精品解析：山东省乐陵市2024-2025年学年八年级下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中质量检测八年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 亲爱的同学们： 打开试卷的同时，你半个学期辛勤努力即将会有一番见证．望你沉着冷静，耐心思考，勇敢接受挑战，争取考出自己的最佳水平！ 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确得选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分． 1. 下列式子中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，正确理解定义是解题的关键．根据二次根式的定义，需满足两个条件：①根指数为2；②被开方数非负． 【详解】解：选项A：，被开方数为（负数），不符合条件②，排除，故本选项不符合题意． 选项B：，根指数为2（默认省略），被开方数为正数，满足①②，是二次根式，故本选项符合题意． 选项C：，根指数为3，不符合条件①，排除，故本选项不符合题意． 选项D：，若则为二次根式，但题目未限定的范围，无法确定，排除，故本选项不符合题意． 故选：B 2. 等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求出即可． 【详解】∵一个等腰直角三角形的直角边长为2， ∴该直角三角形的斜边长是：. 故选B. 【点睛】考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用等腰直角三角形的性质是解题关键． 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 利用二次根式的加减法则逐项判断即可． 【详解】解：A．，故A错误； B．，，故B错误； C．，故C错误； D．，正确． 故选D． 4. 在中，连接，已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质和平行线的性质，解题的关键是熟记性质并熟练运用．首先得到，然后得到，进而求解即可． 【详解】∵在中， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 5. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查菱形、矩形、正方形的性质，熟记菱形、矩形、正方形的性质是解决问题的关键．根据菱形、矩形、正方形的性质逐项验证即可得到答案． 【详解】解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意； D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意； 故选：C． 6. 使式子有意义的所有整数的和是（　　） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，要使式子有意义，需满足分母不为零且根号内非负，求出x的取值范围，再找出所有整数并求和即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得：， ∴满足条件的整数为、、、、， ∴， 即所有整数的和为， 故选：C． 7. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理即可得到AB，BC，AC的长度，进行判断即可． 【详解】解：连接AC，如图： 根据勾股定理可以得到：AC=BC=，AB=． ∵（）2+（）2=（）2． ∴AC2+BC2=AB2． ∴△ABC是等腰直角三角形． ∴∠ABC=45°． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握其性质是解题的关键． 8. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.4 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】先证四边形是矩形，得，要使最小，只要最小即可，再根据垂线段最短和三角形面积求出即可． 【详解】解：连接，如图： ，，， 四边形是矩形， ， 要使最小，只要最小即可， 当时，最短， ，，， ， 的面积， ， 即， 故选：C． 【点睛】本题利用了矩形的性质和判定、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解此题的关键． 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出，，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 10. 如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，设交于点H，正方形边长为，由作图知，，垂直平分，得到，，由勾股定理得到，证明，推出，推出，得到，即得． 【详解】连接，设交于点H，正方形边长为， 由作图知，，垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形和线段垂直平分线综合．熟练掌握正方形性质，线段垂直平分线性质，勾股定理解直角三角形，平行线分线段成比例定理，梯形中位线性质，是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 计算：的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】按照同级运算从左到右的顺序，结合二次根式的乘除运算法则计算即可． 【详解】解： ． 12. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，根据中点得到，结合即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，， ∵点C是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，根据菱形的性质求出对角线的长度，再根据菱形的面积计算公式计算即可求解，掌握菱形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，所得四边形的对角线互相垂直且平分， ∴得到的新的四边形为菱形，其边长，为对角线的一半， ∵，， ∴， ∴菱形的对角线长分别为和， ∴它的面积为， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），对角线PM与ON交于点B，则点B的坐标为_____． 【答案】（4，2）． 【解析】 【分析】由菱形的性质再结合勾股定理可求OM的长，则点M的坐标可求出，因为点B是PM中点，进而可求出点B的坐标． 【详解】∵顶点P的坐标是（3，4）， ∴OP==5， ∵四边形MNPO是菱形， ∴OP=OM=5， ∴点M坐标（5，0）， ∵PB=BM， ∴点B的横坐标==4，纵坐标==2， ∴点B（4，2）． 故答案为（4，2）． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理的运用，正确求出点M的坐标是解题关键． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，与y轴相交于G，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于a的方程，求出a的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解∶设正方形的边长为a，与y轴相交于G， 则四边形是矩形， ∴，，， ∵折叠， ∴，， ∵点A的坐标为，点F的坐标为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴点E的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，坐标与图形，矩形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理等知识，利用勾股定理求出正方形的边长是解题的关键． 16. 如图，正方形中，点E是上一点，点F在的延长线上，且，连接，，，其中，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若为的中点，则． 其中正确的结论是___________（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 先根据正方形的性质证明，可得，进而说明①；再根据得关系判断②；根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式判断③；仿照③解答④即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，则①正确； ∵，，且， ∴和不能全等，则②不正确； ∵， ∴，， 根据勾股定理，得， ∴，则③正确； ∵点E是的中点，令， ∴，， 根据勾股定理，得，， ∴， ∴，则④正确． ∴正确的有①③④． 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17. 计算下列各题： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， （1）先去括号，再化简，并合并同类二次根式即可； （2）根据二次根式的乘除法法则计算，再计算二次根式的加减． 【小问1详解】 解：原式， ， ； 【小问2详解】 解：原式， ， ． 18. 在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了网格作图，根据题干要求，逐个作图，即可作答． 【详解】解：∵要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等， ∴如下图所示： 19. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 【答案】（1）是直角三角形，理由见详解 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的运用，理解图示，掌握勾股定理的计算是解题的关键． （1）运用勾股定理逆定理判定即可； （2）运用勾股定理可得，运用等面积法可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：是直角三角形，理由如下， 已知，，， ∵，即， ∴是直角三角形； 【小问2详解】 解：， ∴， 如图所示，过点作于点， 由（1）得，是直角三角形， ∴， ∴， ∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为． 20. 如图，在中，已知． （1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，猜想四边形的形状，并给予证明． （3）若四边形的对角线，求四边形底边上的高． 【答案】（1）图见解析 （2）四边形ABEF是菱形，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形、菱形的判定与性质及尺规作图，解题关键是利用平行四边形性质和角平分线等条件判定菱形，再结合菱形面积公式求解． （1）利用尺规作的平分线交于点，在上截取，再连接即可； （2）利用角平分线的定义和平行四边形的性质得到，根据等角对等边得出，结合得到，再利用菱形的判定即可得出结论． （3）先根据菱形性质得对角线垂直且平分，用勾股定理算出长度，再依据菱形面积的计算方法，列等式求出底边上的高． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：四边形是菱形 理由如下： 四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， 由（1）得：， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：过F作． 四边形是菱形，， ， ， ， ． 21. 阅读理解：学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：计算：．甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答： 设，两边平方，得， 即， ， ． ， ． 【学以致用】计算： 【类比探究】请你参考上述方法，计算：． 【类比迁移】已知，求的值． 【答案】学以致用：；类比探究：；类比迁移： 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题关键是理解并熟练运用已知条件中的解题方法． 学以致用：设，再两边同时平方，利用完全平方公式计算出的值，再求出x，从而进行解答即可． 类比探究：设，再两边同时平方，利用完全平方公式计算出的值，再求出x，从而进行解答即可． 类比迁移：运用平方差公式得，可求出． 【详解】解：学以致用：设， 两边平方，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 类比探究：解：设， 两边平方，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ； 类比迁移： ． ． 22. 【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 【答案】（1）见解析；（2）垂直且相等，理由见解析；（3）7 【解析】 【分析】（1）小明的方法：证明，得，；再证明四边形是平行四边形，则，，从而得结论； 小华的方法：，得；再证明四边形是平行四边形，得，从而得，，则得四边形是平行四边形，则，从而得结论； （2）相等时，则可得四边形是菱形，垂直时得四边形是矩形，从而是正方形； （3）连接并延长交的延长线于点G，证明，则，，得是中位线，则由三角形中位线定理可求得结果． 【详解】证明：（1）小明的方法：如图，过点C作的平行线交的延长线于点F． 则； 点是的中点， ； ， ， ，； ； 点是的中点， ； ； ， 四边形是平行四边形， ，， ，； 小华的方法：如图，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M．则； 点是的中点， ； ， ； 即； 点是的中点， ； 即； ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ； （2）解：相等且垂直时，四边形是正方形； ∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ∴， ， ， 即四边形是菱形； ∵点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点， ，； ，， ； ， ， ∴四边形是正方形； （3）解：如图，连接并延长交的延长线于点G； ， ； 分别为的中点， ， ， ，， 即F点是的中点， ∵点E是的中点， 是中位线， ， ． 故答案为：7． 【点睛】本题是三角形与四边形的综合，考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，构造全等三角形是本题的关键． 23. 【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 【答案】解决问题：①5；② 延伸应用：①；②是等腰直角三角形，理由见解析 迁移拓展： 【解析】 【分析】本题考查几何变换综合应用，涉及三角形三边的关系，勾股定理等知识，解题的关键是读懂题意，利用数形结合思想解决问题． 解决问题：①利用两点之间的距离公式求解即可；②点关于轴的对称点为，连接，的长即为的最小值，再利用两点之间的距离公式求解即可； 延伸应用：①求得点关于轴的对称点为，再利用两点之间的距离公式求解即可；②利用两点之间的距离公式求得各边的长即可判断； 迁移拓展：当点和点在同一直线上时，的值最大，最大值为的长，利用两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：解决问题 ①已知，，则线段； ②点关于轴的对称点为，连接，此时的值最小，最小值为的长， ∴； 延伸应用 ①表示到点的距离， 表示到点的距离， 点关于轴的对称点为， ∴的最小值； ②是等腰直角三角形，理由如下； ∵，，， ∴， ， ， ∵，， ∴，， ∴是等腰直角三角形； 迁移拓展 根据题意当点和点在同一直线上时，的值最大， 最大值为的长， ． 24. 四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）线段的长为4或12 【解析】 【分析】（1）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上截取，连接，同理，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质证明，再分当在线段上和当在延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：在上截取，连接． 则， 是等腰直角三角形， ，则，，， ， ； （3），则是等腰直角三角形， ， ， ， ； 当在线段上时， ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上，线段的长为4或12． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中质量检测八年级数学试题 （满分150分，时间120分钟） 亲爱的同学们： 打开试卷的同时，你半个学期辛勤努力即将会有一番见证．望你沉着冷静，耐心思考，勇敢接受挑战，争取考出自己的最佳水平！ 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确得选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出得答案超过一个均记零分． 1. 下列式子中，是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 等腰直角三角形的直角边为2，则斜边的长为（ ） A. B. 2 C. 1 D. 2 3. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 在中，连接，已知，则（　　） A. B. C. D. 5. 菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ） A. 对角线相等 B. 对角线互相垂直 C. 对角线互相平分 D. 一条对角线平分一组内角 6. 使式子有意义的所有整数的和是（　　） A. B. C. 0 D. 1 7. 如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ） A. 90° B. 60° C. 45° D. 30° 8. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，连接，则的最小值为（　　） A. 1.5 B. 2 C. 2.4 D. 2.5 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 如图，在正方形中，分别以点A和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点和，作直线，再以点A为圆心，以的长为半径作弧交直线于点（点在正方形内部），连接并延长交于点．若，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，共24分） 11. 计算：的值为______． 12. 如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升到D，则橡皮筋被拉长了______． 13. 如图，将一张矩形纸片对折再对折，然后沿图中的虚线剪下，已知 ，再将剪下的纸片展开，则得到一个新的四边形，它的面积是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），对角线PM与ON交于点B，则点B的坐标为_____． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴上，点A的坐标为，点E在边上．将沿折叠，点C落在点F处．若点F的坐标为，则点E的坐标为___________． 16. 如图，正方形中，点E是上一点，点F在的延长线上，且，连接，，，其中，下列结论： ①； ②； ③若，则； ④若为的中点，则． 其中正确的结论是___________（填写所有正确结论的序号）． 三、解答题（本大题共8小题，共86分） 17. 计算下列各题： （1）； （2） 18. 在的正方形网格中（小正方形的边长1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与或都不平行，所画三角形都不全等，请画出四种符合条件的三角形． 19. 如图1是某超市的购物车，如图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径． （1）判断的形状，并说明理由． （2）若购物车上篮子的左边缘D与点A的距离，，且，和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘D到地面的距离． 20. 如图，在中，已知． （1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，猜想四边形的形状，并给予证明． （3）若四边形的对角线，求四边形底边上的高． 21. 阅读理解：学习完二次根式后，杨老师给甲同学出了这样一道思考题：计算：．甲同学认真分析了式子的结构，做出如下解答： 设，两边平方，得， 即， ， ． ， ． 【学以致用】计算： 【类比探究】请你参考上述方法，计算：． 【类比迁移】已知，求的值． 22. 【阅读教材】已知：如图1，在中，D、E分别是边的中点（即是的中位线）．求证：且． 【问题探究】（1）小明和小华同学在学习探究三角形的中位线的性质定理的时候，分别采用了不同添加辅助线的办法来探究，请你认真审题后选择其中一种方法，完成证明． 小明：我的方法是如图2，过点C作的平行线交的延长线于点F． 小华：我的方法是如图3，过点E作的平行线交于点N，过点A作的平行线交的延长线于点M． 【知识应用】（2）如图4，点E、F、G、H分别是四边形各边上的中点，顺次连接各边中点，得到四边形．请探究四边形对角线满足什么关系时，四边形是正方形？并说明理由． 【拓展应用】（3）如图5，在四边形中，，，E，F分别为的中点，若线段，，则__________． 23. 【阅读思考】请阅读下列材料，并完成相应的任务，如图，点，点，以为斜边作与坐标轴平行的线构成，则，所以，反之，可将代数式的值看作点到点的距离． 【解决问题】 ①已知，，则线段___________； ②已知点，在轴上找一点，使得的值最小，请直接写出这个最小值是___________． 【延伸应用】 ①代数式的最小值___________ ②已知，，，判断的形状，并说明理由． 【迁移拓展】已知点，在轴上找一点，使得的值最大，请直接写出这个最大值是___________． 24. 四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $