第02讲 一元一次方程及其解法（知识解读 +题型精讲+随堂检测）-2025-2026学年七年级数学上册《知识解读•题型专练》（浙教版新教材）

第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，是解题的关键： （1）去分母，移项，合并，系数化1，进行求解即可； （2）去分母，去括号，移项，合并，系数化1，进行求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得； （2）， ， ， ， ， 解得． 【变式1】解方程 (1) (2) 【答案】(1)． (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程的求解，熟练掌握一元一次方程的求解是解题关键． （1）移项将含的项移到左边，常数项移到右边，合并同类项后系数化为1求解即可． （2）先去分母，再去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为1求解即可． 【详解】（1） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． （2） 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：． 【变式2】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键； （1）先去分母，然后再求解方程即可； （2）原方程可变形为，然后去括号，进而求解即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解：原方程可变形为， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：． 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的特解问题，表示出解，进行合理讨论求解是解题的关键．先解方程，用a表示x，根据解的非正整数解，讨论求解即可． 【详解】解： ， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得， 解得， 有非正整数解， ， ， 故答案为：． 【变式1】若整数使关于的方程有整数解，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的整数解问题．解方程，结合整数解求解即可得到答案． 【详解】解：解方程得， ， ∵关于x的方程有整数解， ∴或或5或， 解得：或或3或， ∴所有整数m的和为：， 故答案为：． 【变式2】已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的拓展题型，根据一元一次的方程先解出，根据题意可得是6的正约数，得出满足题意的所有值，算出和即可． 【详解】解： 解得： ， 方程的解为整数，且k是正整数， ∴是6的正约数， 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 当时，（正整数，符合） 当时，（不是正整数，舍去） 所有值的和为 故答案为： 【变式3】k为整数，当 时，方程有正整数解． 【答案】8或/或8 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解法，题目难度不大，比较典型．将方程变形，得出x与k的关系，利用已知条件分析k的取值． 【详解】解：∵， ∴， 当时，无解； 当时，，不合题意； 当时， ， ∵方程有正整数解． 故或， 当或时，或1． 故答案为：8或． 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解，解题的关键是掌握一元一次方程的求解步骤． 分别求出两个方程的解再根据方程的解是关于x的方程的解的2倍求出a，即可求解． 【详解】解： ， ， ， ， 方程的解是关于x的方程的解的2倍， ， 解得：， 将代入方程得 ， 解得：． 【变式1】已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，利用它们的解互为倒数，可先求出一个方程的解，再代入第二个含有m的方程，从而求出m即可．先将的解求出，然后将x的倒数求出后代入原方程求出m的值． 【详解】解：解得：， 是方程的解， 由得：， ， 解得：， 则m的值为． 【变式2】已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查方程的解、解一元一次方程等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 根据题意，解出方程的解，再解出方程的解，根据题意，将两个解相减得5，即可解题． 【详解】解：由 由 ∵的解比方程的解大5 ∴ 解得： . 【变式3】已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【答案】6 【分析】解第一个方程，得，把代入第二个方程，得，解得． 本题考查了一元一次方程的解法，同解方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】解： 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 由方程与关于的方程的解相同， 得， 解得． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解答本题的关键． （1）将错就错，把x的值代入小亮去分母出错的方程求出m的值即可； （2）由题意直接把m的值代入方程计算即可求出解． 【详解】（1）解：由题可知，，即， ∵， ∴； （2）由（1）可知，原方程为， 去分母，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，得． 【变式1】一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次方程， 先去分母，再整理得出关于a的方程，然后求出解即可． 【详解】去分母，得， 整理，得， 即． ∵， ∴， 解得． 故选：A． 【变式2】小琪在解关于的方程“去分母”步骤时，等号右边的“”忘记乘以，她求得的解为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了去分母解一元一次方程，根据题意先将该方程去分母，右边不要乘12，再将求得的解代入即可求出k的值． 【详解】解：由题可知，是方程的解， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3】小华同学解关于x的方程，移项时，m忘记变号，得，因而求得方程的解为，那么方程正确的解为 ． 【答案】 【分析】本题需先根据错误的移项和错误的解求出参数的值，再代入原方程求正确的解． 【详解】解：求的值： 将代入 解得： 求原方程的解： 将代入 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法及移项的规则，解题关键是先利用错误的过程求出参数，再代入原方程进行正确的移项求解． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【答案】(1)10；0 (2)或 【分析】本题考查新定义运算，绝对值的意义，有理数的加减混合运算，解一元一次方程，整式的运算． （1）根据新定义的运算法则计算即可； （2）根据绝对值的非负性可知，由且，整理得到，分类讨论求出的值，进而求出x的值即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：10；0； （2）解：∵， ∴， ∵且， ∴， ∴； 当时，则，舍去； 当时，则， 解得， ∴， ∴， 解得或； ∴综上所述，所有满足条件的x的值为或． 【变式1】定义新运算“”，其规则为，则方程的解为 ． 【答案】55 【分析】原式利用题中的新定义计算即可求出值． 【详解】解：根据题中的新定义得：， 整理得：， 解得：， 故答案为：55． 【点睛】本题考查了解一元一次方程，解决问题的关键是熟练掌握运算法则． 【变式2】定义新运算“*”，对于任意有理数，满足， 例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)6071 (2)或 【分析】本题考查有理数的四则混合运算、解一元一次方程，理解题中新运算法则是解答的关键． （1）根据题中运算法则列式，再利用有理数的乘法和加减运算法则计算即可； （2）根据题中运算法则，分和两种情况，分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：1）当时，， ①当即时， 由得， 解得； ②当即时， 由得， 解得，舍去； 2）当时，， ①当即时， 由得， 解得； ②当即时， 由得， 解得，舍去； 综上，x的值为或． 【变式3】对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： (1)若，求的值； (2)若，，且，求的值； (3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 【答案】(1) (2)20 (3)3 【分析】本题考查整式的加减运算，理解新定义运算规则，注意分情况讨论是解题的关键． （1）分和两种情况，根据新定义运算得出关于x的方程，解方程，然后判断是否满足条件即可得； （2）先计算，得出，再根据新定义计算，得出，利用整体代入法求解即可； （3）先判断，根据新定义计算，得出，整理得，根据和均为正整数，可得的值． 【详解】（1）解：当时，， ， ， 解得，与矛盾，舍去； 当时，， ， ， 解得，符合题意； 综上可知，x的值为． （2）解： ，， ，即， ， ， ； （3）解： 和均为正整数， ， ， ， 解得， 和均为正整数， 是5的因数，且只能是， 此时，，， 即k的值为3． 一、单选题 1．若与为同类项，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题考查了已知同类项求指数中字母或代数式的值，熟练掌握同类项的定义是解题的关键； 根据同类项的定义，两个单项式中相同字母的指数必须相等，因此可列出关于和的方程求解． 【详解】∵ 与 为同类项， ∴ 的指数相等：， ∴ 的指数相等：， 解得：，， ∴ ． 故选：D． 2．若方程，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的求解，解题的关键是通过移项求出未知数的值． 通过移项，将常数项移到等号右边，计算得出的值． 【详解】解：方程，根据等式的基本性质，进行移项操作，将2移到等号右边，变为，解得：． 故选：B． 3．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程的解法：移项，移项要变号是解题的关键． 逐个选项判断是否是移项即可． 【详解】解：A、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； B、由，得，这是系数化为，故选项不符合题意； C、由，得，变号后从方程左边移到右边成，选项符合题意， D、由，得，这是方程左边进行了加法交换律，故选项不符合题意． 故选：． 4．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 【答案】A 【分析】根据，求出x、y的值，代入即可求得答案． 【详解】解：∵ ∴， 又∵， ∴，或， ∴或1， 故选：A． 5．已知是关于的方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解一元一次方程．所谓方程的解，是指能使方程左右两边相等的未知数值．因此，将已知解代入，可建立关于a的等式，进而求解． 【详解】解∶∵是关于的方程的一个解， ∴， ∴． 故选：A． 6.若，则数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 【答案】C 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，数轴上两点间的距离，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．先求出m的值，再设数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是x，根据题意得出或，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是x， 由题意得 ① 当时，满足上式， 即， 解得； ② 当时，满足上式， 即， 解得； 综上，数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是2或， 故选：C． 7．如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去括号、移项、合并、将未知数系数化为，求出解． 根据互为相反数两数之和为列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：根据题意得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：． 故选：D． 8．规定以下两种变换：， ； 例如：， ；若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．或3 D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了新定义，化简绝对值，绝对值方程，正确理解新定义是解题的关键．根据得出含绝对值的方程，解方程可得答案． 【详解】解：由题可得：， 当时，，解得； 当时，，方程无解； 当时，，解得； 综上，x的值为4或． 故选：D． 二、填空题 9．是的相反数，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数、一元一次方程的应用，正确建立方程是解题关键．根据相反数的定义可得，解方程即可得． 【详解】解：∵是的相反数，的相反数是5， ∴， ∴， 故答案为：3． 10．若的相反数为5，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的应用，解一元一次方程，根据相反数的定义可得，解方程即可求解． 【详解】解：∵的相反数为5， ∴， ∴， 故答案为：． 11．关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程中的同解方程，求出方程的解，再把解代入即可求出的值. 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 将代入得： 解得： 故答案为： ． 三、解答题 12．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项法解方程解答即可． （2）去括号解方程即可． 本题考查了一元一次方程的解法，熟练掌握解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：， ． ． （2）解： ． 13．解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 14．历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：，把时的多项式的值用来表示．当时，多项式的值记为． 已知，． (1)直接写出的值_______； (2)当时，求的值． (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，解一元一次方程，有理数的混合运算和新定义，关键是培养学生的阅读能力和理解能力，也培养学生的计算能力，题目比较典型，是一道比较好的题目． （1）根据举例过程，把代入，进行计算即可； （2）把代入，，进行计算即可． （3）把代入得出一个关于a的方程，求出a的值，则，把代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时， ， ， ∴； （3）解：∵， ∴， 解得：， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 一元一次方程及其解法 知识点1：解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1. 去分母 两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 注意 ：特别是去掉括号，符合变化 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 【题型一 解一元一次方程】 【典例1】解方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程 (1) (2) 【变式2】解方程： (1) (2) 【变式3】解方程 (1) (2) 【题型二 一元一次方程的整数解问题】 【典例2】若整数，关于的一元一次方程有非正整数解，那么符合条件的所有整数之和为 ． 【变式1】若整数使关于的方程有整数解，则满足条件的所有的和为 ． 【变式2】已知关于x的方程的解是整数．且k是正整数，则满足条件的所有k值的和为 ． 【变式3】k为整数，当 时，方程有正整数解． 【题型三 根据两个一元一次方程的解之间的关系求参数】 【典例3】若关于的方程的解是关于的方程的解的倍，求关于的方程的解． 【变式1】已知关于x的方程与它们的解互为倒数，求m的值． 【变式2】已知关于x的方程的解比方程的解大5，求a的值． 【变式3】已知方程与关于的方程的解相同，求的值． 【题型四 错解一元一次方程的问题】 【典例4】在解关于的方程时，小亮在去分母的过程中，忘记给方程右边的m乘公分母，求出方程的解为． (1)求出m的值； (2)写出正确的求解过程． 【变式1】一同学在解关于的方程去分母时，方程右边的忘记乘以6，算得方程的解为，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D．0 【变式2】小琪在解关于的方程“去分母”步骤时，等号右边的“”忘记乘以，她求得的解为，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【变式3】小华同学解关于x的方程，移项时，m忘记变号，得，因而求得方程的解为，那么方程正确的解为 ． 【题型五 一元一次方程的解在新定义中运用】 【典例5】小刚同学学习了有理数后，对运算充满了探索欲，于是定义了一种新运算“⊕”，规则如下：对于两个有理数m、n，． (1)计算：，； (2)已知，且，请直接写出所有满足条件的x的值． 【变式1】定义新运算“”，其规则为，则方程的解为 ． 【变式2】定义新运算“*”，对于任意有理数，满足， 例如：，． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【变式3】对于有理数、定义一种新运算，如，；请按照这个定义完成下列计算： (1)若，求的值； (2)若，，且，求的值； (3)若和均为正整数，且满足，直接写出的值． 一、单选题 1．若与为同类项，则的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D． 2．若方程，则x的值是（   ） A．1 B． C． D．0 3．下列变形过程中，属于移项的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 4．若，且，则的值为（    ） A．5或1 B．或 C．5或 D．或1 5．已知是关于的方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 6.若，则数轴上与有理数，对应的点距离相等的点所表示的数是（   ） A．2 B． C．2或 D．或4 7．如果与的值互为相反数，那么的值是（   ） A． B． C． D． 8．规定以下两种变换：， ； 例如：， ；若，则x的值为（   ） A．3 B．4 C．或3 D．4或 二、填空题 9．是的相反数，则 ． 10．若的相反数为5，则m的值为 ． 11．关于x的方程与的解相同，则a的值为 ． 三、解答题 12．解方程： (1) (2) 13．解方程 (1) (2) 14．历史上的数学巨人欧拉最先把关于的多项式用记号的形式来表示（f可用其他字母表示，但不同的字母表示不同的多项式）．例如：，把时的多项式的值用来表示．当时，多项式的值记为． 已知，． (1)直接写出的值_______； (2)当时，求的值． (3)若，求的值 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $