精品解析：上海市金山区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024学年度第二学期期末学情诊断 初二数学试卷 （测试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 一次函数y=x+2的图象不经过的象限是(　　) A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】分析：根据一次函数的图像与性质，由k、b的值得到函数的图像，由图像判断即可求解. 详解：∵k=1>0, ∴图象过第一、三象限, ∵b=2>0, ∴图象过第二象限, ∴直线y=x+2经过第一、二、三象限,不经过第四象限. 故选D. 点睛：一次函数y=kx+b（k≠0，k、b为常数）的图像与性质可知：当k＞0，b＞0时，图像过一二三象限，y随x增大而增大；当k＞0，b＜0时，图像过一三四象限，y随x增大而增大；当k＜0，b＞0时，图像过一二四象限，y随x增大而减小；当k＜0，b＜0，图像过二三四象限，y随x增大而减小. 2. 若，关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的情况的关系，是解题的关键． 根据一元二次方程根的判别式进行判断．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，无实数根． 【详解】解：∵方程中，，，． ∴． ∵， ∴， ∴， 即． 故方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 3. 学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设班级共有名同学，原定全班平均每人制作朵，实际参加人数人，平均每人制作朵，根据题意，实际平均比原定多15朵，列方程即可． 【详解】解：设这个班级共有名同学，根据题意可得方程， 故选：B． 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 在平面上画一个四边形，这个四边形的内角和等于 B. 在平面上画一个平行四边形，这个平行四边形的对角线互相垂直 C. 在平面上画一个平行四边形，这个平行四边形的对角线相等 D. 在平面上画一个平行四边形，这个平行四边形是轴称图形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，必然事件的概念，需根据平行四边形的性质进行判断，即可作答． 【详解】解：A、任意四边形的内角和恒为，无论形状如何，均满足该性质，属于必然事件， B、平行四边形的对角线互相垂直仅在菱形时成立，普通平行四边形对角线仅互相平分，不必然垂直，属于不确定事件， C、平行四边形的对角线相等仅在矩形时成立，普通平行四边形对角线长度不等，属于不确定事件， D、平行四边形是轴对称图形仅在菱形或矩形时成立，普通平行四边形（如非菱形、非矩形）无对称轴，属于不确定事件， 故选：A 5. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，设，，那么可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面向量，三角形法则，平行四边形的性质等知识，根据平行四边形的性质以及三角形法则求解即可，解题的关键是熟练掌握三角形法则． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， 故选：． 6. 在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（ ） A. 四边形一定是矩形 B. 四边形一定是正方形 C. 四边形的对角线相等且垂直 D. 四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中点四边形的性质，解题的关键是掌握三角形中位线定理以及中点四边形与原四边形对角线的关系． 利用三角形中位线定理，得出中点四边形的边与原四边形对角线的关系，再结合正方形性质判断原四边形对角线特征． 【详解】中点四边形性质：四边形各边中点连线形成的四边形（中点四边形）的边平行于原四边形的对角线，且长度为对角线的一半． 正方形条件：若中点四边形为正方形，则其四条边相等且互相垂直． 边相等：原四边形的两条对角线长度相等（若中点四边形边长为原对角线的一半，则对角线相等）． 边垂直：原四边形的对角线互相垂直（若中点四边形邻边垂直，则原对角线垂直）． A、B错误，原四边形不一定是矩形或正方形，只需满足对角线相等且垂直即可； C正确：对角线相等且垂直是原四边形满足中点四边形为正方形的充要条件； D错误：原四边形可能无邻边相等或直角，仅需对角线满足条件． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 把直线向上平移2个单位所得直线的解析式是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则即可得解，熟练掌握一次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：把直线向上平移2个单位所得直线的解析式是， 故答案为：． 8. 直线在轴上的截距是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，求出当时的的值，即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，， 故直线在轴上的截距是， 故答案为：． 9. 方程的解是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理方程的求法， 把方程两边平方求解，再检验即可得到答案． 【详解】解：把方程两边平方得：， 整理得：， 解得：或， 经检验，是原方程的解． 故答案为：． 10. 方程组的解为________． 【答案】或 【解析】 分析】利用代入消元法求解即可． 【详解】解： 由题意可知x=3﹣y③，代入xy=2可得 3y﹣y2=2， 变式为y2﹣3y+2＝0，即（y﹣2）（y﹣1）=0， 解得：y=2或y=1， 把y=2代入③得x=1， 把y=1代入③得x=2， ∴方程组的解为或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了二元二次方程组的解法，要熟练应用代入消元法和加减消元法． 11. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 【答案】20% 【解析】 【分析】根据该公司6、7两个月营业额月均增长率为x，结合5月、7月营业额即可得出关于x的一元二次方程，解此方程即可得解． 【详解】解：设该公司6、7两个月营业额的月均增长率为x，根据题意得， 解得，（舍去） 所以，增长率为20% 故答案为：20% 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 12. 有10张卡片，上面分别写着数，，，，，，，，，．从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求概率，由题意可得，从中随机抽取1张，共有10种等可能出现的结果，其中该卡片上的数是3的整数倍的情况有3种，由此计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：由题意可得，从中随机抽取1张，共有10种等可能出现的结果，其中该卡片上的数是3的整数倍的情况有3种， 故从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是， 故答案为：． 13. 一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的知识，熟练掌握多边形内角和公式是解题关键．设该多边形的边数为，根据多边形内角和公式求解即可． 【详解】解：设该多边形的边数为，根据题意， 可得 ， 解得 ， 所以，这个多边形的边数是7． 故答案为：7． 14. 如果梯形的一条底边长为6，中位线长为8，那么梯形的另一条底边长的值是 ___________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查梯形中位线定理等知识点， 只需根据梯形的中位线定理“梯形的中位线等于两底和的一半”，进行计算即可，熟练掌握“梯形的中位线等于两底和的一半”是解决此题的关键． 【详解】根据梯形的中位线定理，得： ， 故答案为：10． 15. 如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件______（只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】利用中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定解答即可． 【详解】证明：添加条件为：． 如图：、分别是，的中点，， 则， 故四边形是平行四边形； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 故答案为：（答案不唯一） 【点睛】本题考查了中位线定理，角的平分线，菱形的判定，平行四边形的判定，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 16. 如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有___个． 【答案】3 【解析】 【分析】根据旋转的性质，把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，分析对应点的不同情况，易得答案． 【详解】根据图形间的关系，分析可得如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合， 那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点有C、D，以及线段CD的中点共三个， 故答案为3． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 17. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 【答案】或 【解析】 【分析】分点在点右边与左边两种情况分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， 又 ∴ ∴， 当点在点的右侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中，， 则， ∵， ∴ ∴， 当点在点的左侧时，如图所示，设交于点， ∵，，， ∴中， 则， ∵， ∴ ∴， 综上所述，的长为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 三、（本大题共4题，每题6分，满分24分） 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，将原方程变形为，两边同时平方可得，解此方程并检验即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：或， 经检验，不是方程的解， ∴． 19. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，根据解分式方程的步骤计算即可得解，熟练掌握解分式方程的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母可得：， 整理可得：， 解得或， 经检验，时增根，舍去， ∴． 20. 解方程组：． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了解二元二次方程，将原方程变形为或，分别求解即可，正确变形是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴或， 解可得， 解可得， ∴方程组的解为或． 21. 如图，已知：平行四边形的对角线相交于点，过点、分别作，，、相交于点，连接交于点，设，． （1）用，表示______； （2）连接，用，表示______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，解答即可； （2）利用三角形法则，平行四边形法则解答即可． 本题考查了平行四边形的判定和性质，向量的计算，熟练掌握向量的计算是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵平行四边形的对角线相交于点， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ∵平行四边形的对角线相交于点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 根据题意，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 四、（本大题共4题，满分34分） 22. 如图，已知：在梯形中，，，过点作，垂足为，延长至，使，连接、，与相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求证：四边形是矩形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了证明四边形是平行四边形、证明四边形是矩形、等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由等腰梯形的性质可得，再结合线段垂直平分线的性质可得，，即可得证； （2）证明，得出，从而可得，求出，即可得证． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ， ∵在梯形中，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 证明：∵在梯形中，，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 23. 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 【答案】（1）y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）.（2）该产品的生产数量为40吨. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可，根据当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，得出x的定义域. （2）根据总成本=每吨的成本×生产数量，利用（1）中所求得出即可. 【详解】（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b， 将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：. ∴y关于x的函数解析式为y=x+11（10≤x≤50）. （2）当生产这种产品的总成本为280万元时， x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去）. ∴该产品的生产数量为40吨. 24. 已知反比例函数的图像和一次函数的图像都经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图像上，顶点C、D在这个反比例函数的图像上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和，求a的值． 【答案】（1）y=x-7 （2）-4或2 【解析】 【分析】（1）根据点P在函数的图象上，求出P点坐标，代入一次函数，从而求出一次函数图象； （2）由题意和图象知等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图象上，求出A，B，C，D点的坐标，根据等腰梯形性质得到AB=CD，根据两点的距离公式得到关于a的方程，解方程即可求出a值． 【小问1详解】 ∵点P（m，2）在函数的图象上， ∴m=6， ∵一次函数y=kx-7的图象经过点P（6，2）， 得6k-7=2， ∴k=， ∴所求的一次函数解析式是y=x-7； 【小问2详解】 过B作BF⊥AD，过C作CE⊥AD， ∵点A、B的横坐标分别是a和a+2， ∴可得，，， ∵AB=CD， 在Rt△CDE与Rt△ABF中， 由勾股定理得：， AB2=AF2+BF2=22+32， ∵四边形ABCD是等腰梯形， ∴AB=CD，即， 即， ①由，化简得a2+2a+8=0，方程无实数根， ②由，化简得a2+2a-8=0， ∴a1=-4，a2=2． 经检验，a1=-4，a2=2均为所求的值． 所以，a的值是-4或2 【点睛】此题看似比较复杂，其实并不难，主要考查一次函数和反比例函数的性质和图象，学会联立方程求出交点坐标，应用等腰梯形的基本性质求出a值． 25. 如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． （1）当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； （2）当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； （3）当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析 （2） （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，作于，于，则，四边形为矩形，证明，即可得解； （2）由正方形的性质可得，，，由点在边的延长线上可得为钝角，证明，得出，即可得解； （3）分两种情况：当点在线段上时，作于，于；当点在的延长线上时，作于，延长交于；分别求解即可． 【小问1详解】 解：，证明如下： ∵四边形为正方形， ∴，， 如图，作于，于， ， 则，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵正方形边长为1， ∴，， ∴， ∵点在边的延长线上， ∴如图所示，为钝角， ， ∵是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，当点在线段上时，作于，于， ， 由（1）可得，四边形为矩形，， ∴为等腰直角三角形，， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∵以、、、为顶点的四边形的面积为， ∴，即， ∴， 由（2）可得：， ∴； 当点在的延长线上时，作于，延长交于， ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 设，则， ∵以、、、为顶点四边形的面积为， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年度第二学期期末学情诊断 初二数学试卷 （测试时间90分钟，满分100分） 一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分） 1. 一次函数y=x+2的图象不经过的象限是(　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判断 3. 学校艺术节需用红纸花3000朵，某班全体同学自愿承担这批红纸花的制作任务，在实际制作时，有10名同学因排练节目而没有参加，这样参加劳动的同学平均每人制花的数量比原定全班同学平均每人要完成的数量多15朵，设这个班级共有名同学，根据题意可得方程（ ） A. B. C. D. 4. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 在平面上画一个四边形，这个四边形的内角和等于 B. 在平面上画一个平行四边形，这个平行四边形的对角线互相垂直 C. 在平面上画一个平行四边形，这个平行四边形的对角线相等 D. 在平面上画一个平行四边形，这个平行四边形是轴称图形 5. 如图，平行四边形的对角线、相交于点，设，，那么可以表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在四边形中，点、、、分别是各边的中点，四边形是正方形，下列选项中正确的是（ ） A. 四边形一定矩形 B. 四边形一定是正方形 C. 四边形的对角线相等且垂直 D. 四边形有一组邻边相等且有一个内角是直角 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 把直线向上平移2个单位所得直线的解析式是______． 8. 直线在轴上的截距是______． 9. 方程的解是________． 10. 方程组的解为________． 11. 某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为_____． 12. 有10张卡片，上面分别写着数，，，，，，，，，．从中随机抽取1张，该卡片上的数是3的整数倍的概率是______． 13. 一个多边形的内角和等于，这个多边形的边数是________． 14. 如果梯形的一条底边长为6，中位线长为8，那么梯形的另一条底边长的值是 ___________． 15. 如果是的角平分线，、分别是，的中点，连接、，那么再加一个条件______（只要写一种情况），就可得到四边形是菱形． 16. 如图，如果把正方形CDFE经过旋转后能与正方形ABCD重合，那么图形所在的平面上可作为旋转中心的点共有___个． 17. 矩形纸片中，，，点在边所在的直线上，且，将矩形纸片折叠，使点与点重合，折痕与，分别交于点，，则线段的长度为______． 三、（本大题共4题，每题6分，满分24分） 18 解方程：． 19. 解方程：． 20. 解方程组：． 21. 如图，已知：平行四边形的对角线相交于点，过点、分别作，，、相交于点，连接交于点，设，． （1）用，表示______； （2）连接，用，表示______． 四、（本大题共4题，满分34分） 22. 如图，已知：在梯形中，，，过点作，垂足，延长至，使，连接、，与相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）如果，，求证：四边形是矩形． 23. 某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x函数解析式，并写出它的定义域； （2）当生产这种产品总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量） 24. 已知反比例函数的图像和一次函数的图像都经过点． （1）求这个一次函数的解析式； （2）如果等腰梯形ABCD的顶点A、B在这个一次函数的图像上，顶点C、D在这个反比例函数的图像上，两底AD、BC与y轴平行，且A和B的横坐标分别为a和，求a的值． 25. 如图，已知：正方形边长为1，点是对角线上一点，，交射线于点． （1）当点在边上时，线段与线段之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； （2）当点在边的延长线上，是等腰三角形时，求的长； （3）当以、、、为顶点的四边形的面积为时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $