精品解析：辽宁省大连市中山区2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

八年级阶段质量检测数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 函数 自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列不能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 2，2，3 B. 6，8， C. 3，4，5 D. 5，， 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 4. 如图，在数轴上找到点A，使，过点A 作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点C，那么点C表示的数是（ ） A. B. C. 3.5 D. 3.6 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ） A. B. C. D. 2 8. 一次函数的图象大致是（　　） A B. C. D. 9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 10. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离与时刻的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ①② 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 一次函数的图象经过点，则____． 12. 如图，一根木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处．则木杆折断之前的长度为______． 13. 点在直线的上，则____（用“”，“”或“”填空）． 14. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点，则____． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、中点，若，则_________________. 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程： （1） （公式法）； （2）（因式分解法）． 17. 如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形平行四边形． 19. 2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 20. 一次函数当时，；当时，．． （1）求k，b的值； （2）直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将其向下平移4个单位，得到直线，若直线与x轴交于点C，求的面积． 21. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； （2）一元二次方程 的两个根为，，求 的值； （3）若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 22. 数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中数学奥妙． （1）操作判断： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平： 操作二：在上选一点M，沿折叠，使点A落在上点N处，把纸片展平，连接． 如图1，求的度数； （2）继续探究：小亮按照如图2所示的方式，先在上选一点M，沿折叠，使点A落在矩形内部点N处，把纸片展平，连接．然后再将折叠，使点N落在上点P处，展平后，延长交折痕于点H，连接．若，求的值． 23. 如图，四边形和四边形均为正方形． （1）如图，当点在上时，连接，求证：； （2）如图，当点在上时，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当点在下方时，连接，．（）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级阶段质量检测数学学科 （本试卷共23道题 满分120分 考试时长120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题 （共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 函数 的自变量x的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的意义，理解二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数求解． 【详解】二次根式的被开方数为非负数， ， ． 故选：C． 2. 下列不能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 2，2，3 B. 6，8， C. 3，4，5 D. 5，， 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，逐项判断即可求解． 【详解】A、三边中最长边为3，，不能构成直角三角形，故本选项符合题意； B、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. 4 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 4. 如图，在数轴上找到点A，使，过点A 作直线l垂直于，在l上取点B，使，以点O为圆心，长为半径作弧，与数轴交于点C，那么点C表示的数是（ ） A. B. C. 3.5 D. 3.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟记定理并求出长是解题的关键． 利用勾股定理列式求出再判断即可． 【详解】解：，， 由勾股定理得，， ， 点C表示的数是． 故选：B． 5. 如图，的对角线与相交于点O，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， 故选B． 6. 如图，以点为圆心，适当的长为半径画弧，交两边于点，，再分别以、为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定与性质，由作图可知：，根据四条边都相等的四边形是菱形，可知四边形是菱形，根据菱形的对角相等可得：． 【详解】解：由作图可知：， 四边形是菱形， ． 故选：B． 7. 若直线（是常数，）经过第一、第三象限，则的值可为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】通过经过的象限判断比例系数k的取值范围，进而得出答案． 【详解】∵直线（是常数，）经过第一、第三象限， ∴， ∴的值可为2， 故选：D． 【点睛】本题考查正比例函数的图象与性质，熟记比例系数与图象经过的象限之间的关系是解题的关键． 8. 一次函数的图象大致是（　　） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之间的关系是解题的关键． 根据一次函数的性质，直接判断即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 9. 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设长为x步，则下列符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出宽为步，再利用矩形的面积公式列出方程即可得． 【详解】解：由题意可知，宽为步， 则可列方程为， 故选：C． 10. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离与时刻的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（ ） A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ①② 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取信息的能力，理解图中两条线段的实际意义是解题的关键． 根据函数图象，逐个判断即可． 【详解】解：由图可知A，B两城相距，故①正确； 由图可知甲车的平均速度，乙车的平均速度，故②正确； 由图可知甲车先出发，后到达B城，故③错误； 由图可知是乙车在追上甲车，故④错误； 综上：正确的有①②． 故选：D． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5 小题，每小题3分，共15分） 11. 一次函数的图象经过点，则____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数图象经过的点的坐标满足函数解析式是关键．把点的坐标代入函数解析式进行解答即可． 【详解】解：把点代入得到， 解得， 故答案为：4 12. 如图，一根木杆在离地面的处折断，木杆顶端落在离木杆底端的处．则木杆折断之前的长度为______． 【答案】##米 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力． 由于木杆离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形，利用勾股定理求出折断部分的长，进而可得出结论． 【详解】解：∵木杆离地面部分、折断部分及地面正好构成直角三角形， 在中，， ， ， 答：木杆折断之前的高度为． 故答案为：． 13. 点在直线的上，则____（用“”，“”或“”填空）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较一次函数的函数值大小，根据一次函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴随着的增大而减小， ∵点在直线的上，且， ∴； 故答案为：． 14. 如图，在平行四边形中，，，的平分线交线段于点，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的性质，根据平行四边形的性质可知，，，根据角平分线的性质可知，根据平行线的性质可知，等量代换可知，根据等角对等边可知，根据线段之间的关系可以求出的长度． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， 平分， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，点、分别是、的中点，若，则_________________. 【答案】2 【解析】 【分析】由矩形的性质可知：矩形的两条对角线相等，可得，即可得，在中，为的中位线，由此可求的的长． 【详解】解：四边形为矩形， ， 又矩形对角线的交点等分对角线， ， 又在中，为的中位线， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了矩形的性质和三角形中位线定理，难度不大，解题的关键熟练掌握知识点，并灵活运用． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 解一元二次方程： （1） （公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用公式法解答即可； （）利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴或， ． 17. 如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】36 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 18. 如图，在中，点E，F分别在，上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 根据平行四边形的性质推出，再结合即可证明四边形是平行四边形． 【详解】四边形是平行四边形， ，即， 又， 四边形是平行四边形． 19. 2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 【答案】本次联赛共有16支球队 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 20. 一次函数当时，；当时，．． （1）求k，b的值； （2）直线分别与x轴，y轴交于点A，B，将其向下平移4个单位，得到直线，若直线与x轴交于点C，求的面积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，一次函数与几何综合等等，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A和点B的坐标，再求出直线的结束，进而求出点C的坐标，再根据列式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 解得； 小问2详解】 解：由（1）得一次函数的解析式为， 在中，当时，，得，当时，， ∴，， ∵将直线向下平移4个单位，得到直线， ∴直线解析式为， 在中，当时， ． ． ． 21. 法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x的一元二次方程 （a≠0）的两个实数根为x1，x2，则，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例：已知一元二次方程的两个实数根分别为m，n，求 的值． 解：∵一元二次方程的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： （1）一元二次方程 的两根为，，则：____，_____； （2）一元二次方程 的两个根为，，求 的值； （3）若，是关于x的方程的两个实数根且，求m的值． 【答案】（1）6， （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系； （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出，，然后将进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出，，然后求出的值，然后结合求解即可． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程 的两根为，， 则：，； 【小问2详解】 解：∵一元二次方程 的两个根为，， ∴，， ∴； 【小问3详解】 解：∵，是关于x的方程的两个实数根 ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∵， 解得：， ∴不符合题意，. 22. 数学综合实践课上老师和同学们一起进行折纸，通过折叠探究其中的数学奥妙． （1）操作判断： 操作一：对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平： 操作二：在上选一点M，沿折叠，使点A落在上点N处，把纸片展平，连接． 如图1，求的度数； （2）继续探究：小亮按照如图2所示的方式，先在上选一点M，沿折叠，使点A落在矩形内部点N处，把纸片展平，连接．然后再将折叠，使点N落在上点P处，展平后，延长交折痕于点H，连接．若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形与折叠问题，正方形的性质与判定，勾股定理，等边三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键。 （1）取中点，连接，由折叠知，，，则可证明为等边三角形，得到，据此可得； （2）如图所示，延长交于点．由矩形的性质可得，．由折叠知，，，， 则可得到．证明四边形为矩形．得到．则可证明矩形为正方形，设．则，．由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：如图所示，取中点，连接． 由折叠知，， ， ， ， 为等边三角形 ， ； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于点． 四边形是矩形， ，． 由折叠知，，．，，． ，． 四边形为矩形． ． 又，， ， 矩形为正方形， 可设． ，． 在中，由勾股定理得，． 列式化简得． ，（舍）． ． 23. 如图，四边形和四边形均为正方形． （1）如图，当点在上时，连接，求证：； （2）如图，当点在上时，连接，猜想与的数量关系，并证明你的结论； （3）如图，当点在下方时，连接，．（）中的结论是否成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3）结论成立，证明见解析 【解析】 【分析】根据正方形的性质可得：，，，，可证，根据全等三角形的性质可证结论成立； 在上取点，使，连，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据勾股定理可证； 过点做，截取，连接，，可证，根据全等三角形的性质可证，，根据边和角之间的关系可证：四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可证，根据勾股定理可证． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中，， ， ； 【小问2详解】 证明：如下图所示，在上取点，使，连， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ，， ，， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， 【小问3详解】 解：中结论仍成立， 理由如下： 如下图所示，过点做，截取，连接，， 设交于点，交于点， ， ， ， 四边形是正方形， ， 在和中，， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质找边和角之间的关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$