精品解析：北京市2025年高二第一次普通高中学业水平合格性考试数学试卷

2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．考生要认真填写考场号和座位序号． 2．本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分(选择题 共54分) 一、选择题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数加法运算法则求解. 【详解】由，， 则， 故选：D 2. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据不等式的性质进行判断即可. 【详解】因为，且， 所以，，故CD错误； 因为，，所以即恒成立，故A正确； 取，，则，但此时，故B未必成立. 故选：A 3. 下列函数中，在区间上单调递减是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本初等函数单调性直接得解. 【详解】因为，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上不单调， 故选：B 4. 下列向量中，与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由共线向量的坐标关系逐个判断即可. 【详解】对A：因为，故与共线； 对B：因为，故与不共线； 对C：因为，故与不共线； 对D：因为，故与不共线. 故选：A 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次不等式的解法求解. 【详解】由， 所以不等式的解集是， 故选：C 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由幂函数为上的增函数， 且， 所以，即， 故选：A 7. 在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角终边上的点确定三角函数值即可得解. 【详解】由角终边经过点， 可知，且为第四象限角， 故选：B 8. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水箱产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（ ） A. 甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B. 甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C. 甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D. 甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 【答案】C 【解析】 【分析】根据产量、中位数、方差、极差概念逐项分析即可得解. 【详解】对A，只有第二和第三年甲产量比乙产量小，故A错误； 对B，甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为890，故B错误； 对C，甲水稻年产量的均值为， 甲水稻产量的方差为， 乙水稻年产量的均值为， 乙水稻产量的方差为， 所以甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小，故C正确； 对D，甲水稻产量的极差为70，乙水稻产量的极差为，故D错误. 故选：C 9. 已知菱形的边长为2，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数量积的定义求解. 【详解】. 故选：B 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理，， 所以， 故选：D 11. 已知函数.下列区间中包含的零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数零点即可得解. 【详解】因为，解得， 所以， 故选：D 12. （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的运算求解即可. 【详解】. 故选：A 13. 若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由空间中两直线的位置关系结合充分条件与必要条件的定义即可得解. 【详解】空间中的两条直线a，b异面，则a，b没有公共点， 反之，空间中的两条直线a，b没有公共点，则不一定得到a，b异面，也可能a，b是平行直线， 所以“a，b异面”是“a，b没有公共点”的充分不必要条件. 故选：A. 14. 某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年的增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据年平均增长率的意义列方程即可. 【详解】根据题意列方程：. 故选：C 15. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由可求函数的定义域. 【详解】由. 所以函数的定义域为：. 故选：C 16. 已知，且，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式求最值即可. 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立， 故选：D 17. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角和的正弦公式化简后，根据正弦值求角即可. 【详解】因为， 所以， 故选：B 18. 已知集合.若存在的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】分析集合的子集的并集是的真子集，则这个集合中所含元素的个数确定的最大值. 【详解】集合的个不同的非空子集，它们的并集是的真子集， 那么这个集合中至多含有3个元素，比如1、2、3. 那么这个集合可能是：，，，，，，. 故的最大值为7. 故选：C 第二部分(非选择题 共46分) 二、填空题共3 小题，每小题4分，共12分． 19. 某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式可得空1的答案；根据独立事件同时发生的概率公式可得空2的答案. 【详解】因为学生甲得到“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”图案的概率相等，所以学生甲得到“金面罩”图案的概率为：. 因为学生乙和学生丙得到“铜神兽”图案的概率均为，且相互独立，所以学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为：. 故答案为：； 20. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 【答案】锐角 【解析】 【分析】根据勾股定理可知三角形为等边三角形得解. 【详解】因为，，两两互相垂直，， 所以， 所以，即是等边三角形， 故答案为：锐角 21 已知函数，.设函数， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是________. 【答案】①②③ 【解析】 【分析】作出函数的草图，数形结合，判断①②③的准确性即可. 【详解】根据题意，作出函数的草图如下： 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以方程只有一解，为，且. 所以函数的图象，如图所示， 所以在区间上单调递增，故①正确； 函数的最大值是时取得的，为，故②正确； 因为函数的图象与直线的交点有两个，所以方程有两个不同的根，故③正确. 故答案为：①②③ 三、解答题共4小题，共34分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 22. 已知函数. （1）写出的一个周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1）(答案不唯一) （2），. 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系化简函数解析式即可得解； （2）根据正弦函数的单调性可求最值. 【小问1详解】 因为， 所以为函数的一个周期. 【小问2详解】 当时，， 即， 所以在区间上的最大值和最小值分别为，. 23. 阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A. B. ② A. B. ③ A. B. ④ A. B. ⑤ A. B. ⑥ A. B. 【答案】①A；②A；③B；④A；⑤B；⑥A 【解析】 【分析】根据奇函数的定义与性质解奇函数的函数值、奇函数的解析式及解指数不等式即可. 【详解】（1）∵当时， ，∴，故①选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故②选A； （2）由指数函数的性质可知：当时， ，故③选B； ∵当时，，所以，故④选A； ∵函数为定义在上的奇函数，∴，故⑤选B； 由题中过程可知：不等式的解集为，故⑥选A. 24. 如图，在正方体中，点在上. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平面，可知. （2）根据平面平面，可证平面. 【小问1详解】 因为为正方体， 所以平面，又平面， 所以. 【小问2详解】 因为为正方体， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 25. 已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. （1）若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） （2）若是“积和集合”，写出的所有可能取值： （3）若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 【答案】（1）是； （2） （3）不是，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可完成判断；（2）由题可得，然后分类讨论的可能情况，结合题意可得答案；（3）设集合A中全体元素乘积为，全体元素和为，由题可得，，.然后分别判断是否存在为2,3,4,5,6,7,8,9的集合A，可完成判断. 【小问1详解】 注意到，则取，满足题意. 则是 “积和集合”； 【小问2详解】 由题可得，若，则，符合； 若，则，不满足集合互异性，排除； 若，则，符合； 若，则，符合； 若，则，不整数，不满足题意，排除； 若，则，不为整数，不满足题意，排除； 综上，的所有可能取值为； 【小问3详解】 设，集合A中全体元素乘积为，全体元素和为. 假设为“积和集合”，则，. 因，则. 注意到，则. 若，则，这与题意不符，则， 故，. 若，设，则. 注意到均为奇数，则为偶数，则为偶数，这与矛盾，则不存在满足的集合A； 若，设. 若，设，则， 注意到，则可为. 则为，均不满足题意； 若，则，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 若，，不合题意， 则不存在满足的集合A； 类似以上分析，可得当时，均不合题意. 综上可得，不是“积和集合 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年北京市第一次普通高中学业水平合格性考试 数 学 试 卷 考 生 须 知 1．考生要认真填写考场号和座位序号． 2．本试卷共6页，分为两部分：第一部分为选择题，共54分；第二部分为非选择题，共46分． 3．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．第一部分必须用2B铅笔作答，第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答． 4．考试结束后，考生应将试卷、答题卡放在桌面上，待监考员收回． 第一部分(选择题 共54分) 一、选择题共18小题，每小题3分，共54分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知复数，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，且，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列向量中，与向量共线的是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 或 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，角以为顶点.以为始边，终边经过点，则角可以是（ ） A. B. C. D. 8. 某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续五年的产量（单位：kg）如下： 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲水稻产量 900 920 900 850 910 乙水箱产量 890 960 950 850 860 对于上表数据，下列结论正确的是（ ） A 甲水稻产量每年都比乙水稻产量小 B. 甲水稻产量的中位数为900，乙水稻产量的中位数为860 C. 甲水稻产量的方差比乙水稻产量的方差小 D. 甲水稻产量的极差比乙水稻产量的极差大 9. 已知菱形的边长为2，，则（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 10. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数.下列区间中包含的零点的是（ ） A. B. C. D. 12. （ ） A. B. C. 2 D. 13. 若a，b是空间中的两条直线，则“a，b异面”是“a，b没有公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 某市持续扩大绿色生态空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从2020年增长到2023年的.设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为.则（ ） A. B. C. D. 15. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 16. 已知，且，则的最大值是（ ） A. B. C. 1 D. 17 若，则（ ） A. B. C. D. 18. 已知集合.若存在个不同的非空子集，它们的并集是的真子集，则的最大值是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 第二部分(非选择题 共46分) 二、填空题共3 小题，每小题4分，共12分． 19. 某校美术社团在校园文化节期间制作了“金面罩”“锅神兽”“铜太阳神器”3枚三星堆文物图案印章，并为每位学生随机选择1枚盖章留念，则学生甲得到“金面罩”图案的概率为________；学生乙和学生丙都得到“铜神兽”图案的概率为________. 20. 如图，在三棱锥中，，，两两互相垂直，，则是________三角形.（填“锐角”“直角”或“钝角”） 21. 已知函数，.设函数， 给出下列三个结论： ①在区间上单调递增； ②的最大值为2； ③方程有两个不同的实数解. 其中所有正确结论的序号是________. 三、解答题共4小题，共34分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 22. 已知函数. （1）写出的一个周期； （2）求在区间上的最大值和最小值. 23. 阅读下面题目及其解答过程． 已知函数为定义在上的奇函数，当时， ， （1） 求的值； （2） 求不等式的解集. 解：（1） 因为当时， 所以 ① . 因为是奇函数， 所以 ② . （2）当时， ③ ，所以恒成立. 当时，，所以 ④ . 因为是奇函数，所以 ⑤ . 所以. 由， 解得. 综上，不等式的解集为 ⑥ . 以上题目的解答过程中，设置了①⑥六个空格，如下的表格中为每个空格给出了两个选项，其中只有一个符合逻辑推理．请选出符合逻辑推理的选项，并填写在答题卡的指定位置．(只需填写“A”或“B”) 空格序号 选项 ① A. B. ② A. B. ③ A. B. ④ A. B. ⑤ A B. ⑥ A. B. 24. 如图，在正方体中，点在上. （1）求证：； （2）求证：平面. 25. 已知集合，其中，若存在的非空子集A，满足（表示有限集合A中元素的个数），且A中所有元素之积与中所有元素之和相等，则称为“积和集合”. （1）若，判断是否为“积和集合”；（结论无需证明） （2）若是“积和集合”，写出的所有可能取值： （3）若，判断是否为“积和集合”，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $