精品解析：陕西省西安市临潼区华清中学2024-2025学年高二下学期6月期末考试数学试题

华清中学2024-2025学年高二年级下学期期末考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：罗海鹏 校对人：黄红艳 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. D. 3. 下列不等式的解集为的是（    ） A. B. C. D. 4. 已知实数，则的（ ） A. 最小值为1 B. 最大值为1 C. 最小值为 D. 最大值为 5. 为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（ ） A. 72 B. 84 C. 120 D. 150 6. 某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ） A. B. C. D. 7. 已知等比数列的首项 ，前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 10. 随机变量且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 有3个零点 C. 若关于的方程有四个不同实根，则 D. 若，恒成立，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了增强华清中学学生的身体体质，学校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和踢毽子.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好踢毽子，的同学爱好羽毛球或爱好踢毽子.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好踢毽子，则该同学也爱好羽毛球的概率为_________. 13. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记随机变量为正面向上的次数，若最大，则的展开式中常数项为____________. 14. 近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为_______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我校高二语文组对学生提出“读一本书”的要求，每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占． （1）补充完整下述2×2列联表，现按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，求这18人中男生和女生的人数； 《红楼梦》 《三国演义》 男生 女生 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关? 参考公式：，其中．参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 16. 国内某企业研发了一款产品，根据产品成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价（单位：元/件）与月销售量（单位：万件），并得到随机变量相对应的一组数据为． （1）根据相关系数（结果保留两位小数），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．（参考数据：） （2）建立关于的经验回归方程，并估计当产品的月销售量86875件时，该产品的售价约为多少？ 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小 二乘估计公式分别为：． 17. 已知数列满足； （1）求数列的通项公式. （2）若数列，求数列的前项和. 18. 为了解并普及人工智能相关知识、发展青少年科技创新能力，某中学开展了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类有若干道题），各类试题的分值及小明答对的概率如表所示，每道题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮，每轮回答一道题，依次进行，每轮得分之和即为参赛选手的总得分． 甲类题 乙类题 丙类题 每题分值 10 20 40 每题答对概率 小明参加竞赛，有两种方案可以选择： 方案一：回答三道乙类题； 方案二：第一轮在甲类题中选择一道作答，若正确，则进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，进入第二轮答题，否则退出比赛；第二轮在丙类题中选择一道作答，若正确，则进入第三轮答题，否则退出比赛；第三轮在乙类题中选择一道作答． （1）方案一中，在小明至少答对2道乙类题的条件下，求小明恰好答对2道乙类题的概率； （2）为使总得分的数学期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由． 19. 已知，函数． （1）讨论的单调性： （2）若恒成立．求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 华清中学2024-2025学年高二年级下学期期末考试 数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 命题人：罗海鹏 校对人：黄红艳 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的定义求出，结合交集与补集运算即可求解. 【详解】因为，所以， 则， 故选：D 2. 色差和色度是衡量玩具质量优劣的重要指标，已知该产品的色度和色差之间满足线性相关关系，且，现有一对测量数据为（30,22.8），则该数据的残差为（ ） A. 0.6 B. 0.4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入回归方程，求出预测值，从而求出残差. 【详解】当时，， 所以该数据的残差为． 故选：A． 3. 下列不等式的解集为的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由完全平方数判断A，举反例判断BCD即可. 【详解】对于A，因为恒成立，故A正确； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当是，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：A. 4. 已知实数，则的（ ） A. 最小值为1 B. 最大值为1 C. 最小值为 D. 最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】由基本不等式得出结果. 【详解】因为， 当且仅当即时取等号； 故最大值为， 故选：D. 5. 为了加强家校协作，华清中学4月召开了2024-2025学年度家长会，高二某班计划让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，会后合影留念，要求2名家长不相邻，3名优秀学生代表也不能相邻，则不同排法共有（ ） A. 72 B. 84 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】 【分析】由计数原理结合排列组合知识即可求解. 【详解】当班干部是第一个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第二个发言的时候，满足题意的排法有， 当班干部是第三个发言的时候，满足题意的排法有， 根据对称性可知，让1名班干部，2名家长，3名优秀学生代表发言，满足题意的发言顺序有. 故选：C. 6. 某学习小组对一组数据进行回归分析，甲同学首先求出回归直线方程，样本点的中心为.乙同学对甲的计算过程进行检查，发现甲将数据误输成，将这两个数据修正后得到回归直线方程，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，甲输入的为，即可求得以及，然后将正确数据代入，即可求得样本中心点，代入回归直线即可得到结果. 【详解】由题意可得，假设甲输入的为， 则，则， 且，则， 则改为正确数据时，，即， ，即，所以样本中心点为， 将点代入回归直线方程，得. 故选：D 7. 已知等比数列的首项 ，前项和为，且成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得等比数列的公比，然后根据等比数列前项和公式求得正确答案. 【详解】设等比数列的公比为， 由于成等差数列， 所以，由于， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B 8. 函数的最小值为（ ） A. -1 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式，当且仅当时等号成立，结合指数、对数运算可得可得解. 【详解】证明：令，所以， 令，解得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 即，即，当且仅当时等号成立. ， 由（当且仅当时等号成立）， （令，则在上单调递增， 又因为，， 所以在上有唯一解.） 所以的最小值为1. 故选：. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对任意实数a，b，c，下列命题为真命题的是（ ） A. “”是“”的充要条件 B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”是“”的必要不充分条件 D. “”是“”的充分不必要条件 【答案】CD 【解析】 【分析】根据等式或不等式的性质结合，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】对于A,根据等式的性质，由可以推出， 当时，推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误; 对于B，如，但，所以推不出， 如，但，所以推不出， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误; 因为若则一定成立，但若则不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故C正确; 由得，，由可推出，不能推出， 所以是的充分不必要条件，即”是“”的充分不必要条件， 故D正确; 故选:CD. 10. 随机变量且，随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】对于AB，根据正态分布的期望方差性质可判断；对于C，根据及二项分布期望公式可求出p；对于D，根据二项分布方差的计算公式可求出，进而求得. 【详解】对AB，因为且，所以， 故，，选项A正确，选项B错误； 对C，因为，所以，所以，解得，选项C正确； 对D，，选项D错误， 故选：AC. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 有3个零点 C. 若关于的方程有四个不同实根，则 D. 若，恒成立，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据分段函数的解析式和导数相关知识判断函数的单调性，即可判断；令，分段求出的值即可判断；先解方程求出的值，再根据函数的单调性和最值画出函数图象，通过方程的根与图象的公共点之间的联系进行转化，进而判断；由已知将问题转化为求函数，的最大值问题，通过求导判断函数的单调性即可求解最值，进而求解的范围. 【详解】当时，，此时在上单调递增， 当时，，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以的单调递增区间为，故A正确； 当时令，得， 当时，令，得，所以函数有2个零点，故B错误； 因为，即， 所以或， 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数有最大值， 当时，，所以的图象如图所示， 由图可知有一个根， 若满足关于的方程有四个不同实根， 则有三个不同实根，所以，故C正确； 若，恒成立，则， 令，，所以， 由，得（舍）或， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，有最大值为，所以， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 为了增强华清中学学生的身体体质，学校开展了丰富多彩的课间活动，最受欢迎的为羽毛球和踢毽子.经学生会调查，学生中有的同学爱好羽毛球，的同学爱好踢毽子，的同学爱好羽毛球或爱好踢毽子.在校园随机调查一位同学，若该同学爱好踢毽子，则该同学也爱好羽毛球的概率为_________. 【答案】0.8## 【解析】 【分析】首先求得，再根据条件概率公式即可求解. 【详解】设该同学爱好羽毛球为事件，该同学爱好踢毽子为事件， 则， 故所求为. 故答案为：0.8. 13. 将一枚质地均匀的硬币抛掷次，记随机变量为正面向上的次数，若最大，则的展开式中常数项为____________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，且，可求出的值，再根据二项式的通项公式即可求解. 【详解】， 因为最大， 所以，且， 即，解得， 且，解得. 又因为，所以， 所以的通项公式为， 令，解得， 所以. 所以的展开式中常数项为. 故答案为：. 14. 近两年，全国各地召开了多场演唱会，小明参加完高考，前往外地参加偶像演唱会，已知他乘坐飞机､动车和非机动车的概率分别为0.2，0.5，0.3，现在知道他乘坐飞机､动车和非机动车迟到的概率分别为.现在已经知道他迟到了，则他乘坐的是飞机的概率为_______________. 【答案】 【解析】 【分析】记事件“小明迟到”，事件“乘飞机”，事件“乘动车”，事件“乘非机动车”，由全概率公式求出，再根据贝叶斯公式求解即可. 【详解】记事件“小明迟到”， 事件“乘飞机”，事件“乘动车”，事件“乘非机动车”， 则 ， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 我校高二语文组对学生提出“读一本书”的要求，每个学生都选择且只能选择《红楼梦》和《三国演义》中的一本，现随机调查男、女生各100人，发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占． （1）补充完整下述2×2列联表，现按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人，求这18人中男生和女生的人数； 《红楼梦》 《三国演义》 男生 女生 合计 （2）根据小概率值的独立性检验，能否认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关? 参考公式：，其中．参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）列联表见解析，男生人数为，女生人数为 （2）有关 【解析】 【分析】（1）根据题目所给的总人数及比例关系，逐步推出各单元格的具体数值，再结合分层抽样即可求解； （2）通过公式计算卡方统计量，与临界值比较判断即可. 【小问1详解】 由题意，随机调查男、女生各100人， 发现选择《三国演义》的有110人，其中女生占， 所以女生选择《三国演义》的人数：， 男生选择《三国演义》的人数：， 女生选择《红楼梦》的人数：， 男生选择《红楼梦》的人数：， 列联表补充如下： 《红楼梦》 《三国演义》 合计 男生 30 70 100 女生 60 40 100 合计 90 110 200 按性别用分层抽样的方式从选择《红楼梦》的学生中抽取18人， 所以男生人数为，女生人数为． 【小问2详解】 零假设为 ：学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别无关， 由题意及（1）得， ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为学生选择《红楼梦》还是《三国演义》与性别有关. 16. 国内某企业研发了一款产品，根据产品成本，每件产品售价不低于43元，经调研，产品售价（单位：元/件）与月销售量（单位：万件），并得到随机变量相对应的一组数据为． （1）根据相关系数（结果保留两位小数），判断是否可以用线性回归模型拟合与的关系，当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性．（参考数据：） （2）建立关于的经验回归方程，并估计当产品的月销售量86875件时，该产品的售价约为多少？ 参考公式：相关系数回归方程中斜率和截距的最小 二乘估计公式分别为：． 【答案】（1）,可以认为两个变量有很强的线性相关性； （2），售价为46元/件. 【解析】 【分析】（1）由已知条件中的数据计算相关系数，从而作出判断； （2）由最小二乘法得出回归方程，根据产品的月销售量估计售价. 【小问1详解】 ， ， ， ， 则相关系数为， 因为，所以可以用线性回归模型拟合与的关系. 【小问2详解】 设关于的经验回归方程为， ， ． 则关于的经验回归方程为， 因为86875件为8.6875万件，即， 所以由（万件）得， 故当售价为46元/件时，该产品的月销售量约为86875件. 17. 已知数列满足； （1）求数列的通项公式. （2）若数列，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意由二项式定理可得. （2）利用错位相减求和法即可求解. 【小问1详解】 ， 所以， 所以数列的通项公式为； 【小问2详解】 因为 ， 所以， 两式相减得， ， . 18. 为了解并普及人工智能相关知识、发展青少年科技创新能力，某中学开展了“科技改变生活”人工智能知识竞赛，竞赛试题有甲、乙、丙三类（每类有若干道题），各类试题的分值及小明答对的概率如表所示，每道题回答正确得到相应分值，否则得0分，竞赛分三轮，每轮回答一道题，依次进行，每轮得分之和即为参赛选手的总得分． 甲类题 乙类题 丙类题 每题分值 10 20 40 每题答对概率 小明参加竞赛，有两种方案可以选择： 方案一：回答三道乙类题； 方案二：第一轮在甲类题中选择一道作答，若正确，则进入第二轮答题；若错误，继续回答另一道甲类题，该题回答正确，进入第二轮答题，否则退出比赛；第二轮在丙类题中选择一道作答，若正确，则进入第三轮答题，否则退出比赛；第三轮在乙类题中选择一道作答． （1）方案一中，在小明至少答对2道乙类题的条件下，求小明恰好答对2道乙类题的概率； （2）为使总得分的数学期望最大，小明应选择哪一种方案？并说明理由． 【答案】（1） （2）小明应该选择方案一，理由如下： 设方案一中小明答对乙类题的题数为．总得分为， 由题意知，则， 所以． 设方案二中小明的总得分为，由题意得的可能取值为0，10，50，70， 则，， ，， 所以， 所以． 所以小明应该选择方案一． 【解析】 【分析】（1）记事件为“小明至少答对2道乙类题”，事件为“小明恰好答对2道乙类题”，结合独立重复试验的概率公式和条件概率的计算公式，即可求解； （2）设方案一中小明答对乙类题的题数为，总得分为，利用二项分布的期望和期望的性质，求得；再由方案二中，得到小明的总得分为的可能取值，求得相应的概率，利用期望的公式，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 解：记事件为“小明至少答对2道乙类题”，事件为“小明恰好答对2道乙类题”， 则，， 所以. 【小问2详解】 小明应该选择方案一，理由略. 19. 已知，函数． （1）讨论的单调性： （2）若恒成立．求的取值范围． 【答案】（1） 的定义域为， 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，令，解得；令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （2）． 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间； （2）依题意可得，从而得到在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，利用导数求出，即可求出参数的取值范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由在上恒成立， 可得在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为在上均单调递增，则在上单调递增； 由在上恒成立，可得恒成立， 则在上恒成立，即在上恒成立， 令，则， 所以当时，当时， 则在上单调递减，在上单调递增； 故， 则，解得， 故的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $