精品解析：浙江省宁波市宁海县2022年自主招生考试数学试题

浙江省宁波市宁海县2022年自主招生考试数学试题 一、选择题（每题5分，30分） 1. 若对任何实数x，不等式都成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式，求不等式的解集，绝对值的几何意义，将原式化简为绝对值表的形式，根据绝对值的几何意义并求其最小值，进而确定参数a的取值范围． 【详解】解： ， 由绝对值的几何意义可得，表示的是数轴上表示数的点到表示数和数的两个点的距离之和， ∴当，有最小值，最小值为，则此时 ∵若对任何实数x，不等式都成立， ∴的最小值要大于等于， ∴， 故选：B． 2. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：根据含30°角所对的直角边等于斜边一半，然后依次判断直角三角形中能否找到一个角等于30°，从而判断出答案． 试题解析：设正方形的边长为a， 在图①中，CE=ED=a，BC=DB=a， 故∠EBC=∠CEB≠30°，故△ECB，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图②中，BC=a，AC=AE=a， 故∠BAC=30°， 从而可得∠CAD=∠EAD=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图③中，AC=a，AB=a， 故∠ABC=∠DBC≠30°，故不能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 在图④中，AE=a，AB=AD=a， 故∠ABE=30°，∠EAB=60°， 从而可得∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=30°，故能满足它的一条直角边等于斜边的一半． 综上可得有2个满足条件． 故选C． 考点：翻折变换（折叠问题）． 3. 已知 则 的最小值是（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】构造一元二次方程，利用根与系数关系定理，构造二次函数，利用函数增减性，求最值解答即可． 【详解】解：∵，，且， ∴a，b是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴，，， ∴ ∵， ∴抛物线开口向上， ∴有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵， ∴时，有最小值，且为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的构造，根与系数关系定理，二次函数的增减性，二次函数的最值，熟练掌握构造方程，构造二次函数是解题的关键． 4. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ A. 112.5° B. 105° C. 90° D. 82.5° 【答案】B 【解析】 【分析】如图，作辅助线，构建全等三角形，证明△AEC≌△CFH，得CE＝FH，将CE转化为FH，与BF在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点F的位置，即F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，求出此时∠AFB＝105°． 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH， ∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC， ∴AC＝BC，∠DAC＝30°， ∴AC＝CH， ∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°， ∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°， ∴∠DAC＝∠ACH＝30°， ∵AE＝CF， ∴△AEC≌△CFH， ∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH， ∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小， 此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°， ∴∠AFB＝105°， 故选B． 【点睛】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当BF+CE取得最小值时确定点F的位置，有难度． 5. 如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查代数式的运算与等式推导，解题的关键是通过对已知条件进行变形、运算来推导结论． 由已知条件，，，通过代数推导和构造特例验证各结论是否成立． 【详解】（1）由和，结合，可构造，或，．此时，故结论（1）恒成立． （2）将代入，若，，则；若，，则．因此结论（2）恒成立． （3）取，，，，满足已知条件，但，故结论（3）不一定成立． 综上，结论（1）和（2）一定成立，正确命题个数为2， 故选C． 6. 若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，坐标与图形，解直角三角形的相关计算，解题的关键是熟练掌握三角函数定义．分三种情况讨论：当过点P的直线与过点Q的直线平行，与过点R的直线和过点S的直线垂直时，当过点P的直线与过点R的直线平行，与过点Q的直线和过点S的直线垂直时，当过点P的直线与过点S的直线平行，与过点Q的直线和过点R的直线垂直时，分别求出结果即可． 【详解】解：∵过点作四条直线构成一个正方形， ∴过点P的直线，必和过Q、R、S的直线中的一条直线平行，与另外两条直线垂直， 当过点P的直线与过点Q的直线平行，与过点R的直线和过点S的直线垂直时，如图1所示： 过点C作x轴的平行线交直线于点M，交直线于点N， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 在中，，，， 根据勾股定理得： ∴， ， ∵， ∴， ∴ ； 当过点P的直线与过点R的直线平行，与过点Q的直线和过点S的直线垂直时，，， 同理可得：， ∴， ； 当过点P的直线与过点S的直线平行，与过点Q的直线和过点R的直线垂直时，，， 同理可得：， ∴， ； 综上分析可知：该正方形的面积不可能为． 故选：A． 二、填空题（每题5分，共30分） 7. 如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明，此为解题的关键性结论；运用的周长为，求出的长，即可解决问题． 【详解】解：如图，四边形为平行四边形， ，； 由题意得：，； 的周长为，的周长为， ，， ， 即， ，即； ， 故答案为：． 【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点及其应用问题，解题的方法是准确找出图形中隐含的等量关系；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质、平行四边形的性质等几何知识点来分析、判断、解答． 8. 如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_______cm2． 【答案】8. 【解析】 【分析】先连接AP，CP．把该四边形分解为三角形进行解答．设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．得出AH=CF，AE=CG．然后得出S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP．得到x、y的关系，再利用S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP求解即可. 【详解】连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y． 则△CFP在CF边上的高为4-x，△CGP在CG边上的高为6-y． ∵AH=CF=2，AE=CG=3， ∴S四边形AEPH=S△AHP+S△AEP =AH×x×+AE×y×=2x×+3y×=5， 得到2x+3y=10， S四边形PFCG=S△CGP+S△CFP=CF×（4-x）×+CG×（6-y）×=2（4-x）×+3（6-y）× =（26-2x-3y）×=（26-10）×=8． 【点睛】本题主要考查矩形性质与三角形面积的计算，集体关键在于能够利用割补法表示出不规则四边形的面积. 9. 从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是__________． 【答案】0.25## 【解析】 【详解】解：从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数共有24种情况， 设一元二次方程为ax2+bx+c=0，要使其有根必须b2-4ac≥0， 所以满足构作的一元二次方程有实根的情况数（以此代表a，b，c）有 ①1，3，2；②2，3，1；③1，4，2；④1，4，3；⑤2，4，1；⑥3，4，1共6种， ∴构作的一元二次方程有实根的概率是=0.25． 故答案为： 10. 如图所示，在矩形中，是线段的中点，F是线段上的动点，沿直线翻折到，连结．当最短时，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】当最短时，，，共线，此时，，根据矩形的性质得出，再求得，，然后利用勾股定理求得，再证明，列出比例式，分别求得，， 从而可求得，，进而求得，再利用勾股定理求得，然后求得． 【详解】解：由折叠可知：， ∴在以E为圆心，为半径的圆上， 如图所示,此时最短， 过作于，于， ∵四边形是矩形，，， ∴， ∵是线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的折叠问题，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 11. 已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线标准方程的焦点、准线，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解． 将抛物线化成顶点式，结合抛物线标准方程的焦点及平移规律得到的焦点坐标，正好是题目中的F点，结合图象，当周长最小时，即最小，根据抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，可知当、、处于同一条直线上时，最小，从而得到P点横坐标等于A的横坐标，进而求得P点坐标． 【详解】解：，可看成向右平移1个单位，向上平移3个单位得到， 由抛物线标准方程可得的焦点，准线：， 故抛物线的焦点为即为F点，准线l：， 如图，A、F为定点， 当周长最小时，即最小， F为抛物线焦点，则等于P到准线l的距离， 当、、处于同一条直线上时，最小，此时P的横坐标与A的横坐标相同，为3，代入抛物线得纵坐标，故点P坐标为， 故答案为：． 12. 如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B在⊙C上一动点，的最小值为____________． 【答案】5 【解析】 【分析】在AC上取点P，使∠CBP=∠BAC，可得△CBP∽△CAB，从而得到，根据两点间的距离，可得，可得到 ， ，则有，进而当O、B、P三点共线，且B位于O、P两点之间时，OB+BP有最小值，最小值为OP，然后求出直线AC的解析式为 ，可设 ，从而得到，可得点 ，即可求解． 【详解】解：如图，在AC上取点P，使∠CBP=∠BAC， ∴△CBP∽△CAB， ∴ ， ∵点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0）， ∴ ， ∵⊙C的半径为， ∴, ∴，解得： ， ∴， ∴ ， ∴， ∴当点运动至AC的下方时，OB+BP有最小值， ∵OB+BP≥OP， ∴当O、B、P三点共线，且B位于O、P两点之间时，OB+BP有最小值，最小值为OP， 设直线AC的解析式为 ，把点C（2，5），A（7，0）代入，得： ，解得： ， ∴直线AC的解析式为 ， 可设 ， ∵ ， ∴ ，解得： 或-1（舍去）， ∴ ， ∴点 ， ∴ ∴的最小值为5． 故答案为：5 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，两点间的距离，一次函数的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理，两点间的距离公式是解题的关键． 三、解答题（共5小题，共60分） 13. 如图，是的直径，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，解题关键是利用相似三角形的性质求得相关线段的比． 先根据等弧得到再根据勾股定理求出长，然后证明，列出比例式求解，再求出即可． 【详解】解：如图，连接，，     ∵ ∴ ∵是直径， ∴， ∵， ∴由勾股定理得 ∵ ∴ ∴ 即 14. 我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”． （1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”．求证：AB2+CD2＝BC2+AD2． （2）如图2，E是四边形ABCD内一点，连结AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点O．若∠BEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠1+∠2＝∠3．求证：四边形ABCD为“对垂四边形”． （3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB＝AC，∠ADC＝120°，AD＝3，BC＝DC，求CD的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD为“对垂四边形”， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°， 由勾股定理得，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2； （2）证明：∵∠BAC＝∠BDC，∠AOB＝∠COD， ∴∠3＝∠ACD， ∵∠3＝∠1+∠2，∠ACD＝∠ACE+∠2， ∴∠1＝∠ACE， ∴∠BOC＝∠BEC＝90°， ∴AC⊥BD， ∴四边形ABCD为“对垂四边形”； （3）1 【解析】 【分析】（1）由“对垂四边形”的定义得出AC⊥BD，则∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理可得∠3＝∠ACD，由角的数量关系可得∠1＝∠ACE，可得∠BOC＝∠BEC＝90°，可得结论； （3）过点A作AH⊥DC，交CD延长线于点H，设CD＝x，则BC＝DC＝x，由“对垂四边形”的定义可得AB2＝9+5x2﹣x2＝9+4x2＝AC2，由直角三角形的性质可求DH＝AD＝，AH＝DH＝，由勾股定理可求解． 【详解】（1）略 （2）略 （3）过点A作AH⊥DC，交CD延长线于点H， 设CD＝x，则BC＝DC＝x， ∵四边形ABCD为“对垂四边形”，AD＝3， ∴AB2+CD2＝AD2+BC2， ∴AB2＝9+5x2﹣x2＝9+4x2， ∵AB＝AC， ∴AC2＝9+4x2， ∵∠ADC＝120°， ∴∠ADH＝60°，∠DAH＝30°， ∴DH＝AD＝，AH＝DH＝， ∵AC2＝AH2+CH2， ∴9+4x2＝+（x+）2， ∴x1＝0（舍去），x2＝1， ∴CD的长度1． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了勾股定理、三角形内角和、直角三角形的性质、一元二次方程、等量代换等知识，灵活、综合运用定理，进行相关角的等量代换是解题关键． 15. 在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． （1）①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； （2）在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 【答案】（1）；10 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键． （1）①结合“妙点”的定义以及等边三角形的性质，得出点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故，运用勾股定理算出，再代入进行计算，即可作答． ②充分理解“妙点”的定义，且结合等边三角形的性质，进行作图，分类讨论，即可作答． （2）按照题干要求，逐个情况作图，结合“妙点”的定义，运用数形结合思想进行全面分析，即可作答． 【小问1详解】 解：①依题意， ∵点是边长为4的等边内部一个“妙点”， ∴点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故， 结合三线合一，得， ∴， 则， 故答案为：． ②当点P在三角形内部时，点P是边的垂直平分线的交点，是三角形的外心， 当点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图： 共有9个点符合要求， 则 ∴具有这种性质的点P共有10个． 【小问2详解】 解：依题意，第一种如图1（点在的右边）或图2（点在的左边）， ∵在中，是的一个“妙点”， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 第二种如图3， ∵是的一个“妙点”， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 则 同理得 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∴； 第三种如图4， 与第二种同理，得 ∴； 第四种如图5，． ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 综上：满足题意的的度数分别为． 【点睛】本题考查了新定义，三角形内角和性质，重心的应用，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省宁波市宁海县2022年自主招生考试数学试题 一、选择题（每题5分，30分） 1. 若对任何实数x，不等式都成立，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，将正方形对折后展开（图④是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能够得到一个直角三角形（阴影部分），且它的一条直角边等于斜边的一半，这样的图形有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 已知 则 的最小值是（　　） A. B. 0 C. 3 D. 6 4. 如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝ A. 112.5° B. 105° C. 90° D. 82.5° 5. 如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 7. 如图，在▱中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在上的点处．若的周长为，的周长为，则的长为______． 8. 如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若AB＝4cm，BC＝6cm，AE＝CG＝3cm，BF＝DH＝4cm，四边形AEPH的面积为5cm2，则四边形PFCG的面积为_______cm2． 9. 从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是__________． 10. 如图所示，在矩形中，是线段的中点，F是线段上的动点，沿直线翻折到，连结．当最短时，则_______． 11. 已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是___________． 12. 如图，点C坐标为（2，5），点A的坐标为（7，0），⊙C的半径为，点B在⊙C上一动点，的最小值为____________． 三、解答题（共5小题，共60分） 13. 如图，是的直径，，求的值． 14. 我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做“对垂四边形”． （1）如图1，四边形ABCD为“对垂四边形”．求证：AB2+CD2＝BC2+AD2． （2）如图2，E是四边形ABCD内一点，连结AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点O．若∠BEC＝90°，∠BAC＝∠BDC，∠1+∠2＝∠3．求证：四边形ABCD为“对垂四边形”． （3）如图3，四边形ABCD为“对垂四边形”，AB＝AC，∠ADC＝120°，AD＝3，BC＝DC，求CD的长． 15. 在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． （1）①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； （2）在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $