精品解析：山东省烟台蓬莱区 2024-2025学年七年级下学期期中考试数学试题（五四制）

蓬莱区2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测 初二数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2. 诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 锄禾日当午，汗滴禾下土 B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟 C. 白日依山尽，黄河入海流 D. 离离原上草，一岁一枯荣 3. 能说明命题“若，则”为假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 5. 在一个布袋中装有红、白两种颜色小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 不足4个 D. 6个或6个以上 6. 如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 60° 7. 下列语句正确的有（ ） 任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 若直线，，则； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在三角形中，平分，点在边上，于点．平分交的延长线于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（ ） A. 15 B. 16 C. 25 D. 34 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 下列算式：①；②；③；④；⑤，运算结果正确的概率是__________． 12. 已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根是________． 13. [传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是______． 14. 个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是______． 15. 下列命题是真命题的是__________．（填序号） （1）四边形内角和为； （2）对顶角相等； （3）如果，那么； （4）两个锐角之和一定是锐角； （5）如果，那么； （6）垂直于同一直线的两条直线互相平行． 16. 如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为________． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解方程组： （1） （2） （3） 18. 小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： （1）小深抽到“纸巾”的概率是 ； （2）小深中奖的概率是 ； （3）请你设计翻奖牌背面内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 19. 已知关于x，y的方程组 （1）若方程组的解满足，求k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 20. “五一”期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满200元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照表格获得奖券（指针指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 区域颜色 奖券金额 黄 20元 蓝 50元 红 80元 空白 0元 （1）甲顾客购物100元，他获得奖券的概率是______； （2）乙顾客购物300元并参与该活动，求他获得20元和80元奖券概率； （3）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，50元和80元奖券获奖概率不变，通过计算求出需要将多少个空白区域改为黄色？ 21. 中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件． （1）某天这两种工艺品的销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ （2）中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ 22. 如图，是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，过点作． （1）请判断与位置关系，并证明． （2）求的度数． 23. 神舟二十号是中国载人航天工程计划于2025年发射的第二十艘载人飞船，任务期间，主要实施航天员出舱活动和货物气闸舱出舱任务，继续开展空间科学实验和技术试验，开展平台管理工作、航天员保障相关工作以及科普教育等重要活动．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． （1）求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 24. 直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合． （1）如图1，平分，平分，若，求的度数； （2）如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化?若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律． （3）如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 蓬莱区2024-2025学年度第二学期期中学业水平检测 初二数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列方程：；；；；．其中是二元一次方程的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键． 根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：，不是二元一次方程； ，是二元一次方程； ，不是二元一次方程； ，不是二元一次方程； ，是二元一次方程； 综上所述，共有个二元一次方程， 故选：B． 2. 诗词是中华文化的瑰宝，是中国文学的璀璨明珠，也是人类文明的共同财富．请指出所给诗词描述的事件属于随机事件的是（ ） A. 锄禾日当午，汗滴禾下土 B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟 C. 白日依山尽，黄河入海流 D. 离离原上草，一岁一枯荣 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A. 锄禾日当午，汗滴禾下土，是必然事件，故选项不符合题意； B. 春眠不觉晓，处处闻啼鸟是随机事件，故选项符合题意； C. 白日依山尽，黄河入海流，是必然事件， 故选项不符合题意； D. 离离原上草，一岁一枯荣，是必然事件， 故选项不符合题意； 故选：B． 3. 能说明命题“若，则”为假命题的反例是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了判断假命题举反例等知识点，掌握举反例的方法是解题的关键．然后根据举反例的方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、B选项符合，也符合，不符合题意； C选项既不符合，也不符合，不符合题意； D. 符合，但不符合，符合题意． 故选D． 4. 若，则的倒数是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的求解，涉及了绝对值和算术平方根的非负性，算术平方根的求解以及倒数的概念，解题的关键是灵活运用相关基本知识进行求解． 根据绝对值和算术平方根的非负性，得到关于的二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 即，化简可得， ①+②得：，解得， 将代入①得，，解得， ∴， ∴的倒数是， 故选：C 5. 在一个布袋中装有红、白两种颜色的小球，它们除颜色外没有任何其他区别．其中红球若干，白球5个，袋中的球已搅匀．若从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大，则红球的个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 不足4个 D. 6个或6个以上 【答案】D 【解析】 【分析】由取出红球的可能性大知红球的个数比白球个数多，据此可得答案． 【详解】解：∵袋子中白球有5个，且从袋中随机取出1个球，取出红球的可能性大， ∴红球的个数比白球个数多， ∴红球个数满足6个或6个以上， 故选D． 【点睛】本题主要考查可能性大小，只要在总情况数目相同的情况下，比较其包含的情况总数即可． 6. 如图，在中，将沿直线m翻折，点B落在点D的位置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 60° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、翻折变换等知识点，熟练掌握三角形外角的性质是解题的关键． 由折叠的性质得到，由三角形外角性质可得、，易得，则，即，然后求解即可． 【详解】解：如图所示： 由折叠的性质得：， 根据外角性质得：，， ∴， ∴，即． ∵ ∴． 故选：A． 7. 下列语句正确的有（ ） 任意两条直线的位置关系不是相交就是平行； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行； 过两条直线，外一点，画直线，使，且； 若直线，，则； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质，熟练掌握定义和公理是解答本题的关键． 根据平行线的定义、平行公理、平行线的传递性、垂线的性质对各小题分析判断后利用排除法求解即可． 【详解】解：任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，应为在同一平面内，任意两条直线的位置关系不是相交就是平行，错误； 过一点有且只有一条直线和已知直线平行，应为过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，错误； 过两条直线，外一点，画直线，使，且，因为过两条直线，外一点，画直线，使，且，当与相交时，这样的直线不存在，错误； 若直线，，则，正确； 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，应在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误； 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的解，将代入得出，即可求解． 【详解】解：直线与直线交于点， 当时，， ， 可变形为，可变形为， 关于，的方程组的解为， 故选A． 9. 如图，在三角形中，平分，点在边上，于点．平分交的延长线于点．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，角平分线定义，垂线定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．先证明，得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角的性质得出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 10. 佳佳坐在匀速行驶的车上，将每隔一段时间看到的里程碑上的数描述如下： 时刻 里程碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位数字与个位数字相比时看到的刚好颠倒 比看到的两位数中间多了个0 则时看到的两位数是（ ） A. 15 B. 16 C. 25 D. 34 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据十位与个位数字之和为7且车行驶的速度不变，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴． 故选：B． 二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 下列算式：①；②；③；④；⑤，运算结果正确概率是__________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】此题考查了概率的计算，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键．分别利用算术平方根、负整数指数幂、同底数幂的除法、合并同类项进行判断，再利用概率公式进行解答即可． 【详解】解：①，故①错误； ②，故②正确； ③，故③错误； ④无意义，故④错误； ⑤，故⑤错误， 综上可知，正确的有1个，故运算结果正确的概率是． 故答案为：． 12. 已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二元一次方程组的解及其解法，求解算术平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．把与的值代入方程组求出与的值，即可求出的算术平方根． 【详解】解：把代入得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 13. [传统文化]为增强学生体质，让学生感受中国的传统文化，某校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．如图①是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成了数学问题：如图②，已知，，则的度数是______． 【答案】##23度 【解析】 【分析】此题主要考查了平行线的性质与判定，作，得到，再结合，得到，求出，最后根据代入计算即可． 【详解】解：如图所示：作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形，如图甲所示，若拼成如图乙所示的正方形，中间还留下一个洞，恰好是边长为厘米的小正方形．设一个小长方形的长为厘米，宽为厘米，则所列二元一次方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组应用，根据图形列出方程组即可，根据图形找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 15. 下列命题是真命题的是__________．（填序号） （1）四边形内角和为； （2）对顶角相等； （3）如果，那么； （4）两个锐角之和一定是锐角； （5）如果，那么； （6）垂直于同一直线的两条直线互相平行． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】此题考查了真假命题，四边形内角和，对顶角相等，解一元一次方程，两个锐角之和，不等式和平行的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点．根据四边形内角和，对顶角相等，解一元一次方程，两个锐角之和，不等式的性质和平行线的判定逐项判断即可． 【详解】（1）四边形内角和为，正确，是真命题； （2）对顶角相等，正确，是真命题； （3）如果， 去分母得， 解得，故原说法错误，是假命题； （4）两个锐角之和不一定是锐角，是假命题； （5）如果，那么，故原说法错误，是假命题； （6）同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行，故原说法错误，是假命题． 故答案为：（1）（2）． 16. 如图，将三角板与三角板摆放在一起，其中，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，当点E落在射线的反向延长线上时，即停止旋转．设的旋转速度为/秒，旋转时间为t，若当它的一边与的边平行时（不含重合情况），则t的值为________． 【答案】5秒或35秒或50秒 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，设旋转过程中，与，与是对应点，再分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：设旋转过程中，与，与是对应点， 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）； 如图，当时， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴（秒）， 综上所述，t的值为5秒或35秒或50秒， 故答案为：5秒或35秒或50秒． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 解方程组： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可； （3）方程组整理后，方程组利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： 得：， 解得：； 把代入①得：， 解得：， 原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理，得， 得， 即：， 解得：， 把代入③得， 解得：， 则方程组的解为：； 【小问3详解】 解： 整理，得， 得， 即， 解得：， 把代入③得， 解得：， 则方程组的解为：． 18. 小深一家逛完超市后，凭小票参加一次抽奖活动，超市设置如下的翻奖牌，翻奖牌的正面、背面如下．如果小深只能抽奖一次，且抽到数字1至9的可能性一样，请解决下面的问题： （1）小深抽到“纸巾”的概率是 ； （2）小深中奖的概率是 ； （3）请你设计翻奖牌背面的内容，使得最后抽到“太阳伞”的可能性大小是 ，要求奖牌内容包含“纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与”． 【答案】（1） （2） （3）4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾1张、牙刷1张，谢谢参与3张（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，熟练掌握概率公式是解题的关键； （1）用“纸巾”对应牌的数量除以牌的总数量即可； （2）用“纸巾”、“牙刷”“太阳伞”、对应牌的数量和除以牌的总数量即可； （3）根据题意，可知本题答案不唯一，只要九张牌中有四张写着太阳伞，其他的五张包含纸巾、牙刷、太阳伞、谢谢参与即可． 【小问1详解】 解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个， 抽到“纸巾”奖品的可能性是：； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由图可得，一共有9个方格，“纸巾”奖品占3个，“牙刷”奖品占2个，“太阳伞”奖品占1个，“谢谢参与”奖品占3个， 小深中奖的概率是 故答案为：； 【小问3详解】 解：设计九张牌中有4张写着太阳伞，其它的五张牌中纸巾、牙刷，各1张，谢谢参与3张． 19. 已知关于x，y的方程组 （1）若方程组的解满足，求k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，直接写出该公共解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的解、二元一次方程及同解方程，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意，联立方程得，可求得x，y的值，再将x，y代入，即可求得k的值． （2）无论实数k取何值，方程总有一个公共解，即的取值与无关，求得，将所求x的值代入，可求得y的值，即为所求的公共解． 【小问1详解】 解：联立与， 得 解得 把 代入方程中， 得 ， 解得 【小问2详解】 ∵无论实数k取何值，方程总有一个公共解， ∴的取值与无关， ∴，即方程化为，解得 无论实数k取何值，方程总有一个公共解，该公共解为. 20. “五一”期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满200元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会．如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成10个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照表格获得奖券（指针指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止）． 区域颜色 奖券金额 黄 20元 蓝 50元 红 80元 空白 0元 （1）甲顾客购物100元，他获得奖券的概率是______； （2）乙顾客购物300元并参与该活动，求他获得20元和80元奖券的概率； （3）为加大活动力度，现商场想调整获得20元奖券的概率为，50元和80元奖券获奖概率不变，通过计算求出需要将多少个空白区域改为黄色？ 【答案】（1）0 （2）， （3）需要将3个空白区域改为黄色 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）由题意可知，甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会，则他获得奖金的概率是0； （2）用概率公式求解即可； （3）设需要将x个空白区域改为黄色，根据20元奖券的概率为列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵100元元， ∴甲顾客不能获得转转盘抽奖金的机会， ∴他获得奖金的概率是0． 故答案为：0． 【小问2详解】 解：乙顾客购物300元，能获得一次转动转盘的机会， 由题意，每转动一次转盘共有10种等可能的结果，其中黄色的有2种，红色的有1种， 所以指针指向黄色的概率为， 指针指向红色的概率为， 所以他获得20元和80元奖券的概率分别为，． 【小问3详解】 解：设需要将x个空白区域改为黄色， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将3个空白区域改为黄色． 21. 中国传统手工艺享誉海内外，扎染和刺绣体现了中国人民的智慧和创造力．某店销售扎染和刺绣两种工艺品，已知扎染175元/件，刺绣325元/件． （1）某天这两种工艺品销售额为1175元，求这两种工艺品各销售多少件？ （2）中国的天问一号探测器，奋斗者号潜水器等科学技术世界领先，国人自豪感满满，相关纪念品深受青睐．该店设立了一个如图所示可自由转动的转盘（转盘被分为5个大小相同的扇形）．凡顾客在本店购买一件工艺品，就获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，顾客即可免费获得指针指向区域的纪念品一个（指针指向两个扇形的交线时，视为指向右边的扇形）．一顾客在该店购买了一件工艺品，求该顾客获得纪念品的概率是多少？ 【答案】（1）该店销售扎染3件，刺绣2件 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及概率公式，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设扎染工艺品销售扎染x件，刺绣工艺品销售y件，根据某天这两种工艺品的销售额为1175元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； （2）直接由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：设销售扎染件，刺绣件． 根据题意得，． ∴． ∵均非负整数． ∴当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，（舍去）． 答：该店销售扎染3件，刺绣2件． 【小问2详解】 解：转动一次转盘所有等可能结果共5种，指针指向有纪念品的扇形（记为事件）的结果有3种， 所以，． 答：该顾客获得纪念品的概率是． 22. 如图，是一盏可调节台灯的示意图．固定支撑杆底座于点，与是分别可绕点和旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，过点作． （1）请判断与的位置关系，并证明． （2）求的度数． 【答案】（1）平行，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，平行公理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）由，即可得到； （2）如图，过点A作，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到答案． 【小问1详解】 解：，理由如下， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点A作， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 23. 神舟二十号是中国载人航天工程计划于2025年发射的第二十艘载人飞船，任务期间，主要实施航天员出舱活动和货物气闸舱出舱任务，继续开展空间科学实验和技术试验，开展平台管理工作、航天员保障相关工作以及科普教育等重要活动．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． （1）求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）20元，30元 （2）当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获得利润最大，最大利润是1700元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用， 对于（1），先设每件甲，乙种航天载人飞船模型的进价是x，y元，再根据总进价相等列出方程组，求出解即可； 对于（2），设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润是w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，根据题意列出一次函数，再根据一次函数的性质，并结合得出最大利润即可． 【小问1详解】 解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据题意，得 ， 解得， 所以每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元； 【小问2详解】 解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润是w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，根据题意，得 ， 即. ∵， ∴w随着m的增大而增大． ∵， ∴当时，w取得最大值，最大值是， 此时． 答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获得利润最大，最大利润是1700元． 24. 直线，垂足为点O，点A、B分别在射线、上运动，点A、B均不与点O重合． （1）如图1，平分，平分，若，求的度数； （2）如图2，平分，平分，的反向延长线交射线于点D．在A、B两点运动的过程中，的度数是否发生变化?若不变，试求的度数；若变化，请说明变化规律． （3）如图3，已知点E在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点F、G，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请求出的度数． 【答案】（1） （2）的度数不变， （3）或 【解析】 【分析】本题考查了垂直、与角平分线有关的三角形内角和问题、三角形的外角性质等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）先根据三角形的内角和定理求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理求解即可得； （2）先根据垂直的定义可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的外角性质求解即可得； （3）先根据垂直的定义可得，根据角平分线的定义可得，从而可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后分四种情况：①，②，③和④，求出的度数，根据三角形的外角性质求出，根据角平分线的定义可得的度数，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵直线， ∴，， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 【小问2详解】 解：的度数不变，求解过程如下： ∵直线， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵直线， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∵， ∴， ①当时，则，符合题意， ∴， ∴， ∴； ②当时，则， ∴，不符合题意，舍去； ③当时， ∵， ∴，不符合题意，舍去； ④当时， ∵， ∴，符合题意， ∴， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$