第05讲 有理数的乘法与除法（知识清单+3易错+9必考题型）-2025-2026学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（人教版2024）

第05讲 有理数的乘法与除法 题型梳理 易错分析 易错点一 应用分配律计算时，出现漏乘或符号错误 易错点二 误认为分配律可以用于有理数的除法 易错点三 忽略运算顺序而出错 题型方法 题型一 有理数的乘法法则 题型二 倒数 题型三 多个有理数相乘 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法法则 题型六 应用有理数的除法法则计算 题型七 有理数的乘除混合运算 题型八 有理数的加减乘除混合运算 题型九 用计算器进行有理数的混合运算 知识清单 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5.有理数除法法则（重点） 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点7.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 易错分析 【易错点一】应用分配律计算时，出现漏乘或符号错误 【例1】（23-24七年级上·河北保定·期末）下面计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·河南平顶山·期中）计算，用分配律计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题 计算： 解：原式 ， (1)第一步运用的运算律是 ，第二步运用的运算律是 ； (2)上述计算过程，从第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ； (3)综合上述解法给你的启发，计算：． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)第①步运用的运算律是________；第②步运用的运算律________； (2)上述运算过程，从第________步出现错误，本题运算的正确结果是________； (3)结合上述运算过程给你的启发，计算． 【易错点二】误认为分配律可以用于有理数的除法 【例2】（2022七年级上·浙江·专题练习）认真看下列各题的计算过程，其中正确的是 （填序号）． ①； ②＝﹣35×﹣35×＝﹣61； ③＝24÷﹣24÷﹣24÷＝24×3﹣24×8﹣24×6＝﹣264； ④＝﹣9×4+9÷1＝﹣27． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）计算： 小明的计算过程如下： 解：原式 ． 小明的计算过程正确吗？如果不正确，请说明理由，并写出正确的计算过程． 【变式2】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果被污染的数字是，请计算． 下面是圆圆同学计算一道题的过程： ． 圆圆同学这样算正确吗？如果正确，请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程． 【变式3】（21-22七年级上·河南洛阳·期中）阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝＝50×3﹣50×4＋50×12＝550 解法二：原式＝50÷（）＝50÷＝50×6＝300 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为 　 　解法是错误的，在学习正确的解法后，请你解答下列问题： （1）计算：（﹣）÷（）； （2）在材料中，原式的倒数为（）÷50，你能仿照这个做法求出（﹣）÷（）的解吗？请写出具体解题过程． 【易错点三】忽略运算顺序而出错 【例3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下面小虎同学的计算对吗？若不对，请指出哪一步错误，并写出正确的解答过程． ＝……第①步 ＝……第②步 ＝……第③步 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算，下面的解法正确吗？若正确，写出每一步的依据；若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ① ② ③ 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 【变式3】（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2) 请写出正确的结果_______ 题型方法 【题型一】有理数的乘法法则 【例1】（22-23七年级上·广东韶关·期中）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）可以表示为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）有理数、在数轴上对应的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【题型二】倒数 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【变式2】（23-24六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【题型三】多个有理数相乘 【例3】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 【变式2】（24-25七年级上·北京延庆·期末）在，，，0，1，2中任取出三个数相乘，其中最大的积是 ． 【变式3】（24-25七年级上·江西上饶·期末）计算： (1) (2)． 【题型四】有理数的乘法运算律 【例4】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【变式2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【题型五】有理数的除法法则 【例5】（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【题型六】应用有理数的除法法则计算 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级上·山西运城·期中）如图是一个数值转换机的示意图，若输入的数，则输出的数 ． 【变式3】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩： 测试次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 成绩（个） 0 (1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？ (2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？ 【题型七】有理数的乘除混合运算 【例7】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）计算： 【变式3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【题型八】有理数的加减乘除混合运算 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）算式的值为（   ） A．1 B．16 C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）规定“*”是一种新的运算：，如：，那么 ． 【变式2】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算． 【变式3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)． 【题型九】用计算器进行有理数的混合运算 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器计算的按键顺序正确的是（    ） ①输入数据，按键顺序是； ②输入，按键顺序是； ③按； ④按键． A．①②③④ B．①③②④ C．③①④② D．②①④③ 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 【变式2】（23-24七年级上·全国）用计算器计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）的倒数是（    ） A． B． C．2 D．1 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山西晋城·期中）某校准备购买一批如图所示的新课桌和椅子，已知购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元，则购买1张课桌和1把椅子共需要（    ） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 二、填空题 6．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）“※”定义新运算：对于有理数、都有：，当为有理数时， ． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 8．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若某人工作3天可以得到1290元，按照这样的工资水平，他工作一个月（按22天计算）可以获得 元报酬． 三、解答题 9．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算： (1)； (2)． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 11．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 13．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某地气象统计资料表明，海拔每增加，则气温大约升高． (1)某座山相对地面的高度约为，当山脚的地面温度为时，求这座山的山顶的气温； (2)若一座山的山脚的地面温度为，山的某处的气温为，求山的这一处相对于地面的高度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 有理数的乘法与除法 题型梳理 易错分析 易错点一 应用分配律计算时，出现漏乘或符号错误 易错点二 误认为分配律可以用于有理数的除法 易错点三 忽略运算顺序而出错 题型方法 题型一 有理数的乘法法则 题型二 倒数 题型三 多个有理数相乘 题型四 有理数的乘法运算律 题型五 有理数的除法法则 题型六 应用有理数的除法法则计算 题型七 有理数的乘除混合运算 题型八 有理数的加减乘除混合运算 题型九 用计算器进行有理数的混合运算 知识清单 知识点1.有理数的乘法法则（重点） 有理数的乘法 （1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘． （2）任何数同零相乘，都得0． 知识点2.倒数的概念 （1）倒数：乘积是1的两数互为倒数． 一般地，a•1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是． （2）方法指引： ①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法及相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的． ②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0 没有倒数，这与相反数不同． 【规律方法】求相反数、倒数的方法 求一个数的相反数 求一个数的相反数时，只需在这个数前面加上“﹣”即可 求一个数的倒数 求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一 求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置 注意：0没有倒数． 知识点3.有理数的乘法运算律（难点） 乘法结合律：(a×b)×c＝a×(b×c)； 乘法分配律：(a＋b)×c＝a×c＋b×c. 知识点4.多个有理数相乘（难点） 多个有理数相乘的法则： ①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． ②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0． （4）方法指引： ①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘． ②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单． 知识点5.有理数除法法则（重点） 1. 有理数除法法则一：除以一个不等于0 的数，等于乘这个数的倒数. 用字母表示：a÷b=a·(b ≠ 0). 2. 有理数除法法则二 两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.0 除以任何一个不等于0 的数，都得0 . 方法指引： （1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0． （2）有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右． 知识点6.有理数的乘除混合运算（重点） 有理数乘除混合运算通常是先将除法转化成乘法,然后按照乘法法则,确定积的符号,最后求出结果. 注意：除法没有运算律，只有将除法转化为乘法后，才可以利用乘法的运算律简化运算 知识点7.有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算顺序 在运算时要注意按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如果有括号，应先算括号里面的. 在同级运算中，要按从左到右的顺序来计算，并合理运用运算律，简化运算. 易错分析 【易错点一】应用分配律计算时，出现漏乘或符号错误 【例1】（23-24七年级上·河北保定·期末）下面计算的过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算．利用乘法分配律写出中间过程，进行判断即可．掌握乘法分配律，是解题的关键． 【详解】解：或； 故选A． 【举一反三】【变式1】（21-22七年级上·河南平顶山·期中）计算，用分配律计算过程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数乘法的分配律求解即可． 【详解】解： ， 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的分配律，解题的关键在于能够熟练掌握有理数乘法的分配律． 【变式2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题 计算： 解：原式 ， (1)第一步运用的运算律是 ，第二步运用的运算律是 ； (2)上述计算过程，从第 步出现错误，本题运算的正确结果是 ； (3)综合上述解法给你的启发，计算：． 【答案】(1)加法交换律，分配律 (2)， (3) 【分析】（）根据有理数的运算律分析即可； （）根据有理数的加、减法，乘法运算法则即可判断及求解； （）利用乘法运算律的逆运算，有理数乘法和加法运算即可求解； 本题考查了有理数的加减法，乘法，运算律，熟练掌握运算法则，运算律和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解 ：第一步运用的运算律是加法交换律，第二步运用的运算律是分配律， 故答案为：加法交换律，分配律； （2）解：从第步出现错误， 正确运算为：原式 ， 故答案为：，； （3）解：   ． 【变式3】（24-25七年级上·山东临沂·期中）阅读下面题目的运算过程，并解答下列问题． 计算： 解：原式① ② ③ ④ ⑤ (1)第①步运用的运算律是________；第②步运用的运算律________； (2)上述运算过程，从第________步出现错误，本题运算的正确结果是________； (3)结合上述运算过程给你的启发，计算． 【答案】(1)加法交换律；乘法分配律 (2)④， (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算．掌握有理数的混合运算法则和运算律是解题关键． （1）根据加法交换律和乘法分配律解答即可； （2）由计算过程可知第④步计算错误，根据有理数的运算法则计算出正确的结果即可； （3）根据有理数的混合运算法则和运算律求解即可． 【详解】（1）解：第①步运用的运算律是加法交换律，第②步运用的运算律是乘法分配律． 故答案为：加法交换律；乘法分配律； （2）解：上述计算过程，在第④步出现错误， 原式 ， 所以的正确结果是． 故答案为：④，； （3）解： ． 【易错点二】误认为分配律可以用于有理数的除法 【例2】（2022七年级上·浙江·专题练习）认真看下列各题的计算过程，其中正确的是 （填序号）． ①； ②＝﹣35×﹣35×＝﹣61； ③＝24÷﹣24÷﹣24÷＝24×3﹣24×8﹣24×6＝﹣264； ④＝﹣9×4+9÷1＝﹣27． 【答案】②④/④② 【分析】根据题目中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个小题是正确的，本题得以解决． 【详解】解：① ，故①错误， ② ＝﹣5+（﹣56） ＝﹣61，故②正确， ③ ＝ ＝24÷ ＝24×24 ＝576，故③错误， ④ ＝﹣9×4+9÷1 ＝﹣36+9 ＝﹣27，故④正确， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河南信阳·阶段练习）计算： 小明的计算过程如下： 解：原式 ． 小明的计算过程正确吗？如果不正确，请说明理由，并写出正确的计算过程． 【答案】小明的计算过程不正确，理由是除法没有分配律，正确计算过程见解析 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算，乘法分配律，根据除法没有分配律可知小明的计算过程错误，先计算，过程为把除法变成乘法后利用分配律求解，求出的结果取倒数即可得到的答案． 【详解】解：小明的计算过程不正确，理由是除法没有分配律； 正确计算过程如下： ， ∴． 【变式2】（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）计算： 圆圆在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．如果被污染的数字是，请计算． 下面是圆圆同学计算一道题的过程： ． 圆圆同学这样算正确吗？如果正确，请解释理由；如果不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，过程见解析 【分析】根据有理数的运算法则和运算顺序，进行求解即可。 【详解】解：不正确， ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．熟练掌握相关运算法则和运算顺序，正确的计算，是解题的关键． 【变式3】（21-22七年级上·河南洛阳·期中）阅读下列材料： 计算：50÷（）． 解法一：原式＝＝50×3﹣50×4＋50×12＝550 解法二：原式＝50÷（）＝50÷＝50×6＝300 上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为 　 　解法是错误的，在学习正确的解法后，请你解答下列问题： （1）计算：（﹣）÷（）； （2）在材料中，原式的倒数为（）÷50，你能仿照这个做法求出（﹣）÷（）的解吗？请写出具体解题过程． 【答案】一；（1）；（2），见详解. 【分析】（1）由题意根据有理数的运算顺序，先算括号里面的，再算有理数的除法，可得答案； （2）由题意根据有理数的除法，可转化成有理数的乘法，可得答案，注意最后要还原成倒数. 【详解】解：因为没有除法分配律，故解法一错误； 故答案为：一； （1）（﹣）÷（） ； （2） 故（﹣）÷（）=. 【点睛】本题考查有理数的除法，注意掌握有理数的除法应先算括号里面的，再算有理数的除法，同时注意没有除法分配律． 【易错点三】忽略运算顺序而出错 【例3】（23-24七年级上·浙江嘉兴·阶段练习）下面小虎同学的计算对吗？若不对，请指出哪一步错误，并写出正确的解答过程． ＝……第①步 ＝……第②步 ＝……第③步 【答案】不对，第①步错误，过程见解析 【分析】根据有理数的乘除运算顺序判断，并按正确的运算顺序计算即可． 【详解】解：不对，第①步错误， 正确过程为： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握从左往右依次运算的顺序． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北张家口·期中）计算，下面的解法正确吗？若正确，写出每一步的依据；若不正确，请指出错误之处，并给出正确解答． ① ② ③ 【答案】不正确，同级运算要从左到右运算，见解析 【分析】本题考查了有理数的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据有理数的乘除法法则计算即可． 【详解】解：不正确，同级运算要从左到右运算， 正确解答： 【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境•过程纠错 下面是小胡同学做过的一道题，请先阅读解题过程，然后回答所提出的问题． 计算：． 解：原式 …………第①步 …………………………………第②步 (1)上述解题过程中，从第___________步开始出错（填“①”或“②”）； (2)写出本题的正确解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则及运算顺序． （1）检查解题过程发现第①步有误， （2）根据从左到右的顺序写出正确的解法即可． 【详解】（1）解：第①步出错，运算的顺序有误； 故答案是：①； （2）解：． 【变式3】（22-23七年级上·吉林松原·期中）阅读下面解题过程并解答问题： 计算： 解：原式＝（第一步） ＝（第二步） ＝（第三步） (1)上面解题过程有两处错误： 第一处是第________步，错误原因是______； 第二处是第________步，正确步骤的依据是______； (2)请写出正确的结果________． 【答案】(1)二，运算顺序错误或者（先算了乘法）；三，两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除或者（有理数除法法则） (2)或 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算， 对于（1），观察计算步骤，可知要按照顺序计算有理数的乘除法判断第一步，再根据有理数的除法法则计算判断第二步； 对于（2），先计算括号内的，再根据运算顺序计算有理数的乘除法． 【详解】（1）第一处是第二步，错误原因是运算顺序错误，应该先计算除法，再计算乘法； 第二处是第三步，正确的步骤的依据是：两数相除同号得正，并把绝对值相除； 故答案为：二，运算顺序错误；三，两数相除同号得正，并把绝对值相除； （2） ． 题型方法 【题型一】有理数的乘法法则 【例1】（22-23七年级上·广东韶关·期中）计算的结果等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据有理数的乘法运算法则计算即可，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·黑龙江哈尔滨·期中）可以表示为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，掌握乘法运算意义是关键． 根据题意，，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：C ． 【变式2】（24-25七年级上·山东聊城·期末）有理数、在数轴上对应的位置如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，有理数的乘法与减法运算的理解，先判定，再结合运算法则逐一分析即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴，， ∴A符合题意，B，C，D不符合题意； 故选：A 【变式3】（24-25七年级上·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)32 (2)6 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据有理数的加减法法则计算即可； （2）根据有理数的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型二】倒数 【例2】（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）的倒数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解答本题的关键； 乘积是1的两数互为倒数，据此解答即可； 【详解】解：的倒数是， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的倒数是，则的相反数是（　　） A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数“乘积为1的两个数互为倒数”、相反数“只有符号不同的两个数互为相反数”，熟记倒数和相反数的定义是解题关键．先根据倒数的定义可得的值，再根据相反数的定义求解即可得． 【详解】解：∵的倒数是，且， ∴， ∴的相反数是4， 故选：A． 【变式2】（23-24六年级上·上海奉贤·期中）的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了倒数的概念，熟练掌握基本概念是解题的关键． 先将带分数化为假分数，再将分子分母颠倒位置即可得到答案． 【详解】解：， ∴的倒数是， 故答案为：． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 【题型三】多个有理数相乘 【例3】（24-25七年级上·甘肃定西·阶段练习）下列式子中，积的符号为负的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法运算，根据有理数乘法的运算法则，积的符号由因数中负号的个数决定，奇负偶正，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个负号，积的符号为正，不符合题意； B、有4个负号，积的符号为正，不符合题意； C、积为0，不符合题意； D、有3个负号，积的符号为负，符合题意； 故选D． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·山东烟台·期中）若的运算结果为正数，则内的数字可以为（　　） A．3 B．2 C．0 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法符号法则，三个数相乘结果为正值，当且仅当负数的个数为偶数． 【详解】解：原式为； 1. 已知为负数，为正数，故原式中已有1个负数； 2. 要使结果为正数，负数的总个数需为偶数，因此内的数必须为负数，使负数总个数变为2（偶数）； 3. 选项中只有为负数，满足条件； 4. 验证：，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25七年级上·北京延庆·期末）在，，，0，1，2中任取出三个数相乘，其中最大的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘法，有理数大小比较的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据乘法法则，当偶数个负数相乘时，积为正，当奇数个负数相乘时，积为负，故取，，2时，三个数相乘，积最大． 【详解】解：由题意可得，， ∴取，，2时，三个数相乘，积最大，即最大的积是， 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·江西上饶·期末）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，有理数的乘法计算： （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据有理数乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型四】有理数的乘法运算律 【例4】（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·河北石家庄·期中）如图是嘉淇对一道题的解题过程，下列说法正确的是（    ） …① …② …③ A．解题运用了加法结合律 B．解题运用了乘法交换律 C．从②步开始出错 D．从③步开始出错 【答案】C 【分析】根据题干中的计算步骤即可求得答案．本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解： 此步骤是将原式变形， 此步骤是利用乘法分配律， 此步骤是利用减法法则， 则原计算步骤从②步开始出错， 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·河南南阳·期中）乘法分配律是一条很重要的运算律，用字母表示： ．请运用乘法分配律简便计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据乘法分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式3】（2025七年级下·全国·专题练习）计算：． 【答案】14 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 利用有理数的乘法分配律求解即可． 【详解】原式 ． 【题型五】有理数的除法法则 【例5】（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列计算结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查有理数的四则运算，解题的关键是掌握有理数的加减乘除运算法则． 根据有理数的加法、减法、乘法、除法法则逐一计算即可． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：A． 【举一反三】【变式1】（24-25六年级上·山东泰安·期末）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查有理数的运算，解题关键在于掌握运算法则，对各项进行计算．原式各项计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）如果，，那么下列成立的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、除法运算法则，熟知两种运算的法则是正确解答此题的关键． 根据有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，依此即可作出判断． 【详解】解：， ，同为正或同为负， ， ，同为负，即：，； 故选：C． 【变式3】（24-25六年级上·上海闵行·阶段练习）计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了有理数的除法运算，掌握相关运算法则是解题关键．先将带分数化为假分数，再将除法化为乘法计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【题型六】应用有理数的除法法则计算 【例6】（24-25七年级上·浙江温州·期末）已知实数，，满足，，则，，中正数的个数为（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数四则运算的应用，理解相关运算法则是解题关键．由已知条件得出，再分三种情况讨论即可． 【详解】解：，， ，, ， ， ， ， 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 综上可知，，，中正数的个数为2个， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法、除法应用，根据题意列出算式即可，掌握有理数减法、除法的应用是解题的关键． 【详解】解： 实际多招了， 故选：． 【变式2】（24-25七年级上·山西运城·期中）如图是一个数值转换机的示意图，若输入的数，则输出的数 ． 【答案】7 【分析】本题考查了有理数的运算，由运算程序和结果列出方程式并求解，准确理解并应用该流程列出方程求解是解题的关键． 【详解】解：由题意得 故答案为：． 【变式3】（24-25七年级上·贵州贵阳·期末）小明是一名喜欢跳绳的学生，刚升入七年级他就定下目标：每次跳绳测试一分钟都要超过180个．以180个为标准，超过的个数记为正，不足的个数记为负，下表是他测试六次的成绩： 测试次数 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 成绩（个） 0 (1)在这六次跳绳测试中，小明的最高成绩比最低成绩高多少个？ (2)请你帮小明算一算，他这六次跳绳测试的平均成绩是多少个？ 【答案】(1)小明的最高成绩比最低成绩高18个 (2)他这六次跳绳的平均成绩是183个 【分析】本题主要考查了正数和负数的实际应用，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】（1）解：由表格知，小明六次测试成绩的最大值为，最小值为， ∴（个）， ∴小明的最高成绩比最低成绩高18个； （2）解：（个）， ∴他这六次跳绳的平均成绩是183个． 【题型七】有理数的乘除混合运算 【例7】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）的运算结果是（   ） A．1.5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据有理数的运算法则判断即可．熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以的平均速度用到达目的地．若只用到达，则平均速度为 ． 【答案】120 【分析】本题主要考查了有理数乘除法的实际应用，根据路程等于速度乘以时间求出甲、乙两地的距离，再根据速度等于路程除以时间即可得到答案． 【详解】解；， 所以平均速度为， 故答案为：120． 【变式2】（24-25七年级上·北京·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算，解题的关键是将带分数化为假分数，再根据有理数乘除法运算法则，从左到右依次进行计算． 将带分数化为假分数，按照从左到右的顺序进行乘除运算． 【详解】解：原式 ． 【变式3】（24-25六年级上·上海·期中）计算： 【答案】2 【分析】根据有理数乘除的混合运算解答即可． 本题考查了有理数乘除的混合运算，熟练掌握运算法则是阶梯的关键． 【详解】解： ． 【题型八】有理数的加减乘除混合运算 【例8】（2024七年级上·全国·专题练习）算式的值为（   ） A．1 B．16 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握有理数的四则混合运算法则是解题的关键，先算括号里的，再算除法即可得解． 【详解】解： ， 故选:A 【举一反三】【变式1】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）规定“*”是一种新的运算：，如：，那么 ． 【答案】10 【分析】根据新运算“”的规则，把，代入进行计算．本题主要考查新定义运算，熟练掌握新运算的规则（将对应字母代入给定运算式）是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：10. 【变式2】（24-25七年级上·广东江门·期中）计算． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键，先利用乘法分配律，再利用整式加减法运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式3】（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，掌握乘法分配律，简便计算是关键． （1）运用乘法分配律计算即可； （2）运用乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型九】用计算器进行有理数的混合运算 【例9】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器计算的按键顺序正确的是（    ） ①输入数据，按键顺序是； ②输入，按键顺序是； ③按； ④按键． A．①②③④ B．①③②④ C．③①④② D．②①④③ 【答案】B 【分析】本题主要考查了计算器的使用，熟练掌握运算顺序，是解题的关键．根据算式，进行选择即可． 【详解】 解：用计算器计算的按键顺序是：①输入数据，按键顺序是；③按；②输入，按键顺序是；④按键． 综上分析可知：正确的顺序为①③②④． 故选：B． 【举一反三】【变式1】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】本题主要考查用计算器计算式子的值，熟练掌握计算器各键的功能是解答此题的关键． 根据有理数的运算顺序和计算器的各键的功能，对算式进行计算即可． 【详解】解：依据计算器的按键顺序计算得： （1）； （2）； （3）； 故答案为：，，． 【变式2】（23-24七年级上·全国）用计算器计算下列各题： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)3204.6 (2) (3) 【分析】根据运算法则结合计算器求解即可． 【详解】（1）； （2）； （3） ． 【点睛】本题考查了有理数的乘除，掌握有理数的运算法则和顺序、正确计算是关键． 【变式3】（2024七年级上·全国·专题练习）用计算器求下列各式的值： (1)； (2)； 【答案】(1)9.9626 (2) 【分析】（1）先判断符号，然后把绝对值相乘； （2）先判断符号，然后把绝对值相除； 本题考查有理数的运算，熟练使用计算器是关键． 【详解】（1）解：． （2）解：． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）的倒数是（    ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查倒数的定义．根据倒数的定义作答即可． 【详解】解：将转化为分数形式为，则其倒数为 故选：C． 2．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）计算的结果为（    ） A． B．9 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘除混合运算．根据有理数乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】解： ． 故选：D． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）有2025个有理数相乘，结果为0，那么这2025个数（   ） A．都为0 B．只有一个0 C．有两个数互为相反数 D．至少有一个0 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，根据任意有理数乘以0，都得0，得到乘积为0，则乘数中必有一个数为0，即可得出结果． 【详解】解：∵2025个有理数相乘，结果为0， ∴这2025个数至少有一个0； 故选D． 4．（24-25七年级上·河北保定·期末）下列各式中，运用运算律不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数乘法运算、乘法运算律等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数乘法运算、乘法运算律、有理数四则混合运算逐项化简即可． 【详解】解：A．符合乘法交换律，正确，不符合题意； B．符合乘法结合律，正确，不符合题意； C．符合乘法结合律，正确，不符合题意； D．，乘法和加法不能结合，错误，符合题意． 故选：D． 5．（24-25七年级下·山西晋城·期中）某校准备购买一批如图所示的新课桌和椅子，已知购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元，则购买1张课桌和1把椅子共需要（    ） A．140元 B．150元 C．160元 D．180元 【答案】B 【分析】题目主要考查有理数的四则混合运算，理解题意得出购买4张课桌和4把椅子共需要元，然后求解即可． 【详解】解：∵购买3张课桌和1把椅子共需要350元，购买1张课桌和3把椅子共需要250元， ∴购买4张课桌和4把椅子共需要元， ∴购买1张课桌和1把椅子共需要元， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25七年级下·湖南湘潭·期中）“※”定义新运算：对于有理数、都有：，当为有理数时， ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是熟练的掌握有理数的混合运算法则. 将新定义的运算按定义的规律转化为有理数的混合运算． 【详解】解： ， 故答案为：． 7．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）5的相反数是 ，的绝对值是 ，的倒数是 ． 【答案】 【分析】该题考查了相反数、绝对值、倒数，根据相反数、绝对值、倒数的定义解答即可． 【详解】解：5的相反数是，的绝对值是 ，的倒数是， 故答案为：，，． 8．（24-25六年级下·上海宝山·期末）若某人工作3天可以得到1290元，按照这样的工资水平，他工作一个月（按22天计算）可以获得 元报酬． 【答案】9460 【分析】解答此题的关键是先求得单一量，再由不变的单一量求得总量．照这样计算，说明平均每天工作得到的报酬是相同的，先用算出平均每天工作得到的报酬，再算出他工作22天可以得到报酬． 【详解】解：元， 故答案为：9460 三、解答题 9．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算，乘法分配律，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）根据有理数加法计算法则求解即可； （2）根据乘法分配律去括号，然后计算乘法后再计算加减法即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2025七年级下·全国·专题练习）计算． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的乘除混合运算．掌握各运算法则是解题关键． （1）任何数与0相乘都等于0，所以结果为0． （2）利用乘法交换律先算与的积，再乘． （3）将带分数化为假分数后与相乘并约分计算． （4）把带分数化为假分数，将除法变乘法后从左到右依次计算． 【详解】（1）原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 11．（23-24六年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）一间多媒体教室长15米，宽8米，高4米，要粉刷这间教室的墙壁和天花板（门窗除外）．门窗的面积是23平方米，如果每平方米需花8元涂料费，粉刷这间教室需要涂料费多少钱？ 【答案】粉刷这间教室需要涂料费2248元钱 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，根据题意列出计算式是解题的关键． 根据题意可知教室需要粉刷的总面积为平方米，在乘以每平方米需花8元的涂料费，解答即可． 【详解】解： （元） ∴粉刷这间教室需要涂料费2248元钱． 12．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）一只小虫从某点P出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行记为正数，向左爬行记为负数，则爬行的记录（单位：厘米）依次为，，，，，，． (1)通过计算说明小虫最后是否回到起点P处； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间? 【答案】(1)小虫回到了起点P； (2)108秒 【分析】本题考查了正数和负数的知识，掌握正数和负数的含义是关键． （1）把记录到得所有的数字相加，看结果是否为0即可， （2）记录到得所有的数字的绝对值的和，除以0.5即可． 【详解】（1）解∶． 小虫能回到起点P； （2）解∶ (秒) 答∶小虫共爬行了108秒. 13．（24-25七年级上·内蒙古呼和浩特·期中）某地气象统计资料表明，海拔每增加，则气温大约升高． (1)某座山相对地面的高度约为，当山脚的地面温度为时，求这座山的山顶的气温； (2)若一座山的山脚的地面温度为，山的某处的气温为，求山的这一处相对于地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，正确理解题意、列出算式是解题的关键； （1）根据题意可以列出算式，再计算即可； （2）根据题意可以列出算式，再计算即可． 【详解】（1）解：， ∴当山脚的地面温度为时，这座山的山顶的气温是； （2）解：； 答：山的这一处相对于地面的高度是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$