精品解析：吉林省吉林市第二十三中学2024-2025学年八年级下学期5月期中考试数学试题

吉林市第二十三中学2024-2025学年度（下）八年级期中教学质量检测 数学 数学试卷共6页，包括六道大题，共22道小题，全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长是（ ） A. 14 B. 7 C. 4 D. 3.5 5. 如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 6. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 请写出一个能与合并的最简二次根式（本身除外）：________． 8. 若，则的值是__________． 9. 矩形的对角线，相交于点O，如图，已知，，则为 _____． 10. 如图，在△MBN 中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点 A C，D 分别是 MB，NB，MN 的中点，则四边形 ABCD 的周长 是_____． 11. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为8cm，则正方形A、B、C、D的面积和是_____cm2. 三、解答题（本大题11小题，共87分） 12. 计算：． 13. 已知y与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． 14. 如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，延长BC至点F，使CF＝BE，连接CE、DF，求证CE＝DF． 15. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个正方形； （2）在图②中以线段为边画一个菱形； （3）在图③中以线段为边画一个平行四边形． 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F在对角线上，且，求证：四边形是矩形． 18. 某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个感应范围米的感应器．如图，一个身高米的病人走到离感应门米处时，感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度． 19. 如图，已知，， （1）求AB的长； （2）求的面积． 20. 综合与实践 数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，． （1）操作判断 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究发现 将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N． ①求的长； ②直接写出的周长． 21. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 22. 如图，在中，O是对角线的中点，，，，动点P从点A出发，以2的速度沿折线向终点C运动，连接并延长交折线于点Q，设点P的运动时间为（s）． （1）当点P在边上时，求证：； （2）当与的边垂直时，求的长； （3）当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市第二十三中学2024-2025学年度（下）八年级期中教学质量检测 数学 数学试卷共6页，包括六道大题，共22道小题，全卷满分120分．考试时间120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填在答题卡上，并将条形码准确贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、单选题（每小题3分，共18分） 1. 下列各式中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义：被开方数是整数或整式，且不含有能开得尽方的数或整式，根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故本选项不合题意； B、，不是最简二次根式，故本选项不合题意； C、，是最简二次根式，故本选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故本选项不合题意； 故选：C． 2. 以下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A． ，故可以构成直角三角形，不符合题意； B． ，故无法构成直角三角形，符合题意； C． ，故可以构成直角三角形，不符合题意； D． ，故可以构成直角三角形，不符合题意． 故选：B 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形． 3. 如图，地面上A，B两处被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到和的中点D，E．测得，则A，B两处的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理； 根据题意可知是的中位线，然后由三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半计算即可． 【详解】解：∵点D， E分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， 故选：D． 4. 如图，菱形的周长为28，对角线交于点O，E为的中点，则的长是（ ） A. 14 B. 7 C. 4 D. 3.5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，由菱形的性质可得，，，可求的长，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为28， ，，， 点是中点， 故选：D． 5. 如图，四边形的对角线、相交于点，下列条件中，能判定四边形是正方形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案． 【详解】解：A、∵，∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； B、∵，，，∴四边形是菱形，故本选项不符合题意； C、∵，，∴四边形是正方形，故本选项符合题意； D、由，，不能判定四边形是正方形，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的判定，掌握特殊四边形的判定方法是解题的关键． 6. 我们都知道，四边形具有不稳定性．老师制作了一个正方形教具用于课堂教学，数学课代表小亮在取道具时不小心使教具发生了形变（如图），若正方形道具边长为，，则四边形的面积减少了（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，直角三角形的性质． 过点作交延长线于E，先证明四边形是菱形，得，则，利用直角三角形的性质得求得，然后用正方形的面积减去菱形的面积即可． 【详解】解：过点作交延长线于E，如图， ∵正方形， ∴ ∴ ∴四边形是菱形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积减少了， 故选：A． 二、填空题（每小题3分，共15分） 7. 请写出一个能与合并的最简二次根式（本身除外）：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．根据同类二次根式的定义得出答案即可． 【详解】解：与合并的最简二次根式． 故答案为：（答案不唯一）． 8. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方得非负性和算术平方根的非负性．根据题意列式即可计算出的值，再代入即可得到本题答案． 【详解】解：∵， 即：，， ∴， 解得：，， ∴， 故答案为：． 9. 矩形的对角线，相交于点O，如图，已知，，则为 _____． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质和直角三角形的性质，根据矩形的性质得出，，根据含角的直角三角形的性质得出，问题随之得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 10. 如图，在△MBN 中，已知：BM＝6，BN＝7，MN＝10，点 A C，D 分别是 MB，NB，MN 的中点，则四边形 ABCD 的周长 是_____． 【答案】13 【解析】 【分析】根据中位线性质可以推出CD∥AB，AD∥BC，可得四边形ABCD为平行四边形，由中点可得四边形ABCD的周长 【详解】∵点A，C，D分别是MB，NB，MN的中点， ∴CD∥AB，AD∥BC， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC. ∵BM＝6，BN＝7，点A，C分别是MB，NB的中点， ∴AB=3，BC=3.5， ∴四边形ABCD的周长=（AB+BC）×2=（3+3.5）×2=13. 故答案为13 【点睛】本题考查了中位线的性质，以及平行四边形的判定及性质，掌握中位线的性质及平行四边形的性质是解题的关键. 11. 如图是一个艺术窗的一部分，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大正方形的边长为8cm，则正方形A、B、C、D的面积和是_____cm2. 【答案】64 【解析】 【分析】根据勾股定理有，，，等量代换即可得四个小正方形的面积之和等于大正方形面积S． 【详解】解：如图所示， 根据勾股定理可知， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查了勾股定理的几何意义，关键是掌握两直角边的平方和等于斜边的平方． 三、解答题（本大题11小题，共87分） 12. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键． 先根据除法法则运算，再化简二次根式，最后算根据加减法法则运算即可； 【详解】解：原式 ． 13. 已知y与x成正比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）设点在这个函数的图象上，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了求正比例函数关系式， （1）设关系式为，再将数值代入求值即可； （2）将点代入关系式，求出解即可． 【小问1详解】 ∵y与x成正比例， ∴设． ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 ∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 14. 如图，在菱形ABCD中，E为AB上一点，延长BC至点F，使CF＝BE，连接CE、DF，求证CE＝DF． 【答案】 证明：四边形ABCD是菱形 AB//DC，BC＝CD B＝DCF 在BCE和CDF中： BCECDF CE＝DF． 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得BC = CD，AB∥DC，再根据两直线平行，同位角相等可得B＝DCF，然后利用“边角边”证明BCECDF，根据全等三角形对应边相等证明即可． 【详解】略 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并找出三角形全等的条件是解题的关键． 15. 已知，，求下列各式的值． （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用已知得出，的值，进而结合完全平方公式计算得出答案； （2）结合平方差公式计算得出答案． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， ∴ ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，求代数式的值，运用了整体代入的思想．正确运用乘法公式进行因式分解是解题关键． 16. 图①、图②、图③均是的正方形网格，小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，线段的端点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，所画图形不全等，不要求写出画法． （1）在图①中以线段为边画一个正方形； （2）在图②中以线段为边画一个菱形； （3）在图③中以线段为边画一个平行四边形． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 （3）作图见解析 【解析】 【分析】（1）如图①，取格点、，连接、、即可； （2）如图②，取格点、，连接、、即可； （3）如图③，取格点、，连接、、即可． 【小问1详解】 解：如图①，取格点、，连接、、，取格点、，连接、、、， ∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为， ∴，，，， ，，， ∴， ∴四边形是菱形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 则正方形即为所作； 【小问2详解】 如图②，取格点、，连接、、， ∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为， ∴，，，， ∴， ∴四边形是菱形， 则菱形即为所作； 【小问3详解】 如图③，取格点、，连接、、， ∵如图是的正方形网格，小正方形的边长均为， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 则平行四边形即为所作（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定，平行四边形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 17. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E、F在对角线上，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得到，由，得到，从而得到四边形是平行四边形，再由对角线相等的平行四边形是矩形即可得到结论． 【详解】证明：在平行四边形中， ∵对角线相交于点O， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴，即， ∴四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． 18. 某医院为了方便病人进出，将门诊大厅的门改为自动感应门，感应门上方装有一个感应范围米的感应器．如图，一个身高米的病人走到离感应门米处时，感应门刚好自动打开，请求出感应器离地面的高度． 【答案】米． 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，掌握运用辅助线构造直角三角形，运用勾股定理求线段长度的方法是解题的关键．过点作交于点，构造，利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图，过点作交于点， 则，，， 在中，， 则， ∴， 答：感应器离地面的高度为米． 19. 如图，已知，， （1）求AB的长； （2）求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得∠C＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理进行计算即可解答； （2）根据勾股定理的逆定理先证明△ABD是直角三角形，从而可得∠ABD＝90°，然后利用三角形的面积公式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：∵AC⊥BC， ∴∠C＝90°， ∵AC＝BC＝2， ∴AB＝， ∴AB的长为； 【小问2详解】 解：∵AB2+BD2＝ ，AD2＝， ∴AB2+BD2＝AD2， ∴△ABD是直角三角形， ∴∠ABD＝90°， ∴△ABD的面积＝AB•BD ＝ ＝， ∴△ABD的面积为． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． 20. 综合与实践 数学活动课上，同学们开展了以折叠为主题的探究活动，如图①，已知矩形纸片，其中，． （1）操作判断 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处，请判断四边形的形状，并说明理由； （2）探究发现 将图①的纸片展平，把四边形剪下来，如图②，取边的中点，将沿折叠得到，延长交CD于点N． ①求的长； ②直接写出的周长． 【答案】（1）四边形是正方形，见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质和折叠的性质即可证明四边形是正方形； （2）①先证明四边形是矩形，可得，，根据点是边的中点，得，根据勾股定理即可求出 ②连结，由折叠性质可得到，，，然后证明可得到，最后计算的周长为，即可解答； 【小问1详解】 解∶四边形是正方形．理由∶ 四边形是矩形， ， 将矩形纸片按图①折叠，使点B落在边上的点处， ，， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【小问2详解】 ①四边形是矩形，， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 点是边的中点， ， 在中 ． ②连接， 由折叠性质得∶，，， 为的中点， ， ， 与中， ， 的周长为∶， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查折叠的性质，矩形的判定和性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．通过添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. △ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF， （1）观察猜想 如图1，当点D在线段BC上时， ①BC与CF的位置关系为：　 　． ②BC，CD，CF之间的数量关系为：　 　；（将结论直接写在横线上） （2）数学思考 如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE，若已知AB=2，CD=BC，请求出GE的长． 【答案】（1）CF⊥BD，BC=CF+CD； （2）成立， ∵正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF，CF=BD ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （3）. 【解析】 【分析】（1）①根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质得到CF=BD，∠ACF=∠ABD，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据正方形的性质得到∠BAC=∠DAF=90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质即可得到结论; （3）根据等腰直角三角形的性质得到BC=AB=4，AH=BC=2，求得DH=3，根据正方形的性质得到AD=DE，∠ADE=90°，根据矩形的性质得到NE=CM，EM=CN，由角的性质得到∠ADH=∠DEM，根据全等三角形的性质得到EM=DH=3，DM=AH=2，等量代换得到CN=EM=3，EN=CM=3，根据等腰直角三角形的性质得到CG=BC=4，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：（1）①正方形ADEF中，AD=AF， ∵∠BAC=∠DAF=90°， ∴∠BAD=∠CAF， 在△DAB与△FAC中， ， ∴△DAB≌△FAC， ∴∠B=∠ACF， ∴∠ACB+∠ACF=90°，即CF⊥BD； ②△DAB≌△FAC， ∴CF=BD， ∵BC=BD+CD， ∴BC=CF+CD； （2）略； （3）解：过A作AH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CF于N， ∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴BC=AB=4，AH=BC=2， ∴CD=BC=1，CH=BC=2， ∴DH=3， 由（2）证得BC⊥CF，CF=BD=5， ∵四边形ADEF是正方形， ∴AD=DE，∠ADE=90°， ∵BC⊥CF，EM⊥BD，EN⊥CF， ∴四边形CMEN是矩形， ∴NE=CM，EM=CN， ∵∠AHD=∠ADC=∠EMD=90°， ∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°， ∴∠ADH=∠DEM， 在△ADH与△DEM中， ， ∴△ADH≌△DEM， ∴EM=DH=3，DM=AH=2， ∴CN=EM=3，EN=CM=3， ∵∠ABC=45°， ∴∠BGC=45°， ∴△BCG是等腰直角三角形， ∴CG=BC=4， ∴GN=1， ∴EG=． 【点睛】考点：四边形综合题. 22. 如图，在中，O是对角线的中点，，，，动点P从点A出发，以2的速度沿折线向终点C运动，连接并延长交折线于点Q，设点P的运动时间为（s）． （1）当点P在边上时，求证：； （2）当与的边垂直时，求的长； （3）当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，直接写出t的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）的长为或； （3）； 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质和判定，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）由四边形是平行四边形，O是对角线的中点，可得，，又，利用即可证明； （2）由题意知，分，两种情况进行求解．当时，可知为的高，利用等面积法，即，，即可求得；当时，即当与点重合时，，由此得解； （3）当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，则，根据第（２）问结果，可得，利用勾股定理可求得，由此可求得时间t的值； 【小问1详解】 证明： 四边形是平行四边形， ， ， O是对角线的中点， ， ， ． 【小问2详解】 解：① 当与的边垂直时，即，，如图所示， 四边形是平行四边形，，，，， ， ， ， ， ， ． ② 当时，根据题意可知，即当与点重合时， ， 综上，当与的边垂直时，的长为或． 【小问3详解】 解：当以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形时，如图所示， 四边形为矩形， ，，即为的高， 根据第（2）问，可知， 由勾股定理得，， ， ，解得， 当时，以B、D、P、Q为顶点的四边形是矩形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $