精品解析：甘肃省平凉市庄浪县集团校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年度第二学期期中考试试卷 八年级数学 一、单选题（共10小题，每小3分，共30分） 1. 在下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 7，12，13 C. 5，9，12 D. 3，4，6 4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ） A. 5 B. 3 C. 2.5 D. 2.4 5. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A AD∥BC，AB＝CD B. AO＝OC，BO＝OD C. AD＝CB，AB∥CD D. ∠A＝∠B，∠C＝∠D 6. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 7. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 8. 如图，菱形，对角线与分别是6，8，于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 9. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线，点E、F分别是边AB、BC中点，点P在AC上运动和过程中，的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题（共8小题，每小4分，共32分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 13. 矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为5cm，则对角线长为_____cm. 14. 如图，在的正方形网格中，____． 15. 如图，数轴上点表示的实数是________． 16. 已知，为实数，且，则值是______． 17. 如图，字母A所代表的正方形面积为____． 18. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 三、解答题（共5小题，共44分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 如图，已知在□ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且，求证：． 22. 在中，，，． （1）求边和的长； （2）求的面积． 23. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形面积． 四、解答题（共5小题，共44分） 24. 如图，点是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段的长． 25. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 26. 观察下列各式： ①； ②； ③． （1）请根据以上规律，写出第4个式子： ． （2）请根据以上规律，写出第n个式子 ； （3）根据以上规律计算下列式子的值：． 27. 如图（1），矩形的边、在坐标轴上，点坐标为，点是射线上的一动点，把矩形沿着折叠，点落在点处； （1）当点、、共线时， ； （2）如图（2），当点与点重合时，与轴交于点，过点作，交于点，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点正好落在轴上，请画出示意图并直接写出点坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期中考试试卷 八年级数学 一、单选题（共10小题，每小3分，共30分） 1. 在下列根式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的概念即可求解，掌握最简二次根式定义是解本题的关键． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； B、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； C、是最简二次根式，故选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故选项不符合题意； 故选：C． 2. 下列式子中运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的乘法计算，化简二次根式，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． 根据二次根式的加减计算，二次根式的乘法运算法则逐选项判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，不符合题意； B．，原式计算错误，不符合题意； C．，原式计算正确，符合题意； D．，原式计算错误，不符合题意； 故选：C． 3. 下列四组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A. 3，4，5 B. 7，12，13 C. 5，9，12 D. 3，4，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形． 【详解】解：A、∵，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故是直角三角形，故正确，符合题意； B、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； C、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； D、∵，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不是直角三角形，故错误，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟知勾股定理的逆定理是解题的关键． 4. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D为斜边AB上的中点，则CD为（ ） A. 5 B. 3 C. 2.5 D. 2.4 【答案】C 【解析】 【分析】先根据勾股定理求得的长度，再根据中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求得． 【详解】∠ACB=90°，AC=4，BC=3， , 点D为斜边AB上的中点, ． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理，中斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键． 5. 在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，下列条件一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　） A. AD∥BC，AB＝CD B. AO＝OC，BO＝OD C. AD＝CB，AB∥CD D. ∠A＝∠B，∠C＝∠D 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形的判定方法分别对各个选项进行判断即可． 【详解】A、由AD∥BC，AB＝CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项A不符合题意； B、∵AO＝OC，BO＝OD， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选项B符合题意； C、由AD＝CB，AB∥CD，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项C不符合题意； D、由∠A＝∠B，∠C＝∠D，不能判定四边形ABCD为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，关键是掌握平行四边形的各种判定方法． 6. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　） A. 对边平行且相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形和矩形的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 对边平行且相等，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意； B. 对角线互相平分，菱形和矩形都具有，故该选项不符合题意； C. 对角线相等，矩形具有而菱形不具有，故该选项不符合题意； D. 对角线互相垂直，菱形具有而矩形不一定具有，故该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质，矩形的性质，解题关键是熟练掌握矩形和菱形的性质定理． 7. 如图所示，一根树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前（　　）米． A. 10m B. 15m C. 18m D. 20m 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，可以知道两直角边的长度，从而构造直角三角形，根据勾股定理就可求出斜边的长． 【详解】解：∵52+122=169， ∴=13， ∴13+5=18（米）． ∴树折断之前有18米． 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用．培养同学们利用数学知识解决实际问题的能力，观察题目的信息是解题以及学好数学的关键． 8. 如图，菱形，对角线与分别是6，8，于点E，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据菱形的性质和勾股定理求得的长，再根据等面积法求解即可． 【详解】解：设对角线、相交于O， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质，会利用等面积法求解是解答的关键． 9. 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 10. 如图，在菱形ABCD中，对角线，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动和过程中，的最小值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，可得此时EP+FP的值最小，最小值为NF，再由菱形的性质证得四边形ANFB是平行四边形，然后根据勾股定理求出AB，即可求解． 【详解】解：设AC交BD于O，作E关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P， ∴PN=PE， ∴PE+PF=PN+PF， ∴此时EP+FP的值最小，最小值为NF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠DAB=∠BCD，AD=AB=BC=CD，OA=OC，OB=OD，， ∵E为AB的中点， ∴N在AD上，且N为AD的中点， ∵， ∴∠ANP=∠CFP，∠NAP=∠FCP， ∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点， ∴AN=CF， ∴， ∴AP=CP， 即P为AC中点， ∵O为AC中点， ∴P、O重合， 即NF过O点， ∵，AN=BF， ∴四边形ANFB是平行四边形， ∴NF=AB， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，BO=BD=4， 由勾股定理得：AB=5，即NF=5， ∴的最小值是5． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小4分，共32分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件得出，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 12. 若最简二次根式与是同类二次根式，则_______. 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式的定义，二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的定义列方程即可求出． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， 解得： ∴． 故答案为：7． 13. 矩形的两条对角线的夹角为60°，较短的边长为5cm，则对角线长为_____cm. 【答案】10 【解析】 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分性质和题中条件易得△AOB为等边三角形，即可得到矩形对角线一半长，进而求解即可． 【详解】解：如图：AB=5cm，∠AOB=60°． ∵四边形ABCD是矩形，AC，BD是对角线． ∴OA=OB=OD=OC=BD=AC． 在△AOB中，OA=OB，∠AOB=60°． ∴OA=OB=AB=5cm， ∴BD=2OB=2×5=10cm． 故答案为10． 【点睛】矩形的两对角线所夹的角为60°，那么对角线的一边和两条对角线的一半组成等边三角形．本题比较简单，根据矩形的性质解答即可． 14. 如图，在的正方形网格中，____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了网格与勾股定理及其逆定理的运用，等腰三角形的性质，理解网格的特点，掌握勾股定理逆定理的运用是解题的关键．连接，运用勾股定理可得，由勾股定理逆定理得到是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∴，，，，， ∵，即，， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 故答案为： ． 15. 如图，数轴上点表示的实数是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键．在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 16. 已知，为实数，且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式组，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 利用二次根式有意义的条件得出一元一次不等式组，解不等式组即可求出a的值，进而得出b的值，然后将、的值代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， ， ， 故答案为：． 17. 如图，字母A所代表的正方形面积为____． 【答案】64 【解析】 【分析】根据正方形的面积等于边长的平方，由正方形PQED的面积和正方形PRQF的面积分别表示出PR的平方及PQ的平方，又三角形PQR为直角三角形，根据勾股定理求出QR的平方，即为所求正方形的面积． 【详解】解：∵正方形PQED的面积等于225， ∴即PQ2=225， ∵正方形PRGF的面积为289， ∴PR2=289， 又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得： PR2=PQ2+QR2， ∴QR2=PR2-PQ2=289-225=64， 则正方形QMNR的面积为64． 故答案为64． 【点睛】此题考查了勾股定理以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 18. 如图，顺次连接任意四边形各边中点，所得的四边形是中点四边形． 下列四个叙述： ①中点四边形一定是平行四边形； ②当四边形是矩形，中点四边形也是矩形； ③当四边形是菱形，中点四边形也是菱形； ④当四边形是正方形，中点四边形也是正方形．其中正确的结论是________（只填代号） 【答案】①④##④① 【解析】 【分析】此题考查了三角形的中位线定理、平行四边形的判定、菱形的判定、矩形的判定与正方形的判定．熟练掌握中位线定理是解题的关键；连接，，根据三角形中位线定理“三角形的中位线等于第三边的一半”，再根据平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，求解即可． 【详解】解：如图，连接，， ，，，分别是四边形各边的中点， ， 四边形是平行四边形；（①正确） 若四边形是矩形， ＝， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形；（②错误） 若四边形是菱形， ， ∵， ， 四边形是矩形，不一定是菱形；（③错误） 四边形是正方形， ＝，， ＝，＝， ＝， 四边形是菱形； ，， ， ， 四边形是正方形．（④正确） 正确的是①④． 故答案为：①④． 三、解答题（共5小题，共44分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可． 【详解】解：原式， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值,二次根式的混合运算．掌握分式的混合运算顺序及运算法则是解题的关键． 21. 如图，已知在□ABCD中，点E在AB上，点F在CD上，且，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质和判定，可以得到四边形DEBF是平行四边形，进而可得． 【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，即， 又∵， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，解题关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 22. 在中，，，． （1）求边和的长； （2）求面积． 【答案】（1）， （2）24 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，求三角形的面积，掌握勾股定理，求三角形的面积是解本题的关键． （1）设，，根据勾股定理列方程求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵， ∴设， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴的面积． 23. 如图，在四边形中，已知，，，，． （1）求证：是直角三角形； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，含角直角三角形的特征，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据直角三角形性质得到，根据跟勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：在中，，，， ， 在中，，， ，即， ，即是直角三角形； 【小问2详解】 在中，，，，， ， 的面积为：， 又的面积为：， 四边形的面积为：． 四、解答题（共5小题，共44分） 24. 如图，点是平行四边形对角线上的两点，且． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若．求线段的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理， （1）如图所示，连接交于O，根据平行四边形的性质得到，再证明，即可证明四边形是平行四边形； （2）利用勾股定理求出，进而求出，则． 【小问1详解】 证明：如图所示，连接交于O， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 25. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）∠BDF＝18°． 【解析】 【分析】（1）先证明四边形ABCD是平行四边形，求出∠ABC=90°，然后根据矩形的判定定理，即可得到结论； （2）求出∠FDC的度数，根据三角形的内角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度数． 【详解】（1）证明：∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC， ∵∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴四边形ABCD矩形； （2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2， ∴∠FDC＝36°， ∵DF⊥AC， ∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴CO＝OD， ∴∠ODC＝∠DCO＝54°， ∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 26. 观察下列各式： ①； ②； ③． （1）请根据以上规律，写出第4个式子： ． （2）请根据以上规律，写出第n个式子 ； （3）根据以上规律计算下列式子的值：． 【答案】（1） （2）（整数） （3）44 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算和分母有理化的应用，发现计算规律，掌握分母有理化和合并同类二次根式是解题的关键． （1）利用题中等式的规律求解； （2）利用题中等式的规律求解； （3）根据（1）中规律去分母，然后合并即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知：第4个式子为： ． 故答案为：． 【小问2详解】 解：第个式子为：（的整数）， 故答案为：（的整数）； 【小问3详解】 解： ． 27. 如图（1），矩形的边、在坐标轴上，点坐标为，点是射线上的一动点，把矩形沿着折叠，点落在点处； （1）当点、、共线时， ； （2）如图（2），当点与点重合时，与轴交于点，过点作，交于点，请判断四边形的形状，并说明理由； （3）若点正好落在轴上，请画出示意图并直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）四边形是菱形，理由见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）由翻折可以得到，根据勾股定理可以求出，点、、共线时，可知； （2）根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，可得结论； （3）分两种情况：①如图，点在轴正半轴上时，在中，，勾股定理得出，进而求得，设，则在中，勾股定理即可求解；②如图，当在轴的负半轴上时，同理可得结论． 【小问1详解】 解：如图1，∵矩形，点坐标为， ，， 由勾股定理得： ， 由折叠得：， 当点、、共线时，， 故答案为：； 【小问2详解】 如图2，四边形是菱形， 理由是：由折叠得：， ， ， 又 ， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∵ 四边形是菱形； 【小问3详解】 分两种情况： ①如图3，点在轴正半轴上时， 在中， ∴， ∴， 设，则， 在中， ∴， 解得：， ∴ ②如图4，当在轴的负半轴上时， 在中，， ∴， ∵折叠， ∴， 设，则， 在中，， ， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的折叠问题，菱形的判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $