精品解析：湖南省岳阳市平江县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

湖南省岳阳市平江县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在1，﹣2，0，这四个数中，绝对值最大的数是（　　） A. ﹣2 B. 0 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据绝对值的意义求出每个数的绝对值，比较大小即可． 【详解】解：在1，﹣2，0，这四个数中， ，，，， ∵， ∴绝对值最大的数是：， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，能准确求出一个数的绝对值是解本题的关键． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式等知识点．根据合并同类项、幂的乘方与积的乘方、完全平方公式运算法则运算判断即可． 【详解】解：A、和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意； B、，原计算正确，符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：B． 3. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 4. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 8 B. 6 C. −4 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，． 首先根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，然后把前面的值代入即可求出其值． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴ 故选：A． 5. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A. 随机 B. 必然 C. 不可能 D. 确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念，解题的关键是掌握相关的概念．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：由题可知， 将酚酞试剂滴入溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸四种溶液中溶液，变红色是随机事件． 故选：A． 6. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键． 根据题意得到共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况，计算即可得到答案． 【详解】解：根据题意共有种等可能的情况：护绿植绿，志愿服务；护绿植绿，公益环保；护绿植绿，文化宣讲；志愿服务，公益环保；志愿服务，文化宣讲；公益环保，文化宣讲；恰好选中护绿植绿和文化宣讲的有种情况， 恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是， 故选：A． 7. 在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱；如果每9家共出270钱，又多了30钱．问共有多少户人家，每头牛的价钱是多少钱？设共有x户人家，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，明确题意，找到题中的等量关系是解题的关键．根据“如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱”可知每头牛的价钱是，“如果每9家共出270钱，又多了30钱” 可知每头牛的价钱是，即可得到答案． 【详解】解：如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱， 每头牛的价钱是； 如果每9家共出270钱，又多了30钱， 每头牛的价钱是； 则可列方程为． 故选：A． 8. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数与轴的交点问题．二次函数与轴有两个交点，则；与轴有一个交点，则；与轴没有交点，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：． 解得：， 故选：D 9. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用三角形内角和定理求出的度数，再利用圆周角定理即可解决问题． 【详解】解：如图，连接， 为的直径， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形的内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 10. 如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． 根据角平分线的定义可得的度数，可判断A；证明是等腰直角三角形，可得，可证明，再证明，可得，可判断B；证明是等腰三角形，可判断C；根据，可得，过点G作于点M，利用角平分线的性质可得，可证明，可得，从而得到，可判断D． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵，即， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵是等腰直角三角形，H是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，故C选项正确，不符合题意； ∵， ∴， 如图，过点G作于点M， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故D选错误，符合题意； 故选：D 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 12. 人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法表示方法，进行解答． 【详解】解：142亿用科学记数法表示为． 故答案为：． 13. 因式分解：___________． 【答案】 【解析】 【详解】原式 ． 14. 为了弘扬古诗词文化，某校举办了主题为“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”的古诗词知识竞赛，进入决赛的10名学生成绩统计如下表，这名学生决赛成绩的中位数应是_______分． 决赛成绩/分 人数/名 【答案】 【解析】 【分析】本题考查中位数的知识，解题的关键是先对这位学生的成绩从小到大的顺序排序，根据中位数的定义，即可． 【详解】先对这位学生的成绩进行排序， ∴，，，，，，，，，， ∴处于中间位置的两位数是平均数为：， ∴中位数为． 故答案为：． 15. 已知是反比例函数图象上的两点，则反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，由点A，B的坐标，利用反比例函数上点的坐标特征可得到，解得n的值即可确定k的值． 【详解】解：∵是反比例函数图象上的两点， ∴， 解得：， ∴． ∴反比例函数的表达式为， 故答案为：． 16. 如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m． 【答案】100 【解析】 【分析】由两角对应相等可得△BAD∽△CED，利用对应边成比例即可得两岸间的大致距离AB的长． 【详解】解：∵∠ADB=∠EDC，∠ABC=∠ECD=90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴， 即 ， 解得：AB= =100（米）． 故答案为100． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 17. 若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解、解不等式，根据方程的解得出不等式是解题的关键，易忽略分式方程的增根的情况，根据方程的解为负数且不能使分母为0，可得关于m的不等式，解不等式可得． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， 解得， ∵解是非负数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 18. 二次函数的图象经过点，，，与y轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于x的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 _____（填写序号）． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】先根据题意画出大致的图象，再令，可知，判断①；再根据抛物线与x的交点坐标可知对称轴的范围，即可判断②；根据三个点的横坐标，即可判断纵坐标之间的关系；最后根据抛物线与的交点情况判断即可． 【详解】∵抛物线与y轴正半轴相交，与x轴交点在y轴两侧， ∴抛物线开口向下， ∴当时，，所以①正确． ∵抛物线经过，，， ∴抛物线对称轴在与之间， ∴. ∵， ∴， 即，②错误． ∵，，， ∴点距离对称轴最远，点距离对称轴最近， ∴，③正确． 由图象可得抛物线与直线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， 即有两个不相等的实数根，④正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查了二次函数图像和性质，观察图像并从图像中获取信息是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26每题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，二次根式的运算，先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零次幂，二次根式的运算计算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 20. 先化简分式：，再从，，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．先根据分式混合运算法则进行化简，然后取时分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解： ， 由题意：、、、， ∴、、、， 故x取2， 当时， 原式． 21. 如图，点E，F在上，，，． （1）证明∶ ； （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， 在与中， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的全等判定和性质，三角形内角和定理； （1）由全等三角形的判定定理证得，则对应角相等； （2）利用（1）中的全等三角形的对应角相等得到：，然后根据三角形内角和定理计算即可； 熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， ， ，， ， ． 22. 某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生； （2）请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是　 　； （3）在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的概率． 【答案】（1）100 （2） ，补全图形如下： （3） 【解析】 【分析】（1）利用B地点的人数除以其所占的百分比即可得到结论，利用样本容量的意义解答即可． （2）根据条形统计图的特点，解答即可；根据圆心角等于所占百分比乘以周角，计算即可； （3）利用画树状图法解答即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得（人）， 故答案为：100． 【小问2详解】 解：根据题意，得喜欢A地的人数为：（人） C地点所占圆心角为：， 故答案为：144． 【小问3详解】 解：设九年级一班的两个人分别，，来自九年级二班3人分别，，， 根据题意，画树状图如下： 共有20种等可能的结果，来自同一个班的有8种， 故所选两位同学恰好来自同一个班概率为． 故来自同一个班的概率为． 【点睛】本题考查了条形统计图，扇形统计图，圆心角计算，样本容量的计算，画树状图法求概率，熟练掌握圆心角，样本容量，概率的计算是解题的关键． 23. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． （1）求甲旅行社一次最多能接待的人数； （2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ； （3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 【答案】（1）30人 （2） （3） 【解析】 【分析】（）当时，名学生的总费用为，得，依题意可得方程，解方程即可求解； （2）根据（1）得到答案列式计算即可； （3）分两种情况：和，列出不等式解答即可求解； 本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的应用，根据题意，掌握列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：若，则名学生的总费用为元， ∵， ∴， 依题意得，， 解得， 答：甲旅行社一次最多能接纳的人数为人； 【小问2详解】 根据题意可得，（元） 故答案为：； 【小问3详解】 解：当时，； 解得； 当时，， 解得； ∴每批组织人数的合理范围为． 24. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和锐角三角函数的实际应用． （1）由题意可知，从而得出，代入测量的平均值进行求解即可； （2）根据锐角三角函数的正切值分别得出，，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图， 由题意可知， ∴，即， 解得， ∴塔的高度为米； 【小问2详解】 解：如图， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即． ∴米， ∴塔的高度为米． 25. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 【答案】（1）22 （2） ①四边形是正方形，理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， 又， 四边形是正方形； ②2 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再由正方形的性质得，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论； ②过点作于点，证，得，，则，再由勾股定理求解即可； 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点，如图3所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型． 26. 已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图（1），点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值； （3）如图（2），过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）为定值8 【解析】 【分析】（1）根据顶点式设二次函数的解析式为，结合点，求得即可； （2）利用待定系数法求得直线的解析式为，设，，则的横坐标为，纵坐标为，利用平行可得，得到即可求得最值； （3）过点作轴交轴于点，求得，，设，则，，，利用平行得，有，求得，同理得，化简得即可． 【小问1详解】 解：根据抛物线的顶点为，设二次函数的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， 则； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为，过点，则， 解得， 那么直线的解析式为， 设，， 则的横坐标为，纵坐标为， 由轴，得， 解得， 当时，有最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：为定值．理由如下， 如图，过点作轴交轴于点， 在中，令解得或， 故，， 设，则，，， ， ， ， 同理，， ， ， 故是定值，且为8． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，涉及待定系数法求解析式、两点之间的距离、求二次函数的最值以及相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练二次函数的性质和相似三角形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省岳阳市平江县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在1，﹣2，0，这四个数中，绝对值最大的数是（　　） A. ﹣2 B. 0 C. D. 1 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若是一元二次方程的两根，则的值为（ ） A. 8 B. 6 C. −4 D. 4 5. 酚酞是一种常用的酸碱指示剂．通常情况下酚酞遇酸溶液不变色，遇碱溶液变红色．实验室有四瓶没有标签的无色溶液，分别是溶液、溶液、稀盐酸、稀硫酸，随机选一瓶溶液滴入一滴酚酞试剂，溶液变红色是（　　）事件 A. 随机 B. 必然 C. 不可能 D. 确定 6. 2025年3月是全国第62个学习雷锋月，为进一步学习弘扬雷锋精神，学校开展一系列“学雷锋”活动．某班级为响应学校号召，计划从“护绿植绿”、“志愿服务”、“公益环保”、“文化宣讲”4项活动中随机选取2项进行实践，则恰好选中“护绿植绿”和“文化宣讲”的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 在中国数学名著《九章算术》中，有这样一个问题：“今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十．问家数、牛价各几何？”大意是：几家人凑钱合伙买牛，如果每7家共出190钱，那么还缺少330钱；如果每9家共出270钱，又多了30钱．问共有多少户人家，每头牛的价钱是多少钱？设共有x户人家，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 若抛物线与x轴只有一个交点，则m的值为（ ） A. 3 B. C. D. 9. 如图，为的直径，点在上．若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，中，于D，平分，且于，与相交于点F，H是边的中点，连接与相交于点，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 是等腰三角形 D. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，满分24分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_______________． 12. 人民财讯3月2日电，据灯塔专业版实时数据，截至3月2日10时23分，影片《哪吒之魔童闹海》票房突破142亿元．将数据142亿用科学记数法表示应为___________． 13. 因式分解：___________． 14. 为了弘扬古诗词文化，某校举办了主题为“赏中华诗词，寻文化基因，品文学之美”的古诗词知识竞赛，进入决赛的10名学生成绩统计如下表，这名学生决赛成绩的中位数应是_______分． 决赛成绩/分 人数/名 15. 已知是反比例函数图象上的两点，则反比例函数的表达式为______． 16. 如图是测量河宽的示意图，AE与BC相交于点D，∠B=∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求得河宽AB=______m． 17. 若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围为______． 18. 二次函数的图象经过点，，，与y轴正半轴相交．下列结论：①；②；③若点，，都在二次函数的图象上，则；④关于x的一元二次方程一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 _____（填写序号）． 三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每题6分，第21-22题每题8分，第23-24题每题9分，第25-26每题10分，共66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算：． 20. 先化简分式：，再从，，0，1，2中选一个合适的数代入求值． 21. 如图，点E，F在上，，，． （1）证明∶ ； （2）若，，求的度数． 22. 某中学计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个，根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图． 根据统计图提供的信息，解答下列问题： （1）在这次调查中一共抽取了　 　名学生； （2）请把图1中缺失的数据、图形补充完整；图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数是　 　； （3）在选择E地的5人中，有2人来自九年级一班，3人来自九年级二班，现在要从这5人中任意选2人做研学规划分享，求选的两人恰好来自同一个班的概率． 23. 研学旅行继承和发展了我国传统游学“读万卷书，行万里路”的教育理念和人文精神，成为素质教育的新内容和新方式．某中学组织学生赴河南博物院参加研学活动，委托甲、乙两家旅行社承担此次活动的出行事宜．由于接待能力有限，甲旅行社一次最多只能接待 m 人（即额定数量），超过 额定数量的人，再由乙旅行社接待．甲旅行社收费标准：团队固定费300元，再额外收取每人150元； 乙旅行社收费标准：每人收取180元．该中学第一批组织了35名学生参加，总费用为5700元． （1）求甲旅行社一次最多能接待的人数； （2）若该中学第二批组织了42人参加，则总费用为 元 ； （3）该中学为节约开支，要控制人均费用不超过165元，试求每批组织人数x 的合理范围． 24. 综合与实践： A. 新增选项 项目 测量某塔的高度 方案 方案一：借助太阳光线构成相似三角形．测量：标杆长，影长，塔影长． 方案二：利用锐角三角函数，测量：距离，仰角，仰角． 测量示意图 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量 项目 第一次 第二次 平均值 测量数据 （1）根据“方案一”的测量数据，求出塔的高度； （2）根据“方案二”的测量数据，求出塔的高度；（参考数据：，，，，，） 25. 【探究与证明】 【问题情境】如图1，点为正方形内一点，，，，将直角三角形绕点逆时针方向旋转度点、的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与重合），延长交于点， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接，求的长． 26. 已知，在以为原点的直角坐标系中，抛物线的顶点为，且经过点，与轴分别交于、两点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图（1），点是抛物线上的一个动点，且在直线的下方，过点作轴的平行线与直线交于点，求的最大值； （3）如图（2），过点的直线交轴于点，且轴，点是抛物线上、之间的一个动点，直线、与分别交于、两点．当点运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $