精品解析：上海市闵行区2024-2025学年八年级下学期期末模拟数学试卷

2024学年第二学期初二年级学业质量调研 数学学科 一、选择题： 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列方程是二项方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，的值随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，不是确定事件的是（ ） A. 蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧 B. 打开电视，正在播报新闻 C. 抛掷两枚正方体骰子，点数之和等于13 D. 10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只 4. 如图，在梯形中，，，，下列结论中正确的是（ ） A. 与是相等向量 B. C. 与是相反向量 D. 与是平行向量 5. 尺规作图：已知具体步骤如下：①在射线、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点，作射线；③以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，联结、．那么所作的四边形一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形 6. 已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知，如果，则实数的值是__________． 8. 用换元法解方程+3＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是_____． 9. 无理方程的解是______． 10. 已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围是______． 11. 如果一个多边形的每个内角为160°，那么它的边数为_______． 12. 袋子里有若干个除了颜色不同其它完全相同白球和绿球，小杰从袋中随机摸出一个球，要使摸出绿球的概率为，那么最少要在袋中放______个绿球． 13. 顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是________ 14. 如图，直线与轴交于点（－2，0），则时，的取值范围是________． 15. 定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为______． 16. 三角尺是学习数学的工具，三角尺一般是每套两把，其中一把是两个底角都是的等腰直角三角尺，另一把是有一个内角为的三十度直角三角尺，且等腰直角三角尺的斜边与三十度直角三角尺较长的直角边等长．如图放置三十度直角三角尺（），使得直角顶点落在等腰直角三角尺（）的腰上，斜边与腰垂直，垂足为点．当时，线段的长为______． 17. 如图，四边形是正方形，，，那么度数为______． 18. 如图，在矩形纸片中，．点、分别在边、上，沿直线将四边形翻折，点恰好与点重合．如果此时在原图中与的面积比是1：3，那么的值等于______． 三、计算题（本大题共7题，满分64分） 19. 解关于的方程：（）． 20. 解方程组： 21. 上海教育出版社八年级第二学期《数学课本》第118页阅读材料． 例题1 已知：四边形中，与交于点，，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：作向量、、、． ∵，， 又∵与同向，与同向， ∴，． ∵，， ∴． 即：，且． ∴四边形是平行四边形． 仔细阅读以上内容，请采用向量的方法补完下题的证明． 已知：四边形是平行四边形，点、、、分别在边、、、上，且，．求证：四边形是平行四边形． 22. 第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．如图，会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是多少？ 23. 已知：在菱形中，，，垂足为、． （1）如图①，如果，求证：； （2）如图②，如果对角线与、交于点、，且，求证：． 24. 已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． （1）求一次函数的解析式及点与点的坐标； （2）如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； （3）将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 25. 已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，延长线与直线交于点． （1）如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； （2）如果，，求长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第二学期初二年级学业质量调研 数学学科 一、选择题： 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 下列方程是二项方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二项方程的定义，根据二项方程的定义，形如（其中，，为正整数）的方程称为二项方程，需逐一分析选项是否符合该形式． 【详解】解： A、，可写为。虽然有两项，但常数项，不符合二项方程中“两项均非零”的要求，故排除； B、，整理为，包含和两个非零项，但两项均为未知数的不同次项，而非“高次项与常数项”的组合，不符合二项方程形式，故排除； C、，整理为，包含、和常数项三个非零项，属于三项方程，故排除； D、，整理为，即，仅含和常数项两项，且两项均非零，符合二项方程的定义． 故选：D 2. 下列函数中，的值随的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数及常数函数的增减性，掌握各类函数的增减性成为解题的关键． 根据各类函数的增减性的性质逐项判断即可． 【详解】解：A：函数为一次函数，斜率，因此随的增大而减小，符合题意； B：函数为一次函数，斜率，因此随的增大而增大，不符合题意； C：函数为常数函数，无论如何变化，始终为定值2，既不增大也不减小，不符合题意． D：函数为反比例函数，．在每一象限内（如或时），随的增大而减小． 故选A． 3. 下列事件中，不是确定事件的是（ ） A. 蜡烛在没有氧气的瓶中燃烧 B. 打开电视，正在播报新闻 C. 抛掷两枚正方体骰子，点数之和等于13 D. 10只鸟关在3个笼子里，至少有一个笼子关的鸟超过3只 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查事件的分类：确定事件（必然事件和不可能事件）与随机事件，结合每个选项的情况进行分析，即可作答． 【详解】解：A、蜡烛燃烧需要氧气，无氧环境下必然无法燃烧，属于不可能事件（确定事件）； B、打开电视时可能播放新闻，也可能播放其他节目，结果具有不确定性，属于随机事件（非确定事件）； C、两枚骰子最大点数和为，13不可能出现，属于不可能事件（确定事件）； D、若每个笼子最多关3只鸟，3个笼子最多关9只，但题目有10只鸟，根据抽屉原理，至少有一个笼子超过3只，属于必然事件（确定事件）； 综上，只有选项B不是确定事件， 故选：B 4. 如图，在梯形中，，，，下列结论中正确的是（ ） A. 与是相等向量 B. C. 与是相反向量 D. 与是平行向量 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，解题的关键是熟记相等向量与相反向量，以及平行向量的定义． 根据相等向量与相反向量，以及平行向量的定义，即可求得答案． 【详解】解：A、，但不平行于，在与是不相等的向量，故本选项不符合题意； B、∵，，得出四边形是平行四边形，故，故本选项不符合题意； C、与方向相同，但，则与不是相反向量，故本选项不符合题意； D、由知，与是平行向量，故本选项符合题意． 故选：D． 5. 尺规作图：已知具体步骤如下：①在射线、上分别截取、，使；②分别以点、为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧交于内的一点，作射线；③以点为圆心，为半径作弧，交射线于点，联结、．那么所作的四边形一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 等腰梯形 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图，菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，等腰梯形的判定．根据要求作出图形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】解：由作图可知，平分，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形菱形． 故选：A． 6. 已知四边形中，，下列判断中的正确的是（ ） A. 如果，那么四边形是等腰梯形 B. 如果，那么四边形是菱形 C. 如果AC平分BD，那么四边形是矩形 D. 如果，那么四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理进行判断即可． 【详解】解：A． 如果BC=AD，那么四边形ABCD可能是等腰梯形，也可能是矩形，错误； B．如果AD∥BC，那么四边形ABCD是矩形，错误； C． 如果AC平分BD，那么四边形ABCD是矩形，正确； D．如果AC⊥BD，那么四边形ABCD不一定是正方形，错误； 故选：C． 【点睛】此题考查等腰梯形的判定，关键是根据正方形、等腰梯形、矩形和菱形的判定定理解答． 二、填空题（本大题共12题，每题2分，满分24分） 7. 已知，如果，则实数的值是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据新定义的关系式，利用条件列方程，解方程即可． 【详解】解：∵，， ∴， 移项得：， 系数化1得：， 故答案为：12． 【点睛】本题考查新定义函数关系，根据等量关系列方程，掌握新定义函数关系，根据等量关系列方程是解题关键． 8. 用换元法解方程+3＝0时，如果设＝y，那么将原方程变形后所得的一元二次方程是_____． 【答案】3y2+3y﹣2＝0 【解析】 【分析】设，则原方程化为，再整理即可． 【详解】， 设，则原方程化为：， 即3y2+3y﹣2＝0， 故答案为3y2+3y﹣2＝0． 【点睛】本题考查了解分式方程，能够正确换元是解此题的关键． 9. 无理方程的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程，掌握解无理方程的步骤是解题的关键． 先将无理方程化为整式方程求解，然后再检验． 【详解】解： ， ， 解得：， 经检验：是增根，舍去，是原方程的根， ∴原方程的解为， 故答案为：． 10. 已知一次函数的图像经过第二、三、四象限，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与性质，对于一次函数 (，k，b为常数），当，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当，图象与y轴的交点在x轴的上方；当，图象过坐标原点；当，图象与y轴的交点在x轴的下方． 根据图像经过第二、三、四象限得到，据此得到一元一次不等式组，再求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图像经过第二、三、四象限， ∴， 解得：， 故答案为：． 11. 如果一个多边形的每个内角为160°，那么它的边数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，再用360°除以外角即可得到边数 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于160° ∴ 多边形的每一个外角都等于180°-160°=20° ∴ 边数n=360°÷20°=18 故答案为：18 【点睛】本题主要考查了多边形的内角与外角关系，求出每一个外角的度数是解题关键． 12. 袋子里有若干个除了颜色不同其它完全相同的白球和绿球，小杰从袋中随机摸出一个球，要使摸出绿球的概率为，那么最少要在袋中放______个绿球． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了根据概率计算数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．根据从袋中随机摸出一个球，要使摸出绿球的概率为，得出袋子中绿球的最少数量即可． 【详解】解：∵小杰从袋中随机摸出一个球，要使摸出绿球的概率为， ∴绿球占总球数量， 又∵为球的个数为正整数， ∴最少要在袋中放3个绿球． 故答案为：3． 13. 顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是________ 【答案】菱形 【解析】 【分析】本题考查等腰梯形的性质，菱形的判定方法，以及三角形中位线的性质．连接、，可证为的中位线，为的中位线，根据中位线定理可证，，同理可证，，根据等腰梯形的性质可知，故可证四边形为菱形． 【详解】解：连接、， 、分别为、的中点 为的中位线， ，， 同理可证，， ，，四边形为平行四边形， 同理可证， 根据等腰梯形的性质可知， ， 为菱形． 故顺次连接等腰梯形各边中点所围成的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 14. 如图，直线与轴交于点（－2，0），则时，的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接根据x＞-2时函数图象在x轴的上方进行解答即可． 【详解】由函数图象可知，当x＞-2时，y＞0．. 故答案为x＞-2． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象，利用数形结合求解是解答此题的关键． 15. 定义：在平面直角坐标系中，距离为1的两条直线叫做“互为伴随线”．如果直线与直线互为伴随线，那么直线的函数解析式为______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，由题意得：，，，，为等腰直角三角形，由勾股定理结合等腰直角三角形的性质求出，得到，即可得出解析式，同理计算即可得出，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设直线互伴随线为直线和， 如图，过点O作直线于点C， 根据题意得：两直线互相平行，，，， ∴，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即， 同理可得：，即， ∴直线的函数解析式为或， 故答案为：或． 16. 三角尺是学习数学的工具，三角尺一般是每套两把，其中一把是两个底角都是的等腰直角三角尺，另一把是有一个内角为的三十度直角三角尺，且等腰直角三角尺的斜边与三十度直角三角尺较长的直角边等长．如图放置三十度直角三角尺（），使得直角顶点落在等腰直角三角尺（）的腰上，斜边与腰垂直，垂足为点．当时，线段的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 过点作交延长线于点，先由勾股定理得，可得四边形为矩形，则，，在中，，则，，则由勾股定理得，则，在中，，则，则，再由即可求解． 【详解】解：过点作交延长线于点， 由题意得，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，， ∴由勾股定理得：， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图，四边形是正方形，，，那么度数为______． 【答案】##30度 【解析】 【分析】本题综合考查了正方形的性质，全等三角形的判定，以及旋转变换的性质，等腰三角形的性质，根据旋转变换构造出图形是解题的关键． 把绕点顺时针旋转得到，使得与重合，从而可得、、三点在同一条直线上，然后可以证明与全等，根据全等三角形对应边相等可得，所以为等边三角形，根据等边三角形的性质以及正方形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，把绕点顺时针旋转使得与重合，得到，连接．连接，则， 四边形为正方形， ，， ， ， ， 根据旋转， ， ∴， ，，在一条直线上， ， 在与中， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 又， ， ∵在正方形中，， ∴， 故答案为：． 18. 如图，在矩形纸片中，．点、分别在边、上，沿直线将四边形翻折，点恰好与点重合．如果此时在原图中与的面积比是1：3，那么的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠的性质可得：∠AMN=∠CMN，由四边形ABCD是矩形，可得∠AMN=∠CNM，则可证得∠CNM=∠CMN，继而可得CM=CN；过点M作MH⊥BC于点H，由△CDM的面积与△MNC的面积比为1：3，易得NC=3MD=3HC，然后设DM=x，由勾股定理，可求得MN的长，继而求得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得：∠EMN=∠DMN， 即∠EMN=∠EMA+∠AMN， ∠DMN=∠DMC+∠CMN， ∵∠EMA=∠DMC ∴∠AMN=∠CMN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AMN=∠CNM， ∴∠CNM=∠CMN， ∴CM=CN， 如图， 过点M作MH⊥BC于点H，则四边形MHCD是矩形， ∴HC=DM，MH=DC， ∵△CDM的面积与△CMN的面积比为1：3， ∴， ∴NC=3MD=3HC， ∴NH=2HC， 设DM=x，则HC=x，NH=2x， ∴CM=CN=3x， 在Rt△CDM中，DC=， ∴HM=2， 在Rt△MNH中，MN=， ∴=2． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理以及三角形的面积．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 三、计算题（本大题共7题，满分64分） 19. 解关于的方程：（）． 【答案】当时，方程的解为，；当时，方程无解． 【解析】 【分析】本题考查了解含有参数的整式方程，解一元二次方程，注意分类讨论是解题的关键． 讨论当时，利用直接开平方法求解，当时，原方程无解． 【详解】解：（） ， 当时，， 解得：，； 当时，原方程无解， ∴当时，方程的解为，；当时，方程无解． 20. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解二元一次方程组，设，利用换元法，加减消元法求出解即可． 【详解】解：设：，， 方程组变形为， 得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为：，即． 21. 上海教育出版社八年级第二学期《数学课本》第118页阅读材料． 例题1 已知：四边形中，与交于点，，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：作向量、、、． ∵，， 又∵与同向，与同向， ∴，． ∵，， ∴． 即：，且． ∴四边形是平行四边形． 仔细阅读以上内容，请采用向量的方法补完下题的证明． 已知：四边形是平行四边形，点、、、分别在边、、、上，且，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，向量的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合平行四边形的性质，得四边形是平行四边形，则，．再根据点、分别在边上，，点、分别在边上，，分别得出，，结合，得，即可作答． 详解】证明：作向量、、、． ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点、分别在边上，， 又∵与同向， ∴． ∵点、分别在边上，， 又∵与同向， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 22. 第24届国际数学家大会会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．如图，会标是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，那么直角三角形的两条直角边长分别是多少？ 【答案】2和3 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，解一元二次方程，设长直角边的长为a，短直角边的长为b，根据正方形面积计算公式可得大正方形的边长为，小正方形的边长为1，则由勾股定理可得，且，据此可得，解方程即可得到答案． 【详解】解；设长直角边的长为a，短直角边的长为b， ∵大正方形的面积是13，小正方形的面积是1， ∴大正方形的边长为，小正方形的边长为1， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 答：直角三角形的两条直角边长分别是2和3． 23. 已知：在菱形中，，，垂足为、． （1）如图①，如果，求证：； （2）如图②，如果对角线与、交于点、，且，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据菱形得到，继而得到，由得到，则，那么； （2）由直角三角形斜边中线得到，证明，则，那么为等边三角形，则，那么，故． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得， ∵， ∴， ∵菱形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∴． 24. 已知，一次函数的图像与轴相交于点，与轴相交于点，点在轴的正半轴上，． （1）求一次函数的解析式及点与点的坐标； （2）如果四边形是等腰梯形，请直接写出点的坐标； （3）将直线绕着点逆时针旋转45°后与轴交于点，求点坐标． 【答案】（1）；； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把的坐标代入即可求得的值，求得函数的解析式，然后即可求得，的坐标，从而得到的长，进而求得的长，则点的坐标即可求得； （2）分两种情况，当且时，当且时，画出图形，求出结果即可； （3）过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，证明，得出，，求出，待定系数法求出直线的解析式为，最后求出点P的坐标即可． 【小问1详解】 解：把代入得：， 解得：， 则一次函数的解析式是：． 在中，令，则．则点的坐标是：； ， ， 的坐标是：； 【小问2详解】 解：当且时，作于点，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ， ． ∴点的坐标是：． 当且时，如图所示： ∵，的解析式为，， ∴直线的解析式为：， 设点， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：过点A作，交于点E，过点E作轴于点F，如图所示： ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题主要是一次函数与几何图形综合，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，两点间距离公式，正确作出辅助线，注意分类讨论，是解题关键． 25. 已知，在平行四边形中，，，点在射线上，直线与直线交于点，于，的延长线与直线交于点． （1）如图，当点在线段上时， ①如果，，求的长； ②连接，求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）①；②见解析 （2）2或 【解析】 【分析】（1）①过点G作，垂足为N，在上取点M，使，证明是等腰直角三角形，求出，根据含30度的直角三角形性质求出，根据勾股定理求出，得出，最后根据勾股定理求出结果即可； ②如图，延长交的延长线于，连接，利用全等三角形的性质证明即可； （2）根据题意可求，当点E在线段上时，根据，，，，可得，进而得到，即，同理（1）②可证，，进而得到，推出是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一，得到，即可求出；当点E在射线上时，同理证明是等腰三角形，即可解答． 【小问1详解】 ①解：过点G作，垂足为N，在上取点M，使，如图所示： ，， 是等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； ②如图1中，延长交的延长线于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点E在线段上时， ，，， ， ，， ， ，即， 同理（1）②得，，， ， 是等腰三角形， ， ； 当点E在射线上时， 同理得：， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， ； 综上，长为2或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，直角三角形的特征，等腰三角形的判定与性质，正确的添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 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