精品解析：甘肃省平凉市庄浪县思源实验学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

2023-2024学年第二学期质量监测八年级数学（人教版） （本试题满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，为边延长线上一点，连接，．若的面积为6，则的面积为（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ） A B. C. D. 6. 如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　） A. B. C. 4 D. 2 7. 已知，则的值为（　　） A. B. C. 12 D. 18 8. 如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱形容器底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）． A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 10. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 已知最简二次根式与能合并，则__________． 12. 已知P是直角坐标系内一点，若点P的坐标为 ，则它到原点的距离是_______． 13. 若，且，则的值是_________． 14. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 15. 已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是______． 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接．若，，则的度数为________． 17. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为________． 18. 如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 _____． 三、解答题一（共38分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，顶点A，B，C均在格点上，为格点三角形，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为．此时，点C的坐标为______； （2）判断的形状，并说明理由． 22. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 23. 如图，在中，平分线交边于点，是边上的一点，且，连接．判断四边形的形状，并证明你的结论． 四、解答题二（共50分） 24. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 25. 如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积． 26. 【观察思考】观察下列各式： ； ； ． … 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： （1）______________； （2）根据你观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：_______________； （3）用上述规律计算：． 27. 综合与实践： 【问题背景】： （1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系； 【知识应用】 （2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数； 【解决问题】 （3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：． 28. 综合与探究： 【问题情境】： 如图①，在正方形中，点E为其内部一点，为直角三角形，且，连接，将绕点B按顺时针方向旋转，得到，点E的对应点为点，点A的对应点为点C，延长交于点F． 【提出问题】： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展探究】： （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023-2024学年第二学期质量监测八年级数学（人教版） （本试题满分150分） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 要使分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义和分式有意义的条件，分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．根据二次根式有意义和分式有意义的条件可得，再解不等式即可． 【详解】由题意得：， 解得：， 故选：D． 2. 在中，，，的对边分别为，，，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵在中，，，的对边分别为，，，若， 则为直角三角形，， ， ， 故选：B． 3. 下列各式运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式的加减运算、二次根式的乘法运算等知识点，正确化简二次根式是解题的关键． 利用二次根式的性质、立方根的性质、二次根式的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，故A选项错误，不符合题意； B. ，故B选项错误，不符合题意； C. ，故C选项错误，不符合题意； D. ，故D选项错误，符合题意． 故选D． 4. 如图，在中，为边延长线上一点，连接，．若的面积为6，则的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的面积等于底高解答． 设与之间的距离为，由，根据的面积为6，可推导出，进而解答即可． 【详解】解：设与之间的距离为， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，在数轴上点A，B所表示的数分别为-1，1，CB⊥AB，BC=1，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交数轴于点D（点D在点B的右侧），则点D所表示的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用勾股定理可以求得AC的长，从而可以求得AD的长，进而可以得到点D表示的数． 【详解】解：由题意可得， AB=2，BC=1，AB⊥BC， ∴AC=， ∴AD=， ∴点D表示数为：-1， 故选B. 【点睛】本题考查实数与数轴和勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 6. 如图，在矩形中，，垂直平分于点E，则的长为（　　） A. B. C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由矩形的性质和线段垂直平分线的性质可证是等边三角形，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 7. 已知，则的值为（　　） A. B. C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数是非负数是解题的关键．根据非负性求出的值即可得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得， ， ， ， 故选B． 8. 如图，在正方形中，为上一点，连接，交对角线于点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由“”可证，可得，由三角形内角和定理可求解． 【详解】解：， ， 四边形正方形， ，， 又， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质是解题的关键． 9. 如图，圆柱形容器的底面周长是，高是，在外侧地面S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一苍蝇，急于捕捉苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路线长度是（ ）． A. 18 B. 20 C. 22 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解答此类问题画侧面展开图的时候需要注意物体在容器内侧与外侧的区别．画出圆柱侧面展开图，根据两点之间线段最短确定最短路线，结合勾股定理计算出最短路线即可． 【详解】解：如图，设点D为圆柱形容器上口上的一点，作点F关于点D的对称点，连接，， 根据轴对称可知，， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴当S、E、在同一直线上时，蜘蛛所走的路程最小， 即为蜘蛛所走最短路径， 由题意得：，，， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在菱形中，，．E是边上一动点，过点E分别作于点F，于点G，连接，则的最小值为（　　） A. 2.4 B. 3 C. 4.8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．由菱形的性质和勾股定理，得出，证明四边形是矩形，得到，当时，有最小值，利用三角形面积公式，求出的长，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是菱形，，． ，，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，有最小值， ， ， 的最小值为2.4， 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共32分） 11. 已知最简二次根式与能合并，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】考查的是同类二次根式的定义，根据题意可知二次根式与是同类二次根式，可得到，从而可求得的值． 【详解】最简二次根式与能合并， ， ． 故答案是． 12. 已知P是直角坐标系内一点，若点P的坐标为 ，则它到原点的距离是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，算术平方根的性质．掌握在直角三角形中，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方是解题的关键．根据勾股定理计算即可． 【详解】∵点P的坐标为 ， ∴它到原点的距离是． 故答案为：． 13. 若，且，则的值是_________． 【答案】1或5 【解析】 【分析】根据绝对值和算术平方根的定义得到，再由得到，据此代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 当时，； 当时，， ∴的值是1或5， 故答案为：1或5． 【点睛】本题主要考查了代数式求值，算术平方根，绝对值，正确求出是解题的关键． 14. 如图，点A、B、C分别在边长为1的正方形网格图顶点，则______． 【答案】45° 【解析】 【分析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°． 【详解】解：连接AC， 根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10． ∴AB2=AC2+BC2，AC=BC， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键． 15. 已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是______． 【答案】#### 【解析】 【分析】此题考查勾股定理逆定理的应用，首先根据勾股定理逆定理证明出，然后利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∵地位于，两地的中点处 ∴． 故答案为：． 16. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接并延长至点F，使，连接并延长至点G，使，连接．若，，则的度数为________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线的性质；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由平行四边形的性质和平行线的判定和性质得出答案即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是是中位线， ∴， ∴． 故答案为：35． 17. 如图，直线经过正方形的顶点，分别过该正方形的顶点、作于，于．若，，则的长为________． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，证明是解题关键．利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，然后由即可获得答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：9． 18. 如图，矩形中，，，是对角线上的两个动点，分别从同时出发，相向而行，速度均为，运动时间为秒，若分别是的中点，且，当为顶点的四边形为矩形时，的值为 _____． 【答案】或 【解析】 【分析】如图所示，连接，当为顶点的四边形为矩形时，则四边形的对角线相等，结合分类讨论即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵矩形中，，，分别是的中点， ∴， ∵是上的动点，速度均为，运动时间为秒， ∴， 当为顶点的四边形为矩形时，则， ∴①，解得，； ②，解得，； 综上所述，当为或时，为顶点的四边形为矩形， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查矩形性质，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题一（共38分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化简二次根式，再合并即可； （2）先计算二次根式的乘法运算，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式． 20. 如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本师考查全等三角形判定与性质，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 先由得，再证明，得，，继而得，即可由平行四边形判定定理得出结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． 21. 如图，在中，顶点A，B，C均在格点上，为格点三角形，方格纸中小正方形的边长为1个单位长度． （1）建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点B的坐标为．此时，点C的坐标为______； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2）是直角三角形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查的是建立平面直角坐标系，勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，熟记勾股定理与勾股定理的逆定理的含义是解本题的关键； （1）先建立坐标系，从而可得C的坐标； （2）求出三角形各边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【小问1详解】 解：如图，建立坐标系如下： ∴； 【小问2详解】 由勾股定理得，， ∴ ∴是直角三角形，且． 22. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由（1）及可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 23. 如图，在中，的平分线交边于点，是边上的一点，且，连接．判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】四边形是菱形，证明见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，进而可得，根据角平分线 定义可得，等量代换得出，等角对等边得出，进而证明四边形是平行四边形．根据邻边相等的平行四边形是菱形即可得证． 【详解】解：四边形是菱形．证明如下： 平分， ． 四边形是平行四边形， ． ， ． ． 又， ． 在四边形中，，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的判定定理，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 四、解答题二（共50分） 24. 小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）他应该往回收线8米 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）根据勾股定理求出的长，即可求解； （2）设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接，根据勾股定理求出的长，即可求解． 【小问1详解】 解：由勾股定理得，米， ∴米； 【小问2详解】 解：如图，设风筝沿方向下降12米后到达点F，连接， 由勾股定理得： 米， ∵米， ∴他应该往回收线8米． 25. 如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，设，则，根据矩形周长计算公式得到，解方程得到，则． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∵矩形的周长为16， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 26. 【观察思考】观察下列各式： ； ； ． … 请你根据上述等式提供的信息，解答下列问题： （1）______________； （2）根据你的观察、猜想，写出一个用n（n为正整数）表示的等式：_______________； （3）用上述规律计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了数字类规律探索，二次根式的运算； （1）根据所给算式可直接得出答案； （2）根据所给算式得出一般性规律即可； （3）将被开方数变形，然后利用（2）中规律进行计算． 【小问1详解】 解：由所给算式可得， 故答案为：； 【小问2详解】 由所给算式可得， 故答案为：； 【小问3详解】 ． 27. 综合与实践： 【问题背景】： （1）三角形中位线定理：如图①，在中，点D，E分别是边，的中点．请直接写出中位线和第三条边的位置关系和数量关系； 【知识应用】 （2）如图②，在四边形中，点E，F分别是边，的中点，若，， ，，求的度数； 【解决问题】 （3）如图③，在四边形中，点M，N分别为边，的中点，对角线与相交于点E，连接，分别交，于点F，G，．求证：． 【答案】（1），；（2）；（3）证明见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线的性质是解题的关键． （1）、根据三角形中位线定理即可得到结论； （2）、连接，根据三角形中位线定理得到，，根据勾股定理的逆定理得到，计算即可； （3）、取的中点，连接、，则、分别是、的中位线，由中位线的性质定理可得且，且，根据等腰三角形的性质即可得结论． 【详解】（1）解：，； （2）解：连接，如图所示， ∵点E，F分别是边，的中点， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴； （3）证明：取的中点H，连接，． ∵M，H分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴且， 同理可得且． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 28. 综合与探究： 【问题情境】： 如图①，在正方形中，点E为其内部一点，为直角三角形，且，连接，将绕点B按顺时针方向旋转，得到，点E对应点为点，点A的对应点为点C，延长交于点F． 【提出问题】： （1）试判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展探究】： （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）四边形是正方形，理由见解析；（2），证明见解析； 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形； （2）过点D作于H，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论． 【详解】解：（1）四边形是正方形． 理由如下： ∵是由绕点B按顺时针方向旋转90°得到的， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转可知：， ∴四边形是正方形； （2）． 证明：如图②，过点D作于点H， 则，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 由旋转可知：， 由（1）可知：四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $