第3章 第3讲 函数的奇偶性、周期性、对称性-【金版教程】2026年高考数学一轮复习创新方案课件PPT（提升版）

第三章　函数 第3讲　函数的奇偶性、周期性、对称性 1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.了解周期性的概念和几何意义.3.能综合运用函数的奇偶性、周期性、对称性解决问题. 基础知识整合 核心考向突破 课时作业 目录 基础知识整合 1．函数的奇偶性 －x∈I f(－x)＝－f(x) f(－x)＝f(x) 原点 y轴 基础知识整合 5 2.函数的周期性 (1)周期函数 设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有_________，且____________，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，同时nT(n∈Z，n≠0)也是这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个_______的正数，那么这个_________就叫做f(x)的最小正周期． x＋T∈D f(x＋T)＝f(x) 最小 最小正数 基础知识整合 6 1．函数奇偶性的重要结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量的值互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量的值也互为相反数． 基础知识整合 7 基础知识整合 8 解析：对于A，B，D中的函数，定义域均关于原点对称，且f(－x)＝－f(x)，故均是奇函数；对于C，f(－x)＝(－x)3＋1＝－x3＋1≠－f(x)，故不是奇函数．故选ABD. 基础知识整合 9 2．(人教B必修第一册习题3－1B T8改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) 基础知识整合 10 3．(人教A必修第一册3.2.2练习T1改编)设偶函数f(x)的定义域为[－5，5]，若当x∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)＜0的解集为_________________． 解析：由题中图象可知，当0＜x＜2时，f(x)＞0；当2＜x≤5时，f(x)＜0.又f(x)是偶函数，∴当－2＜x＜0时，f(x)＞0；当－5≤x＜－2时，f(x)＜0.综上，不等式f(x)＜0的解集为[－5，－2)∪(2，5]． [－5，－2)∪(2，5] 基础知识整合 11 4．(人教A必修第一册习题3.2 T11改编)已知函数f(x)是奇函数且定义域为R， 当x>0时，f(x)＝x＋1，则f(x)的解析式为_________________． 基础知识整合 12 5．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋4)＝f(x)．当x∈[0，2]时，f(x)＝2x－x2，则f(2027)＝________． 解析：因为f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)的周期T＝4.又f(1)＝1，所以f(2027)＝f(－1＋4×507)＝f(－1)＝－f(1)＝－1. －1 基础知识整合 13 核心考向突破 考向一　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性． 核心考向突破 15 解： (1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0，所以f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)解法一(定义法)：易知f(x)的定义域为R. 当x＞0时，f(x)＝x2－2x－1，－x＜0，f(－x)＝(－x)2＋2(－x)－1＝x2－2x－1＝f(x)； 当x＝0时，f(0)＝－1，满足f(－x)＝f(x)； 当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1，－x＞0，f(－x)＝(－x)2－2(－x)－1＝x2＋2x－1＝f(x)． 综上可知，∀x∈R，f(－x)＝f(x)，所以f(x)为偶函数． 核心考向突破 16 核心考向突破 17 核心考向突破 18 判断函数奇偶性的方法 (1)定义法 核心考向突破 19 (2)图象法 (3)性质法 在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件． 核心考向突破 20 1.已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝ex＋e－x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函数 B．|f(x)|g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是奇函数 D．|f(x)g(x)|是奇函数 解析：易知f(x)＝sinx是奇函数，g(x)＝ex＋e－x是偶函数，|f(x)|＝|sinx|，|g(x)|＝|ex＋e－x|都是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数，|f(x)|g(x)是偶函数，f(x)|g(x)|是奇函数，A，B错误，C正确；|f(x)g(x)|＝|sinx(ex＋e－x)|，|f(－x)g(－x)|＝|sin(－x)(e－x＋ex)|＝|sinx(ex＋e－x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函数，D错误．故选C. 核心考向突破 21 核心考向突破 22 核心考向突破 23 考向二　函数奇偶性的应用 核心考向突破 24 核心考向突破 25 核心考向突破 26 (3)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝_____________． 解析：因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，即1＋a＝0，所以a＝－1.当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，所以f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－2－x－2x＋1. －1 －2－x－2x＋1 核心考向突破 27 已知函数奇偶性可以解决的四个问题 求函数值 利用函数奇偶性将待求值转化为已知区间上的函数值求解 求解析式 将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用函数奇偶性求出 求参数 利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的方程(组)求得参数 画图象 利用奇偶性可画出对称区间上的图象并解决单调性等相关问题 核心考向突破 28 1.(2025·黑龙江齐齐哈尔模拟)已知f(x)＝为奇函数，则a＝(　　) A．－2 B．2 C．1 D．－1 解析：当x<0时，－x>0，所以f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)3＋2(－x)2]＝x3－2x2，通过对比系数得a＝－2.故选A. 核心考向突破 29 2．已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，f(x)＋g(x)＝2×3x，则函数f(x)＝________． 3x＋3－x 核心考向突破 30 2 核心考向突破 31 考向三　函数的周期性 (2022·新高考Ⅱ卷改编)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)·f(y)，f(1)＝1. 核心考向突破 32 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 函数周期性的判断与应用 核心考向突破 34 核心考向突破 35 2．设f(x)是定义在R上周期为2的函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则函数f(x)在[1，3]上的解析式为_________________________． 解析：根据题意，设x∈[1，3]，则x－2∈[－1，1]，又当x∈[－1，1]时，f(x)＝x2＋1，则f(x－2)＝(x－2)2＋1＝x2－4x＋5，又f(x)是周期为2的函数，所以f(x)＝f(x－2)＝x2－4x＋5，x∈[1，3]． f(x)＝x2－4x＋5，x∈[1，3] 核心考向突破 36 考向四　函数图象的对称性 核心考向突破 37 核心考向突破 38 (2)(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于点(2，0)对称 C．4为f(x)的周期 D．y＝f(x＋4)为偶函数 解析： ∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4为f(x)的周期，故C正确；∵4为f(x)的周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD. 核心考向突破 39 函数图象自身对称的常用结论 核心考向突破 40 1.已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　) A．关于直线x＝1对称 B．关于直线x＝3对称 C．关于直线y＝3对称 D．关于点(3，0)对称 解析：设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．故选A. 核心考向突破 41 3 核心考向突破 42 课时作业 一、单项选择题 1．下列函数中为偶函数的是(　　) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 2．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为3，f(－1)＝2，则f(2026)＝(　　) A．2 B．0 C．－2 D．－4 解析：依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为3，且f(－1)＝2，则f(2026)＝f(1＋675×3)＝f(1)＝－f(－1)＝－2.故选C. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 3．(2025·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a＝(　　) A．1 B．2 C．0 D．－2 解析：函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位长度可得函数y＝2|x－2|的图象，所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 4．已知函数f(x)＝x(x－a)＋b，若函数y＝f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝0，则b的值为(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 解析： f(x)＝2x－24－x，则f(4－x)＝24－x－24－(4－x)＝24－x－2x，所以f(x)＋f(4－x)＝0，则函数f(x)的图象关于点(2，0)对称．故选B. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 8．(2025·山东青岛模拟)∀x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，则f(2024)的值为(　　) A．2 B．1 C．0 D．－1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 二、多项选择题 9．已知f(x)＝x3g(x)为定义在R上的偶函数，则函数g(x)的解析式可以是(　　) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 10．已知函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则函数f(x)的解析式可以是(　　) 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 11．定义在R上的函数f(x)满足：x为整数时，f(x)＝2024；x不为整数时，f(x)＝0，则(　　) A．f(x)是奇函数 B．f(x)是偶函数 C．∀x∈R，f(f(x))＝2024 D．f(x)的最小正周期为1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 解析：对于A，f(1)＝2024，f(－1)＝2024，f(－x)＝－f(x)不恒成立，则f(x)不是奇函数，A错误；对于B，若x为整数，则－x也是整数，则有f(x)＝f(－x)＝2024，若x不为整数，则－x也不为整数，则有f(x)＝f(－x)＝0，综上可得f(x)＝f(－x)，f(x)是偶函数，B正确；对于C，若x为整数，f(x)＝2024，若x不为整数，f(x)＝0，总之f(x)是整数，则f(f(x))＝2024，C正确；对于D，若x为整数，则x＋1也为整数，若x不为整数，则x＋1也不为整数，总之有f(x＋1)＝f(x)，f(x)的周期为1，若t(0＜t＜1)也是f(x)的周期，而x和x＋t可能一个是整数，另一个不是整数，则有f(x)≠f(x＋t)，故f(x)的最小正周期为1，D正确．故选BCD. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 三、填空题 1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 1 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 (0，2) 12 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 62 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 63 16．设f(x)是R上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)当－4≤x≤4时，求f(x)的图象与x轴所围成图形的面积． 解： (1)由f(x＋2)＝－f(x)，得f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4为周期的周期函数， 又f(x)为奇函数， 所以f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π)＝－(4－π)＝π－4. 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 课时作业 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 　　　　　　　　　　　　　 R 奇函数 偶函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有_________ 且_____________，那么函数f(x)是奇函数 且_____________，那么函数f(x)是偶函数 图象 特点 关于________对称 关于_______对称 2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)． (2)若f(x＋a)＝eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)． (3)若f(x＋a)＝－eq \f(1,f（x）)，则T＝2a(a≠0)． 1．(多选)下列给出的函数是奇函数的是(　　) A．f(x)＝eq \f(1,x) B．f(x)＝eq \f(x2＋1,x) C．f(x)＝x3＋1 D．f(x)＝sinx A．－eq \f(1,3) B．eq \f(1,3) C．eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2) 解析：显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝eq \f(1,3)，∴a＋b＝eq \f(1,3). 解析：当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－x＋1，又f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝x－1，∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝0，∴f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0.)) f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,0，x＝0，,x－1，x<0)) (1)f(x)＝eq \r(x2－1)＋eq \r(1－x2)； (2)f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－2x－1，x≥0，,x2＋2x－1，x＜0；)) (3)f(x)＝(x－1)eq \r(\f(x＋1,x－1))； (4)f(x)＝|x＋1|－|x－1|； (5)f(x)＝eq \f(\r(1－x2),|x＋2|－2). 解法二(图象法)： 作出函数f(x)的图象，由偶函数的图象关于y轴对称的特征知函数f(x)为偶函数. (3)令eq \f(x＋1,x－1)≥0，解得x≤－1或x>1，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1]∪(1， ＋∞)，不关于原点对称，所以f(x)为非奇非偶函数． (4)f(x)的定义域为R，且f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－f(x)，所以f(x)为奇函数． (5)由1－x2≥0，得－1≤x≤1，所以x＋2>0， 所以f(x)＝eq \f(\r(1－x2),x)，定义域为[－1，0)∪(0，1]． 所以f(－x)＝eq \f(\r(1－（－x）2),－x)＝－eq \f(\r(1－x2),x)＝－f(x)， 所以f(x)是奇函数． 2．设函数f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1 C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1 解析：解法一：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)＝－1＋eq \f(2,x＋1)，其图象关于点(－1，－1)中心对称，将其图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后所得图象关于原点(0，0)中心对称，所以f(x－1)＋1为奇函数．故选B. 解法二：因为f(x)＝eq \f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq \f(1－（x－1）,1＋（x－1）)＝eq \f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq \f(1－（x＋1）,1＋（x＋1）)＝eq \f(－x,x＋2).对于A，令F(x)＝f(x－1)－1＝eq \f(2－x,x)－1＝eq \f(2－2x,x)，其定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)，故F(x)不是奇函数；对于B，令G(x)＝f(x－1)＋1＝eq \f(2－x,x)＋1＝eq \f(2,x)，其定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)，故G(x)为奇函数；对于C，f(x＋1)－1＝eq \f(－x,x＋2)－1＝－eq \f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，f(x＋1)＋1＝eq \f(－x,x＋2)＋1＝eq \f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称，不是奇函数．故选B. (1)已知函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝(　　) A．－eq \f(1,4) B．－eq \f(1,2) C．－eq \f(3,4) D．－eq \f(5,4) 解析：因为函数f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝x2－log2x，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝ －feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－log2\f(1,2)))＝－eq \f(5,4).故选D. (2)(2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C.eq \f(1,2) D．1 解析：解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln eq \f(1,3)＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>eq \f(1,2)或x<－eq \f(1,2)，则其定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,2)或x<－\f(1,2)))))，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln eq \f(2（－x）－1,2（－x）＋1)＝(－x)ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝ (－x)ln eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2x－1,2x＋1))) eq \s\up12(－1)＝xln eq \f(2x－1,2x＋1)＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解法二：设g(x)＝ln eq \f(2x－1,2x＋1)，易知g(x)的定义域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))，且g(－x)＝ln eq \f(－2x－1,－2x＋1)＝ln eq \f(2x＋1,2x－1)＝－ln eq \f(2x－1,2x＋1)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)·ln eq \f(2x－1,2x＋1)为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B. 解析：因为f(x)＋g(x)＝2×3x，所以f(－x)＋g(－x)＝2×3－x，又f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝2×3－x，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）＋g（x）＝2×3x，,f（x）－g（x）＝2×3－x，))两式相加，得2f(x)＝2×3x＋2×3－x，所以f(x)＝3x＋3－x. 3．设函数f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________． 解析：显然函数f(x)的定义域为R，且f(x)＝eq \f(（x＋1）2＋sinx,x2＋1)＝1＋eq \f(2x＋sinx,x2＋1)，设g(x)＝eq \f(2x＋sinx,x2＋1)，则g(－x)＝－g(x)，∴g(x)为奇函数，由奇函数图象的对称性知g(x)max＋g(x)min＝0，∴M＋m＝[g(x)＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2. (1)证明：函数f(x)为周期函数； (2)求eq \o(∑,\s\up15(22),\s\do15(k＝1))f(k)． 解：(1)证明：令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)＝f(x)，即有f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)，从而可得f(x＋2)＝－f(x－1)，f(x－1)＝－f(x－4)，故f(x＋2)＝f(x－4)，即f(x)＝f(x＋6)，所以函数f(x)是周期为6的周期函数． (2)令x＝y＝1，可得f(2)＝[f(1)]2－f(0)＝1－2＝－1，令x＝2，y＝1，可得f(3)＝f(2)·f(1)－f(1)＝－1×1－1＝－2，f(4)＝f(－2)＝f(2)＝－1，f(5)＝f(－1)＝f(1)＝1，f(6)＝f(0)＝2，所以一个周期内的f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0.由于22除以6余4，所以eq \o(∑,\s\up16(22),\s\do16(k＝1))f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3. eq \f(13,2) 1.已知定义在R上的函数f(x)满足对任意x都有f(x＋2)＝eq \f(13,f（x）)且f(0)＝2，则f(2026)＝________． 解析：因为f(x＋2)＝eq \f(13,f（x）)，所以f(2)＝eq \f(13,f（0）)＝eq \f(13,2)，因为f(x＋4)＝eq \f(13,f（x＋2）)＝eq \f(13,\f(13,f（x）))＝f(x)，所以f(x)的周期为4，所以f(2026)＝f(4×506＋2)＝f(2)＝eq \f(13,2). (1)已知函数f(x)＝eq \f(x2,x2－6x＋18)，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝3对称 D．f(x)的图象关于点(3，1)对称 解析：由f(－x)＝eq \f(x2,x2＋6x＋18)，易知A，B不正确；由题意得f(2)＝eq \f(2,5)，f(4)＝eq \f(8,5)，故f(2)≠f(4)，故C不正确；f(x)＝eq \f(x2,（x－3）2＋9)，故f(6－x)＋f(x)＝eq \f(（6－x）2,（3－x）2＋9)＋eq \f(x2,（x－3）2＋9)＝eq \f(2x2－12x＋36,（x－3）2＋9)＝2，故f(x)的图象关于点(3，1)对称，故D正确．故选D. (1)若f(a＋x)＝f(b－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝eq \f(a＋b,2)对称．特别地，若f(a＋x)＝f(a－x)或f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若f(a＋x)＋f(a－x)＝2b恒成立，即f(x)＋f(2a－x)＝2b，则f(x)的图象关于点(a，b)对称． 提醒：函数图象自身对称性满足的等式与函数周期性容易混淆，区别是前者和为常数，后者差为常数． 2．(2025·湖南郴州期末)已知函数f(x)＝eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)的图象关于直线x＝b对称，则b－a＝________． 解析：由f(x)＝eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)，知2x－2≠0，所以x≠1，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠1}．又因为函数f(x)＝eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)的图象关于直线x＝b对称，所以b＝1，且f(x)＝f(2－x)恒成立，即eq \f(（x－1）（2x－a）,2x－2)＝eq \f(（1－x）（22－x－a）,22－x－2)＝eq \f(（1－x）（2－a·2x－1）,2－2x)，所以2x－a＝2－a·2x－1，整理，得(a＋2)(2x－1－1)＝0，所以a＝－2，故b－a＝1＋2＝3. A．y＝lg x B．y＝eq \r(3,x) C．y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(x) D．y＝eq \f(x2,x＋1) 解析：函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，故A不符合题意；函数y＝eq \r(3,x)的定义域为R，则f(－x)＝eq \r(3,－x)＝－eq \r(3,x)＝－f(x)，故该函数为奇函数，故B不符合题意；函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(x)的定义域为R，则f(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(－x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(－x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))) eq \s\up12(x)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3))) eq \s\up12(x)＝f(x)，故该函数为偶函数，故C符合题意；函数y＝eq \f(x2,x＋1)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，定义域不关于原点对称，故该函数为非奇非偶函数，故D不符合题意．故选C. 解析：解法一：由f(x＋1)＝(x＋1)(x＋1－a)＋b＝x2＋(2－a)x＋1－a＋b为偶函数，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，所以b＝1.故选C. 解法二：由y＝f(x＋1)为偶函数，知y＝f(x＋1)的图象关于直线x＝0对称，而y＝f(x＋1)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到的，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，故f(x)＝x(x－a)＋b图象的对称轴方程为x＝eq \f(a,2)＝1，得a＝2.又f(1)＝－1＋b＝0，故b＝1.故选C. 5．已知函数f(x)＝sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3，若f(a)＝－1，则f(－a)＝(　　) A．3 B．5 C．6 D．7 解析：函数f(x)＝sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3，f(－x)＋f(x)＝sin(－x)＋(－x)3－eq \f(1,x)＋3＋sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋3＝－sinx－x3－eq \f(1,x)＋sinx＋x3＋eq \f(1,x)＋6＝6，若f(a)＝－1，则f(－a)＝6－f(a)＝6－(－1)＝7.故选D. 6．已知函数f(x)＝2x－eq \f(16,2x)(x∈R)，则f(x)的图象(　　) A．关于直线x＝2对称 B．关于点(2，0)对称 C．关于直线x＝0对称 D．关于原点对称 7．已知函数f(x)的定义域为R，y＝f(x)＋ex是偶函数，y＝f(x)－3ex是奇函数，则函数f(x)的最小值为(　　) A．e B．2eq \r(2) C．2eq \r(3) D．2e 解析：因为函数y＝f(x)＋ex是偶函数，则f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex，即f(x)－f(－x)＝e－x－ex　①，又因为函数y＝f(x)－3ex是奇函数，则f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex，即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x　②，联立①②可得f(x)＝ex＋2e－x，由基本不等式可得f(x)＝ex＋2e－x≥2eq \r(ex·2e－x)＝2eq \r(2)，当且仅当ex＝2e－x，即x＝eq \f(1,2)ln 2时，等号成立，故函数f(x)的最小值为2eq \r(2).故选B. 解析：由题意知，∀x∈R，f(x)＋f(x＋3)＝1－f(x)f(x＋3)，f(－1)＝0，令x＝－1，则f(－1)＋f(2)＝1－f(－1)f(2)，所以f(2)＝1，显然当f(x)＝－1时，－1＋f(x＋3)＝1＋f(x＋3)不成立，故f(x)≠－1，故f(x＋3)＝eq \f(1－f（x）,1＋f（x）)，则f(x＋6)＝eq \f(1－\f(1－f（x）,1＋f（x）),1＋\f(1－f（x）,1＋f（x）))＝f(x)，即6为函数f(x)的周期，则f(2024)＝f(337×6＋2)＝f(2)＝1.故选B. A．g(x)＝lg eq \f(1＋x,1－x) B．g(x)＝3x－3－x C．g(x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2x＋1) D．g(x)＝ln (eq \r(x2＋1)＋x) 解析：因为f(x)＝x3g(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，即g(－x)＝－g(x)，所以g(x)是奇函数．对于A，函数定义域为(－1，1)，A不符合题意；对于B，函数定义域为R，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，B符合题意；对于C，函数定义域为R，g(－x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2－x＋1)＝eq \f(1,2)＋eq \f(2x,1＋2x)＝eq \f(3,2)－eq \f(1,1＋2x)≠－g(x)，C不符合题意；对于D，函数定义域为R，g(－x)＝ln (eq \r(x2＋1)－x)，而g(－x)＋g(x)＝ln (eq \r(x2＋1)－x)＋ln (eq \r(x2＋1)＋x)＝0，D符合题意．故选BD. A．f(x)＝x＋eq \f(1,x＋3) B．f(x)＝ex－3＋e3－x C．f(x)＝x4－18x2 D．f(x)＝|x2－6x| 解析：若函数f(x)图象的对称轴方程为x＝3，则f(6－x)＝f(x)．对于A，f(6－x)＝6－x＋eq \f(1,9－x)≠f(x)，A不符合题意；对于B，f(6－x)＝e3－x＋ex－3＝f(x)，B符合题意；对于C，∵f(0)＝0，f(6)＝64－18×62＝648，∴f(0)≠f(6)，即f(6－x)＝f(x)不恒成立，C不符合题意；对于D，f(6－x)＝|(6－x)2－6(6－x)|＝|x2－6x|＝f(x)，D符合题意．故选BD. 12．(2024·浙江金华一中质检)设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈ (－1，1]时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋m，－1<x<0，,\r(x)，0≤x≤1，))其中m∈R.若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，则m的值是________． 解析：由题意得，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋m＝－eq \f(3,4)＋m，feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)))＝eq \r(\f(1,16))＝eq \f(1,4)，所以eq \f(1,4)＝－eq \f(3,4)＋m，解得m＝1. 13．(2025·浙江杭州模拟)若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋ax，x≥0，,bx3－2x，x<0))是R上的偶函数，则a＋b＝________． 解析：若函数f(x)是R上的偶函数，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－1）＝f（1），,f（－2）＝f（2），))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－b＋2＝1＋a，,－8b＋4＝8＋2a，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1，))当eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝－1))时，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x3＋2x，x≥0，,－x3－2x，x<0，))f(0)＝0，当x>0时，－x<0，f(－x)＝x3＋2x＝f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝－x3－2x＝f(x)，所以函数f(x)是R上的偶函数，符合题意，则a＋b＝2－1＝1. 14．已知函数y＝f(x)－2为奇函数，g(x)＝eq \f(2x＋1,x)，且f(x)与g(x)图象的交点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x6，y6)，则函数g(x)图象的对称中心坐标为________，y1＋y2＋…＋y6＝________． 解析：∵函数y＝f(x)－2为奇函数，∴函数y＝f(x)的图象关于点(0，2)对称，又g(x)＝eq \f(2x＋1,x)＝eq \f(1,x)＋2，其图象也关于点(0，2)对称，∴两函数图象的交点关于点(0，2)对称，则y1＋y2＋…＋y6＝3×4＝12. 四、解答题 15．已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，且当x＞0时，f(x)＝eq \f(x,3)－2x. (1)求f(x)的解析式； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0恒成立，求实数k的取值 范围． 解：(1)因为f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)＝0. 当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝eq \f(－x,3)－2－x， 又函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝eq \f(x,3)＋2－x. 综上所述，f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(x,3)－2x，x>0，,0，x＝0，,\f(x,3)＋2－x，x<0.)) (2)因为f(x)为R上的单调函数，且f(－1)＝eq \f(5,3)＞f(0)＝0， 所以函数f(x)在R上单调递减． 因为f(t2－2t)＋f(2t2－k)＜0，所以f(t2－2t)＜－f(2t2－k)． 因为函数f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)＜f(k－2t2)． 又f(x)在R上单调递减， 所以t2－2t＞k－2t2对任意的t∈R恒成立， 所以3t2－2t－k＞0对任意的t∈R恒成立， 所以Δ＝4＋12k＜0，解得k＜－eq \f(1,3)， 所以实数k的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3))). (2)由f(x)是奇函数且f(x＋2)＝－f(x)，得f((x－1)＋2)＝－f(x－1)＝f(－(x－1))，即f(1＋x)＝f(1－x)． 故函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．又当0≤x≤1时，f(x)＝x，且f(x)的图象关于原点中心对称，则f(x)的图象如图所示． 当－4≤x≤4时，设f(x)的图象与x轴所围成图形的面积为S，则S＝4S△OAB＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×1))＝4. $$