第十八章 相似形（单元测试·基础卷）数学北京版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 D B A D C B A C 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．/ 10． 11． 12． 13．2 14．8 15． 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ．······································2分 （2）， ， ， ， ，，．······································5分 18．（5分） 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据公共角，已知，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，证明，根据“相似三角形的对应边成比例”，即可得证 【详解】证明：∵，分别为，边上的点， ∴， 又∵， ∴， ∴．······································5分 19．（6分） 【答案】河宽大约为 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．根据相似三角形的性质得出，即 ，进而代入数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴ 即，． ． 解得． 答：河宽大约为．······································6分 20．（6分） 【答案】旗杆高度为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为．······································6分 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为．······································6分 21．（6分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得出，进而得出，由得出，得到，进而利用相似三角形的判定即可证明结论； （2）由（1）得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ；······································3分 （2）解：由（1）知， ， ， ．······································6分 22．（8分） 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意是解答的关键．分别证明和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即, 由得，······································4分 ∴，解得， 答：昊天塔的高度为．······································8分 23．（8分） 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质，等边对等角的性质，判断，由此即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，再证明，得到，设，则， 得到，则，再由勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形．······································4分 （2）∵，， ∴四边形是平行四边形，     ∵， ∴四边形是菱形， ∴⊥，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ∴，则， ∴， ∴， ∴．······································8分 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 24．（8分） 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识． （1）证明，可得； （2）利用相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：∵为边的中点，为边中点，点为对角线的中点， ∴，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴；······································4分 （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴．······································8分 25．（10分） 【答案】（1），；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角和平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证，得，，再由平行线的判定得即可； （2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论； （3）延长至使得，连接，先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：为边的中点， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，；······································2分 （2）解：，理由如下： 如图2，延长至点，使，连接，   为的中点， ， ，， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ；······································5分 （3）解：延长至使得，连接，     为边的中点， ， ，， ， ，， ， 在中，，，，D为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ∴，     ， ∴， ，即， ∴．······································10分 26．（10分） 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】[初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴；······································2分 [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴；······································4分 [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴；······································6分 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴；······································8分 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或．······································10分 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）若，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 5．（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 6．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若，则的值为 ． 10．如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 11．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 12．24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为 ． 13．（24-25九年级上·北京昌平·阶段练习）如图，一个三角形纸片为边上的高，折叠纸片使得点与重合，折痕为．若的面积为8，则的面积为 ． 14．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是 ． 15．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为 ． 16．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 18．（5分）（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，分别为，边上的点，．求证：． 19．（6分）（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．已测得，，，请根据这些数据，计算河宽． 20．（6分）（2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为1.8米，他的影长为0.9米，同时测得旗杆的影长为6米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A，此时旗杆底端到点的距离为9米，小丽的眼睛点到地面的距离为1.6米． 21．（6分）（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，于点． (1)求证：； (2)若，求． 22．（8分）（24-25九年级上·北京房山·期中）学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 23．（8分）（2025·北京·一模）如图，已知四边形中，，平分交于点F，交延长线于点E，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)作交于G，连接交于点．若，，，求的长． 24．（8分）（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 25．（10分）（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 26．（10分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 试题 第3页（共10页） 试题 第4页（共10页） 试题 第1页（共10页） 试题 第2页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）若，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 5．（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 6．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 8．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若，则的值为 ． 10．如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 11．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 12．24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为 ． 13．（24-25九年级上·北京昌平·阶段练习）如图，一个三角形纸片为边上的高，折叠纸片使得点与重合，折痕为．若的面积为8，则的面积为 ． 14．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是 ． 15．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为 ． 16．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 18．（5分）（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，分别为，边上的点，．求证：． 19．（6分）（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．已测得，，，请根据这些数据，计算河宽． 20．（6分）（2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为1.8米，他的影长为0.9米，同时测得旗杆的影长为6米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A，此时旗杆底端到点的距离为9米，小丽的眼睛点到地面的距离为1.6米． 21．（6分）（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，于点． (1)求证：； (2)若，求． 22．（8分）（24-25九年级上·北京房山·期中）学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 23．（8分）（2025·北京·一模）如图，已知四边形中，，平分交于点F，交延长线于点E，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)作交于G，连接交于点．若，，，求的长． 24．（8分）（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 25．（10分）（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 26．（10分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）若，则下列比例式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的性质．根据比例的性质“如果，那么”进行解答即可得． 【详解】解：A、，则，故错误，不符合题意； B、，则，故错误，不符合题意； C、，则，故错误，不符合题意； D、，则，故正确，符合题意． 故选：D． 2．（24-25九年级上·北京顺义·阶段练习）如图，相交于点O，由下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记相关结时解题的关键．根据相似三角形的判定，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：由图可知：， 若，则，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故A不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组对应边的比例相等，且它们所夹的内角相等，则这两个三角形相似” 可判定与相似，故C不符合题意； 若，根据“若两三角形有两组内角对应相等，则这两个三角形相似”可判定与相似，故D不符合题意； 若，不能判定与相似，故B符合题意； 故选：B． 3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，直线，直线，被直线、、所截，截得的线段分别为，，，，若，，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：， ， ，，， ， ， 故选：A． 4．（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在平面直角坐标系中，，且，，，若的面积为1，则的面积为（   ） A． B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的面积之比等于相似比的平方的知识，掌握了以上知识是解题的关键； 本题需要分别求出线段和线段的长度，进而求出相似比，得到两个三角形的面积之比，根据的面积为1，即可求解的面积； 【详解】解：∵，，，， ∴，， ∵，, ∴， ∵的面积为1， ∴的面积为5； 故选：D； 5．（24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习）某数学兴趣小组在学习相似多边形时，三位同学分别将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则画出的三组图形中，新图形和旧图形是相似多边形的有（   ） A．0组 B．1组 C．2组 D．3组 【答案】C 【分析】本题考查了相似多边形的定义，理解并掌握相似多边形的定义是解题的关键． 根据相似多边形的定义“对应角相等，对应边成比例”进行分析即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，延长交于点，过点作交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 同理，四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即 同理可得，， ∴， ∵，， ∴， 同理，， ∴， ∴； 如图所示，延长交于点，延长交于点，延长交于点，延长交于点， ∵四边形是正方形，边长为，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，且对应角都是，都相等， ∴正方形∽正方形； 如图所示，矩形，， 计算方法同上述正方形， ∴矩形，， ∴， ∴矩形于矩形不是相似图形； 综上所述，新图形和旧图形是相似多边形的有2组， 故选：C ． 6．（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔O，物体在幕布上形成倒立的实像（点A、B的对应点分别是C、D）．若物体的高为，小孔O到地面距离为，则实像的高度（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的应用，先证明得到，再证明得到，再把①和②相加变形得到，然后把，，代入计算即可，利用平行线构建相似三角形，然后用相似三角形对应边的比相等的性质求相应线段的长或表示线段之间的关系． 【详解】解：依题意， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ， 则①②得， ， ， ∵，， ， 解得， 故选：B． 7．（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有（   ） A．①②④ B．②④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 根据相似三角形的判定方法“两个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；如果两个三角形的两组对应边成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似；如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似；”求解即可． 【详解】解：在和中，， ①， ∴与一定相似，故①正确； ②， ∴与一定相似，故②正确； ③， ∴与不相似，故③错误； ④， ∴与一定相似，故④正确； ⑤， 即， ∴与不相似，故⑤错误； 综上所述，能判定相似的有①②④， 故选：A ． 8．（24-25九年级上·北京西城·阶段练习）一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要研究等腰梯形各边中点连线所构成的四边形的性质．运用三角形中位线定理来推导四边形和的边、角、面积等相关性质，进而判断四个结论的正确性． 【详解】解：连接等腰梯形的对角线、． ∵点，，，分别是等腰梯形各边的中点， ∴， ， ∵等腰梯形的对角线相等， ∴， ∴． 同理， ∴四边形是菱形，结论①正确． 取的中点，连接，， ∵，分别是，的中点， ∴ ∵ ∴ ∴点，，三点共线， ∴即，结论②正确． 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴，，四边形是平行四边形， ∴，四边形是矩形， 同理可得， ∴ ∴，即四边形的面积等于四边形面积的倍，不是倍，结论③错误． 同理可得四边形的面积等于四边形面积的倍， ∴四边形的面积等于四边形面积的倍， 设梯形的高为，上底，下底， ∴梯形面积 ． ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形，设其相邻两边分别为、，周长 ， ． ∵（当且仅当时取等号），四边形的面积 ，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ，即四边形周长的平方不小于梯形面积的倍，结论④正确， 故选：C． 【点睛】本题主要考查三角形中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）、相似三角形的判定及性质，菱形的判定（四条边相等的四边形是菱形）、平行四边形的判定与性质以及均值不等式等知识．解题的关键在于通过连接对角线等辅助线，利用三角形中位线定理得出各边关系，再依据相关图形性质判断结论的正确性． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．若，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，设，代入即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 故答案为：． 10．如果两个相似三角形对应高的比是，那么它们的面积比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方，由此即可得出答案． 【详解】解：由相似三角形的性质可知，相似三角形对应高的比等于相似比，而相似三角形的面积比等于相似比的平方， 它们的面积比是：， 故答案为：． 11．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体 ． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质． 高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图： ， ，即相似比为, ， , 故答案为：． 12．24-25九年级上·北京朝阳·阶段练习如图，在矩形中，，垂足为点．若，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．根据矩形的性质可得，，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质求出，即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ，，即， ，， ，， ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·北京昌平·阶段练习）如图，一个三角形纸片为边上的高，折叠纸片使得点与重合，折痕为．若的面积为8，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题考查折叠的性质，相似三角形的判定和性质，设交于点，折叠得到垂直平分，进而得到，，进而得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：设交于点， ∵折叠， ∴垂直平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为8， ∴的面积为2； 故答案为：2． 14．（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，在平行四边形中，过对角线上一点P作，，且，，则四边形的面积是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握上述定理与性质是解题的关键． 利用平行四边形的性质得到，利用平行四边形的判定与性质得到，，利用相似三角形的判定与性质求得，的面积，再利用四边形解答即可． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形，四边形，四边形，四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴． 故答案为：8． 15．（2025·北京·模拟预测）如图，在矩形中，，点E为延长线一点，且．连接交边于点F，过点D作于点H，则的面积为 ． 【答案】 【分析】利用相似三角形的判定与性质求得线段的长，进而求得的长，利用勾股定理和三角形的面积公式列出关于的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16．（2025·北京海淀·二模）如图，正方形的边长为3，点在上，连接，以为边作正方形，点与点在直线异侧．若正方形的面积为10，则点到的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．作于点，根据正方形的性质和勾股定理可求得、和的长度，以及可证得，从而得到，代入计算求得的长度即为答案． 【详解】解：作于点，如图所示， 则， 四边形是边长为3的正方形， ，， 四边形是正方形，且面积为10， ，， 在中，， ， 又，， ， ， ，即， ． 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）已知． (1)求代数式的值． (2)若，求，，的值． 【答案】(1)1； (2)，，． 【分析】本题考查了比例的性质的应用，主要考查学生的计算能力． （1）令，，，把，，，代入，即可计算； （2）把，，，代入，求出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：， 令，，， ， ． （2）， ， ， ， ，，． 18．（5分）（24-25九年级上·北京房山·期末）如图，在中，，分别为，边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据公共角，已知，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，证明，根据“相似三角形的对应边成比例”，即可得证 【详解】证明：∵，分别为，边上的点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 19．（6分）（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点，在近岸取点和，使点，，共线且直线与河垂直，接着在过点且与垂直的直线上选择适当的点，确定与过点且垂直的直线的交点．已测得，，，请根据这些数据，计算河宽． 【答案】河宽大约为 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出是解题关键．根据相似三角形的性质得出，即 ，进而代入数值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∴ 即，． ． 解得． 答：河宽大约为． 20．（6分）（2024·北京大兴·二模）在数学活动课上，同学们分组测量学校旗杆的高度，经过交流、研讨及测量给出如下两种方案，请你选择一种方案求出旗杆的高度． 方案一：在某一时刻，借助太阳光线，测得小华的身高为1.8米，他的影长为0.9米，同时测得旗杆的影长为6米． 方案二：利用“光在反射时，反射角等于入射角”的规律，小丽在她的脚下点放了一面小镜子，然后向后退1.2米到达点，恰好在小镜子中看到旗杆的顶端A，此时旗杆底端到点的距离为9米，小丽的眼睛点到地面的距离为1.6米． 【答案】旗杆高度为 【分析】本题考查了相似三角形的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 方案一：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解； 方案二：根据题意可得，根据相似三角形的判定和性质即可求解． 【详解】方案一： 解：由题意得，，． ． ． ． ，，， ． 答：旗杆高度为． 方案二： 解：由题意得，，， ． ． ，，， ． ． 答：旗杆高度为． 21．（6分）（24-25九年级上·北京昌平·期末）如图，在中，于点． (1)求证：； (2)若，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由得出，进而得出，由得出，得到，进而利用相似三角形的判定即可证明结论； （2）由（1）得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知， ， ， ． 22．（8分）（24-25九年级上·北京房山·期中）学完了《相似形》这一章后，某中学数学实践小组决定利用所学知识去测量位于良乡的昊天塔的高度（如图1），测量方法如下：如图2，从塔的底部B出发，作一条射线，在上取E，G两点，分别竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为．从标杆处沿后退到D处，从D处观察A点，发现A，F，D三点成一线；从标杆处沿后退到C处，从C处观察A点，发现A，H，C三点也成一线请根据以上测量数据，帮助实践小组求出昊天塔的高度． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的应用，理解题意是解答的关键．分别证明和，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ∵，， ∴， ∴，即, 由得， ∴，解得， 答：昊天塔的高度为． 23．（8分）（2025·北京·一模）如图，已知四边形中，，平分交于点F，交延长线于点E，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)作交于G，连接交于点．若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据角平分线的性质，等边对等角的性质，判断，由此即可得出结论； （2）先证四边形是平行四边形，再证四边形是菱形，再证明，得到，设，则， 得到，则，再由勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）∵，， ∴四边形是平行四边形，     ∵， ∴四边形是菱形， ∴⊥，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ， ， ∴，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线的判断与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质是解题的关键． 24．（8分）（24-25九年级上·北京东城·阶段练习）在矩形中，，为边的中点，为边中点，点为对角线的中点，以点为顶点作，交边于点，交边于点，连接，． (1)如图，求的值． (2)求证：． 【答案】(1)2 (2)见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质等知识． （1）证明，可得； （2）利用相似三角形的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：∵为边的中点，为边中点，点为对角线的中点， ∴，，， ∴，，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∴； （2）证明：由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴． 25．（10分）（24-25九年级上·北京丰台·阶段练习）【探究发现】 （1）如图1，在中，D为边的中点，连接并延长至点H，使，连接．由，得，则与的数量关系为________，位置关系为_______． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，平分，D为边的中点，过点D作，交的延长线于点Q，交边于点K．试判断与的数量关系，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，D为边的中点，连接，E为边上一动点，连接交于点F．若．求的长度； 【答案】（1），；（2），理由见详解；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，等边对等角和平行线的性质，熟知全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）证，得，，再由平行线的判定得即可； （2）延长至点，使，连接，证，得，，再平行线的性质得，，然后证，即可得出结论； （3）延长至使得，连接，先证明，得，，再证明，根据相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，进一步证明，利用相似三角形的性质即可求出的长． 【详解】（1）解：为边的中点， ， ，， ， ，， ， 故答案为：，； （2）解：，理由如下： 如图2，延长至点，使，连接，   为的中点， ， ，， ， ，， ， ，， 平分， ， ， ； （3）解：延长至使得，连接，     为边的中点， ， ，， ， ，， ， 在中，，，，D为边的中点， ， ， ， ， ∴， ， ， ，即， ， ， ∴，     ， ∴， ，即， ∴． 26．（10分）（24-25九年级上·北京海淀·阶段练习）【定义】 平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”． 【初步感知】 如图，为矩形，为其“中直三角形”，其中，求的值； 【深入探究】 如图，为的“中直三角形”，其中，，求的值； 【拓展延伸】 在中，，，以为中直三角形的平行四边形的一组邻边的长记为，其中，请直接写出的值． 【答案】[初步感知]；[深入探究]或；[拓展延伸]或或 【分析】[初步感知]证明，则，由题意知，，则，计算求解，然后作答即可； [深入探究] 如图1，作于G，作的延长线于点H，同理，，，由题意得，，，则，计算求解，然后作答即可； [拓展延伸] 由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况，利用相似三角形的判定与性质以及线段的等量关系求解作答即即可． 【详解】[初步感知]解：∵为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由题意知，， ∴， 解得，， ∴； [深入探究]解：如图1，作于G，作的延长线于点H， 同理，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理可得，， ∴，， ∴，整理得，， 解得，或（舍去）； ∴； [拓展延伸]解：由题意知，分点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，点与邻边上的顶点重合，三种情况求解； 当点与邻边上的顶点重合时，如图2，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图3，作以为中直三角形的平行四边形，作的延长线于点H，作于G， 同理，，， 设，则， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，， ∵， ∴， 解得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当点与邻边上的顶点重合，如图4，作以为中直三角形的平行四边形，作于Q，作于H，作的延长线于点G，则四边形是矩形， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 同理，， ∴，即， 解得，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上所述：的值为或或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，含的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质等知识．熟练掌握各知识并分情况求解是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$