第02讲 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值（复习课件）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 讲师：xxx 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性、对称性、最值 1 01 考情解码·命题预警 智能导览·极速定位 02 体系构建·思维可视 知能解码 知识点1 单调性 知识点2 奇偶性 知识点3 周期性 知识点4 对称性 题型破译 题型1 确定函数的单调性及求单调区间 题型2 复合函数的单调性 题型3 比较大小 03 核心突破·靶向攻坚 题型4 利用单调性解函数不等式 题型5 利用单调性求参数的取值范围 题型6 求最值（值域） 题型7 判断函数的奇偶性 题型8 根据奇偶求解析式 题型9 利用奇偶求函数值或参数 题型10 利用奇偶和单调解不等式 题型11 函数的周期性 题型12 函数的对称性 题型13 对称、周期的综合 04 真题溯源·考向感知 05 课本典例·高考素材 01 考情解码·命题预警 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）根据分段函数的单调性求参数 （2）求函数值 （3）抽象函数的关系 （4）函数奇偶性的定义与判断 （5）函数奇偶性的应用 （6）函数对称性的应用 单选题 多选题 填空题 解答题 全国一卷，第5题，5分 全国二卷，第10题，,6分 北京卷，第15题，5分 天津卷，第3题，5分 新课标I卷，第6题,5分 新课标I卷，第8题,5分 新课标Ⅱ卷，第6题,5分 新课标Ⅱ卷，第11题,6分 天津卷，第4题，5分 上海卷，第4题，5分 新课标全国I卷，第4题,5分 新课标全国I卷，第11题,5分 新课标全国Ⅱ卷，第4题,5分 全国乙卷理，第4题，5分 全国甲卷理，第13题，5分 北京卷，第4题，4分 考情透视·目标导航 4 考情分析 本节内容是新高考卷的必考内容，一般会以抽象函数作为载体，考查函数的单调性、奇偶性、周期性及对称性，是新高考一轮复习的重点内容；设题稳定，难度中等偏难，分值为5-6分. 复习目标 1.会用符号语言表达函数的单调性,掌握求函数单调区间的基本方法; 2.理解函数最大值、最小值的概念、作用和实际意义，会求简单函数的最值; 3.能够利用函数的单调性解决有关问题; 4.了解奇偶性的概念和意义，会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性; 5.了解周期性的概念和意义.会判断、应用简单函数的周期性解决问题; 6.能综合运用函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性等解决相关问题. 考情透视·目标导航 5 02 体系构建·思维可视 知识导图·思维引航 03 核心突破·靶向攻坚 ——知能解码 题型破译 知能解码 知识点1 单调性 一、函数的单调性 减函数 增函数 题型破译 知能解码 知识点1 单调性 一、函数的单调性 减函数 增函数 题型破译 知能解码 知识点1 单调性 一、函数的单调性 题型破译 知能解码 知识点1 单调性 一、函数的单调性 相反 题型破译 知能解码 知识点1 单调性 一、函数的单调性 题型破译 知能解码 知识点1 单调性 二、函数的最值 题型破译 知能解码 知识点1 单调性 【自主检测】 【详解】 故选：BD 题型破译 知能解码 知识点2 奇偶性 题型破译 知能解码 知识点2 奇偶性 题型破译 知能解码 知识点2 奇偶性 题型破译 知能解码 知识点2 奇偶性 【自主检测】 【详解】 故选：B 题型破译 知能解码 知识点3 周期性 周期函数 题型破译 知能解码 知识点3 周期性 【自主检测】 【详解】 故答案为：0 ； . 题型破译 知能解码 知识点5 对称性 题型破译 知能解码 知识点4 对称性 【自主检测】 【详解】 故选：D. 03 核心突破·靶向攻坚 ——题型破译 题型破译 知能解码 【例1-1】 题型1 确定函数的单调性及求单调区间 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【例1-2】 题型1 确定函数的单调性及求单调区间 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 【变式训练1-1】 题型1 确定函数的单调性及求单调区间 【详解】 故选：BCD. 题型破译 知能解码 方法技巧 二 方法技巧 导数法 三 图象法 一 定义法 四 性质法 确定函数单调性的四种方法： 题型破译 知能解码 【变式训练1-2】 题型1 确定函数的单调性及求单调区间 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式训练1-3】 题型1 确定函数的单调性及求单调区间 【详解】 故答案为： 和 ． 题型破译 知能解码 【例2-1】 题型2 复合函数的单调性 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【例2-2】 题型2 复合函数的单调性 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式训练2-1】 题型2 复合函数的单调性 【详解】 故选：AB. 题型破译 知能解码 【变式训练2-2·变考法】 题型2 复合函数的单调性 【详解】 题型破译 知能解码 【变式训练2-2·变考法】 题型2 复合函数的单调性 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 【变式训练2-3·变载体】 题型2 复合函数的单调性 【详解】 故选：ABD. 题型破译 知能解码 【例3-1】 题型3 比较大小 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【例3-2】 题型3 比较大小 【详解】 故选：C. 题型破译 知能解码 方法技巧 二 方法技巧 指数函数在第一象限图像，具有“底大图高”的性质． 三 指数函数图像性质：一点一线。恒过定点（0，1），x轴是它的水平渐近线． 一 利用指数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待． 四 进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 题型破译 知能解码 【变式训练3-1】 题型3 比较大小 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【变式训练3-2】 题型3 比较大小 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【例4-1】 题型4 利用单调性解函数不等式 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【例4-2】 题型4 利用单调性解函数不等式 【详解】 故选：A. 题型破译 知能解码 【变式训练4-1】 题型4 利用单调性解函数不等式 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练4-2·变载体】 题型4 利用单调性解函数不等式 【详解】 故选：A . 题型破译 知能解码 【例5-1】 题型5 利用单调性求参数的取值范围 【详解】 故选：C . 题型破译 知能解码 【例5-2】 题型5 利用单调性求参数的取值范围 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练5-1】 题型5 利用单调性求参数的取值范围 【详解】 故选：D . 题型破译 知能解码 【变式训练5-2】 题型5 利用单调性求参数的取值范围 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练5-3】 题型5 利用单调性求参数的取值范围 【详解】 故答案为：0（答案不唯一） 题型破译 知能解码 【例6-1】 题型6 求最值（值域） 【详解】 故选：A . 题型破译 知能解码 【例6-2】 题型6 求最值（值域） 【详解】 故答案为：-3 . 题型破译 知能解码 方法技巧 二 方法技巧 一些重要函数的单调性： 一 奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反； 题型破译 知能解码 【变式训练6-1】 题型6 求最值（值域） 【详解】 故选：C . 题型破译 知能解码 【变式训练6-2】 题型6 求最值（值域） 【详解】 故选：C . 题型破译 知能解码 【例7-1】 题型7 判断函数的奇偶性 【详解】 故选：AB . 题型破译 知能解码 【例7-2】 题型7 判断函数的奇偶性 【详解】 题型破译 知能解码 【例7-2】 题型7 判断函数的奇偶性 【详解】 故选：D. 题型破译 知能解码 方法技巧 二 方法技巧 三 一 四 常见奇偶性函数模型 奇函数： 题型破译 知能解码 【变式训练7-1】 题型7 判断函数的奇偶性 【详解】 题型破译 知能解码 【变式训练7-1】 题型7 判断函数的奇偶性 【详解】 故选：AC . 题型破译 知能解码 【变式训练7-2】 题型7 判断函数的奇偶性 【详解】 故选：C . 题型破译 知能解码 【变式训练7-3】 题型7 判断函数的奇偶性 【详解】 故选：BD . 题型破译 知能解码 【例8-1】 题型8 根据奇偶求解析式 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【例8-2】 题型8 根据奇偶求解析式 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练8-1】 题型8 根据奇偶求解析式 【详解】 故选：C . 题型破译 知能解码 【变式训练8-2·变考法】 题型8 根据奇偶求解析式 【详解】 题型破译 知能解码 题型8 根据奇偶求解析式 【详解】 题型破译 知能解码 【例9-1】 题型9 利用奇偶求函数值或参数 【详解】 故选A . 题型破译 知能解码 【例9-1】 题型9 利用奇偶求函数值或参数 【详解】 故选A . 题型破译 知能解码 【例9-2】 题型9 利用奇偶求函数值或参数 【详解】 故选A . 题型破译 知能解码 【变式训练9-1】 题型9 利用奇偶求函数值或参数 【详解】 故选C . 题型破译 知能解码 【变式训练9-2】 题型9 利用奇偶求函数值或参数 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练9-3】 题型9 利用奇偶求函数值或参数 【详解】 故答案为： 0 . 题型破译 知能解码 【变式训练9-4】 题型9 利用奇偶求函数值或参数 【详解】 故答案为： -3 . 题型破译 知能解码 【例10-1】 题型10 利用奇偶和单调解不等式 【详解】 故选A . 题型破译 知能解码 【例10-2】 题型10 利用奇偶和单调解不等式 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练10-1】 题型10 利用奇偶和单调解不等式 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练10-2】 题型10 利用奇偶和单调解不等式 【详解】 故选D . 题型破译 知能解码 【变式训练10-3·变考法】 题型10 利用奇偶和单调解不等式 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【例11-1】 题型11 函数的周期性 【详解】 故选ACD . 题型破译 知能解码 【例11-2】 题型11 函数的周期性 【详解】 故答案为：-1 题型破译 知能解码 方法技巧 方法技巧 题型破译 知能解码 【变式训练11-1】 题型11 函数的周期性 【详解】 故答案为： . 题型破译 知能解码 【变式训练11-2·变考法】 题型11 函数的周期性 【详解】 故答案为：339 . 题型破译 知能解码 【例12-1】 题型12 对称性 【详解】 故选A . 题型破译 知能解码 【例12-2】 题型12 对称性 【详解】 题型破译 知能解码 【例12-2】 题型12 对称性 【详解】 故选D . 题型破译 知能解码 方法技巧 二 方法技巧 一 1.中心对称结论： 2.轴对称性的常用结论如下： 题型破译 知能解码 【变式训练12-1】 题型12 对称性 【详解】 故选A . 【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断： 题型破译 知能解码 【变式训练12-2】 题型12 对称性 【详解】 题型破译 知能解码 题型12 对称性 【详解】 题型破译 知能解码 【变式训练12-2】 题型12 对称性 【详解】 故选AD . 题型破译 知能解码 【变式训练12-3·变考法】 题型12 对称性 【详解】 故答案为：4. 题型破译 知能解码 【例13-1】 题型13 对称、周期的综合 【详解】 故选C . 题型破译 知能解码 【例13-2】 题型13 对称、周期的综合 【详解】 故答案为：0 . 题型破译 知能解码 方法技巧 二 方法技巧 三 一 题型破译 知能解码 【变式训练13-1】 题型13 对称、周期的综合 【详解】 故答案为：0 . 题型破译 知能解码 【变式训练13-2】 题型13 对称、周期的综合 【详解】 故选：B. 题型破译 知能解码 【变式训练13-3·变考法】 题型13 对称、周期的综合 【详解】 题型破译 知能解码 【变式训练13-3·变考法】 题型13 对称、周期的综合 【详解】 故选：BCD. 04 真题溯源·考向感知 真题溯源·考向感知 【详解】 【1】 故选：B. 104 真题溯源·考向感知 【详解】 【2】 105 真题溯源·考向感知 【详解】 【2】 故选：B. 106 真题溯源·考向感知 【详解】 【2】 故选：B. 107 真题溯源·考向感知 【详解】 【3】 108 真题溯源·考向感知 【详解】 【3】 故选：A. 109 真题溯源·考向感知 【详解】 【4】 故选：D. 110 真题溯源·考向感知 【详解】 【5】 故选：ABC. 111 真题溯源·考向感知 【详解】 112 真题溯源·考向感知 【详解】 故选：ABC. 113 真题溯源·考向感知 【详解】 【6】 故选：D. 114 真题溯源·考向感知 【详解】 【7】 故选：B. 115 真题溯源·考向感知 【详解】 【8】 故答案为：2. 116 05 课本典例·高考素材 课本典例·高考素材 【详解】 【1】 故选：C. 118 课本典例·高考素材 【详解】 【2】 119 课本典例·高考素材 【详解】 【3】 120 课本典例·高考素材 【详解】 【4】 121 课本典例·高考素材 【详解】 【5】 122 课本典例·高考素材 【详解】 【5】 123 课本典例·高考素材 【详解】 【6】 124 课本典例·高考素材 【详解】 【6】 125 课本典例·高考素材 【详解】 【6】 126 课本典例·高考素材 【详解】 【6】 127 课本典例·高考素材 【详解】 【6】 128 讲师：xxx 感谢观看 THANK YOU 129 1．函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数 的定义域为 ，如果对于定义域 内某个区间 上的任意两个自变量的值 ， [ 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是 当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是 图象描述 自左向右看，图象是上升的 自左向右看，图象是下降的 1．函数单调性的定义 设 ， ， 若有 或 ，则 在闭区间 上是 ； 若有 或 ，则 在闭区间 上是 . 2．单调区间的定义 若函数 在区间 上是增函数或减函数，则称函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 叫做函数 的单调区间． 注意：（1）单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性，同一种单调区间用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接． （2）函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域． （3）“函数的单调区间是 ”与“函数在区间 上单调”是两个不同的概念，注意区分，显然 . 3．函数单调性的常用结论 （1）若 均为区间A上的增(减)函数，则 也是区间A上的增(减)函数； （2）复合函数的单调性：函数 在函数 的定义域上，如果 与 的单调性相同，那么 单调递增；如果 与 的单调性相反，那么 单调递减．简记：“同增异减”． （3）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性 ； （4）一些重要函数的单调性： ① 的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递减； ② （ ， ）的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递减． 前提 设函数 的定义域为 ，如果存在实数 满足 条件 对于任意的 ，都有 ； 存在 ，使得 对于任意的 ，都有 ； 存在 ，使得 结论 为最大值 为最小值 注意：（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在； （2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值. （多选）下列函数在区间 上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 显然 在 上单调递减；因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增；又 的图象关于直线 对称，所以 在 上单调递减；由 知，其图象关于直线 对称，所以 在 上单调递增． 1．函数奇偶性的定义及图象特点 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 . 图象关于 轴对称 奇函数 如果对于函数 的定义域内任意一个 ，都有 . 图象关于原点对称 注意：由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对于定义域内的任意一个x， 也在定义域内（即定义域关于原点对称）． 2．函数奇偶性的几个重要结论 （1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反； （2） ， 在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 （3）若奇函数的定义域包括 ，则 ． （4）若函数 是偶函数，则 ． （5）掌握一些重要类型的奇偶函数： ①函数 为偶函数，函数 为奇函数． ②函数 （ 且 ）为奇函数． ③函数 （ 且 ）为奇函数． ④函数 （ 且 ）为奇函数． （24-25高三下·上海嘉定·期中）下列函数是偶函数的是（    ）. A． B． C． D． 根据所学知识，知道 为奇函数， 为偶函数， 为非奇非偶函数. 1．周期函数 对于函数 ，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数 为 ，称T为这个函数的周期． 2．函数周期性的常用结论 设函数 ， . ①若 ，则函数的周期为 ；②若 ，则函数的周期为 ； ③若 ，则函数的周期为 设 是以 为最小正周期的周期函数，且当 时， ，则 ， ． ， . 1．函数自身的对称性 （1）函数 的图像关于点 对称的充要条件是： ，即 ； （2）函数 的图像关于直线 对称的充要条件是： ，即 。 2．不同函数对称性 （1）函数 与 的图像关于直线 成轴对称。 （2）互为反函数的两个函数关于直线 对称。 （2025·河北沧州·模拟预测）已知函数 的定义域为 ，满足 为奇函数， 为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 根据题意，因为函数 为奇函数，所以 ， 即 ， 所以 的图象关于点 成中心对称，所以 . 又因为 为偶函数，所以 ， 即 ，所以 的图象关于直线 对称，所以 . 因为 在 上是减函数， ，所以 ，A正确；又 ，所以 ， ，B，C正确，D错误． 若函数 在 上是减函数，且 ，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 作出函数 的图象，如图所示．由图象得 的单调递增区间为 和 ． 函数 的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 设 ，则必有 ，所以 ，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当 时，B，C不成立；当 时，D不成立． （多选）已知函数 在 上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A． 在 上是减函数 B． 在 上是减函数 C． 在 上是增函数 D． （a为实数）在 上是增函数 函数 ， 当 时， 在 上单调递减， 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 的单调递增区间为 . 函数 的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． ， 画出函数图象，如图所示， 根据图象知，函数的单调递增区间为 和 ． 函数 的单调递增区间为 ． 有意义，则 ，解得 ．设 ，其图象开口向下，对称轴为直线 ，当 时， 单调递增，当 时， 单调递减．又 在定义域内单调递增，根据复合函数单调性“同增异减”的性质，当 单调递增时， 单调递增． 函数 的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 根据函数 在区间 上单调递增，且 单调递增，可得 在区间 上单调递增，所以 . （2025·江西·二模）若函数 在区间 上单调递增，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 复合函数的单调性：函数 在函数 的定义域上，如果 与 的单调性相同，那么 单调递增；如果 与 的单调性相反，那么 单调递减．简记：“同增异减”． ，所以A正确； ，所以B正确； 取 ，则 在 上单调递减，所以C错误； 取 ， ，则 在 上单调递减，所以D错误． （多选）已知函数 是定义在 上的偶函数， 是定义在 上的奇函数，且 ， 在 上都单调递增，则（    ） A． 是奇函数 B． 是偶函数 C． 在 上单调递增 D． 在 上单调递增 由题得由 ，得 ， 解得 ，即函数定义域为 ， 函数 的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 因为函数 是增函数，故求函数 的单调递增区间即求函数 在 上的单调递增区间， 令 ，则 ， 所以函数 的递增区间为 . 函数 的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 对于A，函数 的定义域为R， ，因此 为偶函数，A正确； 对于B，令 ，函数 是R上增函数，值域为R，函数 的值域为 ，因此 的值域为 ，B正确； 对于C，由选项B知，存在唯一 使得 ，则 ， 且 ，因此存在 ，使得 ，C错误； 对于D，函数 在 上单调递增， ， 而函数 在 上单调递减，因此 在区间 上单调递减，D正确. （2025·河南南阳·模拟预测）（多选）已知函数 ，则（    ） A． 为偶函数 B． 的值域为 C．不存在 ，使得 D． 在区间 上单调递减 令 ，则 ， 由 ，得 ，由 ，得 ， 即当 时 单调递减，当 时 单调递增， 即当 时 取得最小值 ， 则有 ， ，即 ， ， 又 ，综上 的大小关系为 . 若 ，则以下不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 因为点 在幂函数 的图象上，则 ，解得 ， 所以 ，可得 ，故 ， 因为 ， ， ， 且函数 在 上为增函数， 又因为 ，则 ，故 . （2025·黑龙江齐齐哈尔·三模）已知点 在幂函数 的图象上，设 ， ， ，则（   ） A． B． C． D． 因为 ， ， ，构造函数 ， 因为 ，由 ，得到 ， 由 ，得到 ，所以 在区间 上单调递减， 因为 ， ， ， 因为 ，所以 ，故选项A，C，D错误，选项B正确， 已知 ， ， ，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 因为函数 在 上是减函数， ，所以 ， 又 ，所以 . （2025·山西·一模）若 ， ， ，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． ， 关于 对称. 当 时： 为增函数， 也为增函数，故 在 上为增函数， 关于 对称 在 为减函数， ， ， . （2025·广西桂林·一模）函数 .若 ，则 的大小关系是（    ） A． B． C． D． 构造函数 ，则 ， 所以函数 在 上单调递增，故 ， 即 ，即 . 同理， ，即 . 已知 为R上的可导函数，其导函数为 ，且对于任意的 ，均有 ，则（    ） A． ， B． ， C． ， D． ， 由题意，得 解得 ①．因为 是定义在区间 上的增函数，且 ，所以 ，解得 ②．综合①②得 ．所以 的取值范围是 ． 已知 是定义在区间 上的增函数，且 ，则 的取值范围是 ． 当 时， EMBED Equation.DSMT4 ，得 ，解得 或 （舍去）；当 时，令 ，则 ， 所以当 时， ， 在 上单调递增； 当 时， ， 在 上单调递减， 所以 ，即当 时， 恒成立， 所以当 时，不等式 无解.综上，所求不等式的解集为 . （2025·河南·二模）已知函数 ，则不等式 的解集为（    ） A． B． C． D． 由题意，得 解得 ，函数 的定义域为 ． 又 ，所以函数 是定义在 上的偶函数． ，所以 在 上单调递减． 又 ，所以 解得 ． 已知 ，若 ，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 若 ，则 ， 在 上单调递增，最小值为 ，不符合题意； 若 ，则 的定义域为 ，且由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，则最小值为 ，解得 ，不符合题意； 若 ，则 的定义域为 ，由题意可得 ，则 ，此时由复合函数的单调性可知 在 上单调递增，则最小值为 ，解得 ，符合题意；综上， . （2025·江西宜春·一模）已知函数 在 上的最小值是1，则 . 由函数 在区间 上为单调递增函数， 当 时， 在 上为单调递增函数，符合题意； 当 时，则满足 ，解得 ， 综上可得，实数 的取值范围为 . 如果函数 在区间 上是单调递增的，则实数 的取值范围（　　） A． B． C． D． 函数 在 上单调递增，则 ，解得 ，所以实数 的取值范围是 . 若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ． 依题意，函数 ，显然函数 在R上单调递增， 而函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 因此函数 在 上单调递减，在 上单调递增， 又函数 在 上单调递增，于是 ，则 ，解得 ， 实数 的值可以是0. 已知函数 在 上单调递增，则实数 的值可以是 ．（写出满足条件的一个值即可） 因为 ，所以 ，即 ．又 在 上单调递增，故当 时，函数取最大值为 ，即 的值域为 ． 的值域为（   ） A． B． C． D． 由已知得 ，解得 ，所以 在区间 上单调递增，则 ． 已知幂函数 的图象过点 ，则函数 在区间 上的最小值是 ． ① 的单调性：在 和 上单调递增，在 和 上单调递减； ② （ ， ）的单调性：在 和 上单调递增，在 和 函数 在区间 上单调递减，把6，3 分别代入得 ． 函数 的最小值和最大值分别是（   ） A．3，6 B．1，3 C．1，4 D．1，6 ，令 ，则 ， 则 ， 且 ， 则 因 ，则 ，则 ， 又 ，则 ，即 ， 则 在 上单调递增，则 的最大值为 . （2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数 ，则 在 上的最大值为（    ） A． B． C．0 D．1 在A中， 的定义域关于原点对称，且 ，则 是偶函数；在B中， 的定义域关于原点对称，且 ，则 是偶函数；在C中， 的定义域关于原点对称，且 ，则 是奇函数；在D中， 的定义域关于原点对称， ，则 ，则 是奇函数． （多选）下列函数是偶函数的是（   ） A． B． C． D． 对于A选项，函数 的定义域为 ， 因为 ， ，故 ， 所以，函数 不是奇函数，A不满足； 对于B选项，对于函数 ，由 可得 ，解得 ， 所以，函数 的定义域为 ， 因为 ，故函数 为奇函数， 因为内层函数 在 上单调递减， 外层函数 为增函数，故函数 在定义域 上单调递减，B不满足； 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． 对于C选项，函数 的定义域为 ， ， 故函数 为偶函数，C不满足； 对于D选项，对任意的 ， ，即函数 的定义域为 ， ，即函数 为奇函数， 因为 ， 内层函数 为增函数，外层函数 在 上为增函数， 所以， 在定义域 上为增函数，D满足. 下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是（    ） A． B． C． D． ①函数 或函数 ． ③函数 或函数 . ②函数 ． ④函数 或函数 ． 设 ， ， ， 对于A项，易知 定义域为R， 且 ，所以 为偶函数. 根据二次函数的性质可知， 在 上单调递增.故A正确； 对于B项， 定义域为R， 且 ，所以 不是偶函数.故B错误； （2025·云南曲靖·二模）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 对于C项， 定义域为 ， 且 . 当 时， 在 上单调递增.故C正确； 对于D项， 定义域为 ， 且 ，所以 为奇函数.故D错误. （2025·云南曲靖·二模）（多选）下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当 时， ，而当 时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令 ，无论x取何值都满足 ． 下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 对于A， 的定义域为 ， ， 为奇函数，A不是； 对于B， 的定义域为 ， ， 为偶函数，B是； 对于C， 的定义域为 ，该函数为非奇非偶函数，C不是； 对于D， 的定义域为R， ，该函数为偶函数，D是. （多选）下列函数中为偶函数的是（   ） A． B． C． D． 当 时， ，故 ， 又 是定义在 上的奇函数，故 ， 所以 ，故 . 已知 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则当 时， . 因为 是奇函数，当 时， ， 所以当 时， . （2025·云南昆明·模拟预测）已知函数 是定义在 上的奇函数，且当且仅当 时， ，则当 时， 的解析式为 . 当 时， ， 又 ． 已知函数 满足 ，当 时， ，当 时， （   ） A． B． C． D． （1） 时， ，则 ， 因 为奇函数，则 ；因 的最小正周期为 ，则 ，又 ，则 ， 则 定义在 上的奇函数有最小正周期为2，且 时， ． (1)求 在 上的解析式；(2) 取何值时，方程 在 上有解． （2） ，且 ，则 EMBED Equation.DSMT4 ， 因 ，则 ， ， 则 ，即 ，则 在 上单调递减，则 ；利用奇函数性质可得， 在 上也单调递减，且 ，画出图象如图所示，由图象可知，则 或 或 时， 与 的图象有交点，即方程 在 上有解，故 ． 方法一： ， 令 ，解得 ，故定义域为 ， 则 ， 因为 是奇函数，所以 ，即 ， 故 ，因此 ； 已知函数 是奇函数，则 的值为（    ） A． B． C． D． 方法二： ，故 ， 即 ，故 ，解得 ， 故 ， 令 ，解得 ，故定义域为 ， 所以 ，故 为奇函数. 已知函数 是奇函数，则 的值为（    ） A． B． C． D． 因为 为偶函数， 为奇函数，所以 为奇函数， 所以 ， 所以 ． 若函数 为偶函数，则实数a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 由题可得 的定义域为 . 因为 为偶函数，所以其定义域关于原点对称，所以 ， . 所以 ，则 ， 因为对任意的 ， 恒成立， 所以 ，所以 . 若函数 为偶函数，则 （    ） A． B．1 C． D．2 由辅助角公式，得 ，其中 ． 又因 为奇函数，则有 ，即 ，故 （ ）， 于是 ，故 ． （2025·湖南长沙·二模）若函数 为奇函数，则 ． 因为函数的定义域为 ，所以 ，得 ． 因为 ，即 ，得 ，所以 ，所以 ． 已知定义域为 的奇函数 ，则 的值为 ． 因为函数 为奇函数， 所以，当 时， ， ， 所以 ， ，所以 ． （2025·浙江·三模）已知函数 ，为奇函数，则 ． 由 ，易知其定义域为 ， 由 ，则函数 为偶函数， ，由 在 上单调递增， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 在 上单调递减，在 上单调递增，即函数 在 上单调递增，在 上单调递减，由 ，则 ，即 ，整理可得 ，分解因式可得 ，解得 . （2025·山西临汾·三模）已知 ，则满足 的实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 当 时，由 ，得 ， 解得 ．又因为函数 为偶函数，所以函数 的图象关于 轴对称， 所以当 时，不等式 的解集为 ， 所以不等式 的解集为 ． 设函数 是定义在R上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为 ． 由题意得 ．关于x的不等式 ，即 ，所以 ．又 定义在 上，且当 时， 单调递增，所以 ，解得 或 ． 已知函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， 单调递增，则关于x的不等式 的解集是 ． 由题意，知 ， 所以 .又函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递减，所以 ，即 或 ，所以 或 . 已知函数 是定义在 上的偶函数，且在区间 上单调递减.若实数a满足 ，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 设 ，因为 ， 在R上单调递增，所以 在R上单调递增，又 ，则 是奇函数， 由 ，可得 ， 即 ， ，即 在 上有解，令 ，则 ， ，当 时， ，当 时， ， 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ，即实数 的取值范围为 . 已知函数 ，若关于 的不等式 有解，则实数 的取值范围为 . 对于D，由 ，得 ，则2为 的一个周期，D正确； 对于A， ，A正确； 对于B， ，B错误； 对于C， ，C正确. （多选）定义在 上的函数 满足 ， ，则（    ） A． B． C． D．2为 的一个周期 由题意知 ，又 ， 且 ，所以 ，所以 ，即 ． 所以 ． 已知 是定义在 上的周期为3的奇函数，且 ，则 ． 由 知，函数 的周期为3，又函数 为奇函数， 所以 ． 已知定义在R上的奇函数 满足 ，且当 时， ，则 ． 因为 ，所以 ，则 ， 所以 的周期 ，当 时， ，则 ， ，则 ， ， 当 时， ，则 ， ， ， ， 则 ， ， 则 ， ，而 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ． 定义在R上的函数 满足 ，当 时， ，当 时， ，则 ． 因为 ，则 为奇函数， 所以 的图象关于原点对称，函数 的图象可由 的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到，所以函数 的图象关于点 对称． （2025·四川·三模）已知函数 ，则函数 的图象（   ） A．关于点 对称 B．关于点 对称 C．关于直线 对称 D．关于直线 对称 ， ，所以 ，所以 的图象有对称中心 ，故A错误，D正确； （浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）已知函数 ，则下列说法正确的是（   ） A． 的图象有对称轴 B． 的图象有对称轴 C． 的图象有对称中心 D． 的图象有对称中心 ， ， 所以 ， ，故B错误，C错误， （浙江省五校联盟2024-2025学年高二下学期5月教学质量检测数学试题）已知函数 ，则下列说法正确的是（   ） A． 的图象有对称轴 B． 的图象有对称轴 C． 的图象有对称中心 D． 的图象有对称中心 （1）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 （2）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 （3）若函数 满足 ，则 的一个对称中心为 . （1）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为 （2）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为 （3）若函数 满足 ,则 的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=eq \f(a＋b,2)对称； 因为 是奇函数，所以 ， 即 ，对其求导， 则有 ，所以 关于直线 对称. （1）对于 ，若 ，则函数 周期为 ； （2）对于 ，若 ，则函数 关于直线 对称； （3）对于 ，若 ，则函数 关于点 对称. （2025·重庆·三模）设函数 的定义域为 ， 是 的导函数.若 是奇函数，则 的图象（    ） A．关于 对称 B．关于 对称 C．关于 对称 D．关于 对称 对于A，令 ，代入等式可得 .得到 ，开方后解得 ，所以A选项正确. 对于B，令 ，则原等式变为 . 因为前面已求得 ，所以 ，即 ，移项可得 .根据偶函数的定义，可知函数 是偶函数，所以B选项错误. （24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）（多选）设函数 满足 ， ，且 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． 的图象关于 中心对称 C． 是函数 的图象的一条对称轴 D． 对于C，令 ，原等式变为 . 由于 ，则 ，即 . 令 ，则 ，那么 .根据周期函数的定义，所以 是函数 的一个周期. 当 ， 时，可得 ， 可得 ，①； 当 时，可得 ②. 由①+②可得 ，由于 ，所以 ， 代入②式得到 ，由于 ，进而解得 . 令 ，原等式变为 . 因为 ，所以 ，移项可得 . 又因为 ，所以 . 根据函数对称中心的性质可知 是函数 图象的一个对称中心. 因为 是函数 的一个周期， ，所以 也是函数 图象的一个对称中心，所以C选项错误. 对于D，根据前面的分析，有 ， ， ， ，且 是函数 的一个周期， 所以 .因为 ， 所以 ，所以D选项正确. （24-25高三下·浙江湖州·阶段练习）（多选）设函数 满足 ， ，且 ，则下列结论正确的是（   ） A． B． 的图象关于 中心对称 C． 是函数 的图象的一条对称轴 D． 由题意知，对任意 ，恒有 成立， 即 恒成立，化简得 ， 故只能 ，又 ，则 ． （2025·湖北·模拟预测）若函数 的图象关于直线 对称，则 ． 因为定义在 上的奇函数 满足 ， 所以 ，所以 ，即 ， 所以 是周期为 的周期函数，且 ， ， 所以 ． 已知定义在 上的奇函数 满足 ， ，则 （   ） A． B． C． D． 由 为偶函数， ，即 ， 由 为奇函数， ，即 ， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ，即 是周期为4的函数， 所以 ，又 ， 所以 . 已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，则 ． ①两中心 ③一个中心 ，一条轴 . ②两垂直轴 是 上的偶函数，且 为奇函数， 的图象关于点 对称，得到 ， ， ， 故 ，即 的周期为4， 是 上的偶函数， 的图象关于点 对称， ，由已知得 ， 对于 ，当 时，得到 ， 当 时，得到 ，当 时， ， ， . 已知 是定义在 上的偶函数且 ， 是奇函数，则 EMBED Equation.DSMT4 ． 将函数 的图象向左平移 个单位即可得到函数 的图象， 由函数 的图象关于直线 对称， 可知函数 的图象关于y轴对称，故 为偶函数， 又由 ，得 ，则 ， 所以 是周期为8的偶函数，则 ． 已知定义在R上的函数 ，对任意实数x都有 ，若函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 （   ） A．1 B．2 C．3 D．4 对于A， ，所以 不是奇函数，错误； 对于B：因为 为奇函数，所以 ， 由 ，可得： ， 所以 ，即 ， 所以 ，偶函数，正确； （2025·宁夏银川·三模）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则（    ） A． 为奇函数 B． 为偶函数 C． 是周期为3的周期函数 D． 对于C：由 ，可得 ，所以 是周期为3的周期函数，正确； 对于D， ，所以 ， 由周期性可得： （2025·宁夏银川·三模）（多选）已知定义在 上的函数 满足 ，且 为奇函数，则（    ） A． 为奇函数 B． 为偶函数 C． 是周期为3的周期函数 D． 函数 ，所以 . ， 又函数定义域为 ，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又 ，故可排除D. （2024·全国甲卷·高考真题）函数 在区间 的图象大致为（    ） A． B． C． D． （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（    ） A． B． C． D．1 解法一：由题意可知： 的定义域为 ，令 解得 ；令 解得 ； 若 ，当 时，可知 ，此时 ，不合题意； 若 ，当 时，可知 ， 此时 ，不合题意； 若 ，当 时，可知 ，此时 ； 当 时，可知 ，此时 ；可知若 ，符合题意； 若 ，当 时，可知 ，此时 ，不合题意； 综上所述： ，即 ，则 ，当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 . （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（    ） A． B． C． D．1 解法二：由题意可知： 的定义域为 ， 令 解得 ；令 解得 ； 则当 时， ，故 ，所以 ； 时， ，故 ，所以 ； 故 ， 则 ， 当且仅当 时，等号成立，所以 的最小值为 . （2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（    ） A． B． C． D．1 （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．记 ，则（    ） A． B． C． D． 令 ，则 开口向下，对称轴为 ，因为 ，而 ， 所以 ，即 由二次函数性质知 ， 因为 ， 而 ， 即 ，所以 ，综上， ， 又 为增函数，故 ，即 . （2023·全国甲卷·高考真题）已知函数 ．记 ，则（    ） A． B． C． D． 因为 为偶函数，则 ， 又因为 不恒为0，可得 ，即 ， 则 ，即 ，解得 . （2023·全国乙卷·高考真题）已知 是偶函数，则 （    ） A． B． C．1 D．2 方法一：因为 ， 对于A，令 ， ，故 正确. 对于B，令 ， ，则 ，故B正确. 对于C，令 ， ，则 ， 令 ， 又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确， 对于D，不妨令 ，显然符合题设条件，此时 无极值，故 错误. （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）（多选）已知函数 的定义域为 ， ，则（    ）． A． B． C． 是偶函数 D． 为 的极小值点 方法二：因为 ， 对于A，令 ， ，故 正确. 对于B，令 ， ，则 ，故B正确. 对于C，令 ， ，则 ， 令 ， 又函数 的定义域为 ，所以 为偶函数，故 正确， 对于D，当 时，对 两边同时除以 ，得到 ， 故可以设 ，则 ， 当 肘， ，则 ， 令 ，得 ；令 ，得 ； 故 在 上单调递减，在 上单调递增， 因为 为偶函数，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，    显然，此时 是 的极大值点，故D错误. 函数 在R上单调递增，而函数 在区间 上单调递减，则有函数 在区间 上单调递减，因此 ，解得 ，所以 的取值范围是 . （2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 在区间 上单调递减，则 的取值范围是（    ） A． B． C． D． 因为 为偶函数，则 ，解得 ，当 时， ， ，解得 或 ， 则其定义域为 或 ，关于原点对称. ， 故此时 为偶函数. （2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若 为偶函数，则 （    ）． A． B．0 C． D．1 （2023·全国甲卷·高考真题）若 为偶函数，则 ． 因为 为偶函数，定义域为 ，所以 ， 即 ，则 ，故 ，此时 ，所以 ，又定义域为 ，故 为偶函数，所以 . 对于A选项，当 时， ，A选项不满足条件； 对于B选项，当 时， ， ，B选项不满足条件； 对于C选项，令 ，该函数的定义域为 ， ， 故函数为偶函数，当 时， ，由三角函数图象可知，C选项满足条件； 对于D选项，当 时， ，D选项不满足条件. 图中的曲线对应的函数解析式是（  ）      A． B． C． D． 已知 (1)求 和 ；(2)求函数 的值域． （1）解：由函数 ， 可得 ， ， . （2）解法1：因为 ，可得 恒成立，可得 ，所以 ， 即函数 的值域为 . 解法2：假设 是所求值域中的元素，则关于 的方程应该有解，即 应该有解， 从而 ，即 ，解得 ，所以函数 的值域为 ． 讨论下列函数的单调性：(1) ；(2) ． （1） ，定义域为R，开口向上，对称轴 ， 在 上单调递减，在 上单调递增. （2） ,定义域为R， ，令 ， ， ， 所以函数在 上单调递减，在 上单调递增. 已知函数 在定义域R上是减函数，求实数a的取值范围． 要想满足 在R上是减函数， 则二次函数 的对称轴 ，且 ， 解得 ， 所以实数a的取值范围是 . 函数 是周期为2的周期函数，且 ， ． (1)画出函数 在区间 上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求 的值； (3)求 在区间 上的解析式，其中 ． （1）由 的周期性及 上解析式，得区间 上的图象如下： 由上图知：增区间为 ，减区间为 ；零点为 共3个；最大值为1，最小值为0. （2）由题设 . 函数 是周期为2的周期函数，且 ， ． (1)画出函数 在区间 上的图象，并求其单调区间、零点、最大值、最小值； (2)求 的值； (3)求 在区间 上的解析式，其中 ． （3）令 且 ，则 ， 又 ，则 ，即 ， 综上，在区间 上 ， . 判断下列函数的奇偶性： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ． （1）由对数函数定义可知 需满足 ，解得 ； 即函数 的定义域为 ，显然定义域不关于原点对称， 所以函数 为非奇非偶函数； 判断下列函数的奇偶性： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ． （2）由对数函数定义可知 需满足 ， 解得 ，所以 ， 即函数 的定义域为 ，显然定义域不关于原点对称， 所以函数 为非奇非偶函数； 判断下列函数的奇偶性： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ． （3）由对数函数定义可知 需满足 ，解得 ， 即函数 的定义域为 ，显然关于原点对称， 且易知 ，满足 ； 所以函数 为奇函数. 判断下列函数的奇偶性： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ． （4）对于函数 可得 对于 恒成立， 即函数 的定义域为 ，关于原点对称， 且 ，满足 ； 所以函数 为偶函数； 判断下列函数的奇偶性： (1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) ． （5）对于函数 可知 对于 恒成立， 即函数 的定义域为 ，关于原点对称， 且 ，满足 ； 所以函数 为奇函数. $$