精品解析：浙江省台州市2024-2025学年高一下学期期末质量评估数学试题

台州市2024学年高一年级期末质量评估试题第二学期 数学 2025.06 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 2. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6，则数据，，…，，，，…，的平均数为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 4. 已知事件A与B相互独立，且，，则（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.56 D. 0.94 5. 已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 异面 6. 在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 10. 在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为，则此样本的方差不可能为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 11. 已知在中，BC的长为2，的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A. 外接圆面积的最小值为 B. 的最大值为 C. 内切圆的半径的最大值为 D. 若的内角满足，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，则两人都中靶的概率为_______. 13. 已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 14. 已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为，则圆锥的底面半径为_______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，与的夹角为． （1）求的值； （2）当实数k为何值时，． 16. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行恰当分组后（最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中x的值； （2）试估计该小区用户月用电量的平均数. 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件： ①； ②； ③； 从这三个条件中任选一个作为满足的条件，完成以下问题： （1）求角A的大小； （2）若的面积为．角A的内角平分线交边BC于D，且，试判断的形状并证明. 18. 如图，在三棱锥中，点在平面的射影为，，，，二面角，的大小分别为，，且． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积. 19. 已知集合．对于，，给出如下定义： ①A与B之间的第一距离； ②A与B之间的第二距离． （1）当时，，若，求B； （2）当时，若，求的取值范围； （3）若，问：“”是“”的什么条件，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 台州市2024学年高一年级期末质量评估试题第二学期 数学 2025.06 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的运算公式即可得到答案. 【详解】根据古典概型概率知识可知：5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球， 从中随机摸出1个球，则摸到红球的概率为. 故选：A 2. 已知平面向量，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的线性运算坐标表示即可求得结果. 【详解】因为向量，，所以， 故选：C 3. 已知数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6，则数据，，…，，，，…，的平均数为（ ） A. B. 5 C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平均数的计算公式可得答案. 【详解】因为数据，，，的平均数为5，数据，，，的平均数为6， 所以数据，，…，，，，…，的平均数为. 故选：D. 4. 已知事件A与B相互独立，且，，则（ ） A. 0.8 B. 0.5 C. 0.56 D. 0.94 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合 ，即可求解。 【详解】由题意，事件 与事件 相互独立，且 , ，可得； 则 故选：D. 5. 已知空间中四条直线，，，满足：，，，，，则直线与位置关系为（ ） A. 垂直 B. 平行 C. 相交 D. 异面 【答案】B 【解析】 【分析】分为相交垂直和异面垂直两种情况，结合平面的基本性质，线面垂直的判定和线面垂直的性质得. 【详解】若直线为相交垂直，故这两条直线确定一个平面，设为， 又因为直线满足，，，， 由线面垂直的判定定理得，，由线面垂直的性质定理得， 若直线为异面垂直，将两条直线平移到， 一定能让两条直线相交垂直，从而确定一个平面， 同上，可以得到， 综上，直线与位置关系为平行. 故选：B 6. 在棱长均相等的正四棱锥S-ABCD中，E是棱SC的中点，则AE与BS所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系结合向量求解异面直线的夹角. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系: 设点 ，，，. 则 为 . 因为在正四棱锥中，所以由图形可知. 因为 是 的中点，所以由，. 得到中点坐标： . 所以 所以 设这两条异面直线夹角为 则 故选：A. 7. 已知虚数，是方程的两个不同的根，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先因式分解得，即为的两个根，从而依次判断选项. 【详解】根据题意，， 令，其中， 由于为虚数，故为的两个根，且为， 不妨设， 则，， 则， 故只有B正确. 故选：B 8. 已知正方体的边长为1，P为上的动点，S，T分别是面ABCD和面上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线，点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系，由，故的最小值为异面直线的距离，再利用空间向量法求异面直线距离距离即可. 【详解】根据题意，分别作关于面ABCD和面对称的直线， 点对称后为，以为原点建立空间直角坐标系， ， 又是异面直线上的点， 所以的最小值为异面直线的距离， ， ， 设与直线都垂直的一个向量， 则，不妨取，， 所以异面直线的距离. 故选：C. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】设出对应复数，利用复数的几何意义求出复数所对应的向量的坐标，再代入运算判断A，利用复数三角不等式判断B，利用复数的乘法公式结合模长公式判断C，举反例判断D即可. 【详解】设，，， 对于A，由复数的几何意义得，， ，满足，故A正确； 对于B，由复数三角不等式得， 当且仅当同向共线时取等，故B正确； 对于C，易得， 由模长公式得 ， 而， 可得，故C正确； 对于D，令，，则，， 此时满足，但不满足，故D错误. 故选：ABC 10. 在对某高中学生体质健康状况某个项目的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了高一80人，高二60人，高三60人，方差分别为，则此样本的方差不可能为（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】AB 【解析】 【分析】先设出总平均数和样本平均数，再表示出方差，进而放缩得到范围即可. 【详解】设总平均数为，高一的平均数为，高二的平均数为， 高三的平均数为，该样本的方差为， 则 ， 则此样本的方差不可能为，故A，B正确. 故选：AB 11. 已知在中，BC的长为2，的面积为2，则下列命题正确的是（ ） A. 外接圆面积的最小值为 B. 的最大值为 C. 内切圆的半径的最大值为 D. 若的内角满足，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用正弦定理进行判断A选项与D选项，B选项利用余弦定理判断，C选项利用内切圆半径与三角形面积公式进行判断. 【详解】设边分别为，则. 对于A选项：设外接圆半径为，由正弦定理， 所以外接圆的面积为，当，时，外接圆面积最小为； 又因为时，，由面积为2，得到，； 而与上式矛盾，故A错误. 对于B选项：,则；由余弦定理， 得到，两边同除以， 得到，令，则，， 当且仅当时，时，最大且为，故B正确； 对于C选项：由内切圆半径的公式：，而， 故最大时，最小；当时，最小，此时， 所以，故C正确； 对于D选项：由和，得到，则. ，由正弦定理， 得，即， ，两边除以，得到, 所以; 由B为锐角，所以， ，故D正确. 故答案为：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，各射击一次，且两个人的射击结果互不影响，若甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，则两人都中靶的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由独立事件乘法公式计算即可. 【详解】两人都中靶的概率为. 故答案为：. 13. 已知平面向量，且与的夹角为，若，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据模长公式，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】根据题意， ， 故当时，的取最小值. 故答案为： 14. 已知圆锥的母线长为2，内切球的表面积为，则圆锥的底面半径为_______. 【答案】1或 【解析】 【分析】求出外接球半径，利用三角形相似即可求得结果. 【详解】设内切球半径为R，底面圆半径为r，圆锥高为h，故，解得, 如上图可知球心为O，底面圆圆心为E，则,可得, 即①，又②， 将②代入①得：， 两边同时平方得：， 因式分解得：，得：或或（负解舍）， 而,故,而, 故答案为：1或 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知平面向量，，与的夹角为． （1）求的值； （2）当实数k为何值时，． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积及运算率计算即可； （2）根据向量互相垂直数量积为零及运算率计算即可. 【小问1详解】 ， 所以 【小问2详解】 由， 则， ， 所以． 16. 从某小区抽取100户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50~350kW·h之间，进行恰当分组后（最后一组为闭区间，其余各组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中x的值； （2）试估计该小区用户月用电量的平均数. 【答案】（1） （2）186 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图的性质建立方程，求解参数值即可. （2）利用频率分布直方图的性质求解平均数即可. 【小问1详解】 因为小长方形面积和为， 所以，解得． 【小问2详解】 居民月用电量的平均数为 . 17. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．给出如下三个条件： ①； ②； ③； 从这三个条件中任选一个作为满足的条件，完成以下问题： （1）求角A的大小； （2）若的面积为．角A的内角平分线交边BC于D，且，试判断的形状并证明. 【答案】（1） （2）正三角形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）条件①利用正弦定理和二倍角公式化简得到，再结合两角和的正弦公式化简得到，进而求解角度，条件②利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解角度，条件③利用两角和的正弦公式化简得到，再利用辅助角公式求解角度即可. （2）利用三角形面积公式建立方程，求出，，再求出，最后判断三角形形状即可. 【小问1详解】 选①由，得， 即，故， 则, 化简得，因为，所以， 故，则解得 选②由已知得， 由正弦定理可得，即， 由余弦定理得，解得． 选③由已知得， 即， 所以， 化简得， 则， 因为，所以， 化简得，即，得， 又，所以，解得． 【小问2详解】 因为，故解得， 又因为 ，故解得． 所以解得，所以是正三角形. 18. 如图，在三棱锥中，点在平面的射影为，，，，二面角，的大小分别为，，且． （1）证明：； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）求三棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质求出，再结合题意并使用线面垂直的判定得到面，最后利用线面垂直的性质求解即可. （2）利用线面垂直的判定得到面，结合线面垂直的性质得到，再合理作出辅助线，找到线面角的平面角，再求出关键边长，利用锐角三角函数的定义求解即可. （3）分别求出底面边长和高，再求出三棱锥的高，结合三棱锥的体积公式求解即可. 【小问1详解】 因为面，且面，所以， 又因为，面，， 所以面，因为面，所以． 【小问2详解】 因为点在平面的射影为， 所以面，而面，故， 由题意得，且，面， 故面，因为面，所以， 故O是的垂心， 如图，设于点，于，连接， 则分别是二面角，的平面角， 因为二面角，的大小分别为，， 所以，， 设，则，，则． 因为，所以，故，， 所以， 由已知得面，则与面所成角为， 故． 【小问3详解】 因为， 且，则， 故， 则， 故，又， 得到，故解得． 由三棱锥体积公式得． 19. 已知集合．对于，，给出如下定义： ①A与B之间的第一距离； ②A与B之间的第二距离． （1）当时，，若，求B； （2）当时，若，求的取值范围； （3）若，问：“”是“”的什么条件，并证明. 【答案】（1），或，或，或 （2） （3）必要不充分条件，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由新定义列出等式求解即可； （2）设，，由新定义得到，再结合，通过二次函数求解即可； （3）必要性：结合新定义令，，由由，两边平方化简可得：.法一：构造二次函数通过判别式即可说明，法二：利用柯西不等式等号成立的条件得到，进而可说明，再通过反例说明充分性不成立即可. 【小问1详解】 由定义可知 故或或或 即，或，或，或 【小问2详解】 因为时，， 所以． 令，，则， 则， 由，得． 【小问3详解】 “”是“”的必要不充分条件. 先证明：当成立时，则成立. 记，， 则，， 由，两边平方可得： ， 故， 两边平方可得. 法一：考虑构造一个二次函数， 考虑到， 故其判别式，即， 当且仅当对任意的，时等号成立， 法二：由柯西不等式等号成立的条件可知， 此时（*）可以化简为， 故（否则上式左边非负，右边为负数，矛盾.） 故对任意的，， 即． 再说明：当成立时，不一定成立. 设， 则，，，， 所以，但． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $