的最低成绩为，所以学生甲能得到奖励． 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1列方程求参数值； （2）根据直方图求样本数据的众数和平均数即可； （3）根据已知求出对应分位数，判断甲的分数所在的位置，即可得结论. 【小问1详解】 由直方图知，所以； 【小问2详解】 平均值为：分，众数为：分； 【小问3详解】 略 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称中心； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式化简得到，从而求出最小正周期和对称中心； （2）计算得到，根据特殊角的三角函数值得到不等式的解集. 【小问1详解】 ， ，即最小正周期为， 由，，解得， 所以对称中心为； 【小问2详解】 由得，即， 即，， 解得：，， 所以的取值范围为. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得线线垂直，利用面面垂直的性质定理，可得答案； （2）由面面垂直的性质以及线面角的定义，明确线面角，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得答案. 【小问1详解】 因为，为的中点，所以， 因为平面，平面平面， 平面平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 过作，连接， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 即为直线与平面所成角. 因为且，所以， 因为为等边三角形，又为的中点， 所以，，，, 则， 在直角三角形中，， 所以. 18. 如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过三点的平面记为，与的交点为. （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，梯形的面积为，求平面与底面所成锐二面角的正切值. 【答案】（1）证明：延长交于点，因为， 由且都在平面内，且都在平面内， 所以平面平面，因为平面， 所以，因为，，所以， 因为，所以，即为的中点； （2）； （3）1. 【解析】 【分析】（1）延长交于点，结合线面、点线、面面位置关系及平面的基本性质得，结合，即可证； （2）延长交于点，连接，结合棱柱、棱锥的体积公式求体积比； （3）作，连接，由线面垂直的判定及性质、二面角的定义有为二面角的平面角，最后结合已知求其正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 延长交于点，连接，为四棱柱， 所以为三棱柱，易知， 因为为的中点，，所以，， 所以， 因为分别是的中点， 所以， 所以，即四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比为. 【小问3详解】 由（1）知平面为平面，作，连接， 因为平面，平面，所以 因为，且都在平面内， 所以平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，即所求锐二面角的平面角， 因为分别为的中点，，所以，， 因为，所以，则，所以， 所求锐二面角的平面角的正切值为. 19. （1）已知的三个内角的对边分别为. ①若，求的面积. ②记，求证：. （2）在平面四边形中，，记，求证：四边形的面积. 【答案】（1）①；②证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）①应用余弦定理及平方关系得，再由三角形面积公式求面积；②由三角形面积公式、平方关系及余弦定理，得，进而整理化简即可证； （2）设则，结合三角形面积公式、余弦定理，整理得，结合已知有，进而化简整理即可证. 【详解】（1）①，则， 所以； ②证明： . （2）设则， ，又， ， 综上，， 且， 所以， ， 由的确定性，当，即时，有最大值， 即四边形有外接圆时，四边形的面积最大. ，则 ， ， ， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 丽水市2024学年第二学期普通高中教学质量监控 高一数学试题卷 （2025.06） 本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上. 2．答题时，请按照答题卷上“注意事项”的要求，在答题卷相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若，是第二象限的角，则的值等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 有一组样本数据：，，，，，，，，则下列关于该组数据的数字特征中，数值最大的为（ ） A. 中位数 B. 平均数 C. 极差 D. 众数 4. 要得到函数的图象，只要把函数的图象（ ） A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位 5. 已知m，n表示两条不同直线，表示平面，下列说法正确的是 A. 若则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知的三个内角的对边分别为，，，，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 某班级有30名男生和20名女生，现调查学生周末在家学习时长（单位：小时），得到男生样本数据的平均值为8，方差为2，女生样本数据的平均值为10.5，方差为0.75，则该班级全体学生周末在家学习时长的平均值和方差的值分别是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若方程在上恰有两个不同的实根，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知复数，下列选项正确的是（ ） A. 与互为共轭复数 B. C. D. 10. 甲乙两个质地均匀且完全一样的骰子，同时抛掷这两个骰子一次，记事件为“两个骰子朝上一面的数字之和为奇数”，事件为“甲骰子朝上一面的数字为奇数”，事件为“乙骰子朝上一面的数字为偶数”，则（ ） A. 事件、是相互独立事件 B. 事件、是互斥事件 C. D. 11. 已知正方体的棱长为1，P是空间中任意一点，下列命题正确的有（ ） A. 若P为棱中点，则异面直线AP与CD所成角的正切值为； B. 若P在线段A1B上运动，则的最小值为； C. 若p在半圆弧上运动，当三棱锥体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 D. 若过点P的平面与正方体每条棱所成角相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知向量，则向量在向量方向上的投影向量为_______. 13. 甲乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9.现两人各射击一次，恰好有一人中靶的概率为__________． 14. 过重心的直线与边交于点，且，直线将分成两部分，分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，的最大值为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 某校为促进学生对数学文化的认识，举办了相关竞赛，从所有答卷中随机抽取份作为样本，发现得分均在区间内现将个样本数据按，，，，，分成组，得到如下频率分布直方图． （1）求出频率分布直方图中的值； （2）请估计样本数据的众数和平均数； （3）学校决定奖励成绩排名前20%的学生，学生甲的成绩是分，请判断学生甲能否得到奖励，并说明理由． 16. 已知函数． （1）求的最小正周期及对称中心； （2）若，求的取值范围. 17. 如图，在三棱锥中，平面平面，为等边三角形，且，，分别为，的中点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 如图，四棱柱中，底面，四边形为梯形，，且，过三点的平面记为，与的交点为. （1）证明：为的中点； （2）求此四棱柱被平面所分成上下两部分的体积之比； （3）若，梯形的面积为，求平面与底面所成锐二面角的正切值. 19. （1）已知的三个内角的对边分别为. ①若，求的面积. ②记，求证：. （2）在平面四边形中，，记，求证：四边形的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $