第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性 ( 精练+相遇真题、模拟）-【一轮复习·学霸之路】2026年高考数学一轮复习高频考点精讲精练（全国通用）

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（四川省部分学校2025届高三5月联考数学试卷）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【知识点】求函数值、由奇偶性求参数 【分析】由求得，再由即可求解. 【详解】由题意可得，解得， 则. 故选：C 2．（2025·江西赣州·二模）已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由函数周期性的定义可得出，再结合奇函数的定义可得出的值，由此可得出的值. 【详解】因为函数是定义在上且周期为的奇函数，则， 又因为，所以，，故， 即. 故选：B. 3．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用 【分析】由函数的奇偶性可得为奇函数，再结合函数的平移变换即可得到结果. 【详解】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称． 故选：A 4．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】根据奇函数的性质化简不等式，然后根据函数的单调递减解关于的不等式，求出的取值范围. 【详解】因为奇函数在上有定义，所以， 所以 所以，解得. 所以的取值范围为. 故选：D. 5．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（    ） A．有对称中心 B．有对称中心 C．有对称轴 D．有对称轴 【答案】B 【知识点】判断或证明函数的对称性、简单复合函数的导数 【分析】根据已知新定义结合导函数的对称性即可计算求解. 【详解】因为函数，定义域为， 所以， 导函数关于对称，所以关于即对称， 故选：B 6．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（    ） A．0 B．-1012 C．-2 D．1010 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用、由函数的周期性求函数值 【分析】由题意知且，再根据题中所给等式求出函数的周期及一个周期内的函数值之和，2025项的和包含506个周期之和及，分别求值相加即可. 【详解】已知为奇函数，所以且， 因为，所以，则，函数的周期为4， 因为，，，， 所以， 因为，前2024项和为，， 所以. 故选：C 二、多选题 7．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（   ） A．是偶函数 B．函数的图象关于点中心对称 C．是函数的一个周期 D． 【答案】ABC 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数奇偶性的应用、函数对称性的应用、由抽象函数的周期性求函数值 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性，周期性及对称性的意义逐项判断即可. 【详解】令，则，解出，故A正确； 令，则， 故函数的图象关于点中心对称，故B正确； 因为所以令可得， 即， 又因为是偶函数所以，即， 整理可得：， 令，可得，即， 整理得，所以是函数的一个周期，故C正确； 因为所以令可得， 又因为是偶函数且周期为，所以， 因为， 当为奇数，根据周期性可知， 当为偶数，根据周期性可知，故，故D错误. 故选:ABC 8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】ACD 【知识点】简单复合函数的导数、函数对称性的应用、函数奇偶性的定义与判断、求函数值 【分析】对A，根据函数的奇偶定义可判定A；对B，利用抽象函数的奇偶性，复合函数求导可判定B；对C，利用抽象函数的对称性可判定C；对D，利用利用抽象函数的递推公式可求得关系式，再求和可判定D. 【详解】对A，因为，所以， 所以函数是偶函数，故A正确； 对B，因为为偶函数，所以，即， 所以，即，令，得， 所以，故B错误； 对C，因为，所以， 即，又，所以， 所以，所以，即， 所以函数的图象关于点对称，故C正确； 对D，因为，令，得， 所以，又，所以， ，…，所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 9．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 【答案】 【知识点】求含sinx的函数的奇偶性、由奇偶性求参数 【分析】由为奇函数即可求解. 【详解】因为函数为偶函数， 而是偶函数，是奇函数， 所以为奇函数， ，得； 若，函数，定义域为,不关于原点对称，函数不是偶函数， 若，代入验证符合题意. 故答案为： 10．（2026高三·全国·专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则 ． 【答案】339 【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用、求函数值 【分析】利用条件可得的周期，再利用函数解析式和周期性计算出至，再利用，从而将目标转化为一个周期内的函数值的运算. 【详解】因为，所以，则， 所以的周期， 当时，，则，， 则，， 当时，，则，，，， 则，， 则， ， 而， 所以． 故答案为：339. 四、解答题 11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性； (3)求函数的值域. 【答案】(1) (2)奇函数 (3) 【知识点】已知函数类型求解析式、利用函数单调性求最值或值域、函数奇偶性的定义与判断、求指数型复合函数的值域 【分析】（1）利用待定系数，代入可得方程求，即可得函数解析式； （2）利用定义域对称，再结合，即可得奇函数； （3）利用指数函数性质，分离分式即可求得值域. 【详解】（1）由可得， 所以. （2）由的定义域为，关于原点对称， ，故是奇函数. （3）由， 因为，所以，所以， 即，所以， 故函数的值域为. 12．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数. (1)求实数的值； (2)若函数.求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【知识点】判断或证明函数的对称性、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、由奇偶性求参数 【分析】（1）根据函数奇偶性，由求出，再验证函数奇偶性即可； （2）根据题中条件，直接计算即即可证明. 【详解】（1）因为为定义域为的奇函数，所以，即 ，解得； 所以， 则，即， 所以为奇函数，符合题意， 故； （2）因为， 所以 因为为奇函数，所以则， 因此， 即. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解不等式 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 (3) 【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、由奇偶性求函数解析式、由函数奇偶性解不等式、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）由关于原点对称可得，，再结合代入计算即可得； （2）借助单调性的定义证明即可； （3）结合奇函数性质及函数单调性，列不等式求解即可. 【详解】（1）定义在上的函数图象关于原点对称， 为上的奇函数，，解得； ， 又，故，， 其满足，故为奇函数，图象关于原点对称， 即； （2）在上单调递增； 证明如下：令， ， 由， 则，，， ， 即在上单调递增； （3）由题意可得为奇函数， 故由，得，， 又在上单调递增， 则有，解得， 故不等式的解集为 B相遇高考 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求含cosx的函数的奇偶性 【分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可. 【详解】对A，设，函数定义域为，但，，则，故A错误； 对B，设，函数定义域为， 且，则为偶函数，故B正确； 对C，设，， ，则不是偶函数，故C错误； 对D，设，函数定义域为， 因为，且不恒为0， 则不是偶函数，故D错误. 故选：B. C素养提升 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，函数为奇函数，为常数． (1)求的值； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【知识点】由奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）由奇函数的定义，结合对数的运算性质，可得的值； （2）运用单调性的定义，结合对数函数的单调性即可得证； （3）求出的最大值后利用参变分离可求实数的取值范围．. 【详解】（1）∵， ∴. ∴，即， 故,解得，检验（舍），∴. （2）由（1）可知， 证明：任取，即有， 即，即， 即有，即， ∴在上为增函数； （3）由（2）可知在上为增函数，故， 由题设有在上恒成立， 故在上恒成立， 设，因为在上均为增函数， 故在上均为增函数，故， 故. 2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. (1)判断函数的奇偶性，并证明之； (2)证明：； (3)求的值. 【答案】(1)是定义在的偶函数；证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【知识点】函数的周期性的定义与求解、由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的定义与判断 【分析】（1）令得，再令可得出，结合偶函数的定义可证得结论成立； （2）分别令、可得出，结合偶函数的性质得出，进而推导出，结合函数周期性的定义可证得结论成立； （3）利用赋值法可得出的值，，，，结合函数周期性可求得所求代数式的值. 【详解】（1）因为是定义在上的函数， 对、都有 令得，可得， 再令得，所以是定义在的偶函数. （2）令得， 再令得， 两式相加得，这里不恒为零， 故，即， 又因为函数为偶函数，则， 所以，所以函数是周期为的周期函数. （3）由（2）知，，，，， 所以，， 令得； 令，得，又， 得到； 令得， 所以 . 3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 【答案】(1)4 (2)①证明见解析；②不是，证明见解析 【知识点】函数对称性的应用、求二次函数的值域或最值、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据对称的充要条件，令即可求解； （2）①根据对称的充要条件计算即可证明；②设在上的值域为，则命题“，使得成立”，即，讨论二次函数的对称轴，求出在上的值域，进行求解即可. 【详解】（1）函数的图象关于点对称， 所以， 令，得. （2）①， 所以 ，即满足， 所以函数的图象关于点对称. ②命题“，使得成立”不是真命题， 证明：在上单调递增， 所以， 设在上的值域为， 对，使得成立， 则， 当时，， ，，， 对称轴， 当时，在单调递增，，， 所以，不等式组无解， 当时，在单调递减，在单调递增， ，， 所以，解得， 当时，在单调递减，在单调递增， ，，符合题意； 当时，在单调递减，在单调递增， ，， 所以，解得， 当时，在单调递减，，， 所以，不等式组无解， 综上所述：当时，对，使得成立， 故命题“，使得成立”不是真命题. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性 A夯实基础 B相遇高考 C素养提升 A夯实基础 一、单选题 1．（四川省部分学校2025届高三5月联考数学试卷）函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（   ） A． B． C．4 D．6 2．（2025·江西赣州·二模）已知函数是定义在上且周期为的奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（   ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 4．（河南省部分学校2024-2025学年高三下学期5月质量检测数学试题）已知奇函数在上单调递减，若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·江西南昌·模拟预测）我们知道一个常识：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数.推广到一般的情况：如果函数的图象有对称中心，那么其导函数的图象会有对称轴；如果函数的图象有对称轴，那么其导函数的图象会有对称中心.请你运用以上性质研究函数的对称性，并判断下列选项中正确的是（    ） A．有对称中心 B．有对称中心 C．有对称轴 D．有对称轴 6．（2025·云南·模拟预测）设是定义在上的奇函数，，，则（    ） A．0 B．-1012 C．-2 D．1010 二、多选题 7．（24-25高三下·山东菏泽·阶段练习）已知函数满足，且对任意的，，都成立，则（   ） A．是偶函数 B．函数的图象关于点中心对称 C．是函数的一个周期 D． 8．（24-25高二下·山东菏泽·期中）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，且，令，则下列说法正确的有（    ） A．函数是偶函数 B． C．函数的图象关于点对称 D． 三、填空题 9．（2025·江西新余·模拟预测）若函数为偶函数，则 . 10．（2026高三·全国·专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，当时，，则 ． 四、解答题 11．（24-25高一上·吉林通化·期末）已知函数. (1)求的解析式； (2)判断的奇偶性； (3)求函数的值域. 12．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数的定义域为，且为奇函数. (1)求实数的值； (2)若函数.求证：. 13．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知定义在上的函数图象关于原点对称，且 (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并用定义证明； (3)解不等式 B相遇高考 1．（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的为（   ） A． B． C． D． C素养提升 1．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）已知，函数为奇函数，为常数． (1)求的值； (2)用定义法证明：函数在上单调递增； (3)若函数，对于，使得不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（24-25高二下·浙江宁波·期中）已知是定义在上的函数，对、都有，且满足. (1)判断函数的奇偶性，并证明之； (2)证明：； (3)求的值. 3．（24-25高一下·贵州贵阳·阶段练习）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”．若函数的图象关于点对称，且当时，． (1)求的值； (2)设函数． ①证明函数的图象关于点对称； ②若实数，则命题“，使得成立”是否为真命题？若是，请给出证明；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$