专题1.4 线段垂直平分线与角平分线 （高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题1.4 线段垂直平分线与角平分线 教学目标 1.理解和掌握角平分线性质和判定定理，能应用性质和判定解决一些简单的实际问题； 2.理解线段垂直平分线的概念；掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理； 3.能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理解决有关知识的证明或计算； 4.能够利用尺规作出三角形的角平分线和垂直平分线。 教学重难点 1.重点 （1）已知垂直平分线或角平分线，辅助线的添加； （2）多定理叠加推理：垂直平分线+角平分线的综合推理。 2.难点 （1）垂直平分线中的距离是“点到点”，角平分线中的距离是“点到线”，切记不要混淆； （2）垂直平分线与角平分线的尺规作图。 知识点01 线段垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 ． 2.线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 上。 3、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 注意：线段的垂直平分线性质是证明两线段相等的常用方法之一；同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 2．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 5．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；(2)若，求的度数． 知识点02 角平分线的性质 1、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 2、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 3、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知点是的内部一点，且点到的三条边的距离均相等（），连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的高 B．是的中线 C．是的角平分线 D．是的中垂线 2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且.(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积. 题型01 线段垂直平分线的性质定理的运用（长度、角度） 【典例1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（24-25·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【变式3】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 题型02 线段垂直平分线的判定定理及运用 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上．(1)求证：垂直平分；(2)求证： 【变式1】（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期中）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O．(1)求五边形每一个内角的度数；(2)求证：；(3)连接，求证：垂直平分．    【变式3】（24-25·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上． 题型03 角平分线性质定理的运用（长度、面积、角度） 【典例1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 题型04 角平分线的判定定理的运用 【典例1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分；(2)若，求证：． 【变式1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【变式3】（24-25八年级上·广东·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数；(2)连接，求证：平分． 题型05 角平分线的第二定理（拓展） 【典例1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，，∴________．（________） ∴________，又∵，∴． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 【变式1】（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． (1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． (2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分；②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 【变式3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，，∴______ ∴______又∵，∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    题型06 多定理叠加运用（垂直平分线+角平分线） 【典例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________. 【变式1】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．(1)求证：．(2)求证：． 题型07 线段垂直平分线与角平分线的实际应用 【典例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【变式1】（24-25·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（    ）． A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 题型08 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 【典例1】（24-25上海七年级下期末）如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题： (1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 【变式1】（2025·北京海淀·三模）如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F；②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，两条笔直的小路与相交于点，点、处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在内部修建一处观景台，使得观景台到的距离与观景台到的距离相等．且，请你找出观景台的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式4】（23-24八年级下·陕西·期末）尺规作图：如图，中，为上一点，连接 ，请在内部找一点 ． 使点到边的距离相等，且满足（保留作图痕迹，不写作法） 题型09 角平分线的性质与判定综合运用 【典例1】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号） 【变式4】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点F．下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论有 ． 题型10 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【变式2】（24-24八年级上·山西临汾·阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：∵DM是边AB的垂直平分线， ∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C， 则 解得∠BAC＝105°． 情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系． (1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______． (2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）． (3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由． 【变式3】（24-25·吉林长春·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O． (1)如图1，当时，直接写出的度数_________； (2)如图1，当，且． ①若，则________°；②当_________°时，； (3)如图2，连接，，．若的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°． 1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 3.（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点P是内的一点，若，则（　　）    A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上 C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）： ①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③连接，与相交于点．则下列结论一定正确的是（    ） A．垂直平分 B． C．平分 D． 8．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 9．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 10．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 11.（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 12.（24-25·浙江八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，的三边的长分别是30，40，50，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于 ． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 （用含、的式子表示） 15．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 16．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在中，是的角平分线．请利用尺规作图法求作一点，使得点到的三个顶点的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） 17．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．(1)求证：垂直平分．(2)若，，，求的长．    18．（24-25七年级下·浙江·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积；(3)若P是直线上的一个动点，求最小值． 19．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 20．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点作于，于，运用角平分线的性质可证 得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】（）如图，若时，______（填“”“”或“”）； 【深入探究】（）如图，当时，（）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明； 【结论应用】（）如图，是上的点，连接，若，，，求证：是等腰三角形；（）如图，是的角平分线，且与相交于，若，，直接写出的值是______． 21．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．(1)的度数是 ；(2)求证：平分；(3)若，且，求的面积． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.4 线段垂直平分线与角平分线 教学目标 1.理解和掌握角平分线性质和判定定理，能应用性质和判定解决一些简单的实际问题； 2.理解线段垂直平分线的概念；掌握线段垂直平分线的性质定理及判定定理； 3.能运用线段的垂直平分线的性质定理及判定定理解决有关知识的证明或计算； 4.能够利用尺规作出三角形的角平分线和垂直平分线。 教学重难点 1.重点 （1）已知垂直平分线或角平分线，辅助线的添加； （2）多定理叠加推理：垂直平分线+角平分线的综合推理。 2.难点 （1）垂直平分线中的距离是“点到点”，角平分线中的距离是“点到线”，切记不要混淆； （2）垂直平分线与角平分线的尺规作图。 知识点01 线段垂直平分线的性质 1.线段的垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端的 距离相等 ． 2.线段的垂直平分线的逆定理（判定定理）：到线段两端点距离相等的点在线段的 垂直平分线 上。 3、线段垂直平分线的尺规作图（步骤）：（1）分别以点A，B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于C，D两点；（2）作直线CD，CD即为所求直线。 拓展：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三个顶点距离相等，这点是三角形外接圆的圆心（外心）。 注意：线段的垂直平分线性质是证明两线段相等的常用方法之一；同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）在元旦联欢会上，3名小朋友分别站在三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，谁先坐到凳子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放在三角形的（　　） A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点 C．三条高的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 【答案】D 【详解】解：A选项：根据 角平分线上的点到角两边的距离相等，可知：三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离相等，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故A选项不符合题意； B选项：三角形三条中线的交点到三角形三边的距离不一定相等，故B选项不符合题意； C选项：三角形三条高的交点的位置与三角形的形状有关，到三角形三个顶点的距离不一定相等，故C选项不符合题意；D选项：根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知：三角形三条边的垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，为使游戏公平，凳子应放在三角形的三条边的垂直平分线的交点 上，故D选项符合题意．故选：D． 2．（2025·安徽芜湖·模拟预测）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点；②作直线交于点，连接．若，，则的周长为 ． 【答案】14 【详解】解：由作图可知：垂直平分，∴， ∴的周长为:；故答案为：14． 3．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在Rt中， (1)请用直尺和圆规作线段的垂直平分线，分别交线段于点 (2)连接，请找出图中和相等的线段（直接写出答案，无需说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）解：如图，分别以点和点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于两点，作直线，分别交线段、与点，点即为所求作； （2）解：是线段的垂直平分线，． 4．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，D是上的一点，连接，作交于点E，交于点F，且平分，连接．证明：垂直平分． 【答案】见解析 【详解】证明：∵，，∴， ∵平分，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴点A和点D在的垂直平分线上，∴垂直平分． 5．（24-25八年级下·广东茂名·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点，，，的延长线交于点O． (1)试判断点O是否在的垂直平分线上，并说明理由；(2)若，求的度数． 【答案】(1)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析.(2) 【详解】（1）解：点在的垂直平分线上，理由如下：如图所示，连接，，， ∵，分别是，的垂直平分线，∴，， ∴，∴点在的垂直平分线上； （2）解：∵，分别垂直平分，， ∴，均为轴对称图形，∴，， ∵，，∴， ∵，∴， ∴． 知识点02 角平分线的性质 1、角的平分线的性质定理：角的平分线上的点到角两边的 距离相等 。 如图1，若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF。 图1 图2 图3 2、角平分线的判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在 角的平分线 上。 如图2，若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB。 拓展：三角形三条角平分线交于一点，该点到三边的距离相等，这点是三角形内切圆的圆心（内心）。 3、角的平分线的尺规作图（步骤）：（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E；（2）分别以D、E为圆心，大于DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C；（3）画射线OC，即射线OC即为所求（如图3所示）。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，已知点是的内部一点，且点到的三条边的距离均相等（），连接并延长交于点，则下列说法一定正确的是（    ） A．是的高 B．是的中线 C．是的角平分线 D．是的中垂线 【答案】C 【详解】解：∵点到的三条边的距离均相等， ∴点为三个内角的平分线的交点，∴为的角平分线，∴C选项符合题意； 只有当时，为的高和中线，垂直平分， ∴A、B、D选项不一定正确．故选：C． 2．（24-25八年级下·广东梅州·阶段练习）如图，在四边形中，是它的对角线，，若平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：过点作，垂足分别为， ∵平分，∴，∵，∴， ∵，，∴，∴，故选：B 3．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，，分别为的两个外角的角平分线，于点P，于点Q，于点D，求证：点E在的角平分线上．    【详解】证明：∵，分别为的两个外角平分线，，，， ∴，，， 又∵，，点在的平分线上． 4．（24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且.(1)求的度数；(2)求证：平分；(3)若，，且，求的面积. 【答案】(1)(2)见解析(3)的面积为15 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，，∴，∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，，， 由（1）可知，，即平分， ，，，， 又点在的内部，平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点，由（2）已得：， 设，∵，∴， ∴，即，∴， 又∵，∴，，∵，∴的面积为． 题型01 线段垂直平分线的性质定理的运用（长度、角度） 【典例1】（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴的周长为，故选：C． 【变式1】（24-25·山西临汾·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，， 的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ，，，， ，，故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·山东青岛·阶段练习）如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【答案】 【详解】解：∵是的垂直平分线，∴． ∵，∴是的垂直平分线，∴，∴． ∵的周长为，，∴，∴， 则，∴，即．故答案为：． 【变式3】（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，， ，故选：D． 题型02 线段垂直平分线的判定定理及运用 【典例1】（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）如图，已知：，，点E在的延长线上．(1)求证：垂直平分；(2)求证： 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【详解】（1）证明：∵，，∴点A和D都在线段的垂直平分线上，∴垂直平分； （2）证明：由（1）知垂直平分，∴， 在和中，，∴． 【变式1】（2025·河南信阳·模拟预测）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为（       ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【详解】解：为的中点，， ，，， 在与中，，， ，，， ，，，故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·江苏·期中）定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形，如图，正五边形的对角线、相交于点O．    (1)求五边形每一个内角的度数；(2)求证：；(3)连接，求证：垂直平分． 【答案】(1)均为(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：由题意得：； （2）证明：，， 同理得：，， ，，；    （3）证明：连接，，，，，∴，， ，，垂直平分． 【变式3】（24-25·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，已知，，与交于O，．求证：(1)；(2)点O在线段的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵，，∴， ∴在和中，，∴，∴； （2）证明：∵，∴，∴， ∴点O在线段的垂直平分线上． 题型03 角平分线性质定理的运用（长度、面积、角度） 【典例1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，点是内一点，平分，于点，连接，若，，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：过O作于点E，∵平分，，∴， ∴的面积，故选：C． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，平分，于点，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，，，∴， ∵，，∴，∴．故选：A． 【变式2】（24-25八年级下·河南焦作·期中）如图，在中，，的平分线交于点，为上一动点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．2.5 【答案】A 【详解】解：作于H，如图， ∵的平分线交于点，，，∴， ∵Q为上一动点，∴的最小值为的长，即的最小值为2．故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，是内一点，过点作于点，于点于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点作于点，于点于点，， ∴分别平分，∴， ∵，∴， ∴，∴；故选D． 题型04 角平分线的判定定理的运用 【典例1】（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，点E、F分别在上，是的垂直平分线，，，交于点G． (1)求证：平分；(2)若，求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵是的垂直平分线，∴， ∵，，∴平分； （2）解：∵，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴，∴， ∴，，∴，∴． 【变式1】（2025·江苏泰州·二模）如图，在中，D是延长线上一点，与的角平分线交于点E，连接．若要求的度数，只需要知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：作于点，于点，交的延长线于点， ∵与的角平分线交于点E，∴，∴，∴平分， ∴，∴只需要知道的度数即可求出的度数；故选C． 【变式2】（24-25八年级上·四川广元·期中）如图，中，点、分别是、延长线上一点，、的角平分线、交于点，连接，过点作、，垂足分别是点、，则、、之间的数量关系是 ． 【答案】 【详解】解：如下图所示，过点作，平分，、，， 又平分，，，平分，， 在和中，，，同理可证，，，故答案为： ． 【变式3】（24-25八年级上·广东·期中）如图，与都是等边三角形，若与相交于点． (1)求的度数；(2)连接，求证：平分． 【答案】(1)(2)证明见解析 【详解】（1）解：与都是等边三角形， ，，，， 在和中，，，， ； （2）证明：连接，作，于点，，如图所示： ，，，， ，平分． 题型05 角平分线的第二定理（拓展） 【典例1】（24-25八年级上·上海·阶段练习）已知，是一条角平分线． (1)【探究发现】如图1所示，若是的角平分线．可得到结论：． 小红的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，，∴________．（________） ∴________，又∵，∴． (2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． (3)【拓展应用】如图3所示，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是________． 【答案】(1)，角平分线的性质，(2)证明见解析(3) 【详解】（1）过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，，∴，（角平分线的性质） ∴，又∵，∴． （2）如图，过点D作于N，过点D作于M，过点A作于点P， 是的外角平分线，即平分，， ，又，． （3）在上取点G，使得，连接， 、分别是、的角平分线且相交于点，， ，，， 在和中，，， ，， ，平分，， 在和中，，，， ，由（1）可得，在中，为的角平分线，， 设，则，，， 【变式1】（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，的三边、、长分别是、、，其三条角平分线交于点，并将分为三个三角形，则的比值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：过点作，，，垂足分别为，，， 的三条角平分线交于点O，，，，， ．故选：A． 【变式2】（24-25八年级上·广东珠海·期末）某数学兴趣小组进行如下探究：如图1，在中，是它的中线，则中线平分三角形的面积，即．继续探究，如图2，在中，是它的角平分线，此时角平分线不一定平分三角形的面积，但发现和的面积比等于图中两组不同的线段比，即①________，②________． (1)【证明结论】①根据“发现”，完成填空：________=________； ②请选择“发现”中的一组线段比进行证明． (2)【应用结论】如图3，在中，是它的角平分线，，是的中点，连接．①求证：垂直平分；②在图中画出边上的高（只需体现的位置），并求． 【答案】(1)①，；②见解析(2)①证明见解析；②图见解析，1 【详解】（1）解：①根据“发现”，完成填空：， ②选择：在中，是它的角平分线，点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为h，则； 选择：点D在上，点D到和的距离相等， 即中边上的高，和中边上的高相等，设为，则； （2）解：①证明：，，由（1）得，， 是的中点，，，又是的角平分线，垂直平分； ②如图，即为所求； 延长交的延长线于点G，设，， 由①得，， 是的角平分线，，，， 在和中，，， ，，， 由①得，，，， ，，． 【变式3】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，是一条角平分线． 【探究发现】如图1，若是的角平分线．可得到结论：． 小艳的解法如下：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，，∴______ ∴______又∵，∴______ 【类比探究】如图2，若是的外角平分线，与的延长线交于点．求证：． 【拓展应用】如图3，在中，，、分别是、的角平分线且相交于点，若，直接写出的值是______    【答案】探究发现：，，；类比探究：见解析；拓展应用： 【详解】探究发现：解：过点作于点，于点，过点作于点， ∵是的角平分线，且，， ∴，∴，又∵，∴； 故答案为：，，； 类比探究： 证明：过点D作交延长线于N，过点D作延长线于M，过点C作于点P．       ∵平分，∴． ∴，，∴； 拓展应用：在上取点G，使得，连接， ∵，∴，∵分别是的角平分线， ∴，，， ∴，∴，∵，∴， ∴，∴∴是的角平分线 由（1）知，，设，，则，， 由（1）知，即． 题型06 多定理叠加运用（垂直平分线+角平分线） 【典例1】（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于.(1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想；(3)若，，则________. 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)2 【详解】（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴， ∵，，且平分，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：，证明如下：在和中， ，∴，∴，由（1）知， ∴．即； （3）解：由（2）知，∵，，∴， ∴，∴，故答案为：2． 【变式1】（24-25八年级下·江西抚州·阶段练习）如图，已知是线段的垂直平分线，直线经过点，过点作，垂足是，点是线段上一点，连接，，平分，则线段之间的等量关系是 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于，连接， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， ∵是的一个外角，∴，∴， 即，∴， ∵是的垂直平分线，∴，∴，∴， 又∵，，∵， 在和中,，，∴， ∴，∴，故答案为：． 【变式2】（24-25八年级上·山东济宁·期中）如图， 中，的角平分线和边的垂直平分线交于点，的延长线于点 ， 于点． 若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接 ∵是的平分线 ，∴，∵，，∴， 在和中 ，，∴，∴，， ∵是的垂直平分线，∴， 在和中 ，，∴，∴， ∵，，∴，∴，故选：． 【变式3】（24-25八年级上·江苏·期末）如图，已知中边上的垂直平分线与的平分线交于点E，交的延长线于点F，交于点G．(1)求证：．(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：连接和，∵是的垂直平分线，∴， ∵平分，，，∴，， 在和中，， ∴，∴； （2）证明：∵平分，，，∴，， 在和中， ，∴，∴， ∵，∴，即． 题型07 线段垂直平分线与角平分线的实际应用 【典例1】（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）如图，某小区的三栋单元楼分别位于的三个顶点处，要在内建一个快递站，并使快递站到每一栋单元楼的距离相等，则快递站应建在的（   ） A．三条角平分线的交点 B．三边垂直平分线的交点 C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点 【答案】B 【详解】解：∵快递站到每一栋单元楼的距离相等，∴快递站应建在的三边的垂直平分线的交点处． 故选B． 【变式1】（24-25·黑龙江佳木斯·八年级期末）如图，是三条直线表示三条相互交叉的公路，现要建一个中转站，要求它到三条公路交叉点的距离都相等，则可供选择的地址有（    ）． A．一处 B．两处 C．三处 D．四处 【答案】A 【详解】解：如图所示，分别作，，的垂直平分线，则三条垂直平分线的交点P即为可供选择的地址，有1处．故选：A． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，直线 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【详解】解：如图所示，根据角平分线的性质定理“角平分线上点到角两边的距离相等”得到点到三条公里的距离相等，∴可供选择的地址有4个，故选：D ． 【变式3】（24-25八年级上·江苏无锡·期中）某镇准备在两两相交的三条公路围成的三角形空地上建一个物流园，使其到三条公路的距离相等，请问物流园所建位置应是（   ） A．三角形三条角平分线的交点 B．三角形三边垂直平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．三角形三条高的交点 【答案】A 【详解】解：∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴物流园需建在三条公路所围成三角形的角平分线的交点上．故选A． 题型08 线段垂直平分线与角平分线的尺规作图 【典例1】（24-25上海七年级下期末）如图，A、B两镇位于国道l的同侧，两镇距离国道分别有数公里．随着经济发展，过往车辆增多，政府规划在国道l上新建一座多功能加油站，既为车辆提供便利，又促进两镇资源互通．如果你是工程师，请解决以下规划问题： (1)公平选址：确定加油站位置P，使得加油站到A、B两镇的距离相等； (2)路径优化：从A镇前往B镇，需途径加油站加油．确定加油站位置Q，使得总路程最短：请分别作出上述两种情况下的加油站P、Q的位置．（要求：尺规作图，保留作图痕迹并写出结论，不用证明） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）如图所示，点P即为所求； （2）解；如图所示，点Q即为所求； 【变式1】（2025·北京海淀·三模）如图，已知，以下是小聪通过尺规作图解决问题的部分过程： ①以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F；②以点E为圆心，长为半径画弧，两弧交于点M；③作射线，与延长线父于点P，点D为延长线上一点． 根据以上作法，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，过点作于点，于点， 由作图得，，又，∴，∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵，∴， ∴，故选项B正确，不符合题意；无法判断，故选项C符合题意； ∵，，，∴，又， ∴，故选项D正确，不符合题意；故选：C． 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）尺规作图：求作点P，使点P到点M，N的距离相等，同时到的两边的距离也相等． 【答案】见解析 【详解】解：如图：点P即为所求． 【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，两条笔直的小路与相交于点，点、处分别为枫叶林景区和花卉景区，现打算在内部修建一处观景台，使得观景台到的距离与观景台到的距离相等．且，请你找出观景台的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，作的平分线，与的垂直平分线交于点，点即为所求．∵观景台到的距离与观景台到的距离相等，∴点在的角平分线上， ∵，∴点在线段的垂直平分线上， ∴的角平分线于线段的垂直平分线上的交点即为点． 【变式4】（23-24八年级下·陕西·期末）尺规作图：如图，中，为上一点，连接 ，请在内部找一点 ． 使点到边的距离相等，且满足（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解：点到边的距离相等， P点在的角平分线上； ，，点P在的垂直平分线上； 点P为的角平分线与的垂直平分线的交点，如图所示，点P为所求． 题型09 角平分线的性质与判定综合运用 【典例1】（24-25八年级上·江苏·期中）如图，在中，和的平分线，相交于点，交于，交于，过点作于，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：和的平分线相交于点，，， ，①错误； ，，，分别是与的平分线， ，，，， 如图，在上取一点，使，是的角平分线，， 在和中，，， ，，， 在和中，，， ，，故②正确；作于，于， 和的平分线相交于点， 点在的平分线上，，， ，故③正确．故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·山东临沂·期末）如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④；其中正确结论的序号有（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【详解】解：∵平分，，，∴， 在和中，，∴，故①正确；∴， 在和中，，∴， ∴，∴，故②正确； ∵，∴，设交于， ∵，∴，故③正确； ∵，，∴， ∵，∴， ∵，∴，∴， 又∵，∴， ∴，即， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴，∵和不一定相等， ∴和不一定相等，∴和不一定相等，故④错误； 综上，正确结论的序号有①②③，故选：． 【变式2】（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：设，， 平分交于点，平分交于点，， ，，，； 在中，，故①说法正确，符合题意； 是的角平分线，不是三角形的中线，与不一定相等，故与不一定相等， 故②说法错误，不符合题意；若，则， ∵平分，∴，∴，， ，故③说法正确，符合题意；如图1所示，在边上取，连接， 平分，，，，， ∵，，， 又平分，∴，， ，，，故④说法正确，符合题意； 过作于，于，∵，∴， ∵，，， 故⑤说法正确，符合题意；综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．故选：C． 【变式3】（24-25八年级上·广东广州·期末）如图，在中，，，，，角平分线、交于点，于点，．下列结论：①点在的平分线上；②；③；④，其中正确的结论是 （填序号） 【答案】①②④ 【详解】解：过点O作于点G，于点N，如图所示： ∵是的角平分线，，，∴， 同理得：，∴，∴点在的平分线上，故①正确； 在中，，，分别是的角平分线， ，， ，则，结论②正确； 如图，在上取一点，使得，连接，连接， 在和中，，， ，， 由对顶角相等得：，， 在和中，，，，， ，， 在和中，，，， 在和中，，，， ∴，故③错误；由以上证明可知：， ∴，故④正确；综上，正确的结论是①②④，故答案为：①②④． 【变式4】（24-25八年级上·四川南充·期末）如图，在中，，角平分线、交于点O，于点F．下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论有 ． 【答案】①③ 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，∴， ∵，，∴，结论①正确； ∵，，∴，∴， ∵是的角平分线，∴，∴， ∵，∴，结论②错误； 如图，过点作于点，作于点， ∵是的角平分线，是的角平分线，， ∴，，， ∵，∴， ∴，∴， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴，结论③正确； 如图，在取一点，使得，连接， ∵是的角平分线，是的角平分线，∴，， 在和中，，∴，∴，， 由上已证：，∴，∴，即， 在和中，，∴，∴， 设，∵，∴，∴， ∴， 又∵，∴，∴， ∴， ∴，结论④错误；综上，正确结论有①③，故答案为：①③． 题型10 线段垂直平分线的判定与性质的综合运用 【典例1】（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在中，是边上的高，是的角平分线，垂直平分，垂足为点H，分别交于点，交的延长线于点M，连结；下列结论：①；②；③；④． 其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：，，，， ，，所以①正确； 是的角平分线，， ，而， ，所以②正确； 垂直平分，，， ，，，所以③正确； ，，所以④正确． 故选：D． 【变式1】（24-25八年级上·福建龙岩·期末）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【详解】①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C）， ∴直线垂直平分，故①正确； ②由①得，直线垂直平分，∴，， ∴，，∴ ∵是的一个外角，是的一个外角， ∴， ∴，∴， ∴，∴，∴ 又∵，∴ 即， 又∵(已证)，∴，故②正确； ③∵，∴，∴ 又∵，∴与不一定相等， ∴与不一定相等，∴与不一定相等，故③错误； ④∵是的中点，∴，∵，∴，∴，， 又，∴，∴， ∴，故④正确；综上所述，一定正确的有①②④，故选：C． 【变式2】（24-24八年级上·山西临汾·阶段练习）情景一：小明在数学兴趣小组探究活动课上发现：对于一个△ABC，分别作边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图1所示，此时经过测量后，得到∠MAN＝30°，根据上述条件，能不能得到∠BAC的度数呢？小明结合所学过的知识进行了以下论证． 证明：∵DM是边AB的垂直平分线， ∴MA＝MB，∴∠MAB＝∠B．同理可得∠NAC＝∠C， 则 解得∠BAC＝105°． 情景二：小明继续对上述问题进行探究发现：若边AB，AC的垂直平分线DM，EN相交于点O，如图2所示，试判断∠MAN与∠BAC之间的数量关系． (1)情景一中得到∠MAB＝∠B的理由是______． (2)在图1的情况下，若∠MAN的度数为α，则∠BAC的大小为______（用含α的代数式表示）． (3)请写出情景二中∠MAN与∠BAC之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)；理由见解析 【详解】（1）解：是的垂直平分线，， ，(SAS)，，故答案为：； （2）由(1)知，，同理可得，， ，， ，故答案为：； （3）∠MAN+2∠BAC=180°； 理由：是的垂直平分线，， ，，同理可得，， ，， ，， ，，． 【变式3】（24-25·吉林长春·八年级期末）如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O． (1)如图1，当时，直接写出的度数_________； (2)如图1，当，且． ①若，则________°；②当_________°时，； (3)如图2，连接，，．若的周长为，的周长为．则线段________；线段__________．(4)如图3，若，则__________°． 【答案】(1)(2)①60；②135(3)9；6(4)36 【详解】（1）解：∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴，， ∴；故答案为：． （2）解：①∵，∴， ∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴，，∴， ∴；故答案为：60； ②∵，∴，根据解析①可知，， ∵，∴， ∴，即当时，；故答案为：135． （3）解：根据解析（2）可知，，， ∵的周长为，∴，∴，即， ∵垂直平分，垂直平分，∴，，∴， ∵的周长为，∴，∴， 解得：．故答案为：9；6． （4）解：∵，∴， ∵垂直平分，垂直平分，∴，， ∴，，∴， ∴， ∵，∴．故答案为：36。 1．（2025·山东威海·中考真题）我们把两组邻边分别相等的四边形称之为“筝形”．在四边形中，对角线交于点O．下列条件中，不能判断四边形是筝形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：A、∵，，∴垂直平分， ∴，∴四边形是筝形； B、∵，，，∴，∴，∴四边形是筝形； C、∵，，， ∴，∴，，∴四边形是筝形； D、由，不能判断，，故不能判断四边形是筝形；选：D. 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线交于点D，连接，若，，则的周长为（   ） A．17 B．16 C．18 D．20 【答案】D 【详解】解：由作图痕迹可得，垂直且平分，， ，故选：D． 3.（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，点P是内的一点，若，则（　　）    A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上 C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上 【答案】C 【详解】解：∵，∴P在线段的垂直平分线上．故选C． 4．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，在中，，根据尺规作图痕迹，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据基本作图，得平分，故，故C选项正确，不符合题意； 根据基本作图，得，故，故A选项正确，不符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意； 无法证明，故无法证明，故B选项错误，符合题意；故选：B． 5．（24-25八年级上·广东东莞·期中）小明将两把完全相同的长方形直尺如图放置在上，两把直尺的接触点为P，边与其中一把直尺边缘的交点为C，点在这把直尺上的刻度读数分别是2和5，则的长度是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】过点作，垂足为，，垂足为， 是两把完全相同的长方形直尺，，，， ，，，， 点在这把直尺上的刻度读数分别是，，故选：A．    6．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在中，，平分，于点．若，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过作于，平分，于点．， 又，，的面积为：故选：D． 7．（2025·天津南开·三模）如图1，在中，，．按照如下尺规作图的步骤进行操作（如图2所示）： ①以点为圆心，以为半径画弧，与相交于点； ②分别以，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点； ③连接，与相交于点．则下列结论一定正确的是（    ） A．垂直平分 B． C．平分 D． 【答案】B 【详解】解：由作图知，是线段的垂直平分线，则有，即选项B正确，其它选项错误． 故选：B． 8．（24-25八年级上·重庆云阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法正确的个数为（   ） ①；②；③若，则；④；⑤ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：设，， 平分交于点，平分交于点，， ，，，； 在中，，故①说法正确，符合题意； 是的角平分线，不是三角形的中线， 与不一定相等，故与不一定相等，故②说法错误，不符合题意； 若，则，∵平分，∴， ∴，，，故③说法正确，符合题意； 如图1所示，在边上取，连接， 平分，，，，， ∵，，， 又平分，∴，， ，，，故④说法正确，符合题意； 过作于，于，∵，∴， ∵，，， 故⑤说法正确，符合题意；综上，说法正确的有①③④⑤，共4个．故选：C． 9．（24-25八年级上·北京·期中）如图，在四边形中，，点分别为边上的点，且，则下列结论：①点在的平分线上；②点在的平分线上；③；④的周长为的2倍．其中正确的是（   ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵，∴，，∵， 又∵点在的内部，∴点在的平分线上，则结论①正确；如图，连接， 在和中，，∴， ∴，∴点在的平分线上，结论②正确； 如图，延长至点，使得，连接，则， 在和中，，∴，∴，， ∵点在的平分线上，，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴， 在和中，，∴， ∴，则结论③错误； 由上已证：，∴， ∴的周长为 ，则结论④正确；综上，结论正确的是①②④，故选：B． 9．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在 ． 【答案】三条角平分线的交点处 【详解】解：∵要使凉亭到草坪三条边的距离相等， ∴凉亭的位置应选在三条角平分线的交点处．故答案为：三条角平分线的交点处． 10．（2025·云南临沧·三模）如图，在中，为边上一点，，为线段的垂直平分线，若的周长为，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵为线段的垂直平分线，∴， ∵，，的周长为，∴ ∴，故答案为：． 11.（24-25八年级下·辽宁锦州·期中）如图，在中，边的垂直平分线与的外角平分线交于点P，过点P作于点D，于点E．若，．则的长度是 ． 【答案】2 【详解】解：连接，∵平分，，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵是的垂直平分线，∴， 在和中，，∴，∴， 又∵，，∴， 整理得：，∴，故答案为：2． 12.（24-25·浙江八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__． 【答案】11． 【详解】解∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11，故答案为：11． 13．（24-25八年级上·辽宁铁岭·期中）如图，的三边的长分别是30，40，50，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于 ． 【答案】 【详解】解：过点作于点，作于点，作于点． ，，是的三条角平分线，，于，， 的三边、、长分别为30、40、50， ．答案：． 14．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，中，，角平分线、相交于，，，，则 （用含、的式子表示） 【答案】 【详解】解：在线段上截取，，连接，，过M作于H，于J，如图； 平分，， ，，，，， 平分，， ，，，， ，，， ，，又， ，，，则， ∴．故答案为：． 15．（24-25八年级下·陕西延安·期中）如图，是内部的一条射线，点在上，连接、，，过点作，，，分别是垂足，且，求证：平分． 【答案】见解析 【详解】证明：，，， 为的角平分线，，， 在和中，， ，平分． 16．（2025·陕西咸阳·三模）如图，在中，是的角平分线．请利用尺规作图法求作一点，使得点到的三个顶点的距离均相等．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【详解】解： 如图，点即为所求． 17．（23-24八年级上·广东惠州·期中）如图，为的角平分线，于点E，于点F，连接交于点G．(1)求证：垂直平分．(2)若，，，求的长．    【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵AD是的角平分线，，∴ 在与中，∴（HL）∴， ∵，∴AD垂直平分EF； （2）解：∵，∴ ∵，，∴ 18．（24-25七年级下·浙江·课后作业）在中，小明利用尺规作了如图①所示的痕迹，已知． (1)观察图①中的尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的______，射线是的______； (2)在图②中，若，求的面积；(3)若P是直线上的一个动点，求最小值． 【答案】(1)垂直平分线，平分线；(2)2；(3)6． 【详解】（1）解：根据基本作图，可知，直线是线段的垂直平分线，射线是的角的平分线， 故答案为：垂直平分线，平分线； （2）解：过点E作于点M，如图． 因为射线是的平分线，，所以， 所以． （3）解：如图，连接， 因为直线是线段的垂直平分线，所以，，所以， 所以当点P与点D重合时，取得最小值，且最小值为． 19．（24-25八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在中，为的中点，交的平分线于，于，交延长线于. (1)求证：.(2)猜想、、的数量有什么关系？并证明你的猜想； (3)若，，则________. 【答案】(1)见解析(2)，见解析(3)2 【详解】（1）证明：如图，连接、，∵，D为中点，∴， ∵，，且平分，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：，证明如下： 在和中，，∴， ∴，由（1）知，∴．即； （3）解：由（2）知，∵，，∴， ∴，∴，故答案为：2． 20．（24-25八年级上·江西赣州·期末）综合与实践 【问题提出】如图，在中，是它的角平分线．对于这一图形，某数学兴趣小组进行了如下探究：分别过点作于，于，运用角平分线的性质可证 得．完成这一证明后，提出一个新的问题：与有什么数量关系呢？ 【特例感知】（）如图，若时，______（填“”“”或“”）； 【深入探究】（）如图，当时，（）中的结论还成立吗，写出你的猜想并给予证明； 【结论应用】（）如图，是上的点，连接，若，，，求证：是等腰三角形；（）如图，是的角平分线，且与相交于，若，，直接写出的值是______． 【答案】（）；（）成立，证明见解析；（）证明见解析；（）． 【详解】（）如图，∵，平分， ∴平分，即，∴，故答案为：； （）成立．证明：设边上的高为，则， 又∵，∴； （）∵，，∴，∴，∴，∴， ∵平分，∴，又∵， ∴，∴，∴，∴是等腰三角形； （）在上取， ∵，∴ ∵平分，∴，， ∴， ∴，∴，∴， ∵平分，∴，又∵，，∴， ∴，∴，∴， ∴是的角平分线，∴，又∵是的角平分线，∴，∴， ∴，∴，∴，故答案为：． 21．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且．(1)的度数是 ；(2)求证：平分；(3)若，且，求的面积． 【答案】(1)(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：，， ，，． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，       平分，，， 由（1）可知，，即平分，，， 又点在的内部，平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：，设， ，，，即， 又，，， ，的面积为． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$