第9章 平面直角坐标系 暑假作业 2024--2025学年人教版七年级数学下册

限时练习：40min        完成时间：    月    日           天气：   作业06 平面直角坐标系 一、平面直角坐标系 1. 平面直角坐标系的定义： 平面内两条相互垂直且原点重合的数轴组成了平面直角坐标系． 2. 平面直角坐标系各部分名称：    ①两数轴的交点叫做平面直角坐标系的原点．    ②水平的数轴叫做平面直角坐标系的横轴或x轴．取向右为正方向．    ③竖直的数轴叫做平面直角坐标系的纵轴或y轴．取向上为正方向． 3. 点的坐标： 平面上的点都可以用坐标来表示．点的坐标由横坐标和纵坐标构成．过点作x轴的垂线，垂足点所对应的数就是该点的横坐标 ．过点做y轴的垂线，垂足点在y轴上所对应的数就是该点的纵坐标． 4. 象限及其象限的坐标特点： ①平面直角坐标系把平面分成了四部分，从而得到了四个象限．分别叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限．       ②第一象限的坐标特点为（﹢ ， ﹢ ）．       ③第二象限的坐标特点为（﹣ ， ﹢ ）．       ④第三象限的坐标特点为（﹣ ， ﹣ ）．       ⑤第四象限的坐标特点为（﹢ ， ﹣ ）． 5. 特殊位置点的坐标特点：    ①x轴上的坐标特点为纵坐标等于0．即  （x，0）．    ②y轴上的坐标特点为横坐标等于0．即  （0，y）．    ③一三象限角平分线上的点的坐标横坐标与纵坐标相等．即（x，y）在一三象限角平分线上，则 x＝y．    ④二四象限角平分线上的点的坐标横坐标与纵坐标互为相反数．即（x，y）在二四象限角平分线上，则x＝﹣y．        ⑤平行于x轴或垂直于y轴的直线上的两点的坐标特点是纵坐标相等．这两点之间的距离等于横坐标之差的绝对值．        ⑥平行于y轴或垂直于x轴的直线上的两点的坐标特点是横坐标相等．这两点之间的距离等于纵坐标之差的绝对值． 6. 点到坐标轴的距离：    ①点P（x，y）到x轴的距离等于纵坐标的绝对值．即 |y| ．    ②点P（x，y）到y轴的距离等于横坐标的绝对值．即 |x| ． 7. 坐标方法的简单应用：    ①用坐标表示地理位置．    ②用坐标表表示平移： （1）左右平移：坐标左右平移时纵坐标不变，在横坐标进行加减平移单位．右加左减． 若点P（x，y）向右平移a个单位得到的点的坐标时（x＋a，y）．若点P（x，y）向左平移a个单位得到的点的坐标时（x－a，y）． （2）上下平移：坐标上下平移时横坐标不变，在纵坐标进行加减平移单位．上加下减． 若点P（x，y）向上平移a个单位得到的点的坐标时（x，y＋a）．若点P（x，y）向下平移a个单位得到的点的坐标时（x，y－a）． （3）平面直角坐标系中图形的平移：把图形中的关键点 按照点的平移规律进行平移得到相应的对应点，按照原图形连接对应点． 8. 平面直角坐标系中求图形的面积： 常采用割或补的方法求得． 三层必刷：巩固提升＋能力培优＋创新题型 1．在平面直角坐标系内有一点，若点位于第四象限，并且点到轴和轴的距离分别为，，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列说法正确的是（　　） A．点一定在第四象限 B．若，则点表示原点 C．已知点轴，且，则B点的坐标为 D．已知点与点，则直线平行y轴 4．为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”对应的坐标分别为，，则“科”所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．点在轴上，点在轴上，那么的值为（   ） A． B． C． D． 6．已知直线轴，点的坐标为，并且线段，则点的坐标为（   ） A． B． C．或 D．或 7．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为 ． 8．平面直角坐标系中，我们把点的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点的勾股值，记为：，即，则点的勾股值为 ． 9．如图，直角坐标系中，的顶点都在网格点上，其中，C点坐标为． (1)填空：点A的坐标是 　 　 ，点B的坐标是 　 　 ； (2)将先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到．请写出的三个顶点坐标； (3)求的面积． 10．已知点． (1)若点M在x轴上，求点M的坐标； (2)已知点，且直线轴，求点M的坐标； (3)若点M到x轴、y轴的距离相等，求点M的坐标． 11．如图，平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，直线过点且平行于轴，点的坐标为，根据图中点的位置，下列结论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 12．如果将平面直角坐标系中的点平移到点的位置，那么下列平移方法中正确的是（      ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度 B．向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度 C．向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 D．向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度 13．在平面直角坐标系中，把点向右平移5个单位得到点，则的值为 ． 14．在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点P为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称点Q为“快乐点”，若点A既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为 ； 15．在平面直角坐标系中，对于点，，记，，将称为点，的横纵偏差，记为，即．若点在线段上，将的最大值称为线段关于点的横纵偏差，记为． (1)，， ①的值是　　； ②点在轴上，若，则点的坐标是 ． (2)点，在轴上，点在点的上方，，点的坐标为． ①当点的坐标为时，求的值； ②当线段在轴上运动时，直接写出的最小值及此时点的坐标． 16．在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，则称点是点的“阶和谐点”（为常数，且）．例如：点的“2阶和谐点”为点，即点的坐标为． （1）若点的“3阶和谐点”为点，则点的坐标为 ； （2）若点的“阶和谐点”到轴的距离为7，则的值为 ． 17．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义： 若则点与点的“识别距离”为； 若，则点与点的“识别距离”为． 例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4． 【初步理解】 （1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为 ． 【深入应用】 （2）已知点，点B为y轴上的一个动点， ①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标； ②点A与点B的“识别距离”的最小值为 ． 【知识迁移】 （3）已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《暑假作业06 平面直角坐标系-【暑假分层作业】2025年七年级数学暑假培优练（人教版2024）》参考答案： 1．B 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第四象限内点的横坐标是正数，纵坐标是负数，即可求解． 【详解】解：∵点在第四象限，且点到轴和轴的距离分别为，， ∴点的横坐标是，纵坐标是，即点的坐标为． 故选：B． 2．B 【分析】先根据偶次方的非负性判断的正负，然后根据点的坐标正负判断点的位置即可．本题主要考查了点的坐标，解题关键是熟练掌握平面直角坐标系中各个象限点的坐标特征． 【详解】解：∵， ∴， ∴点一定在第二象限， 故选：B． 3．D 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，正确把握点的坐标特点是解题的关键．本题直接利用坐标轴上点的坐标特点以及平行于坐标轴的直线上点的关系分别分析即可得出答案． 【详解】A．当时，点在x轴上，故该选项错误，不符合题意； B．若，则点可能在轴上，可能在y轴上，也可能表示原点，故该选项错误，不符合题意； C．已知点轴，且，则B点的坐标为或，故该选项错误，不符合题意； D．已知点与点，则直线平行轴，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了坐标系的建立与象限，熟练掌握坐标系的建立与象限的特点是解题的关键．根据“创”“新”对应的坐标分别为，，判定“新”在原点，“创”在x轴的负半轴，过点原点与x轴铅直的直线为y轴所在直线，这样就可以判定“科”在第二象限，解答即可． 【详解】解：根据“创”“新”对应的坐标分别为，， 故“新”在原点，“创”在x轴的负半轴，过点原点与x轴铅直的直线为y轴所在直线， 故“科”在第二象限， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了点的坐标，熟记坐标轴上点的坐标特征是解题的关键． 根据轴上点的纵坐标为，轴上点的横坐标为列方程求出、的值，然后代入代数式进行计算即可解答． 【详解】解：点在轴上，点在轴上， ，， ，， ， 故选：A． 6．D 【分析】本题考查了坐标与图形．根据题意得出的纵坐标为，根据，得出点的横坐标，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，点的坐标为， ∴的纵坐标为， ∵， ∴点的横坐标为或， ∴则点的坐标为或， 故选：D． 7． 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点的坐标． 【详解】解：∵点的坐标为，点的坐标为， ∴建立坐标系如下： ∴点B的坐标为． 故答案为： 8．4 【分析】本题考查了新定义，化简绝对值，先理解的定义，再结合点，进行列式计算，即可求出勾股值． 【详解】解：∵点， ∴， ∴点的勾股值为4． 故答案为：4． 9．(1)， (2) (3)5 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标、坐标与图形——平移变换、网格中求三角形的面积，理解平移性质是解答的关键． （1）直接根据点的位置写出坐标即可； （2）利用平移性质得到平移后的对应点，再顺次连接即可得到平移后的图形； （3）利用割补法求解三角形的面积即可． 【详解】（1）解：； 故答案为，； （2）解：如图，为所作；； （3）解：． 10．(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据在x轴上的点，纵坐标为0，可以求出a的值，进而求出点M的坐标； （2）根据直线 轴，得到纵坐标相等，可以求出a的值，进而求出点M的坐标； （3）点 到x轴、y 轴的距离相等，得到点M的横坐标，纵坐标相等，或者互为相反数，可以求出a的值，进而求出点M的坐标． 【详解】（1）∵点M在x轴上， ∴， ∴， ∴点M的坐标是； （2）∵直线轴，， 解得， 所以，点M的坐标为. （3）∵点到轴、轴的距离相等． ∴或， 解得或． ∴或，． ∴点的坐标为或． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系，以及坐标平面内点的坐标特征，解题的关键是熟知在坐标轴上的点的坐标特征，以及平行于坐标轴的点的坐标特征，以及到两坐标轴距离相等的点的坐标特征． 11．D 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标．根据点在的右侧，可知，根据点在的上方，轴的下方，可知． 【详解】解：如图所示， 点在的右侧， ， 又点在的上方，轴的下方， ． 故选：D． 12．C 【分析】本题考查了点的平移的性质，平移规律：横坐标是左减右加，纵坐标是上加下减，据此即可作答． 【详解】解：∵将平面直角坐标系中的点平移到点的位置， ∴ ∴平移方法是向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度 故选：C 13．3 【分析】本题主要考查了坐标系中点的平移规律，平移中点的坐标规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，熟知点的坐标平移规律是解题的关键． 根据横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减即可得出答案． 【详解】解：∵把点向右平移5个单位得到点， ∴，即： ∴． 故答案为：． 14． 【分析】本题主要考查新定义，解二元一次方程组，点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A坐标应该满足和，解即可得答案 【详解】解：点A既是“健康点”又是“快乐点”，则A坐标应该满足和， 解 得：， ∴A的坐标为； 故答案为： 15．(1)①5；②或 (2)①；②的最小值是3，此时点P的坐标是或 【分析】（1）①根据的含义即可求得； ②设，则可得与，由即得关于x的方程，解方程即可； （2）①由已知易得点P的坐标，设点为线段上任意一点，则，从而可得与，进而求得，由t的取值范围即可求得的最大值，最后可求得的值； ②由已知易得或，设点，则，求出及，当时，有最小值，从而可得关于t的方程，解方程即可求得t的值，从而可求得此时的最小值及点P的坐标． 【详解】（1）解：①，， ，， 则， 故答案是5． ②，点在轴上，设， ，， ， ， 或，解得，或， 的坐标是或． 故答案是或． （2）解：①点、在轴上，点在点的上方，，点的坐标为， 点的坐标为， 设点为线段上任意一点，则； 点的坐标为， ，， ； 由，可得； ， 的最大值是4， ． ②，或， 设点，则， ，， 当时，有最小值， 即时，有最小值， 或，则有最小值为3， 点的坐标为或， 的最小值是3，此时点的坐标是或． 【点睛】本题是材料阅读题目，考查了平面直角坐标系中点与坐标，含绝对值的方程等知识，有一定的难度，关键是理解题目中及的意义． 16． 或 【分析】本题考查新定义，点的坐标，整式的加减，解一元一次方程等知识点，解题的关键是理解“阶和谐点”的定义， （1）依据“阶和谐点”的定义，结合点的坐标进行计算即可得出结论； （2）点的“阶和谐点”到x轴的距离为7，即可得到关于t的方程，进而得到t的值． 【详解】解：（1）点的“3阶和谐点”的坐标为， 即点的坐标为， 故答案为：； （2）∵点， ，． ∴点C的“阶和谐点”为， ∵点的“阶和谐点”到x轴的距离为7， ∴， ∴或． 解得 或 ． 故答案为：或． 17．（1）3；（2）①或；②2；（3）点C与D的“识别距离”的最小值为；相应的C点坐标为 【分析】（1）根据新定义分别计算，结合，可得答案； （2）①设点B的坐标为，根据“识别距离”的定义可得，化简绝对值即可得； ②根据“识别距离”的定义分情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可； （3）先求出时的值，再根据“识别距离”的定义分三种情况讨论，然后找出“识别距离”中的最小值即可． 【详解】解：（1）∵点， ∴，而， ∴点与点的“识别距离”为3； （2）①设点的坐标为，而， ， ∴点与的“识别距离”为， 解得：， 则点的坐标为或； ②点的坐标为，而， ， 若，则点的“识别距离”为； 若，则点的“识别距离”为． ∴点与点的“识别距离”的最小值为2． 故答案为：2． （3）由得：或， 解得：或， 因此，分以下三种情况： 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 当时，， 则点与点的“识别距离”为， 此时， 由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为， 此时， 则点C的坐标为． 【点睛】本题考查了新定义的含义，点坐标，绝对值运算，解一元一次方程，不等式的性质等知识点，较难的是题（3），理解新定义，正确分情况讨论是解题关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$