精品解析：上海市黄浦区2024-2025学年八年级下学期数学期末试卷

2024学年第二学期期末试卷八年级数学 时间 90分钟 满分100分 一．选择题（共6小题） 1. 直线的截距是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中，没有实数解的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列事件中，随机事件的是（　　） A. 直线与直线有公共点 B. 从只装有5个白球的袋子里摸出1个红球 C. 任意画一个三角形，其内角和是180度 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 4. 下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A. 若，那么或 B. 若、均为单位向量，那么 C. 如果是单位向量，那么1 D. 若，则A、B、C、D构成平行四边形 5. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 二．填空题（共12小题） 7. 将直线沿y轴方向向下平移3个单位，平移后的直线表达式是______． 8. 已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是______． 9. 方程的实数解是__________． 10. 如果关于x方程有解，那么a的取值范围为_____． 11. 用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程为_____． 12. 我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是______． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 14. 在1×3的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是_____． 15. 如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 16. 如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是_____． 17. 如图，正方形和正方形边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 18. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．在“等对角四边形”中，，对角线的长______． 三．简答题（共4小题） 19. 请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：把代入，得， （第④步）所以，原方程的根是． （1）你认为小明在第_____步出现了错误；（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误，请你提出一条解分式方程时的注意事项 ； （3）写出上述分式方程的正确解法． 20 解方程组： 21. 在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． （1）请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） （2）如图2所示，若，，则 = ． 22. 某机械加工厂计划在一定时间内组装个机器人，后因接到大型展会订单，不但需要增产，而且要提前4天交货．经生产部测算，每天需要多组装5个．问原计划每天组装多少个机器人？ 四．解答题（共4小题） 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 24. 某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）当时，求机器温度与时间的函数关系式； （2）求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点P的坐标为． （1）当直线l经过点P时，求点P的坐标； （2）过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，垂足为点M．当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值． 26. 如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． （1）若，则点到的距离是_______； （2）判断的形状并加以证明； （3）若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期期末试卷八年级数学 时间 90分钟 满分100分 一．选择题（共6小题） 1. 直线的截距是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，求函数值等知识点，熟练掌握一次函数图象及数形结合思想是解题的关键． 把代入一次函数的解析式求出的值即可． 【详解】解：令，则， 直线的截距是， 故选：． 2. 下列方程中，没有实数解是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方程实数解的存在性判断，涉及一元二次方程、分式方程、根式方程，分别求出方程的解判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，解得，均为实数，故A有实数解，不符合题意； B、两边同乘得，解得，因使分母为0，舍去，故唯一解为，B有实数解，不符合题意； C、，平方和为0当且仅当且，存在实数解，故C有解，不符合题意； D、，根号内需非负：（即）且（即），两条件无交集，故无实数满足，D无解，故D符合题意； 故选：D． 3. 下列事件中，随机事件的是（　　） A. 直线与直线有公共点 B. 从只装有5个白球的袋子里摸出1个红球 C. 任意画一个三角形，其内角和是180度 D. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，逐一分析各选项即可，熟练掌握随机事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、直线与的一次项系数分别为1和3，不相等，两直线必相交，属于必然事件，故不符合题意； B、袋中只有白球，摸出红球不可能发生，属于不可能事件，故不符合题意； C、三角形内角和恒为，属于必然事件，故不符合题意； D、掷硬币可能出现正面或反面，结果不确定，属于随机事件，故符合题意； 故选：D． 4. 下列关于向量的说法中，正确的是（　　） A. 若，那么或 B. 若、均为单位向量，那么 C. 如果是单位向量，那么1 D. 若，则A、B、C、D构成平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查向量的基本概念，包括模长、单位向量及平行四边形的判定，需逐一分析各选项的正确性，熟练掌握向量的基本概念是解此题的关键． 【详解】解：A、若两向量模长相等，它们的方向未必相同或相反，例如，向量与的模均为1，但既不相等也不相反，故A错误； B、单位向量的定义是模长为1的向量，因此无论方向如何，和的模均为1，必然相等，故B正确； C、单位向量的模长为1，但向量本身是既有大小又有方向的量，不能直接等于标量1，正确表述应为，故C错误； D、若，说明与平行且长度相等，但若四点共线（如，，，），则无法构成平行四边形，故D错误； 故选：B． 5. 已知四边形中，对角线与相交于点O，，，再添加一个条件使四边形是菱形，添加条件不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了证明四边形是菱形、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定与性质，证明，得出，从而可得垂直平分，由线段垂直平分线的性质可得，，再结合各选项逐项分析即可得解，熟练掌握菱形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：如图： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， A、∵， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； B、∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形，故不符合题意； C、∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形，故不符合题意； D、添加不能说明四边形是菱形，故符合题意； 故选：D． 6. 把一张矩形纸片沿对角线折叠，点B的对应点为点E，边交边于点G．连接（如图所示）．当时，下列结论中，不正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形性质及翻折问题，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是根据折叠得到．先由折叠的性质及矩形的性质可得，从而判断出选项A；由全等的性质可得，由等腰三角形的性质可得，再由平行线的判定即可判断选项B；设，则，中，，列出方程求解，即可判断出选项C；由折叠性质可得，再由，可得，再判断选项D． 【详解】解：矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， 在和中， ， ， 故A正确，不符合题意； ， ， ， ， ， ， 故B正确，不符合题意； 设，则， 中，， ， 解得：， ， ， ， 故C不正确，符合题意； 矩形纸片沿对角线折叠，点的对应点为， ， ， ， 故D正确，不符合题意， 故选：C 二．填空题（共12小题） 7. 将直线沿y轴方向向下平移3个单位，平移后的直线表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移．根据直线的平移规则：上加下减，即可得解． 【详解】解：将直线沿y轴方向向下平移3个单位，平移后的直线表达式是． 故答案为：． 8. 已知一次函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质.根据一次函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可． 【详解】解：∵一次函数，y值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 9. 方程的实数解是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了解无理方程，熟练掌握无理方程的解法是解决问题的关键． 将方程的两边同时平方得，再解此方程得，，然后再进行检验即可得出答案． 【详解】解：将方程的两边同时平方，得：， 整理得：， 解得：，， 当时，左边，右边， ∴是该方程的解， 当时，左边，右边， ∴为增根，不是该方程的解， ∴方程的实数解是． 故答案为：． 10. 如果关于x的方程有解，那么a的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次方程的解法．移项合并同类项，当x的系数不等于0时，方程有解，据此即可求解． 【详解】解：移项合并同类项得， ∵关于x的方程有解， ∴， 即， 故答案为：． 11. 用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的整式方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整体换元法、去分母将分式方程化为整式方程．将原分式方程中的全部换为，最后再去分母化为整式方程即可． 【详解】解：设，则设， 把代入原方程得：， 方程两边同时乘以y整理得：． 故答案为：． 12. 我国古代中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6.8尺，门的对角线长10尺，那么门的高和宽各是多少？如果设矩形门的宽为尺，高为尺，那么可列方程组是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列方程是关键． 设长方形门宽尺，则高是尺，根据勾股定理即可列方程求解． 【详解】解：设长方形门的宽尺，高是尺，根据题意得： ， 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和是，则这个多边形是_______边形． 【答案】八 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，熟记多边形的内角和公式为是解答本题的关键．根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】设这个多边形是n边形， 由题意得， 解得， ∴这个多边形是八边形． 故答案为：八． 14. 在1×3的正方形网格格点上放三枚棋子，按图所示的位置已放置了两枚棋子，若第三枚棋子随机放在其它格点上，则以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由题可知共有6种等可能的结果，以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的有4种情况，然后直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：∵共有6种等可能的结果，以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的有4种情况， ∴以这三枚棋子所在的格点为顶点的三角形是直角三角形的概率为：． 故答案为：． 15. 如图，在梯形中，，连接，已知梯形的面积为17，的面积为12，那么的面积____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查平行线之间的距离相等，涉及梯形面积公式、三角形面积公式等知识，过点作，过点作，如图所示，根据题意，表示出梯形面积与，数形结合即可得到的面积．熟记平行线之间的距离相等，数形结合表示出相关面积之间的关系是解决问题的关键． 【详解】解：过点作，过点作，如图所示： 在梯形中，，则， 梯形面积为17， , 的面积为12， , ， 解得， 故答案为：5． 16. 如图，平行四边形中，，，，点E、F分别是边、边的中点，点M是与的交点，点N是与的交点，则四边形的周长是_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，点E、F分别是边、边的中点，可知，可证四边形为菱形，根据菱形的性质可知，且与互相平分，，为等边三角形，，，由勾股定理求，根据菱形的性质可证四边形为矩形，再求四边形的周长． 【详解】解：连接， ∵点E、F分别是边、边的中点，，， ∴， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∴，且与互相平分， 同理可得：四边形为菱形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∵四边形为菱形，四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， 又∵，， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键. 17. 如图，正方形和正方形的边长分别为和，点，分别在边，上，为的中点，连接，则的长为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理解三角形等知识点，牢记性质和定理内容，并结合图形灵活应用是解题关键． 连接，根据正方形的性质可得A、E、C三点共线，连接交于点M，由正方形的性质求和勾股定理可求得和，的长度，从而求得，因为的中点，可得和，再由正方形的性质可得和 ，在中，求解即可． 【详解】解：如下图，连接，连接与交于点M ∵四边形和四边形是正方形，且点、G分别在边上 ∴A、E、C三点共线，，，， ， 在中，，， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： ∴ 又∵P是的中点，M是的中点 ∴ 又∵ 在中，由勾股定理得： 即：= 故答案为： 18. 新定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的四边形叫做“等对角四边形”．在“等对角四边形”中，，对角线的长______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据“等对角四边形”定义，分两种情况作图：当时；当时；结合矩形性质、勾股定理及解直角三角形求解即可得到答案． 【详解】解：当时，延长相交于点，如图所示： ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴； 当时，过点作于点于点，如图所示： 则，四边形是矩形， ， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了新定义“等对角四边形”、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，熟练掌握新定义“等对角四边形”、矩形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形并作出合理的辅助线是解题的关键． 三．简答题（共4小题） 19. 请阅读下列材料回答问题：在解分式方程时，小明的解法如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：把代入，得， （第④步）所以，原方程的根是． （1）你认为小明在第_____步出现了错误；（只填序号） （2）针对小明解分式方程出现的错误，请你提出一条解分式方程时的注意事项 ； （3）写出上述分式方程的正确解法． 【答案】（1）① （2）去分母时，常数项1也要乘以最简公分母 （3）原方程的解为，正确解法见解析 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握分式方程的解法． （1）根据分式方程的解法，逐一分析，再作出判断； （2）根据去分母求解； （3）根据分式方程的解法的一般步骤求解． 【小问1详解】 解：小明在第①步出现了错误， 故答案为：①； 【小问2详解】 提出一条解分式方程时的注意事项：去分母时，常数项1也要乘以最简公分母； 故答案为：去分母时，常数项1也要乘以最简公分母； 【小问3详解】 原方程去分母得：， 整理得：， 解得：，， 经检验：是原方程的增根舍去， 故原方程的解为． 20. 解方程组： 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 21. 在平行四边形中，点M为对角线上的一点，点N为边上的一点，且点A和点N关于直线对称． （1）请用尺规作图的方法在图1中确定点M，N的位置，并在图中求作：（不写作法，保留作图痕迹，写出结论） （2）如图2所示，若，，则 = ． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）作平分线交于点M，作的垂线交于点N，则点M和点N即为所求作的点；由可知，向量即为所求作的向量； （2）连接，，证明是等边三角形得，然后根据即可求解． 【小问1详解】 如图，点M和点N即为所求作的点，向量即为所求作的向量． 【小问2详解】 如图，连接， ∵点A和点N关于直线对称， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了尺柜作图，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，向量的运算等知识，熟练掌握向量的知识是解答本题的关键． 22. 某机械加工厂计划在一定时间内组装个机器人，后因接到大型展会订单，不但需要增产，而且要提前4天交货．经生产部测算，每天需要多组装5个．问原计划每天组装多少个机器人？ 【答案】原计划每天组装个机器人 【解析】 【分析】本题考查了分式的实际应用，解题关键是找准等量关系． 设原计划每天组装x个机器人，则实际每天需组装（）个机器人，根据等量关系列出分式方程求解，并验根． 【详解】解：设原计划每天组装x个机器人，则实际每天需组装（）个机器人， 根据题意得：， 解得：，， 经检验，，均为所列方程的解，符合题意，不符合题意，舍去． 答：原计划每天组装个机器人． 四．解答题（共4小题） 23. 如图，矩形的对角线与交于点，点是的中点，连接交于点，延长到点，使，连接，，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若四边形是矩形，且，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2）的长度为1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质推出是的中位线，利用证明，根据全等三角形的性质得到，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）根据矩形的性质得到，，根据勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 若四边形是矩形，则 ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了矩形的性质，三角形中位线的性质，平行四边的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，利用矩形的性质证明是解题的关键． 24. 某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度与时间成正比例函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态，机器温度与时间成一次函数关系； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度与时间成反比例关系．如图所示为某次制作三明治时机器温度（）与时间（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： （1）当时，求机器温度与时间的函数关系式； （2）求三明治机工作温度在及其以上持续的时间． 【答案】（1）当时，机器温度与时间的函数关系式为 （2）三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟 【解析】 【分析】本题考查一次函数解应用题、反比例函数解应用题，读懂题意，利用待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． （1）由待定系数法列方程组求解即可得到答案； （2）由（1）可知，当时，求出此时对应的时间，再由待定系数法求出反比例函数关系式，当时，求出此时对应的时间，作差即可得到答案． 【小问1详解】 解：设机器温度与时间的函数关系式为， 将代入得， 解得， ∴当时，机器温度与时间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：当时，得，解得， 设断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， ∴断电阶段机器温度与时间的函数关系式为， 当时，得， 解得， 经检验是原方程的解， 则（分钟）． 答：三明治机工作温度在及其以上持续8.8分钟． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线经过点，动点P的坐标为． （1）当直线l经过点P时，求点P的坐标； （2）过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，垂足为点M．当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时，求m的值． 【答案】（1）P的坐标为 （2）或6 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与平行四边形的存在性问题，涉及待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先由待定系数法求直线解析式，再把代入即可求解； （2）可得将代入，求得， 则，由平行四边形得到，则，解方程即可． 【小问1详解】 解：将点将代入解析式得：， 解得：k， ∴直线l的表达式为：； 将点代入解析式得：， 解得：， ∴P的坐标为； 【小问2详解】 解：如图： ∵轴， ∴， ∴ ∵点Q在直线l上， ∴将代入， 则 解得：， ∴ 当以O、A、P、Q为顶点的四边形为平行四边形时， 则， ∴ 解得：或． 26. 如图，已知梯形，，，点、分别是边和上的动点（点不与点重合，点不与点重合），且，，联结． （1）若，则点到的距离是_______； （2）判断的形状并加以证明； （3）若，设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域． 【答案】（1） （2）为等腰直角三角形，证明见解析 （3）（） 【解析】 【分析】本题考查了四边形与三角形综合，主要涉及了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识点， （1）过点做，垂足为，由，，可得，从而证明是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出； （2）根据等边对等角可得，，结合四边形内角和等于，可得， 由此求出，进而即可判定是等腰直角三角形， （3）过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为，容易证明平行四边形是矩形，，结合由（1）得，再由（2）得是等腰直角三角形，求出，，在中，根据，求出y关于x的函数解析式． ∴． 【小问1详解】 解：过点做，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴点到的距离是， 【小问2详解】 解：结论：是等腰直角三角形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，， 即是等腰直角三角形， 【小问3详解】 解：过点做，垂足为，交于，过点作，垂足为， 又∵， ∴，即， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 由（1）得， ∴， 由（2）得是等腰直角三角形， ∴， ∵在矩形中，，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴，函数定义域为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $