精品解析：河北省邯郸市2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试题

河北省邯郸市2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试题 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4、本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解出集合，再根据交集含义即可得到答案. 【详解】， 所以. 故选：D. 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法和除法可直接计算得到. 【详解】原式. 故选：A. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示即可求出的值. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即，解得. 故选：B 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，结合可得结果. 【详解】因为图象过点，所以， 为函数递减区间上的零点，可得，即， 因为，所以. 故选：A. 5. 已知，函数则的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】计算分段函数在每一段上的值域，求并集可得结果. 【详解】当时，，在上为减函数， 所以. 当时，， 因，所以在上为增函数， 所以. 综上得，的值域为. 故选：C. 6. 如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点于点.若，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在半平面内作于点，且，通过平行线转化所求异面直线的角为，结合线面垂直的判定及性质计算线段长可得结果. 【详解】 如图，在半平面内作于点，且，连接， 则四边形为矩形，且为二面角的平面角，即， 所以，，， 所以直线与所成的角为直线与所成的角，且是正三角形，故. 因为平面，所以平面， 因为，所以平面， 因为平面，所以，故， 所以，即直线与所成角的余弦值为. 故选：B. 7. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式可得，结合的关系得到，在中利用余弦定理求得，进而得到，根据渐近线的斜率即可得到结果. 【详解】 由题意得，，双曲线的渐近线方程为， 如图，不妨设点在直线上， 即点在直线上，则， 在直角中，， 所以，故， 在中，， 所以， 所以，故椭圆的离心率. 故选：C. 8. 已知某农户家里养了3只兔子和4只鸡，将它们关在同一个笼子里，若兔子和鸡随机逐一向外走，则恰有2只兔子相继走出笼子的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出所有动物走出笼子的总排列情况数，再求出恰有2只兔子相继走出笼子的情况数，最后根据古典概型概率公式计算概率. 【详解】由题意，兔子和鸡随机走出笼子，共有种不同的情况， 其中恰有2只兔子相邻走出笼子的情况共有种， 故恰有2只兔子相邻走出笼子的概率为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是定义在上的奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据是上的奇函数可确定判断A项；由可得，赋值即得判断C项，根据条件推出函数的一个周期为4，即可判断D项，对于B项，没有相关条件求出其值. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以①，且，故A正确； 因为，故得②，则，故C正确； 由①②可得，则，可得 ， 即是以4为一个周期的函数，，故D正确； 对于，没有相关条件求出其值，故B错误. 故选：ACD. 10. 为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的样本均值，已知该新品种玉米的亩产量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） （若随机变量服从正态分布，则 A. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多 B. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正态分布的性质、对称性对每一选项进行计算判断即可. 【详解】因为新品种玉米的亩产量的样本均值为500，方差越大，数据越分散. 当的值越大时，亩产量不少于490千克且低于510千克的样本越少，不低于510千克的样本越多，A正确，B错误. 因为， ， 所以C，D正确. 故选：ACD. 11. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的1，4，9，称为正方形数，第三行的称为五边形数，第四行的称为六边形数，以此类推.设第一行、第二行、第三行、第四行、第行的数分别构成数列，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第十行的第4个数为64 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合数列的知识，找出规律即可求解. 【详解】由图可得，， 累加可得，A正确. 1， 累加可得. ， 累加可得. 1， 累加可得错误. 以此类推可得，C正确. 若，则，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用同角的三角函数关系式与和角公式计算即得. 【详解】因为，所以, 则. 故答案为：. 13. 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_____________. 【答案】3 【解析】 【分析】将问题转化为抛物线的焦点到直线的距离，即可求解. 【详解】由题意，抛物线的焦点为， 由抛物线的定义知，点到直线的距离等于点到点的距离， 因此点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值， 即为点到直线的距离，即为. 故答案为：3. 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化后构造同构函数，推得在上单调递增，利用其得到，即得，将参数分类讨论求的最小值或判断其下界，即得参数范围. 【详解】由，可得，即， 构造函数，函数定义域为， 因在上恒成立，故在上单调递增， 由可得，即（*）， 令函数，则， 若，则当时，，在上单调递减； 当时，，则在上单调递增， 所以，故由（*）可得； 若，则当时，，在上单调递增， 故，满足，所以符合条件； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形ABCD中，,,,. （1）求； （2）若，求BC. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由余弦定理求出，再由正弦定理求得，结合条件即得； （2）在中，先由余弦定理求得，利用诱导公式即得，可求出，利用余弦定理就可求得. 【小问1详解】 因为，所以是锐角，则，. 在中，由余弦定理得，. 又由正弦定理，可得，即， 因为，所以，则，故. 【小问2详解】 在中，由余弦定理得， 则，. 在中，由余弦定理得 ，解得. 16. 已知椭圆上任意一点到的两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求解即得； （2）将直线方程与椭圆方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式建立方程，解之即得. 【小问1详解】 由题意可得解得 故的方程为. 【小问2详解】 联立，得 ，解得. 设，则， ， 解得，即的值为. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 分析】（1）要证明面面垂直，可通过证明线面垂直推导出面面垂直，即证明平面. （2）根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后求得向量的坐标，然后可求得平面的法向量，最后根据向量夹角的余弦公式求得二面角的余弦值，从而可得到其正弦值. 【小问1详解】 证明：连接交于点，记的中点分别为，连接. 在中，是的中点，所以. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以. 在矩形中，.因为平面，所以平面. 因为平面，所以. ，同理得，所以，即. 因为平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面. 【小问2详解】 作，垂足为.以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，， 所以，. 所以. 设是平面的法向量， 则即可取. 设是平面的法向量， 则即可取. ， . 故二面角正弦值为. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程. （2）证明：在上单调递增. （3）若，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，由点斜式即得切线方程； （2）将函数求导得，令，将其求导可得，即可得证； （3）（证法一）利用（2）结论结合，根据零点存在定理可得存在唯一实数，使得，利用的单调性推得的极小值为，利用基本不等式证明即可证得结论. （证法二）在时，将等价转化为，令，则需证，可先证当时，，再证即得. 【小问1详解】 当时，，， 则，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； 【小问2详解】 的定义域为，则， 令函数，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增； 【小问3详解】 （证法一）由（2）得，在上单调递增， 因为，由，， 可知存在唯一实数，使得， 即，可得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 所以的极小值为 ， 当且仅当时，等号成立， 因为，所以， 所以. （证法二）当时，等价于， 即， 令，则有， 先证当时，， 令函数，则， 当时，，则在上单调递增， 所以当时，，即当时，得证； 再证， 令函数，则， 当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则，即得证； 综上，，即当时，得证. 19. 有个人（包括甲在内）一起做传球训练，第1次由甲将球传出，经过）次传球后，记球回到甲手中的传球方式有种，球不回到甲手中的传球方式有种. （1）求； （2）求； （3）若，求的最大值. 【答案】（1）， （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据分步乘法计数原理进行求解即可. （2）首先根据题干要求写出的递推数列，然后对等式进行变换，得到为等比数列，最后根据等比数列的通项公式可求得的表达式. （3）首先根据（2）求出，进而得到关于的不等式，然后分2种情况为奇数、偶数时求出的最大值. 【小问1详解】 由分步乘法计数原理得， ， . 【小问2详解】 要使得第次传球后，球回到甲手中，则第次传球后，球不在甲手中，且第次传球只能传给甲， 所以，即.① 因为经过次传球，每次传球都有种选择，所以.② 由①②得，. 设， 展开整理得，则， 所以. 又，所以是以为首项，-1为公比的等比数列， 所以， 即. 【小问3详解】 由（2）得. 因为，所以， . 若为偶数，则； 若为奇数，则. 综上，， 所以的最大值为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北省邯郸市2024-2025学年高二下学期期末调研考试数学试题 注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4、本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则（ ） A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 4. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，函数则的值域为（ ） A B. C. D. 6. 如图，二面角大小为，点分别在半平面内，于点于点.若，则直线与所成角的余弦值为（ ） A B. C. D. 7. 已知为坐标原点，双曲线的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为.若，则的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知某农户家里养了3只兔子和4只鸡，将它们关在同一个笼子里，若兔子和鸡随机逐一向外走，则恰有2只兔子相继走出笼子的概率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若是定义在上的奇函数，，则（ ） A. B. C. D. 10. 为了解某新品种玉米的亩产量（单位：千克）情况，从种植区抽取样本，得到该新品种玉米的亩产量的样本均值，已知该新品种玉米的亩产量服从正态分布，则下列说法正确的是（ ） （若随机变量服从正态分布，则 A. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越多 B. 的值越大，亩产量不低于510千克的样本越少 C. 若，则 D. 若，则 11. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的称为三角形数，第二行的1，4，9，称为正方形数，第三行的称为五边形数，第四行的称为六边形数，以此类推.设第一行、第二行、第三行、第四行、第行的数分别构成数列，，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第十行的第4个数为64 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_____________. 13. 已知抛物线的准线为，点在上，直线，点到直线的距离与到直线的距离之和的最小值是_____________. 14. 若不等式恒成立，则实数的取值范围是_____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在平面四边形ABCD中，,,,. （1）求； （2）若，求BC. 16. 已知椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为. （1）求的方程； （2）已知直线与相交于A，B两点，若，求的值. 17. 如图，在四棱锥中，侧棱长均为，四边形是矩形，. （1）证明：平面平面. （2）求二面角的正弦值. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处切线方程. （2）证明：在上单调递增. （3）若，证明：. 19. 有个人（包括甲在内）一起做传球训练，第1次由甲将球传出，经过）次传球后，记球回到甲手中的传球方式有种，球不回到甲手中的传球方式有种. （1）求； （2）求； （3）若，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$