精品解析： 山东省菏泽市鄄城县2024－2025学年 下学期七年级期中考试数学试题

2024—2025学年度第二学期阶段性质量检测 七年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每道小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个不透明袋子里有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出2个球．下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 摸出2个黑球 B. 摸出2个白球 C. 摸出的球中有一个是红球 D. 摸出的球中有一个是白球 5. 已知如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（ ） A. 面朝上的点数是3 B. 面朝上的点数是奇数 C. 面朝上的点数小于2 D. 面朝上的点数小于3 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中系统地介绍了万有引力定律，即宇宙间任何两个质点都存在相互吸引力，其大小与两质点的质量，乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比，用数学公式表示为，其中，为万有引力常数，将数据0.0000000000667用科学记数法可表示为___． 12. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 13. 物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为______°． 14. 计算：_______． 15. 平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 三、解答题（本题共8小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小顾购此新商品花了85元． （1）她获得奖品的概率是多少？ （2）她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？ 18. 化简求值：，其中． 19. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 20. 阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 用上述方法解决问题：已知，求的值． 21. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 （1）下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 22. 数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式． （1）观察下图，通过下图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ． （2）请你借助下面的正方形，画出能说明完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程） （3）有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20；将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9．求正方形A、B的面积之和． 23. 【学科融合】 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，请问进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，说明理由． 【尝试探究】 （2）如图②，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，反射光线与入射光线平行但方向相反，求的读数． 【拓展应用】 （3）如图③两块平面镜按如图③所示位置放置，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线和相交于点O，请直接写出的度数（结果用含的式子表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第二学期阶段性质量检测 七年级数学试题 时间：120分钟 总分120分 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每道小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置） 1. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据积的乘方法则进行计算，即可解答． 【详解】解：， 故选：A． 2. 如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿AB挖水沟即可，理由是（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 垂线段最短 C. 两点确定一条直线 D. 过一点可以作无数条直线 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意抽象为过直线外一点到直线的距离最短分析即可 【详解】根据题意，小河可以抽象为一条直线，点到直线的所有连线中，垂线段最短 理由是: 垂线段最短 故选B 【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，理解题意是解题的关键． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据完全平方公式，平方差公式，单项式乘多项式，同底数幂的乘法法则进行计算，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 4. 一个不透明袋子里有1个黑球，2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子里随机摸出2个球．下列事件中，是随机事件的是（ ） A. 摸出2个黑球 B. 摸出2个白球 C. 摸出的球中有一个是红球 D. 摸出的球中有一个是白球 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件为必然事件，一定条件下一定不会发生的事件为不可能事件，一定条件下，可能发生，也可能不发生的事件为随机事件，据此进行判断即可． 【详解】解：A、摸出2个黑球是不可能事件，不符合题意； B、摸出2个白球，是随机事件，符合题意； C、摸出的球中有一个是红球，是不可能事件，不符合题意； D、摸出的球中有一个是白球，是必然事件，不符合题意； 故选B． 5. 已知如图，直线与相交于点O，，垂足为点O，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了垂直，对顶角的应用，主要考查学生的计算能力．根据垂直定义求出，根据对顶角相等求出，即可得解． 【详解】解：，相交于点，， ， ， ， ． 故选：D． 6. 若多项式是由整式与另一个整式相乘得到的，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知得到，将等式左侧展开，比较系数可得关于，的方程组，解方程组即可． 【详解】解：是由整式与另一个整式相乘得到的， ， ， ， 解得：，， 故选：． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式的运用，熟练掌握相关概念是解题的关键． 7. 任意掷一枚骰子，下列情况出现的可能性比较大的是（ ） A. 面朝上的点数是3 B. 面朝上的点数是奇数 C. 面朝上的点数小于2 D. 面朝上的点数小于3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查可能性的大小．分别求出每个事件发生的可能性大小，从而得出答案． 【详解】解：A、面朝上的点数是3的概率为； B、面朝上的点数是奇数的概率为； C、面朝上的点数小于2的概率为； D、面朝上的点数小于3的概率为； ， 概率最大的是面朝上的点数是奇数， 故选：B． 8. 已知，，，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂的乘方可得，，即可求解． 【详解】解∶∵，，，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了幂的乘方，熟练掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 9. 抖空竹是我国的传统体育项目，也是国家级非物质文化遗产之一．明代《帝京景物略》一书中就有空竹玩法和制作方法的记述，明定陵亦有出土的文物为证，可见抖空竹在民间流行的历史至少在600年以上．如图，通过观察抖空竹发现，可以将某一时刻的情形抽象成数学问题：若，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角的性质，解题的关键是掌握平行线的性质．延长交于点．利用平行线的性质以及三角形的外角的性质求解． 【详解】解：如图，延长交于点． ，， ， ． 故选：C． 10. 若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的运算的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意得：，利用同底数幂的乘法，幂的乘方化简即可． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， 故选：A． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内） 11. 牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中系统地介绍了万有引力定律，即宇宙间任何两个质点都存在相互吸引力，其大小与两质点的质量，乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比，用数学公式表示为，其中，为万有引力常数，将数据0.0000000000667用科学记数法可表示为___． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.0000000000667用科学记数法表示为． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 12. 二十四节气，它基本概括了一年中四季交替的准确时间以及大自然中一些物候等自然现象发生的规律，二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式．根据概率公式直接得出答案． 【详解】解：二十四个节气中选一个节气，抽到的节气在夏季的有六个， 则抽到的节气在夏季的概率为， 故答案为：． 13. 物理中有一种现象，叫折射现象，它指的是当光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变．如图，我们建立折射现象数学模型，表示水面，它与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，变成光线射到水底处，射线是光线的延长线，，，则的度数为______°． 【答案】28 【解析】 【分析】由平行线的性质可知，再根据对顶角相等得出，最后由求解即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵, ∴． 故答案为：28． 【点睛】本题考查平行线的性质、对顶角相等等知识点，运用所学知识判定各角关系是解题关键． 14. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 15. 平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 三、解答题（本题共8小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算除法，最后进行加法运算即可得到结果； （2）原式先计算积的乘方，再计算单项式的乘除法，最后合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有1个红球、2个白球和12个黄球，并规定每购买60元的新品牌商品，就能获得一次摸球的机会．如果摸得红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一个文具盒；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小顾购此新商品花了85元． （1）她获得奖品的概率是多少？ （2）她得到一把雨伞、一个文具盒的概率分别是多少？ 【答案】（1）她获得奖品的概率是为1 （2）她得到一把雨伞的概率为；她得到一个文具盒的概率为 【解析】 【分析】本题考查了概率公式：概率公式=某随机事件所占有的结果数除以所有可能的等结果数．P（必然事件）；P（不可能事件）． （1）她获得奖品为必然事件，从而得到概率为1； （2）根据概率公式分别计算她得到一把雨伞、一个文具盒、一支铅笔的概率． 【小问1详解】 解：她获得奖品的概率是为1； 【小问2详解】 解：她得到一把雨伞的概率为； 她得到一个文具盒的概率为． 18. 化简求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式的应用，对原式进行正确的化简是解题的关键．先根据平方差和完全平方公式以及整式混合运算的法则对原式进行化简，再代入a和b的值进行计算即可． 【详解】解： ； 时，原式． 19. 如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°． （1）试说明：AD∥EF； （2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数． 【答案】 （1）解：∵AB∥DG， ∴∠BAD＝∠1， ∵∠1+∠2＝180°， ∴∠BAD+∠2＝180°. ∵AD∥EF . （2）∠B＝38°． 【解析】 【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明； （2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°． 【详解】（1）略 （2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°， ∴∠1＝38°， ∵DG是∠ADC的平分线， ∴∠CDG＝∠1＝38°， ∵AB∥DG， ∴∠B＝∠CDG＝38°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 20. 阅读：已知，求的值． 分析：考虑到x，y的可能值较多，不能逐一代入求解，故考虑整体思想，将整体代入． 解：． 用上述方法解决问题：已知，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】先计算多项式乘以单项式，再逆用积的乘方计算，最后整体代入求值． 【详解】解：原式 ． 21. 如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．数学小组的学生做转盘试验：转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，不断重复这个过程，获得数据如下： 转动转盘的次数 200 300 400 1000 1600 2000 转到黄色区域的频数 72 93 130 334 532 667 转到黄色区域的频率 （1）下列说法错误的是______（填写序号）． ①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针一定指向绿色区域； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数一定为10． （2）求表中，的值，并估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率（精确到0.1）； （3）修改转盘的颜色分布情况，使指针指向每种颜色的概率相同，写出一种方案即可． 【答案】（1）①③ （2）估计随机转动转盘“指针指向黄色区域”的概率约为 （3）将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同 【解析】 【分析】本题考查的是可能性的大小．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）根据可能性的大小分别对每一项进行分析，即可得出答案； （2）根据频率可得的值，再利用频率来估计概率即可； （3）当三种颜色面积相等的时候能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 【小问1详解】 解：①转动转盘8次，指针都指向绿色区域，所以第9次转动时指针不一定指向绿色区域，故本选项说法错误； ②转动15次，指针指向绿色区域的次数不一定大于指向黄色区域的次数，故本选项说法正确； ③转动60次，指针指向蓝色区域的次数不一定正好是10，故本选项说法错误； 故答案为：①③． 【小问2详解】 解：， 故． 【小问3详解】 解：将一个绿色区域改为蓝色区域，能使指针指向每种颜色区域的可能性相同． 22. 数形结合是数学学习中经常使用的数学方法之一，在研究代数问题时，我们常常可以通过构造几何图形，用面积直观地推导公式． （1）观察下图，通过下图中阴影部分面积的表示可以得到我们熟悉的数学公式 ． （2）请你借助下面的正方形，画出能说明完全平方公式的图形，并在图上标注清楚相应的字母．（只画出图形，不写推理过程） （3）有两个大小不同的正方形A和B，现将A，B并列放置后构造新的正方形得到图①，其阴影部分的面积为20；将B放在A的内部得到图②，其阴影部分（正方形）的面积为9．求正方形A、B的面积之和． 【答案】（1） （2） 如图所示， （3）正方形A、B的面积之和为29 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景和平方差公式，解题的关键是根据图形得出数量关系． （1）根据阴影部分的面积相等列出等式即可； （2）根据画出图形即可； （3）设正方形A、B的边长分别为m，n，根据图①和图②中的阴影面积得到，，然后利用完全平方公式的变形求解即可 【小问1详解】 解：图一中阴影面积 图二中阴影面积 ∵阴影部分的面积相等 ∴； 【小问2详解】 解：大正方形的面积为 大正方形的面积还可以表示为 ∴ ∴； 【小问3详解】 解：设正方形 A、B 的边长分别为 m，n， ∵图①中阴影部分的面积为20， ∴，即， ∵图②中阴影部分（正方形）的面积为9， 即 ∴正方形A、B的面积之和为29． 23. 【学科融合】 物理学光的反射现象中，反射光线、入射光线和法线都在同一个平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，反射角等于入射角，这就是光的反射定律． 【问题解决】 （1）学完光的反射定律，数学兴趣小组的同学想利用这个定律结合数学知识制作一个简易潜望镜，并画出了潜望镜的工作原理示意图，是平行放置的两面平面镜，已知光线经过平面镜反射时，有，请问进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是否平行，说明理由． 【尝试探究】 （2）如图②，改变两平面镜之间的位置，若镜子与的夹角，经过两次反射后，，反射光线与入射光线平行但方向相反，求的读数． 【拓展应用】 （3）如图③两块平面镜按如图③所示位置放置，且，入射光线经过两次反射，得到反射光线，光线和相交于点O，请直接写出的度数（结果用含的式子表示） 【答案】（1）潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的，理由见解析；（2）（3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定和性质： （1）根据平行线的性质可得，由已知条件可得，由角的和差关系可得，根据平行线的判定定理可得结论； （2）由平行线的性质得出，根据平角的定义得出，进而得到，再根据三角形的内角和即可得解； （3）根据，，，得出，根据，证得，根据三角形内角和定理求得． 【详解】解：（1）潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的，理由： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， 即：， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $