甘肃兰州市城关区云麓山学校2025-2026学年八年级（下）期中数学试卷

2025-2026学年甘肃省兰州市城关区云麓山学校八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（3分×11题） 1．（3分）纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）若一个多边形的外角和是它的内角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 3．（3分）小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD＝55°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 4．（3分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝2∠B＝3∠C C．∠A﹣∠B＝∠C D．AB：BC：AC＝5：12：13 5．（3分）若实数a、b满足a＜b，则下列式子成立的是（　　） A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣a＜﹣b C． D．a2＜b2 6．（3分）如图，在△ABC中，BC＝9cm．将△ABC沿BC所在直线向右平移，当点E在点C左侧时，连接AD，则平移的距离是（　　） A．12cm B．9cm C．6cm D．15cm 7．（3分）2025年U20亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行24场比赛，平一场得1分，负一场得0分，负2场，积分超过了48分，则下列不等关系正确的是（　　） A．3x+（20﹣x）＞48 B．3x+（18﹣x）＞48 C．3x+（20﹣x）≥48 D．3x+（18﹣x）≥48 8．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都是60° 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上△DAC：S△ABC＝1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 10．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜3的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜3 D．x＞3 11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，B（2，1），将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形CO1A1B1绕着点B1顺时针旋转90°得到矩形C1O2A2B1，按此方式依次进行，则点A7的坐标为（　　） A．（11，0） B．（12，1） C．（14，2） D．（15，2） 一、选择题（3分×11题） 12．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设　 　 ． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（a，﹣5）与点B（2，b），则ab的值为　 　 ． 14．（3分）已知关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解有4个，则m的取值范围是 　 　 ． 15．（3分）正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 　 　 ． 三、解答题（共75分） 16．（4分）解不等式． 17．（5分）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 18．（6分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10° 19．（5分）已知：如图△ABC与△BDE都是等边三角形，点E、B、C在一条直线上，连接DC、EA．求证：AE＝DC． 在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下： （1）请问老师的提示中①是　 　 ，②是　 　 ． （2）请根据以上思路写出完整的证明过程． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为点D，交AC于点E （1）若∠A＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 21．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系 （1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1． （2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2． （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 　 　 ． 22．（8分）根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元？ 任务二 若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6 24．（7分）某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒a元； 方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费），方案一、二的总费用分别为y1元，y2元，且y1，y2关于x的函数图象分别对应直线l1，l2，如图所示． （1）求a的值及y1关于x的函数解析式； （2）求y2关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 25．（8分）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb＝a+2b；当a＜b时（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5 （1）填空：（﹣4）Δ3＝　 　 ；（直接写出结果） （2）已知（2x﹣4）Δ2＞1，求x的取值范围． 26．（12分）【发现问题】 如图①，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PC＝4，求PB的长． 小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD．根据∠APC＝150°，进而可求得PB的长． （1）在图①中，∠PDB＝　 　 ，PB＝　 　 ； 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的过程，解决下面问题： 如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P在△ABC内，且PA＝1，，； 【灵活运用】 （3）如图③，某公园要建一个四边形花园ABCD，连接AC，∠ABD＝90°，m，DC＝9m，并将AC修建成观赏栈道，为保证观赏效果（AC的宽度不计），当AC的长度最大时，求此时种植郁金香的面积． 2025-2026学年甘肃省兰州市城关区云麓山学校八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（3分×11题） 1．（3分）纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若直线两旁的图形能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转180°，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【解答】解：根据中心对称图形和轴对称定义逐项分析判断如下： A、图形是轴对称图形，则A不符合题意； B、图形既是轴对称图形，则B符合题意； C、图形是轴对称图形，则C不符合题意； D、图形不是轴对称图形，则D不符合题意； 故选：B． 2．（3分）若一个多边形的外角和是它的内角和的2倍，则这个多边形是（　　） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列出方程，然后求解即可． 【解答】解：设它的边数是n，根据题意得， 2（n﹣2）•180°＝360°， 解得n＝6， ∴这个多边形是三角形． 故选：A． 3．（3分）小温将含30°角的直角三角板与一直尺按如图所示放置，若测得∠AFD＝55°，则∠ABC的度数为（　　） A．15° B．25° C．30° D．35° 【分析】由BC∥FD可得∠AEC＝∠AFD＝55°，再由外角的定义可得∠ABC＝∠AEC﹣30°＝25°． 【解答】解：∵BC∥FD， ∴∠AEC＝∠AFD＝55°， 又∵∠AEC是三角形ABE的外角，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠AEC﹣30°＝55°﹣30°＝25°． 故选：B． 4．（3分）具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A＝2∠B＝3∠C C．∠A﹣∠B＝∠C D．AB：BC：AC＝5：12：13 【分析】根据∠A+∠B＝∠C得到∠C＝90°，得到具备条件A的△ABC是直角三角形；根据三角形内角和等于180°，∠A＝2∠B＝3∠C，得到，得到具备条件B的△ABC不是直角三角形；根据∠A﹣∠B＝∠C，得到∠A＝90°，得到具备条件C的△ABC是直角三角形；根据AB：BC：AC＝5：12：13，设AB＝5k，BC＝12k，AC＝13k，根据勾股定理的逆定理，得到具备条件D的△ABC是直角三角形． 【解答】解：A、由∠A+∠B＝∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠C＝90°，所以此选项正确； B、由∠A＝2∠B＝3∠C，∠B＝4k， 根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°， 解得，最大角，所以此选项错误； C、由∠A﹣∠B＝∠C及∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A＝90°，所以此选项正确； D、由AB：BC：AC＝5：12：13，BC＝12k， ∴AB2+BC3＝25k2+144k2＝169k8，AC2＝169k2，故AB7+BC2＝AC2，△ABC是直角三角形，所以此选项正确． 故选：B． 5．（3分）若实数a、b满足a＜b，则下列式子成立的是（　　） A．a﹣1＜b﹣1 B．﹣a＜﹣b C． D．a2＜b2 【分析】利用不等式性质判断，结合举反例排除错误选项，即可得到结果． 【解答】解：A、不等式的两边同减去同一个数，故A符合题意； B、不等式的两边同时乘以同一个负数，故B不符合题意； C．举反例：取a＝﹣3，满足a＜b＞1； D．举反例：取a＝﹣7，满足a＜b2＞b2，故D不符合题意． 故选：A． 6．（3分）如图，在△ABC中，BC＝9cm．将△ABC沿BC所在直线向右平移，当点E在点C左侧时，连接AD，则平移的距离是（　　） A．12cm B．9cm C．6cm D．15cm 【分析】根据平移的性质，结合图形，可得BE＝AD，再根据AD＝2CE，可得BC与EC得关系，即可解答． 【解答】解：将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF， ∴当点E在点C左侧时，BE即为平移的距离， ∴B E＝A D， ∵AD＝2CE， ∴， ∵BC＝BE+EC＝9cm， ∴BE＝6cm， 故选：C． 7．（3分）2025年U20亚洲杯足球又掀起了一股足球热，某市组织一场业余足球联赛，每一支队伍需要进行24场比赛，平一场得1分，负一场得0分，负2场，积分超过了48分，则下列不等关系正确的是（　　） A．3x+（20﹣x）＞48 B．3x+（18﹣x）＞48 C．3x+（20﹣x）≥48 D．3x+（18﹣x）≥48 【分析】设该球队前20场比赛中胜了x场，由负一场，可知平了（18﹣x）场，根据积分超过了48分，列出不等式即可． 【解答】解：根据题意，得3x+（18﹣x）＞48． 故选：B． 8．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（　　） A．等腰三角形的两个底角相等 B．内错角相等，两直线平行 C．对顶角相等 D．等边三角形的三个角都是60° 【分析】由平行线的性质，等腰三角形的判定，等边三角形的判定，对顶角的定义，即可判断． 【解答】解：A、有两个角相等的三角形是等腰三角形是真命题； B、两直线平行，故B不符合题意； C、相等的角是对顶角是假命题； D、三个角都是60度的三角形是等边三角形是真命题． 故选：C． 9．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，大于MN的长为半径画弧，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是（　　） ①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC＝60°；③点D在AB的中垂线上△DAC：S△ABC＝1：3． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的角平分线； ②利用角平分线的定义可以推知∠CAD＝30°，则由直角三角形的性质来求∠ADC的度数； ③利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由线段的垂直平分线的性质可以证明点D在AB的中垂线上； ④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比． 【解答】解：①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线． 故①正确； ②如图，∵在△ABC中，∠B＝30°， ∴∠CAB＝60°． 又∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠1＝∠2＝∠CAB＝30°， ∴∠3＝90°﹣∠3＝60°，即∠ADC＝60°． 故②正确； ③∵∠1＝∠B＝30°， ∴AD＝BD， ∴点D在AB的中垂线上． 故③正确； ④∵如图，在直角△ACD中， ∴CD＝AD， ∴BC＝CD+BD＝AD+AD＝，S△DAC＝AC•CD＝． ∴S△ABC＝AC•BC＝AD＝， ∴S△DAC：S△ABC＝AC•AD：． 故④正确． 综上所述，正确的结论是：①②③④． 故选：D． 10．（3分）已知一次函数y＝kx+b的图象如图所示，则不等式kx+b＜3的解集为（　　） A．x＞﹣1 B．x＜﹣1 C．x＜3 D．x＞3 【分析】根据函数图象即可求解． 【解答】解：由函数图象可知，当x＞﹣1时， ∴不等式kx+b＜3的解集为x＞﹣8， 故选：A． 11．（3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC，B（2，1），将矩形OABC绕着点C顺时针旋转90°得到矩形CO1A1B1，再将矩形CO1A1B1绕着点B1顺时针旋转90°得到矩形C1O2A2B1，按此方式依次进行，则点A7的坐标为（　　） A．（11，0） B．（12，1） C．（14，2） D．（15，2） 【分析】根据旋转依次找出所求点的对应坐标，分析得到规律即可找到其相应的坐标． 【解答】解：∵B（2，1）， ∴在矩形OABC中，A（8，AB＝OC＝2， ∵第一次将矩形OABC绕右下角顶点C顺时针旋转90°得到矩形O1A2B1C，且A1O3＝AO＝1，O1C＝OC＝3， 第二次再将矩形O1A1B5C绕右下角顶点B1顺时针旋转90°得到矩形O2A8B1C1，且B8O＝CO+B1C＝3， …， 然后再重复以上过程，旋转8次一个循环，点A的对应点横坐标增加6个单位，0，7， ∴依此规律，A1（3，5），A2（5，7），A3（6，4），A4（9，2），A5（11，0），A3（12，1），A7（15，3）， 故选：D． 一、选择题（3分×11题） 12．（3分）用反证法证明“三角形中必有一个内角不大于60°”时，应假设　每一个内角都大于60°　 ． 【分析】写出与结论相反的假设即可． 【解答】解：根据反证法可知：每一个内角都大于60°． 故答案为：每一个内角都大于60°． 13．（3分）在平面直角坐标系中，点A（a，﹣5）与点B（2，b），则ab的值为　﹣10　 ． 【分析】根据关于原点成中心对称的两个点：横纵坐标互为相反数，可得：a＝﹣2，b＝5，然后进行计算即可解答． 【解答】解：∵点A（a，﹣5）与点B（2， ∴a＝﹣7，b＝5， ∴ab＝﹣2×4＝﹣10， 故答案为：﹣10． 14．（3分）已知关于x的不等式3x﹣m≤0的正整数解有4个，则m的取值范围是 　12≤m＜15　 ． 【分析】解不等式得x≤，由于正整数解有4个，故可判断的取值范围，求出m的取值范围． 【解答】解：3x﹣m≤0， 解得x≤， ∵解集中正整数解有1，2，4，4， ∴4≤＜5， 解得12≤m＜15． 故答案为：12≤m＜15． 15．（3分）正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为 　60°　 ． 【分析】任何一个正n边形都是旋转对称图形，只需绕它的中心旋转360÷n度便可与自身重合，据此求解即可． 【解答】解：正六边形绕着它的中心旋转一定的角度后能与自身完全重合，则其旋转的角度至少为360°÷6＝60°， 故答案为：60°． 三、解答题（共75分） 16．（4分）解不等式． 【分析】不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【解答】解：， 5（2+x）≥2（8﹣x）﹣6， 6+8x≥2﹣2x﹣2， 5x≥﹣10， x≥﹣2． 17．（5分）解一元一次不等式组，并把解集表示在数轴上． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：， 解不等式①得，x＜3， 解不等式②得，x≥﹣7， ∴不等式组的解集为：﹣1≤x＜3， 把解集表示在数轴上，如图所示： ． 18．（6分）△ABC中，∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10° 【分析】将第一个等式代入第二等式用∠A表示出∠C，再根据三角形的内角和等于180°列方程求出∠A，然后求解即可． 【解答】解：∵∠B＝∠A+10°，∠C＝∠B+10°， ∴∠C＝∠A+10°+10°＝∠A+20°， 由三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°， 所以，∠A+∠A+10°+∠A+20°＝180°， 解得∠A＝50°， 所以，∠B＝50°+10°＝60°， ∠C＝50°+20°＝70°． 19．（5分）已知：如图△ABC与△BDE都是等边三角形，点E、B、C在一条直线上，连接DC、EA．求证：AE＝DC． 在分析此题目时，老师和同学们一起梳理了证明思路，如下： （1）请问老师的提示中①是　∠1+∠2＝∠3+∠2　 ，②是BA＝BC ． （2）请根据以上思路写出完整的证明过程． 【分析】（1）由等式的性质可得①是∠3+∠2＝∠1+∠2，由等边三角形的性质可得②是BA＝BC； （2）根据所给思路先证△ABE≌△CBD（SAS），即可得出AE＝DC． 【解答】（1）解：老师的提示中①是∠3+∠2＝∠3+∠2，②是BA＝BC， 故答案为：①∠3+∠3＝∠1+∠2，②BA＝BC； （2）证明：∵△ABC与△BDE都是等边三角形， ∴∠2＝∠3＝60°，BE＝BD， ∴∠3+∠7＝∠1+∠2，即∠EBA＝∠DBC， 在△ABE与△CBD中， ， ∴△ABE≌△CBD（SAS）， ∴AE＝DC． 20．（6分）如图，在△ABC中，AB＝AC，垂足为点D，交AC于点E （1）若∠A＝40°，求∠EBC的度数； （2）若△ABC的周长为41cm，BC＝11cm，求△BCE的周长． 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，从而得到∠EBA＝∠A＝40°，再由等腰三角形的性质，可得∠ABC的度数，即可求解； （2）根据等腰三角形的定义可得AB＝AC＝15cm，再由线段垂直平分线的性质，可得AE＝BE，即可求解． 【解答】解：（1）∵DE是AB的垂直平分线，∠A＝40°， ∴AE＝BE， ∴∠EBA＝∠A＝40°（等边对等角）， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）÷2＝70°（等边对等角）， ∴∠EBC＝70°﹣40°＝30°； （2）∵AB＝AC，△ABC的周长为41cm， ∴， ∵DE是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE（线段垂直平分线的性质）， ∴BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝15+11＝26cm，即△BCE的周长为26m． 21．（6分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系 （1）将△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1． （2）画出△A1B1C1关于点O的中心对称图形△A2B2C2． （3）若将△ABC绕某一点旋转可得到△A2B2C2，则旋转中心的坐标为 　（﹣2，0）　 ． 【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A1，B1，C1的对应点A2，B2，C2即可； （3）两组对应点所连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C3即为所求； （2）如图，△A2B2C5即为所求； （3）旋转中心Q的坐标为（﹣2，0）， 故答案为：（﹣4，0）． 22．（8分）根据以下素材，探索完成任务 “新能源汽车充电桩”问题 素材一 某商场计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． 素材二 每个充电桩的占地面积如下： 地上充电桩 地下充电桩 每个充电桩占地面积/m2 2 1 任务一 该商场新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需要多少万元？ 任务二 若该商场计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，则共有几种建造方案？请列出所有方案． 【分析】任务一、设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元”列二元一次方程组求解即可； 任务二、设新建m个地上充电桩，根据“用不超过13万元的资金新建60个充电桩，且所有充电桩总占地面积不超过78m2，”列一元一次不等式组，求出m的取值范围，即可得解． 【解答】解：任务一：设新建一个地上充电桩需要x万元，新建一个地下充电桩需要y万元， 根据题意列二元一次方程得，， 解得， 即新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 0.2万元和0.3万元， 答：新建一个地上充电桩和一个地下充电桩分别需要 7.2万元和0.2万元； 任务二：设新建m个地上充电桩，则新建地下充电桩的数量为（60﹣m）个， 根据题意列一元一次不等式得：， 解得：17≤m≤18， ∴整数m的值为17，18， 方案一：地上17个、地下43个、地下42个． 23．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA （1）求证：△ADF是等腰三角形； （2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6 【分析】（1）先利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，再根据垂直定义可得∠FEC＝∠FEB＝90°，从而可得∠B+∠BDE＝90°，∠C+∠F＝90°，进而可得∠BDE＝∠F，然后利用对顶角相等可得∠BDE＝∠ADF，从而可得∠ADF＝∠F，最后根据等角对等边可得AF＝AD，即可解答； （2）利用（1）的结论可得∠BDE＝30°，然后在Rt△BDE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得∠B＝60°，BE＝2，从而可得BC＝8，最后根据等边三角形的判定可得△ABC是等边三角形，即可解答． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥BC， ∴∠FEC＝∠FEB＝90°， ∴∠B+∠BDE＝90°，∠C+∠F＝90°， ∴∠BDE＝∠F， ∵∠BDE＝∠ADF， ∴∠ADF＝∠F， ∴AF＝AD， ∴△ADF是等腰三角形； （2）解：∵∠BDE＝∠F， ∴∠BDE＝30°， ∵∠DEB＝90°，BD＝4， ∴∠B＝90°﹣∠BDE＝60°，BE＝， ∵CE＝6， ∴BC＝BE+CE＝2+7＝8， ∵AB＝AC， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝BC＝8． 24．（7分）某雪糕生产厂家有一批雪糕需要装入某种规格的包装盒投入市场．这种包装盒可以通过两种方案获得．方案一：从包装盒厂直接购买，每个包装盒a元； 方案二：从机械厂租赁机器自己加工制作，但需要一次性投入机器安装等费用10000元，每加工一个包装盒还需支付一定的成本费（总费用包括投入机器安装等费用和成本费），方案一、二的总费用分别为y1元，y2元，且y1，y2关于x的函数图象分别对应直线l1，l2，如图所示． （1）求a的值及y1关于x的函数解析式； （2）求y2关于x的函数解析式； （3）假设你是该雪糕生产厂家的决策者，你认为如何选择方案更省钱？并说明理由． 【分析】（1）根据图象得：a＝8000÷2000＝4；y1关于x的函数解析式为y1＝4x； （2）用待定系数法可得y2＝2x+10000； （3）分3种情况：4x＝2x+10000，4x＜2x+10000，4x＞2x+10000，可解得当0≤x＜5000时，y1＜y2，选择方案一更省钱；当x＝5000时，y1＝y2，方案一，方案二的总费用一样多；当x＞5000时，y1＞y2，选择方案二更省钱． 【解答】解：（1）根据图象得：a＝8000÷2000＝4； ∴y1关于x的函数解析式为y8＝4x； （2）根据题意，设y2关于x的函数解析式为y2＝kx+10000， 将点（2000，14000）代入得： 2000k+10000＝14000， 解得k＝2， ∴y2＝8x+10000； （3）令4x＝2x+10000， 解得x＝5000， ∴当x＝5000时，y2＝y2，方案一，方案二的总费用一样多； 令4x＜3x+10000， 解得x＜5000， ∴当0≤x＜5000时，y1＜y6，选择方案一更省钱； 令4x＞2x+10000， 解得x＞5000， ∴当x＞5000时，y8＞y2，选择方案二更省钱； 综上所述，当0≤x＜5000时，y3＜y2，选择方案一更省钱；当x＝5000时，y1＝y3，方案一，方案二的总费用一样多，y1＞y2，选择方案二更省钱． 25．（8分）定义一种新运算“aΔb”：当a≥b时，aΔb＝a+2b；当a＜b时（﹣4）＝3+2×（﹣4）＝﹣5 （1）填空：（﹣4）Δ3＝　﹣10　 ；（直接写出结果） （2）已知（2x﹣4）Δ2＞1，求x的取值范围． 【分析】（1）根据新定义进行计算即可； （2）分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【解答】解：（1）根据新定义进行计算可得： （﹣4）Δ3＝（﹣6）﹣2×3＝﹣10， 故答案为：﹣10； （2）由题意，知，①或，② 由①得x≥3； 由②得无解； ∴x的取值范围为：x≥3． 26．（12分）【发现问题】 如图①，点P在等边三角形ABC内，且∠APC＝150°，PC＝4，求PB的长． 小明发现，以AP为边作等边三角形APD，连接BD，可证△ACP≌△ABD，得PC＝BD．根据∠APC＝150°，进而可求得PB的长． （1）在图①中，∠PDB＝　90°　 ，PB＝　5　 ； 【问题解决】 （2）参考小明思考问题的过程，解决下面问题： 如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，点P在△ABC内，且PA＝1，，； 【灵活运用】 （3）如图③，某公园要建一个四边形花园ABCD，连接AC，∠ABD＝90°，m，DC＝9m，并将AC修建成观赏栈道，为保证观赏效果（AC的宽度不计），当AC的长度最大时，求此时种植郁金香的面积． 【分析】（1）由等边三角形可得∠ADP＝60°，AP＝DP＝3，由全等易得∠ADB＝150°，BD＝PC＝4，所以可得△BDP为直角三角形，利用勾股定理可求线段PB的长度； （2）利用第一问的思路构造旋转全等，唯一不同的是由等边三角形变成等腰直角三角形，其他思路基本一致，其中证明A、P、G三点共线是求AB的关键． （3）这一问是对上述思路的运用，利用旋转构造出全等之后，将已知线段进行转化，并放在一个三角形APC中（这是线段问题的主要思路），从而利用三边关系得出AC的范围，此时是A、P、C三点共线，利用第二问思路可得△ACD为直角三角形，将四边形面积转化为两个三角形，再求面积即可． 【解答】解：（1）∵△APD为等边三角形， ∴∠ADP＝60°，AP＝DP＝3， ∵△ACP≌△ABD，∠APC＝150°， ∴∠ADB＝150°，BD＝PC＝4， ∴∠PDB＝∠ADB﹣∠ADP＝90°， 在Rt△BDP中，． 故答案为：90°，5． （2）如图，将△CPA绕点C逆时针旋转90°得到△CGB， 则，∠CPG＝∠CGP＝45°， ∵△CPA≌△CBG， ∴AP＝BG＝3， ∴PG＝CP＝4， ∵BG＝2，PB＝， ∴PG2+BG2＝PB3， ∴△PBG是直角三角形，且∠PGB＝90°， ∵∠CGP＝45°， ∴∠CGB＝45°+90°＝135°， ∴∠APC＝135°， 此时∠APC+∠CPG＝180°， 即A、P、G三点共线， ∴AG＝AP+PG＝5， 在Rt△ABG中，AB＝， 又∵△ACB为等腰直角三角形， ∴AC＝， 综上，∠APC＝135°． （3）如图，过B作BP⊥BC， ∵∠ABP+∠PBD＝∠CBD+∠PBD＝90°， ∴∠ABP＝∠CBD， 又∵AB＝BD， ∴△ABP≌△DBC（SAS）， ∴AP＝CD＝9m， ∵m， ∵＝12（m）， ∴在△APC中，根据三边关系可得：PC﹣AP≤AC≤PC+AP（三点共线时取等）， 即6≤AC≤21， 如图，当A、P，AC＝21m最大， ∵∠BAP+∠CAD+∠ADB＝90°，∠BAP＝∠CDB， ∴∠CDB+∠CAD+∠ADB＝90°， ∴∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD， 过B作BH⊥AC于点H， ∵△BCP是等腰直角三角形， ∴BH＝6（m）， ∴＝＝157.5（m2）， ∴当AC最大时，四边形ABCD的面积为157.5m6，即种植郁金香的面积为157.5m2． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/5/15 9:35:04；用户：聂伟；邮箱：15284038568；学号：44743775 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $