精品解析：湖北省恩施土家族苗族自治州巴东县2024-2025学年八年级下学期期中教学质量监测数学试卷

2025年春季学期期中教学质量监测 八年级数学试题卷 范围：第十六章至第十八章 考时：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答，填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. 为一切实数 B. C. D. 2. 如图所示，在ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ） A. OA=OC B. ∠ABC=∠ADC C. AB=CD D. AC=BD 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 三角形的三个内角之比为 B. 三角形的三边长之比为 C. 三角形的三个角满足 D. 三角形的三边长分别为 5. 下列命题：①两直线平行，同位角相等；②两个全等三角形的面积相等；③线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：④若，则．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 如图，矩形的对角线和相交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如果，，下列各式： ① ② ③ ④． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 8. “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）尺． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 9. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 10. 观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 12. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是______． 13. 如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 14. 在第十九届恩施州青少年科技创新大赛中，某同学的一副获奖作品外观为一黄金矩形，最具美感，即矩形的宽与长之比为，该矩形的长为厘米，则其宽为______厘米． 15. 如图，已知正方形，点为上的点（不与点重合），，且，连接，则与的数量关系为______． 三、解答题（共75分） 16. 计算 17. 观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． （1）仿照上述过程，化简：； （2）若，直接写出与之间的关系． 18. 如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，四边形的顶点均在格点上． （1）求线段的长； （2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得，并简单说明理由． 20. 如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下．然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了．纸盒的底面是什么形状？为什么？ 21. 如图，过平行四边形的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交所在的直线于四点，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． 22. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 23. 矩形的对角线交于点，． （1）如图1，，，点在边上，点在边上，求证：； （2）如图2，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，求的值； （3）如图3，，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，直接写出线段的长度． 24. 如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形是平行四边形时，求t的值； （2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； （3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期期中教学质量监测 八年级数学试题卷 范围：第十六章至第十八章 考时：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本试卷分试题卷和答题卷两个部分． 2．答题前，请你务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷上，并填写答题卷上的考生信息． 3．选择题务必使用2B铅笔在答题卷选择题的答题区域内填涂；非选择题务必使用黑色签字笔在答题卷非选择题各题指定的答题区域内作答，填涂、书写在试题卷上的一律无效． 4．考试结束，试题卷、答题卷一并上交． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 二次根式有意义，则的取值范围是（ ） A. 为一切实数 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负即可求解． 【详解】∵， ∴， ∴当为一切实数时，二次根式有意义． 故选：A． 2. 如图所示，在ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ） A. OA=OC B. ∠ABC=∠ADC C. AB=CD D. AC=BD 【答案】D 【解析】 【详解】A．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意； B．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC，正确，不符合题意； C．∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，正确，不符合题意； D．根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC=BD，错误，符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．注意：平行四边形的性质是：①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质，利用二次根式的性质化简是解题的关键．根据二次根式的性质，逐项分析即可得出答案． 【详解】A．，故此选项计算错误，不符合题意； B．，而，，故此选项计算错误，不符合题意； C．，故此选项计算错误，不符合题意； D．，故此选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 下列三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 三角形的三个内角之比为 B. 三角形的三边长之比为 C. 三角形的三个角满足 D. 三角形的三边长分别为 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 本题考查的是直角三角形的判定及勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 【详解】解：A、最大的内角的度数为，是直角三角形，故本选项不符合题意； B、设三角形的三边长为，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； C、因为，，则，是直角三角形，故本选项不符合题意； D、设三角形的三边长为，则，不能构成三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 5. 下列命题：①两直线平行，同位角相等；②两个全等三角形的面积相等；③线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等：④若，则．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查命题真假的判断，互逆命题的定义，需要判断每个命题的原命题和逆命题是否均为真命题，逐一分析后统计符合条件的个数． 【详解】解：①原命题：“两直线平行，同位角相等”是真命题（平行线性质定理）； 逆命题：“同位角相等，两直线平行”也是真命题（平行线判定定理）；故①符合题意； ②原命题：“两个全等三角形的面积相等”是真命题（全等三角形性质）； 逆命题：“面积相等的三角形全等”是假命题（反例：底和高不同但面积相等的三角形不全等）；故②不合题意； ③原命题：“线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等”是真命题（垂直平分线性质定理）； 逆命题：“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”也是真命题（垂直平分线判定定理）；故③符合题意； ④原命题：“若，则”是真命题（当时，无意义，故条件成立时）； 逆命题：“若，则”也是真命题（当时，有意义且值为1）；故④符合题意； 综上，命题①、③、④的原命题和逆命题均为真命题，共3个； 故选：C． 6. 如图，矩形的对角线和相交于点，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由矩形的性质得出，再结合，则是等边三角形，即可作答． 【详解】解：∵矩形的对角线和相交于点， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴是等边三角形， ∴， 故选：D 7. 如果，，下列各式： ① ② ③ ④． 其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除运算．由条件且可知、均为负数．根据平方根的性质和运算规则，逐一验证各式的正确性． 【详解】解：∵， ∴、同号，， ∵， ∴、均为负数， 和在实数范围内无意义，故①错误； ，不一定等于1，故②错误；故④正确； ，故③正确； 故选：D 8. “引葭赴岸”是《九章算术》中的一道题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？”我们所学课本中解读是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有1根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则这根芦苇的长度是（ ）尺． A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正确勾股定理的应用；找到题中的直角三角形，设芦苇长为x尺，则水深尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺， 设芦苇长为x尺，则水深尺， 由勾股定理得：， 解得：， 即这根芦苇的长度是13尺． 故选：C． 9. 如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，过点D作于点H，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 8 C. 6 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，则，由直角三角形斜边上的中线性质得出，再由菱形的面积求出，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵菱形的面积， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，菱形的面积公式，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线性质求得． 10. 观察下列勾股数的规律： 第1组：，其中； 第2组：，其中； 第3组：，其中； 第4组：，其中；…… 则第组勾股数中，最大的数（斜边）是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，根据所给的每组勾股数找出各数与组数的规律是解答此题的关键． 观察各组勾股数的规律，发现每组第一个数为奇数，第二个数与第一个数存在特定关系，进而推导斜边的表达式． 【详解】解：第1组到第4组的第一个数依次为3，5，7，9，均为奇数且公差为2，故第组的第一个数为． 第二个数依次为4，12，24，40，可表示为，展开后为． ∴斜边为前两个数的平方和的平方根， 即：， ∴ ∴ ∴斜边， 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B．若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向是______． 【答案】北偏西60° 【解析】 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【详解】解：甲的路程：， 乙的路程：， ， 甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系， 甲客轮沿着北偏东， 乙客轮的航行方向是北偏西60°， 故答案为：北偏西60°． 【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理的应用、方位角，解题的关键是掌握如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形． 13. 如图，线段相交于点，且图上各点把线段四等分，这些点可以构成的平行四边形的个数是______个． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，先理解各点把线段四等分，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可作答． 【详解】解：如图所示： ∵线段相交于点，且图上各点把线段四等分， ∴ ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形， 故答案为：4 14. 在第十九届恩施州青少年科技创新大赛中，某同学的一副获奖作品外观为一黄金矩形，最具美感，即矩形的宽与长之比为，该矩形的长为厘米，则其宽为______厘米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金比以及二次根式的混合运算，先理解题意，进行列式，结合二次根式的混合运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：∵矩形的宽与长之比为，该矩形的长为厘米， ∴（厘米） 故答案为： 15. 如图，已知正方形，点为上的点（不与点重合），，且，连接，则与的数量关系为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理， 在上取一点G，使，先根据正方形的性质得，再根据“同角的余角相等”得，然后根据“边角边”证明，可得，最后根据勾股定理求出答案． 【详解】解：如图所示，在上取一点G，使， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 即． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴. 在中，， ∴， 即． 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 计算 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法，零次幂、化简绝对值、负整数指数幂，先化简零次幂、绝对值、负整数指数幂，再运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 观察、思考、作解答： ， 反过来，． ，． （1）仿照上述过程，化简：； （2）若，直接写出与之间的关系． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，完全平方公式的变形运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）模仿题干过程，得，故，即可作答． （2）因为，则，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意 ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 即，． 18. 如图，点为直线外一点，垂直于直线，垂足为．在图中作正方形，使点、在直线上（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）：并根据作图证明所作四边形是正方形． 【答案】 正方形即为所作， 证明：， 四边形是平行四边形，且， 平行四边形是矩形， ， 矩形是正方形． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定．以点为圆心，为半径作，延长交于点，连接，，，，则四边形是正方形． 【详解】略 19. 如图，在边长为1的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，四边形的顶点均在格点上． （1）求线段的长； （2）请用无刻度的直尺，在线段上找一点，使得，并简单说明理由． 【答案】（1） （2） 如图， 取格点，则在中：， 在中：， ， 又， ， ， 同理可得：． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，熟练运用股沟定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求解即可； （2）取格点，则点即为所作，利用勾股定理逆定理说明即可． 【小问1详解】 解：如图，取格点 则， 在中：； 【小问2详解】 略 20. 如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下．然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了．纸盒的底面是什么形状？为什么？ 【答案】矩形，它的四个角都是直角 【解析】 【分析】根据长方体展开图的特征即可求解． 【详解】解：纸盒的底面是长方形形状，因为符合无盖长方体展开图的特征． 【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体，通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形． 21. 如图，过平行四边形的对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交所在的直线于四点，连接．试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】 四边形是菱形． 证明：四边形是平行四边形， ， ，， 是的中点， ， ， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定和性质，菱形的判定．由平行四边形的性质可推出，，即可利用“”证明，得出．同理可得出，再结合题意，即证明四边形为菱形． 【详解】略 22. （1）问题再现：学习二次根式时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题，如，“求代数式的最小值”．小强同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作两直角边分别是和4的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是______． （2）类比计算：已知均为正数，且．求的最小值． （3）迁移问题：已知平面直角坐标系中，，，，直接写出的最小值． 【答案】（1）10（2）17（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，线段和最值问题，解题的关键在于能够准确读懂题意，利用勾股定理求解． （1）先根据题意利用勾股定理求出，，则，要想的值最小，则的值最小，即当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为，由此利用勾股定理求出的值即可； （2）如图所示，，利用勾股定理求出，然后同（1）求解即可； （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，得，当三点共线时，的值最小，最小值为的长，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为10， 故答案为：10； （2）如图所示，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要想的值最小，则的值最小， ∴当A、D、B三点共线时，的值最小，最小值为， 过点B作交延长线于F， ∵， ∴由长方形的性质得，， ∴， ∴， ∴的最小值为17， （3）过点A作y轴的对称点，连接，交y轴于点P，如图， 由对称性知，， ∴， ∴当三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵， ∴， 又， ∴， ∴的最小值为． 23. 矩形的对角线交于点，． （1）如图1，，，点在边上，点在边上，求证：； （2）如图2，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，求的值； （3）如图3，，，，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，若，直接写出线段的长度． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴四边形为正方形， ∴，， 又， ∴ ∴在和中 ∴ ∴ （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质证明全等即可得到答案， （2）在上取使得，证明，证明为顶角为的等腰三角形，利用等腰三角形的性质得到的数量关系，可得答案， （3）如图所示，过点O作OG⊥CD于G，OF⊥AD于F，过点N作NH⊥OM于H，过点M作ME⊥OG交OG延长线于E，连接MN，则四边形OFDG、四边形OFME、四边形GDME都是矩形，设DM=DN=x，则，，，推出，，，，再由，得到，由此求解即可． 【详解】（1）略 （2）在上取使得， 矩形 ∵， ∴， ∴在与中 ∴， ∴，∴ ∴ ∴，即为顶角为的等腰三角形， ∴设，过D作于， ∴ ． ∴ （3）如图所示，过点O作OG⊥CD于G，OF⊥AD于F，过点N作NH⊥OM于H，过点M作ME⊥OG交OG延长线于E，连接MN，则四边形OFDG、四边形OFME、四边形GDME都是矩形， ∴， ∵AO=CO， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴AO=CO=5， ∴， ∴DG=4， ∴ME=DG=4， ∵∠NOH=45°，∠NHO=90°， ∴∠HNO=∠HON=45°， ∴NH=OH， ∴， 设DM=DN=x，则，，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． 24. 如图，在四边形中，，，，，动点P从点A出发，以的速度向点B运动，同时动点Q从点C出发，以的速度向点D运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒． （1）当四边形是平行四边形时，求t的值； （2）当________时，四边形是矩形；若且点Q的移动速度不变，要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是________； （3）在点P、Q运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【答案】（1） （2）7；4 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形对边相等的性质得到关于t的方程即可得解； （2）根据矩形及正方形的性质列方程求解即可； （3）根据菱形的性质可以算得四边形成为菱形的t值，并算出、的值，再根据勾股定理可以得到的值． 【小问1详解】 解：当四边形是平行四边形时，， ∴， 解得． 【小问2详解】 解：若四边形是矩形，则： ， ∴， 解得：； 若四边形是正方形，则： ， ∴, 解得：， 设P点运动速度为，则由可得： ， 解得：， ∴当要使四边形能够成为正方形，则P点移动速度是； 故答案为：7；4； 【小问3详解】 解：如图， 若四边形是菱形，则， ∴， 解得：， ∴，， ∵，， ∴， 在中， ． 【点睛】本题考查平行四边形、矩形、菱形、正方形的应用，勾股定理，熟练掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形有关边的性质、勾股定理的应用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $