专题1.5 等腰三角形（高效培优讲义）数学苏科版2024八年级上册

专题1.5 等腰三角形 教学目标 1.理解掌握等腰三角形的性质定理（等边对等角和三线合一）和判定定理（等角对等边），进行相关的推理、判断、计算和作图； 2.理解掌握等边三角形的性质定理和判定定理，能进行相关的计算与证明； 3.熟练掌握并能运用“30°所对的直角边等于斜边的一半”和“斜边中线等于斜边的一半”进行相关运算及证明； 4.通过观察、操作、推理等活动，培养学生的转化思想和分类讨论思想。 教学重难点 1.重点 （1）等腰三角形重要性质：三线合一、等边对等角、等角对等边； （2）直角三角形重要性质：30°所对的直角边等于斜边的一半、斜边中线等于斜边的一半。 2.难点 （1）解题时需警惕无图多解问题，优先验证几何关系合法性（如三边关系、角度范围）； （2）“三线合一”的辅助线构造：等腰三角形中尝试连接顶点与中点（或作高线），激活“三线合一”性质。 知识点01 等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边 相等 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做 腰 ，相等的两个角叫做 底角 。 2.等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对 等角 ”。 3.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的底边上 高线 和 中线 、顶角 平分线 互相重合。简称“ 三线合一 ”。 4.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对 等边 ”。 5.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（   ）（多选题） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等 【答案】A 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意； B、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合，原说法错误，不符合题意； C、等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，不符合题意； D、全等三角形的对应角平分线相等，说法正确，符合题意；故选：AD． 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∵，∴；故选C． 3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵在等腰中，，∴．故选D． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的中线，下列说法错误的是（    ） A．和全等 B．若平分，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若点到和的距离相等，则 【答案】A 【详解】解：是的中线，，此时，但不一定等于， 无法证明和全等，选项说法错误，符合题意，选项正确； 平分，，延长至点，使，连接， 在和中，，， ，，，， ，即是等腰三角形，选项说法正确，不符合题意，选项错误； ，， 在和中，，， ，即是等腰三角形，选项说法正确，不符合题意，选项错误； 若点到和的距离相等，点在的角平分线上，平分， 则根据选项可得是等腰三角形，结合三线合一定理即可证， 选项说法正确，不符合题意，选项错误．故选：． 5．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：作于点，，， ∵∴∴ ∴即． 知识点02 等边三角形 1.等边三角形：三边都相等的三角形叫做 等边三角形 ，也称为正三角形。 2.等边三角形的性质定理：等边三角形的各个内角都等于 60° 。 注意：等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。 3.等边三角形的判定定理： （1）三个角 相等 的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的 等腰三角形 是等边三角形。 4.直角三角形的重要性质： （1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 一半 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 。 1．（2025·浙江温州·三模）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 又∵，∴，∴， ∴，故选：B． 2．（24-25八年级下·山东·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵为等边三角形，∴，， 在和中，，∴，∴， ∴，∴的度数是． 3．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形；③腰上的高也是中线的等腰三角形； ④三个外角都相等的三角形；⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：一个三角形有两个角是，根据三角形内角和定理可知，另一个角也为，即有两个角是的三角形是等边三角形，故正确；一个等腰三角形有两个底角相等，则底角的外角相等，不能判定该三角形为等边三角形，即有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，故错误； 有一腰上的中线也是这个腰上的高的等腰三角形，则说明该等腰三角形的腰与底一样长，即该三角形为等边三角形，故正确；一个三角形的三个外角都相等，则这个三角形的三个内角都相等，即三个外角都相等的三角形是等边三角形，故正确； 有一个角是的等腰三角形，根据三角形内角和定理即可得到该三角形的三个角均为，即该三角形为等边三角形，故正确．综上，正确的有，共个．故选：C． 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是的中点，∴， ∵，，∴和都是直角三角形， 在和中，，∴， ∴，∴，∴是等腰三角形， ∵，∴，∵，∴，∴是等边三角形． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：；(2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)等边三角形，理由见解析 【详解】（1）证明：，且，， 在和中，，，， ，∴垂直平分线段，； （2）解：是等边三角形，理由如下：，点为中点，， ，是等边三角形． 题型01 等腰三角形及相关概念 【典例1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ； 【答案】 或 【详解】解：∵等腰三角形的一个内角的度数为， 当等腰三角形的底角为时，则顶角为； 当等腰三角形的顶角为时，则顶角为；∴它的顶角度数为：或； 等腰三角形的两边长为和，当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，不能构成三角形，故舍去； 当腰长为，则等腰三角形三边长为， ∵，能构成三角形，∴该等腰三角形的周长为； 故答案为：或；； 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当为顶角时：和相等，由内角和定理得：； 当为底角时：另一底角也为， 当为顶角：；当也为底角：； 综上，的度数不可能是，故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】B 【详解】解：等腰三角形两边长分别为和，可能有两种情况： 情况一：腰长为，底边为．则三边为、、． 此时，不满足三角形两边之和大于第三边的条件，故该情况不成立． 情况二：腰长为，底边为．则三边为、、． 此时，，均满足三角形三边关系，故该情况成立．则周长为．故选：B 【变式3】（2025·湖北荆州·三模）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：等腰三角形的顶角为，这个等腰三角形的底角为：，故选：B． 题型02 等腰三角形的性质1的相关计算与证明（等边对等角） 【典例1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【答案】或 【详解】解： ，，， 由折叠的性质可知，，，， ①如图，当时，则， ，； ②如图，当时，则， ，； ③当时，则，点不与点和点重合，此种情况不存在， 综上可知，的度数为或，故答案为：或． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点M为上一点，，，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，， ∵，∴，故答案为：． 【变式2】（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：．(2)求证：． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析 【详解】（1）证明：，． ． 在与中，． （2）解：，．，． ，． 【变式3】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，．(1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，，，． 又是上一点，． 在与中，； （2）证明：，． 又中，，，； 题型03 等腰三角形的性质2的相关计算与证明（“三线合一”） 【典例1】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【答案】110 【详解】解：在中，，D为的中点，，即， ，，， ；故答案为：． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上结论都不对 【答案】B 【详解】解：过点作于，∵，∴， ∵，，∴，∴，∴，故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在中，，，，，， 故选项A.B.C正确，不符合题意；不能证明，故选项D不正确，符合题意；故：D． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】于点，，，， 是的中线，是的角平分线，．故答案为：． 【变式4】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，．若，则下列结论错误的是_____． ①，②，③，④ 【答案】(1)见解析 (2)③ 【详解】（1）证明：∵平分，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴； （2）解：∵，，，∴平分，∴， ∵，∴是底边上的中线，底边上的高线，∴，， 无法证明，故①②④正确，③错误．故答案为：③． 题型04 等腰三角形判定的运用（等角对等边） 【典例1】（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵，∴， ∵，∴，∴，∴为等腰三角形， ∵，∴，∴， ∴是等腰三角形；故答案为：； （2）解：过点作于点，如图 ，． ，． ．，∴是等腰三角形 ； 【变式1】（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【答案】A 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∴的周长是，故选：A ． 【变式2】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【答案】 【详解】解：∵平分，∴， 又∵，∴，∴，∴，    同理， ∵，则的周长．故答案为：． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：，，．求度数． 【答案】 【详解】解：延长到点E，使得， 在和中，，，， ，，，即点C为的中点， ，，是等腰三角形， 是底边上的中线，，． 【变式4】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：是等腰三角形的底边上的高，． ，，，，是等腰三角形； （2）解：是等腰三角形，，，． ，，． 由（1）知，．． 题型05 等腰（等边）三角形与尺规作图 【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．(1)填空：由作图可知，射线是的______；(2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 【答案】(1)角平分线(2)，理由见解析 【详解】（1）解：由作图可知，射线是的角平分线；故答案为：角平分线； （2），理由如下：由作图可知：，∴， ∵是的角平分线，∴，∴，∴． 【变式1】（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：第一个图：根据一个角等于已知角的作法可知，是等腰三角形； 第二个图：根据垂直平分线的作法可知，是等腰三角形； 第三个图：根据过直线外一点作平行线的作法可知，根据角平分线的作法可知，则，是等腰三角形； 第四个图：不能判断是等腰三角形；故选：C． 【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图） 【答案】见解析 【详解】解：如图，即为所求作的等腰三角形． 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，木工师傅在板材边角处作业时，使用“三弧法”截下了一块板材，其操作如下：①在板材边沿作线段，分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点；②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；③连接，． (1)在木工师傅操作过程中，得到的形状是 三角形； (2)试猜测木工师傅截下的板材中的度数，并说明理由； (3)过点作，交于点．求证：垂直平分线段． 【答案】(1)等边(2)，理由见解析(3)证明见解析 【详解】（1）解：由作法得：，∴是等边三角形，故答案为：等边； （2）．理由如下：由（1）知：是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， （3）证明：∵，∴，即， ∵，∴线段为边上的中线，∴垂直平分线段． 【变式4】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形； (2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：连接，如图 ，，．由作图得：， ，， ，，和均为等腰三角形； （2）如图2，点D即为所求． 题型06 等边三角形的性质定理的运用 【典例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：如图所示，连接． 是等边三角形，，，， ，，，， ，， 又，． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵是等边三角形，且是边上的中线，∴． ∵，∴，∴．故选：D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，过点P作交于点F， 是等边三角形，，， ，，是等边三角形， ，，，， 在和中， )， ，设，则有， ，，，，， ，，解得：，即，故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 【答案】见解析 【详解】证明：为等边三角形，是中线，， 又，，，∵，， ，为等边三角形，， ∴，，，． 【变式4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上．(1)求证：；(2)求证：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：∵是等边三角形，∴， ∴∴∴； （2）∵是直角三角形，为直角边，∴ ∵是等边三角形，则，∴， 由（1）可得∴ ∵是等边三角形，∴∴ ∴∴∴垂直平分∴． 题型07 等边三角形的判定定理的运用 【典例1】（24-25八年级上·山东·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上．(1)求证：是等边三角形．(2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：∵点在的垂直平分线上，， ，， 于点，∴，， ，是等边三角形； （2）解：，，，，， ∵，，． 【变式1】26．（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【答案】C 【详解】解：三角形是轴对称图形，这个三角形一定是等腰三角形， 又这个三角形有一个内角为，这个三角形一定是等边三角形．故选：C． 【变式2】28．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； B、得到，那么只能得到是等腰三角形，故不能判断为等边三角形，符合题意； C、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意； D、，则三边相等，故可以判断为等边三角形，不符合题意；故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰成为等边三角形． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：∵为等腰三角形，， ∴为等边三角形；故答案为：（答案不唯一） 【变式4】61．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵是等边三角形，∴，， ∵，，∴，，∴， ∵，∴是等边三角形． 题型08 直角三角形斜边中线的性质的运用 【典例1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（    ） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【答案】B 【详解】解：∵是边长为3的等边三角形， ∴，， 又∵， ∴， ∴，∴， ∴，故选：B． 【变式1】7．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，点是斜边的中点，∴，故选：B ． 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（   ） A．5 B．100 C．25 D．15 【答案】C 【详解】解：在中，是斜边的中点，， ∴，∴，故正方形的面积为25，故选：C． 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：，，， 为的中点，，，． 【变式4】（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ． 【答案】6 【详解】解：如图连接．在中，∵，，∴， 根据旋转不变性可知，，， ∵P是的中点，∴，∵M是的中点，∴ 又∵，即，∴的最大值为6（此时P、C、M共线）．故答案为：6． 题型09 30°所对直角边等于斜边的一半的运用 【典例1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：连接，∵将沿直线翻折，使点落在边上的点处， ∴，∴， ∴当点三点共线时，取得最小值为， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∵，， ∴，∴，故答案为：9． 【变式1】（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】解：在等边中，，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）小辉为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，已知，，点D在上，且，，则的长为（   ）    A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm 【答案】B 【详解】解：∵，∴． ∵是的外角，∴． 在中，，∴，∴．故选：B． 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【答案】 【详解】解：如图，作边的高，设与的延长线交于点， ，，，，， ，， 每平方米售价元，购买这种草皮的价格：元．故答案为：． 【变式4】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于，连接，交于点．      (1)求证：；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∵平分，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解∶∵平分，，∴， ∵，∴，， ∵，，∴是等边三角形，∴， ∴，∴，∴． 题型10 等腰三角形的性质与判定综合运用 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：；(3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)证明见解析(4)或或 【详解】（1）解：．∵点D是的中点，∴.根据折叠的性质得， ∴，∴是等腰三角形．故答案为：； （2）证明：根据折叠的性质得，∵，∴． ∵，∴，∴； （3）证明：∵，∴． ∵，∴，即， ∴．根据折叠的性质得，∴，∴； （4）解：由，根据等腰三角形的对称性可知是的高线，∴．∵，∴． ∵，∴． 当时，，∴，解得； 当时，，∴，∴； 当时，，∴． 所以的度数为或或．故答案为：或或． 【变式1】（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)1或 【详解】（1）证明：∵，∴， ∵，∴，∵点O为中点，∴， 在和中，，∴，∴； （2）解：如图2，连接，过点O作于点G，于点H， 则，∵，点O为中点， ∴，平分， ∴，∴， ∵，∴，分两种情况： ①点F在线段上时，在和中，， ∴，∴，∴； ②点F在线段上时，同理可证：， ∴，∴；综上所述，的长为1或3． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）．（2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】（3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【答案】（1）是；（2）证明见解析；（3）或． 【详解】解：∵，∴， ∴， ∴，，∴和是均等三角形. （2）在中，，则， ∵为角平分线，∴，∴， ∴，，，∴与为均等三角形， ∵，∴，∴为等腰三角形，∴为的“均等分割线”． （3）①∵是等腰三角形，， 当时，，∵是的均等分割线， ∴，此时，，满足条件； ②当时，，∴， ∵是的等角分割线，∴，则， ③当时，，则 那么（舍去），故的度数为或． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．(1)求证：加固后的是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 【答案】(1)见解析(2)原始支撑段的长度是8米 【详解】（1）证明：，， 又平分，， 又在和中， ，，为等腰三角形； （2）解：连接，    ，平分，垂直平分，，， ，，又，， 又中，，， ，．． 题型11 等边三角形的性质与判定综合运用 【典例1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知为等边三角形． (1)如图1，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：；(3)如图3，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3) 【详解】（1）解：证明：∵为等边三角形，∴， ∴，∴，∴； （2）证明：∵为等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵为的中点，∴平分，∴，∴， 在上取一点，使，连接，则是等边三角形， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴； （3）解：把绕点逆时针旋转得到，则， ∵，∴， ∴，∴三点共线， 又∵由旋转可得，，∴为等边三角形， ∴，∴点的轨迹是射线， 作点关于直线的对称点，连接，则，∴， ∵，∴，∴的最小值为． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵∴，故①正确，∴， ∴，∴，故②正确， ∵，∴点D、E为的中点， ∵是等边三角形，∴是的垂直平分线，∴，故③正确， 过点A作于G，∵，∴， 在和中，，∴，∴ ∵，∴是和边上的高，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，故④错误，综上所述：正确的结论有①②③，共3个，故选：C． 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵和都是等边三角形，∴， ∴，∴， ∴，∴，①正确；， ∵，∴∴， ∵，∴，∴，②正确； ，③正确：∴是等边三角形，④正确．故选：D． 【变式3】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，点D，E分别在，上，连接，相交于点F，且． (1)求证：；(2)如备用图1，点G在射线上，连接，，且． ①求证：平分；②如备用图2，连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析(2)①见解析；② 【详解】（1）证明：如图1中，是等边三角形，，， ，， ，，； （2）①证明：如图2中，过点B作于点M，交的延长线于点N． ，，，， ，，，， ，，，，平分； ②解：如图3中，，平分，， ，是等边三角形，，， ，，，， ，，，， ，，，，． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 【答案】A 【详解】解：A、等腰三角形两腰上的高相等，是真命题，符合题意； B、三角形按边可分为不等边三角形，等腰三角形，故B是假命题，不符合题意； C、等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线重合，故C是假命题，不符合题意； D、有一个角等于的等腰三角形是等边三角形，故D是假命题，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(   ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 【答案】D 【详解】解：A：两内角是，第三角为，存在两个的角，故为等腰三角形，不符合题意； B：直角三角形中一个角为，则另一锐角为，两角相等，故为等腰直角三角形，不符合题意； C：外角对应内角为，与它不相邻的内角为，根据三角形外角的性质，另一不相邻内角为，此时三角形内角为，存在两角相等，故为等腰三角形，不符合题意； D：两内角为，第三角为，三角均不相等，无法构成等腰三角形，符合题意； 故选：D． 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 【答案】A 【详解】解：∵，∴， ∵恰好平分，∴，∴，∴， 米，米，米，∴米，故选：A． 4.（2025·安徽淮北·三模）如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，，， 是正五边形，，且， ，，， 在等腰中，，则， ，故选：B． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】解：∵在中，E是的中点， ，∴， ∴，∴，∴是等边三角形， ∵，∴，故选：B 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：如下图，过点D作，交于F，    是等边三角形，，， ，是等边三角形，， 点P为中点，， 在和中，，，，， ，，， 设，则，，解得：，，故选：B． 7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：如图，作交的延长线于． ，，∴是等腰直角三角形， ∵是高，是中线，∴平分，，，， ，， ，∴， ∵，， ，，，故②③正确， ，，，， ，，，， ，，， ，，，，故①④正确，故选：D． 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点A为外部一点，连接，点A、D、C在一条直线上，，若，则的长为 ． 【答案】3 【详解】解：∵，∴，∴； ∵，∴，∴， ∴，∴；故答案为：3． 9．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ． 【答案】8 【详解】解：由题意可得， ，点为的中点，，故答案为：8． 10.（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度． 【答案】 【详解】解：∵在等腰三角形中，点是边的中点，∴，则， ∵，∴故答案为：． 11．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，是的中线，∴， ∵，∴，∴，故答案为：． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过作于点， ，，设，则， ∵是等边三角形，，，， 即，，，故答案为：． 13．（上海市松江区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，等腰三角形的性质，分情况讨论：当为锐角三角形时，当钝角三角形时，结合等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：如图①，当为锐角三角形时，； 如图②，当钝角三角形时，， 所以． 综上，的度数为或． 故答案为：或． 14．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：①当或时， ∵，∴，即是等边三角形； ②当或或时， ∵，∴是等边三角形；故答案为：（答案不唯一） 15．（24-25七年级下·重庆·期中）在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：在中，点、点分别是、边上的中点，连接、，过点作于点，过点作于点，满足，求证：是等腰三角形． 证明：点、点分别是、边上的中点， ，， 又，，， 在和中，，，， 在和中，，，， ，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析(2)；；；； 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）证明：点、点分别是、边上的中点，，， 又，，， 在和中，，，， 在和中，，，， ，是等腰三角形． 故答案为：；；；；． 16．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点． (1)求证：；(2)求证：是等边三角形． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）证明：，垂足为D，，垂足为， 在和中，（）.； （2）证明：由（1）可知，， ，点是的中点，， ， 又，是等边三角形． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 【答案】证明见解析 【详解】小明的方法证明：∵，∴， ∵，∴，∴，∴，∴； 小华的方法证明：∵，∴， ∵，∴，即，∴，∴； 小聪的方法证明：如图，过点作于， ∵，，∴，，∴，即． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且． (1)若，求的度数；(2)若的周长为，，求的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵， ∴，∴，∴， ∵垂直平分，∴，∴， ∵，∴，∴的度数为； （2）解：∵，∴，∵，∴， ∵的周长为，， ∴，解得，，∴的长为． 19．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形；(2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析(2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【详解】（1）解：∵，∴，又∵，∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形，∴， ∵，，∴， ∴，∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴． ①当时，则，即，∴； ②当时，则，即，∴； ③当时，则，即，∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 20.（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 【答案】(1)，(2)见解析 【详解】（1）∵是等边三角形，， 在和中，，，， ，故答案为：，； （2）证明：由（1）可知，，， ，∴是等边三角形，， ∵是等边三角形，，， ，即，， ，， ，平分． 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 【答案】(1)①补全图形见解析，；②见解析 (2) 【详解】（1）①解：补全图形如图1所示， ∵，，∴是等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，故答案为：； ②证明：如图2，在上截取，连接， ∵，，，∴是等边三角形，， ∴，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴； （2）解：当点A在点E右边时，如图3，在上截取，连接， 由（1）知，，， ∵，∴； 当点A在点E左边时，如图4，在上截取，连接， 由（1）知，，，∵，∴． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.5 等腰三角形 教学目标 1.理解掌握等腰三角形的性质定理（等边对等角和三线合一）和判定定理（等角对等边），进行相关的推理、判断、计算和作图； 2.理解掌握等边三角形的性质定理和判定定理，能进行相关的计算与证明； 3.熟练掌握并能运用“30°所对的直角边等于斜边的一半”和“斜边中线等于斜边的一半”进行相关运算及证明； 4.通过观察、操作、推理等活动，培养学生的转化思想和分类讨论思想。 教学重难点 1.重点 （1）等腰三角形重要性质：三线合一、等边对等角、等角对等边； （2）直角三角形重要性质：30°所对的直角边等于斜边的一半、斜边中线等于斜边的一半。 2.难点 （1）解题时需警惕无图多解问题，优先验证几何关系合法性（如三边关系、角度范围）； （2）“三线合一”的辅助线构造：等腰三角形中尝试连接顶点与中点（或作高线），激活“三线合一”性质。 知识点01 等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边 的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做 ，相等的两个角叫做 。 2.等腰三角形的性质定理1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对 ”。 3.等腰三角形的性质定理2：等腰三角形的底边上 和 、顶角 互相重合。简称“ ”。 4.等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称“等角对 ”。 5.等腰三角形的性质的作用：证明两条线段或两个角相等的一个重要依据。 【即学即练】 1．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）下列叙述正确的语句是（   ）（多选题） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合 C．等腰三角形的对称轴是底边上的高线 D．全等三角形的对应角平分线相等 2．（24-25八年级下·山西运城·期中）在中，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州六盘水·二模）如图，在等腰中，的度数是（   ） A． B． C． D． 4．（2025·浙江杭州·一模）如图，是的中线，下列说法错误的是（    ） A．和全等 B．若平分，则是等腰三角形 C．若，则是等腰三角形 D．若点到和的距离相等，则 5．（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，在中，点在边上，．求证：． 知识点02 等边三角形 1.等边三角形：三边都相等的三角形叫做 ，也称为正三角形。 2.等边三角形的性质定理：等边三角形的各个内角都等于 。 注意：等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线（底边上的高线或中线）所在的直线就是它的对称轴。 3.等边三角形的判定定理： （1）三个角 的三角形是等边三角形；（2）有一个角是60°的 是等边三角形。 4.直角三角形的重要性质： （1）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边是斜边的 ； （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的 。 1．（2025·浙江温州·三模）如图，点，分别在等边三角形的边，上，，若，则为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东·期中）如图，是等边三角形，，、相交于点，于点，求的度数． 3．（24-25八年级上·河南安阳·期中）满足下列条件的三角形是等边三角形的个数是（   ） ①有两个角是的三角形；②有两个外角相等的等腰三角形；③腰上的高也是中线的等腰三角形； ④三个外角都相等的三角形；⑤有一个角为的等腰三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，为的中点，过点作于点，于点，已知，，求证：是等边三角形． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图，在中，，在上取一点，使得，过点作的垂线交于点，连接、，相交于点． (1)求证：；(2)若点为中点，试判断的形状，并说明理由． 题型01 等腰三角形及相关概念 【典例1】（24-25八年级下·河南平顶山·期中）一个等腰三角形的一个内角为，则它的顶角的度数为 ；等腰三角形的两边长为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长为 ； 【变式1】（24-25七年级下·上海嘉定·期末）如果是等腰三角形，，那么的度数不可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）等腰三角形的两边长分别为，则该三角形的周长为（    ） A． B． C．或 D．以上都不对 【变式3】（2025·湖北荆州·三模）已知等腰三角形的顶角为，则这个等腰三角形的底角为（   ） A． B． C． D． 题型02 等腰三角形的性质1的相关计算与证明（等边对等角） 【典例1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，在中，，点是边上一动点（点不与点和点重合），将沿所在直线折叠得到，若是等腰三角形，则的度数为 ． 【变式1】（24-25七年级下·四川巴中·阶段练习）如图，在中，点M为上一点，，，则的度数为 ． 【变式2】（2025·四川南充·中考真题）如图，在五边形中，． (1)求证：．(2)求证：． 【变式3】（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在中，，D是上一点，且，E为上的一点，交于F，．(1)求证：；(2)求证：． 题型03 等腰三角形的性质2的相关计算与证明（“三线合一”） 【典例1】（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，，D为的中点，连接，延长至点E，使，连接，，则的大小为 ． 【变式1】（24-25八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，为延长线上一点，于．若，下列结论正确的是（　　） A． B． C． D．以上结论都不对 【变式2】（24-25八年级下·广东佛山·期中）在中，，过点作，垂足为点，下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）加图，在中，是的中线，于点，若，则的度数为 ． 【变式4】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）． (1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在中，，作平分，交于点．求证：，且．证明： 【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题： (2)如图，在中，，为边上一点，过点分别作，，垂足分别是点，．若，则下列结论错误的是_____． ①，②，③，④ 题型04 等腰三角形判定的运用（等角对等边） 【典例1】（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务：(1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． 【变式1】（2025·湖南郴州·二模）如图，，，，则的周长是（   ） A．18 B．20 C．26 D．28 【变式2】（24-25八年级上·广西河池·期中）如图，中，、分别平分、，，，，则的周长 ． 【变式3】（24-25七年级下·上海·期中）如图，已知：，，．求度数． 【变式4】（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，是等腰三角形的底边上的高，，交于点．(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的长． 题型05 等腰（等边）三角形与尺规作图 【典例1】（2024·湖南长沙·三模）已知：如图，点在的边上．小樱根据要求进行尺规作图，请你依据小樱的作图痕迹回答下列问题．(1)填空：由作图可知，射线是的______；(2)以点为圆心、长为半径画弧，交射线于点，连接，试判断与的位置关系并说明理由． 【变式1】（2025·山东临沂·一模）观察下列尺规作图的痕迹，能判断是等腰三角形的图形有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（23-24八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知，点B是射线上一点，求作等腰三角形，使得为等腰三角形的底边，点A在内部，且点A到角的两边距离相等．（尺规作图） 【变式3】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，木工师傅在板材边角处作业时，使用“三弧法”截下了一块板材，其操作如下：①在板材边沿作线段，分别以点，为圆心，以长为半径作弧，两弧交于点；②以点为圆心，仍以长为半径作弧交的延长线于点；③连接，． (1)在木工师傅操作过程中，得到的形状是 三角形； (2)试猜测木工师傅截下的板材中的度数，并说明理由； (3)过点作，交于点．求证：垂直平分线段． 【变式4】（24-25八年级上·河南漯河·期中）如图，在中，，，在线段BC上找一点D（与B，C不重合），使得和均为等腰三角形． (1)一同学的解法是，如图1，以B为圆心，以的长为半径画弧与交于点D，请根据这种作法说明和均为等腰三角形；(2)尺规作图：请在图2中用另外一种方法找出点D（保留作图痕迹，不写作法）． 题型06 等边三角形的性质定理的运用 【典例1】（24-25八年级下·全国·假期作业）如图，在等边中，，，垂足为M，E是延长线上的一点，．求证：． 【变式1】（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在等边中，为边上的中线，点E在边上，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，点P为等边的边上一点，Q为延长线上一点，，连接交于D，若，，则的长为（   ） A．2 B． C． D． 【变式3】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，等边三角形中，是中线，延长至使得，过点D作于．试说明：． 【变式4】（24-25七年级下·上海青浦·期末）已知：如图，分别以的两条直角边为边作等边三角形和等边三角形，连接，且点在线段上．(1)求证：；(2)求证：． 题型07 等边三角形的判定定理的运用 【典例1】（24-25八年级上·山东·期末）如图，在中，，，于点，点在的垂直平分线上．(1)求证：是等边三角形．(2)若，求的长． 【变式1】26．（24-25八年级下·四川达州·期中）若一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为，则这个三角形一定是（    ） A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定 【变式2】28．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列条件不能判断是等边三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25八年级下·山西太原·期中）在复习《三角形的证明》这一章时，小明从三角形构成元素“边”“角”的特殊化入手，整理本章三角形之间的关系．如图，请帮他在括号内填上一个适当的条件 使等腰成为等边三角形． 【变式4】61．（24-25七年级下·吉林·期中）如图，是等边三角形，，垂足分别为，连接．求证：是等边三角形． 题型08 直角三角形斜边中线的性质的运用 【典例1】（24-25七年级下·山西太原·阶段练习）如图，点O是边长为3的等边一边上的一点，分别与两边垂直，则（    ） A．1.6 B．1.5 C．1.8 D．2 【变式1】7．（24-25八年级下·广西防城港·期中）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得，则两点间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期中）如图，在中，是斜边的中点，以为边作正方形．若，则正方形的面积为（   ） A．5 B．100 C．25 D．15 【变式3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）如图，已知，，E为的中点．求证：． 【变式4】（24-25八年级上·四川南充·期中）如图，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到是的中点，是的中点，连接，若，则线段的最大值是 ． 题型09 30°所对直角边等于斜边的一半的运用 【典例1】（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，，点是边上的点，，将沿直线翻折，使点落在边上的点处，若点是直线上的动点，则的最小值是 ． 【变式1】（2025·贵州黔东南·二模）如图，在等边三角形中，，，，则的长度为（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2】（24-25八年级下·陕西西安·期中）小辉为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，已知，，点D在上，且，，则的长为（   ）    A．30cm B．32cm C．34cm D．36cm 【变式3】（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）某校在一块如图所示的三角形空地ABC上种植草皮美化环境，已知，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮需要 元． 【变式4】（24-25八年级下·湖南娄底·期中）如图，在中，，平分，于，连接，交于点．(1)求证：；(2)若，，求的长．      题型10 等腰三角形的性质与判定综合运用 【典例1】（24-25七年级下·上海松江·期末）如图1，在中，点是边的中点，将沿直线翻折，点落在点处（点在直线上方），连接. (1)在不添加辅助线的前提下，请找出图1中的一个等腰三角形：________； (2)求证：；(3)如图2，过点作的平行线，交的延长线于点.求证：； (4)连接，当时，如果是等腰三角形，那么的度数为________. 【变式1】（2025·浙江台州·一模）如图，在中，，点为中点，点在边上，连接． (1)如图1，若于点，求证：； (2)如图2，已知．若点在边上，，求的长． 【变式2】（24-25七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【定义1】如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“均等三角形” 【定义2】从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“均等三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“均等分割线”． 【概念理解】（1）如图1，在中，，和________均等三角形（填“是”或者“不是”）．（2）如图2，在中，为的角平分线，，试说明为的均等分割线． 【应用拓展】（3）在中，，是的均等分割线，若是等腰三角形，则的度数为________． 【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，为主梁框架，是桥墩支撑角度的2倍，即，工程师计划在的角平分线处安装钢架，交底梁于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索，使得，分别交，于点F，E．(1)求证：加固后的是等腰三角形；(2)经测量，主梁全长为13米，关键节点间距为5米，求原始支撑段的长度． 题型11 等边三角形的性质与判定综合运用 【典例1】（24-25八年级下·广东深圳·期中）已知为等边三角形． (1)如图1，点为边上一点，以为边作等边三角形，连接，求证：； (2)如图2，以为腰作等腰直角三角形，取斜边的中点，连接，交于点．求证：；(3)如图3，若，点是边上一定点且，若点为射线上一动点，以为边向右侧作等边，连接，，求的最小值． 【变式1】（24-25八年级上·山东淄博·阶段练习）如图等边中，点D，E为线段上动点且，连接交于点F，连接，下面结论：①；②；③若，则；④若，则．其中结论正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，A、C、B三点在同一条直线上，和都是等边三角形，分别与交于点M、N，有如下结论：①；②；③；④是等边三角形；其中，正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在等边三角形中，点D，E分别在，上，连接，相交于点F，且． (1)求证：；(2)如备用图1，点G在射线上，连接，，且． ①求证：平分；②如备用图2，连接，若，求的值． 1．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．等腰三角形两腰上的高相等 B．三角形按边分类可分为等边三角形和不等边三角形 C．等腰三角形的角平分线、中线和高重合 D．有一个角等于的三角形是等边三角形 2．（24-25八年级下·河南平顶山·期中）下列条件中不能说明三角形是等腰三角形的是(   ) A．有两个内角分别是的三角形 B．有一个角为的直角三角形 C．一个外角是，与它不相邻的一个内角为的三角形 D．有两个内角分别是的三角形 3．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，李大伯用篱笆搭建了一块四边形土地用来种花，，为四边形土地的一条小路（点E在边上），且恰好平分．若篱笆的长度为5米，篱笆的长度为米，则篱笆的长度是（    ） A．米 B．米 C．6米 D．米 4.（2025·安徽淮北·三模）如图，以正五边形的边为一边，向内作等边三角形，连接，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，于点D，E是的中点．若，则的长为（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 6．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如图，等边三角形的边长为9，为边上一动点，为延长线上一动点，交于点，点为中点．若，则长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（24-25八年级上·重庆·期末）如图，在中，，，是高，是中线，AH交BM于点N、于点E，交于点D，连接，则下列结论：①；②；③；④．其中，正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 8．（24-25八年级下·陕西渭南·期中）如图，在中，点A为外部一点，连接，点A、D、C在一条直线上，，若，则的长为 ． 9．（2025·江西新余·三模）如图，的顶点与的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，，当时，的长为 ． 10.（2025·湖南湘潭·模拟预测）如图，在等腰三角形中，，点是边的中点，则的度数为 度． 11．（24-25八年级下·广东揭阳·期中）如图，在中，，点在边上，在线段的延长线上取点，使得，连接，是的中线，若，则的度数为 ． 12．（2025·江苏泰州·一模）如图，在等边三角形中，是延长线上一点，是上一点，连接，．若，，，则的长为 ． 13．（上海市松江区2024-2025学年下学期七年级数学期末试卷）已知中，，是边上的高，，那么的度数是 ． 14．（24-25八年级下·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在中，．若添加一个条件可判定为等边三角形，则添加的条件可以是 ． 15．（24-25七年级下·重庆·期中）在学习了等腰三角形的相关知识后，数学学习小组进行了更深入的研究，他们发现一个三角形两边中线相等，则这个三角形是等腰三角形，可利用证明三角形全等得到此结论，请根据他们的想法与思路，完成以下作图和填空： (1)如图，在中，点是边上的中点，用尺规过点作边的垂线交于点，连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)已知：在中，点、点分别是、边上的中点，连接、，过点作于点，过点作于点，满足，求证：是等腰三角形． 证明：点、点分别是、边上的中点， ，， 又，，， 在和中，，，， 在和中，，，， ，是等腰三角形． 16．（24-25八年级下·广西贵港·期中）如图，已知，，，垂足为，，垂足为，点是的中点．(1)求证：；(2)求证：是等边三角形． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，点，分别是上两点，连接，，且．求证：． 针对这道题目，三位同学进行了如下讨论： 小明：“可以通过证明得到．” 小华：“可以通过证明得到．” 小聪：“我觉得可以通过等腰三角形三线合一定理添加适当的辅助线证明．” 请你结合上述讨论，选择恰当的方法完成证明． 18．（24-25八年级上·福建厦门·期中） 如图， 在中，于点D，垂直平分，交于点F，交于点E，连接，且．(1)若，求的度数；(2)若的周长为，，求的长． 19．（23-24八年级下·甘肃兰州·期中）如图，点O是等边内一点，D是外一点，，，，，连接．(1)求证：是等边三角形；(2)当时，试判断的形状，并说明理由；(3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 20.（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图，在等边中，为边上一点，为上一点，且，连接与相交于点． (1)与的数量关系是，与构成的锐角夹角的度数是；并说明理由． (2)深入探究，将图中的延长至点，使，连接，，如图所示．求证：平分（第一问的结论，本问可直接使用） 21．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，点B在边上，且，C是射线上的一个动点(不与点B重合，且)，在射线上截取，连接． (1)当点C在线段上时， ①若点C与点D重合，请根据题意补全图1，并直接写出线段与的数量关系为_____； ②如图2，若点C不与点D重合，请证明：； (2)当点C在线段的延长线上时，直接写出，，之间的数量关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$