精品解析：2025年4月浙江省衢州市中考一模数学试卷

浙江省衢州市2025年4月统测中考一模数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A 平行四边形 B. 矩形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 小聪和小明5次数学测验的成绩如表所示，若小聪的平均分高于小明，则a的值可取（ ） 小聪 78 82 79 80 81 小明 76 84 80 87 a A. 75 B. 74 C. 73 D. 72 5. 如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 7. 平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的8个球，其中有3个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_____． 13. 若扇形圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形对角线交点为坐标原点O，点A，C在x轴上，点B，D在y轴上，若正方形的边长为2，则顶点A的坐标为_____． 15. 如图，在中，，，D为上任一点，连结，作B点关于的对称点E，若，则的长为_____． 16. 当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为_________________ ． 三、解答题（本题有8小题，共72分，第17~20题每题8分，第21~22题每题10分，第24题12分，请务必写出解答过程） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使． （1）若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形； （2）若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值． 20. 为了解某校七年级学生每周课外阅读的时间（单位：小时），随机抽查了该校七年级50名学生上周课外阅读的时间，统计结果如以下图表： 被抽查学生阅读时间分布表 时间段（小时） 人数（人） 5 15 20 a 请根据相关信息，解答下列问题： （1）计算表1中a的值以及图1中“”时间段对应的扇形圆心角度数； （2）求样本数据的中位数所在的时间段； （3）根据样本数据，估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的人数． 21. 【问题提出】如图，折叠矩形纸片，使得点与点重合，则折痕与边，的交点、将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？ 【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿，折叠后展平，折痕交于点． （1）求证：； （2）请过点P折叠，在上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）． 22. 年“有礼杯”衢州马拉松于月日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点米处因体力不支，最终以米分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题： （1）求a的值； （2）求图中线段对应的函数表达式； （3）求小聪休息前的速度． 23. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）． （1）当时，①求小球离地面的最大高度；②经过多少时间小球的高度达到？ （2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为，小球从发射到回到地面所需时间为，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明． 24. 如图，内接于，直径于点D，交劣弧于点E，点F为弧上的任意一点，连结交AB于点G，交于点H，连接． （1）当经过点O时，求证：； （2）在（1）条件下，若，求； （3）时，若的半径为5，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浙江省衢州市2025年4月统测中考一模数学试卷 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 某种筷子的合格长度标准为，则下列四双筷子中合格的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查有理数加减法的实际应用．求出的值，确定筷子中合格的长度，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴零件的尺寸标准在之间， 故四双筷子中合格的长度是． 故选：B． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 平行四边形 B. 矩形 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，完全平方公式很容易混淆，一定要记准法则才能做题． 本题考查幂的运算和完全平方公式，需逐一验证各选项的正确性； 【详解】解：A. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加，故，结果应为，选项A错误； B. 积的乘方等于各因数乘方的积，故，结果应为，选项B错误； C. 负数的偶次幂为正，故；同底数幂相除，底数不变，指数相减，故，结果正确，选项C正确； D. 完全平方公式展开为，选项D缺少中间项，错误； 故选：C. 4. 小聪和小明5次数学测验的成绩如表所示，若小聪的平均分高于小明，则a的值可取（ ） 小聪 78 82 79 80 81 小明 76 84 80 87 a A. 75 B. 74 C. 73 D. 72 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用样本的平均数和不等式属基础题，熟记样本的平均数和解不等式是解答好本题的关键. 根据平均数的定义建立不等式，求解a的取值范围，结合选项确定答案； 【详解】解：∵小聪五次成绩总和为 ，平均分为 ； 小明前四次成绩总和为 ，第五次成绩为 ，总分为 ，平均分为 ； ∴根据题意，小聪的平均分高于小明，即： 两边同时乘以5，得： 移项得： ，选项中只有 （D选项）符合条件； 故答案为：D. 5. 如图，的三个顶点都在的正方形网格的格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据正弦的定义解答即可求解，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， 故选：． 6. 不等式的解集是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键． 解不等式得到，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A． 7. 平面直角坐标系中，点A的坐标为，将线段绕点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，过点作轴于点，可得，，则，可得．由旋转得，，可知点在轴正半轴上，进而可得点的坐标为． 【详解】解：如图，过点作轴于点， 点的坐标为， ，， ， ， ． 线段绕点逆时针旋转， ，， ， 点在轴正半轴上， 点的对应点的坐标为． 故选：B． 8. 《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有共买物，人出八，则盈三；人出七，则不足四．问人数、物价各几何？”设共有x人，用不同的代数式表示物品价格，可得到方程（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．根据题目中的两种出钱情况，分别用代数式表示物品价格，建立方程即可． 【详解】解：设共有x人， 由题意得，． 故选：C． 9. 如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取正确信息是解题的关键． 先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择． 【详解】解：如图： ∵的图象在第二象限， ∴， ∵ 的图象都在第一象限， ∴， 当时，，由图象可知，， ∴， 故选：A． 10. 如图，在菱形中，，交的延长线于点E，于点F，若，四边形的面积为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 先根据垂直的意义得出，再根据菱形的性质，得出，，然后根据平行线的性质得出，从而可证，再根据相似三角形的性质列出比例式，从而可得，再设，用m分别表示出，，，再证明四边形是梯形，然后用m表示出，得到关于m的方程求解，从而可求得，进而求出． 【详解】解：∵，交的延长线于点E，于点F， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则AE=， ∴， ， ∵，， ∴四边形是梯形， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， 故选： D． 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义解答即可，掌握算术平方根的定义是解题的关键． 【详解】解：， 故答案：． 12. 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的8个球，其中有3个红球和5个白球，从袋子中随机摸出一个球，摸出的球是红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵ 在一个不透明的袋子中装有只有颜色不同的8个球，其中有3个红球和5个白球， ∴ 摸出的球是红球的概率是． 故答案为：． 13. 若扇形的圆心角为，半径为3，则该扇形的弧长为________． 【答案】π 【解析】 【分析】根据弧长公式求出即可． 【详解】解：∵一个扇形的圆心角为60°，半径为3， ∴此扇形的弧长是， 故答案为：π． 【点睛】本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，注意：一个扇形的圆心角为n°，半径为r，则此扇形的弧长是． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线交点为坐标原点O，点A，C在x轴上，点B，D在y轴上，若正方形的边长为2，则顶点A的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出对角线的长，再求出的长即可求得A点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边长为2， 所以， 所以， 因为正方形的对角线交点为坐标原点O， 所以A点的坐标为 故答案为：． 15. 如图，在中，，，D为上任一点，连结，作B点关于的对称点E，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质；等腰三角形的性质；勾股定理；轴对称的性质．过点A作，垂足为点F，先根据勾股定理和等腰三角形的性质得，再利用轴对称和三角形外角的性质得，，从而可求得的长，然后利用勾股定理求得的长度． 【详解】解：如图，过点A作，垂足点F， ∵，， ∴， ∴， ∵作B点关于的对称点E， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 当时，若二次函数的最大值为2，则n的值为_________________ ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．依据题意，由，可得抛物线开口向上，当时，y取最小值为，从而抛物线上的点离对称轴越远函数值越大，则当时或当时，y取最大值，进而分当时，y取最大值，此时，即和当时，y取最大值，此时，即，分别进行计算可以得解． 【详解】解：由题意，∵， ∴抛物线开口向上，当时，y取最小值为． ∴抛物线上的点离对称轴越远函数值越大． ∴当时或当时，y取最大值． ①当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴（不合题意，舍去）或． ②当时，y取最大值，此时，即． 又∵此时y最大值为， ∴或（不合题意，舍去）． 综上，或． 故答案为：或． 三、解答题（本题有8小题，共72分，第17~20题每题8分，第21~22题每题10分，第24题12分，请务必写出解答过程） 17. 计算：． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算，先求出负整数指数幂、去掉括号和绝对值，再计算加减. 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的加法运算，化简求值，异分母化为同分母，利用同分母的加法法则进行计算后，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 如图1，．在图1中，用无刻度的直尺和圆规作，使． （1）若线段a长如图2所示，请作出所有满足条件的三角形； （2）若这样的三角形只能作一个，请直接写出一个满足条件的a的值． 【答案】（1）见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题考查作图复杂作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）以为圆心，为半径作弧，交另一边于，，连接，即可； （2）当时，唯一，此时， 【小问1详解】 如图，，即为所求； 【小问2详解】 解：当时，唯一，此时， ． 20. 为了解某校七年级学生每周课外阅读的时间（单位：小时），随机抽查了该校七年级50名学生上周课外阅读的时间，统计结果如以下图表： 被抽查学生的阅读时间分布表 时间段（小时） 人数（人） 5 15 20 a 请根据相关信息，解答下列问题： （1）计算表1中a的值以及图1中“”时间段对应的扇形圆心角度数； （2）求样本数据的中位数所在的时间段； （3）根据样本数据，估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的人数． 【答案】（1） （2）时间段 （3）480人 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布表，扇形统计图，用样本估计总体，中位数，正确读懂统计图与统计表是解题的关键． （1）时间段的人数除以其人数占比求出此次被抽查的总学生数，则可求出a，然后利用a除以50再乘以360度求出“”时段所对圆心角即可； （2）先根据此次被抽查的总学生数，得出中位数的位置，再确定时间段； （3）根据被抽查学生中每周课外阅读不低于4小时的学生数除以被抽查的总学生数，再乘该校七年级的学生总数即可． 【小问1详解】 解：∵时间段有20人，占， ∴此次被抽查的学生总人数为， ∴， ∴“”时段所对圆心角为； 【小问2详解】 解：∵此次被抽查的总学生数为50， ∴中位数是将数据从小到大排列的第25，26个学生阅读时间的平均数， ∵， ∴中位数位于时间段； 【小问3详解】 解：（人）． ∴估计该校七年级800名学生每周课外阅读不低于4小时的人数为480人． 21. 【问题提出】如图，折叠矩形纸片，使得点与点重合，则折痕与边，的交点、将这组对边两等分．如何将矩形纸片的边三等分呢？ 【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿，折叠后展平，折痕交于点． （1）求证：； （2）请过点P折叠，在上找到一点G，使（要求：在图中画出折痕）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先得出E，F分别为的中点，再根据矩形的性质得出，然后证明，列出比例式，求出与的比，从而可得与的关系式； （2）过画出折痕交于点即可； 【小问1详解】 证明：由题意得：，分别为，的中点． 四边形为矩形， ，， 为的中点， ，则， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，所示，点即为所求． 证明：， ， ， ， ． 22. 年“有礼杯”衢州马拉松于月日开跑，小明和小聪一起报名参加了“迷你跑”的比赛．小明以一定的速度跑到米处的补给点休息了一段时间后，继续以原速前行，在距离终点米处因体力不支，最终以米分的速度坚持跑到终点；小聪在途中休息了5分钟后，以原来的倍的速度冲向终点．如图是小明和小聪在比赛过程中所跑的路程s（米）和跑步时间t（分）的函数关系图．根据图象回答下列问题： （1）求a的值； （2）求图中线段对应的函数表达式； （3）求小聪休息前的速度． 【答案】（1） （2） （3）米/分 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用、从函数图象获取信息等知识，准确求出函数解析式是关键． （1）利用“ 在距离终点 米处因体力不支，最终以 米分的速度坚持跑到终点 ”求解； （2）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出线段BC的解析式； （3）先当时，得出，再设小聪休息前的速度为v米分，列出关于v的分式方程求解． 小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意得：小明共休息（分钟）， ∴点B的坐标为，点C的坐标为， 设线段的解析式为，由题意得： ， 解得， ∴线段的解析式为：； 【小问3详解】 解：当时，； 由图可得小聪休息时所跑的路程为米， 设小聪休息前的速度为v米分，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解,，且符合题意， 答：小聪休息前速度为米分． 23. 从地面竖直向上发射的物体离地面的高度满足关系式，其中是物体运动的时间，是物体被发射时的速度．科技节活动中，某项目化学习小组从地面竖直向上发射小球（发射台离地面距离忽略不计）． （1）当时，①求小球离地面的最大高度；②经过多少时间小球的高度达到？ （2）通过不断调整小球被发射时的速度，小明发现：若两次发射小球时的速度分别为，小球从发射到回到地面所需时间为，则的值为常数．判断小明发现的结论是否正确，如果正确，请说明理由；如果不正确，举例说明． 【答案】（1）①小球离地面的最大高度为；②经过或小球的高度达到 （2）结论正确，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． （1）①依据题意，由小球离地面的最大高度对应二次函数为，从而对称轴是直线，再代入函数解析式计算即可得解； ②依据题意，令，则，整理为，解方程求出t后即可； （2）依据题意，小球落地时间t满足，从而得，则，进而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，当时， ①小球离地面的最大高度对应二次函数为， ∴对称轴是直线， ∴最大高度：； ②由题意，令，则，整理为， ∴或， 答：经过或小球的高度达到； 【小问2详解】 解：结论正确，理由如下： 由题意，小球落地时间t满足， ∴， ∴，， ∴． ∴该比值为常数5． 24. 如图，内接于，直径于点D，交劣弧于点E，点F为弧上的任意一点，连结交AB于点G，交于点H，连接． （1）当经过点O时，求证：； （2）在（1）的条件下，若，求； （3）时，若的半径为5，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角，得出，从而可得，再利用平行线的判定证明； （2）先根据，设，再用a表示出，从而可用a表示出，再证明，列出比例式，求得用a表示，再利用中位线定理得出用a表示，从而可用线段和用a表示出，再利用勾股定理可得用a表示，然后求出； （3）先利用平行线的性质，证明，从而可用圆周角定理得出，再利用勾股定理求得，再证明，列出比例式，求出与的比，从而可求出． 【小问1详解】 证明：如图2， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵直径， ∴； 【小问2详解】 解：如图 2， ∵， ∴设 ，则 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，得， ∵直径 ， ∴点 D 为 中点， ∴为 的中位线， ∴， ∴． ∵在 中，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连结AF，EF，OC， ∵， ∴， ∴． ∵直径， ∴， ∵直径， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ． 【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的外接圆与外心，三角形中位线，相似三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$