第22章 二次函数综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

本章综合提升（答案P18》 本章知识归纳 一般地，形如 的函数，叫做二次函数 抛物线的 定义 平移规建 二次函数)=x2的图象是抛物线，对称轴 是y轴，顶点是原点，当>0时，开口向 当a0时，开口向，la越小，抛物线开口 抛物线y=x+br+e与x轴的公共点的横坐 ;la越大，抛物线开口 标是一元二次方程ar2+br+=0的根 二次函数 二次函数)=x'+/的图象的对称轴是y轴 次 与一元二 有两个公共点→ 顶点坐标是，抛物线)=经过上下 次方程 抛物线与 平移可得)=x2+W x轴公共点 有一个公共点→ 的情沉 二次虽数y=(x-h)的图象的对称轴是 二次函数 没有公共点一 ,顶点坐标是，抛物线=x 的图象及 一般式： (a≠0)，已知函数图象 经过左右平移可得)=x-h 性质 用待定系数三点的坐标，通常选择一般式 法求二次函 二次函数)=x-h+的图象的对称轴是 顶点式： (a≠0)，已知西数图象 数的解析式 直线，顶点坐标是，它可以看 的顶点坐标或对称轴，通常选择顶点式 成是由抛物线=经过向上>0时)或 交点式： (a≠0)，已知函数图象 向下(<0时)平移附个单位长度，再向左 二次画 与x轴两交点坐标，通常选择交点式 (<0时)或向右(h>0时)平移h个单位长 度得到的 数的实 建立二次函数模型 际应用 二次函数=x2+br+c可化为顶，点式 利用二次函数的图象和性质解决实际问题 ,对称轴是直线 顶点坐标是 思想方法纳 【变式训练1】如图所示，两条抛物线y1= 2+1=一22-1与分别经过点(-2， 1 1.转化思想 子链短本章 0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴 求二次函数相关问题时，可以根据二 影部分的面积为 次函数与一元二次方程的关系将函数问题 转化为一元二次方程的问题求解。 【例1】若二次函数y=2x2一4x-1的图 象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点，则上十 2.数形结合思想 的值为 “数”与“形”是数学中的两个最基本的概念， 工 数形结合就是把数量关系与图形变换结合起来 分析与探究，以实现“以形助数”“以数辅形”的 功能。 63 优十学维课时通 管链接本章… 【变式训练3】在平面直角坐标系中，已知点 数形结合思想在二次函数中主要表现 A(4,2),B(4,4),抛物线L:y=-(x-t)2十t 为以下两个方面：从试题的层面来说，二次 (t≥0)，当L与线段AB有公共点时，t的取值范 函数反映了数量与图形之间的对应关系， 围是( 数与形互相转化，互为支撑：从解题的角度 A.3≤t≤4 B.5≤t≤6 来说，要有观察图象、联想图象的意识，并 C.3≤t≤4，t=6 D.3≤t≤4或5≤t≤6 形成由数联想形，由形联想数的思考习惯 3.分类讨论思想 行链接本章 【例2】二次函数y=ax2+bx十c(a≠0) 含参数的二次函数求最值往往围绕对 的图象如图所示，根据图象解答下列问题： 称轴和自变量取值范围进行分类讨论」 (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根 【例3】关于x的二次函数y=一x2+ (2)写出y随x增大而增大时自变量x的取 (k2一4)x+2k一2的图象以y轴为对称轴，且与 值范围。 y轴的交点在x轴上方. (3)若方程ax2十bx十c=k一1有两个不相 (1)求此抛物线的函数解析式，并建立平面 等的实数根，求的取值范围。 直角坐标系画出函数的草图。 (2)设A是y轴右侧抛物线上的一个动点， 过点A作AB垂直x轴于点B,再过点A作x 轴的平行线交抛物线于点D,过点D作DC垂直 x轴于点C,得到矩形ABCD.设矩形ABCD的 周长为1，点A的横坐标为x,试求1关于x的函 数解析式， 【变式训练2】已知抛物线y=a.x2+bx+c 如图所示，则点P(a,bc)在第 象限 一九年围上密数学：则河北有润 64 【变式训练4】关于二次函数y=a.x2一4ax一 4.几何直观》在同一平面直角坐标系内，一次函 5(a≠0)的三个结论： 数y=a.x十b与二次函数y=ax2十8x十b的 ①对任意实数m,都有x1=2十m与x2= 图象可能是( 2一m对应的函数值相等： ②若3≤x≤4，对应的y的整数值有4个， 则-音<a<-1或1<a< ③若抛物线与x轴交于不同两点A,B,且 AB<6则a<-或a≥L. 其中正确的结论是 (填序号) 通棋拟 5.(2023·唐山遵化模拟)对于抛物线y=一2(x 1.(2023·秦皇岛青龙一模)将二次函数y= 1)2+3,下列判断正确的是() x2-4x-4化为y=a(x-h)2+k的形式，正 A.抛物线的开口向上 确的是() B.抛物线的顶点坐标是（一1,3） A.y=(x-2) C.对称轴为直线x=1 B.y=(x+2)2-8 D.当x=3时，y>0 C.y=(x+2)2 6.应用意识（邢台模拟）把一个足球垂直于水平 D.y=(x-2)2-8 地面向上踢，该足球距离地面的高度h(单位： 2.(2023·石家庄裕华区模拟)表格列出的是一 米)与所经过的时间（单位：秒）之间的关系为 个二次函数的自变量x与函数y的几组对 应值： A-101-之(0≤1<10.若存在两个不同的 2 t的值，使足球离地面的高度均为a米，则a的 0 2 -2 取值范围为( A.0≤a≤42 其中a的值为( B.0≤a<50 A.4 B.3 C.42≤a<50 C.2 D.1 D.42≤a≤50 3.(2023·石家庄新华区模拟)二次函数y= 7.(2023·秦皇岛一模)将抛物线C1:y=x2-2x十3 x2一2x十n+1的图象经过点A(m-1,y1)和 向左平移1个单位长度，得到抛物线C2,则抛 B(m,y2).当y1<y2时，m的取值范围 物线C2的解析式为( 为() A.y=-x2-2 A.m<1 B.m3 2 B.y=-x2+2 C.y=x2-2 C.m>2 D<m<2 D.y=x2+2 65 优学海课阴通 8.(2023·石家庄裕华区模拟)某农户要改造部 L1,L2合起来的图形记为L,在图象L上，把 分农田种植蔬菜，经调查，平均每亩改造费用 横、纵坐标都是整数的点称为“整点”，则L上 是900元，添加辅助设备费用（单位：元）与改 “整点”的个数是( ) 造面积（单位：亩）的平方成正比，比例系数为 A.3030 B.3031 18,每亩种植蔬菜还需种子、人工费用600元， C.2020 D.2023 若每亩蔬菜年销售额为7000元，设改造农田 12.(2023·沧州任丘模拟)如图所示，抛物线y= x亩，改造当年收益为y元，则y与x之间的 a(x十3)(x-1)经过点C(0,3),点P(m,n) 数量关系可列式为() 从点A出发，沿抛物线运动到顶点后，再沿对 A.y=7000.x-(900.x+18x+600x) 称轴（向下运动，给出下列说法： B.y=7000x-(900x+18.x2+600x) ①a=-1: C.y=7000-(900x+18x2+600x) ②抛物线的对称轴为直线x=一1； D.y=7000x-(900x+18x2+600) ③当点P,B,C构成的三角形的周长取最小 9.(2023·秦皇岛一模)如图所示，正方形四个顶 值时，n=1: 点的坐标依次为(1,1)，(3,1)，(3,3)，(1,3). ④在点P从点A运动到顶点的过程中，当 若抛物线y=ax2与正方形有公共点，则实数 a的取值范围是( m=- 2时，△PAC的面积最大， 其中正确的说法是( B. g≤a≤1 C.3Cac3 1 A.①③ B.②③④ D.3≤a≤1 C.①④ D.①②④ 10.(2023·邢台一模)如图所示，抛物线y= 13.(2023·唐山迁安模拟)如果二次函数y= ax2十bx十c(a≠0)的对称轴是直线x=一2， x2+2x十c的图象与x轴的一个交点是(1， 并与x轴交于A,B两点，且OA=5OB,下列 0),那么c= 结论不正确的是( 14.(2023·衡水三模)已知二次函数y=ax2+ A.abc0 bx十c的两系数a,b互为相反数， B.b-4a=0 (1)其所在抛物线的对称轴为 C.a+b+c>0 (2)如果c=1,那么： D.若m为任意实数，则 ①二次函数y=ax2十bx十c的图象必过 am2+bmm≤4a-2b 11.(2023·唐山路北区二模)已知抛物线L1: 点 ②如果直线y=a与二次函数y=ax2+bx十c y=-2+分-(-2020<x<1,抛物线 的图象无公共点，那么a的取值范围 L2:y=-x2-x十1(1≤x≤2020)，已知把 为 一九年级上带数学心河北间 66 15.(2023·石家庄一模)如图所示，点O(0,0), 通中考 A(一4，-1)，线段AB与x轴平行，且AB= 2,点B在点A的右侧，抛物线1：y=kx2 16.(2023·河北中考)嘉嘉和淇淇在玩沙包游 2kx一3k(k≠0) 戏.某同学借此情境编制了一道数学题，请解 (1)①该抛物线的对称轴为 答这道题 ②当0≤x≤3时，求y的最大值（用含k的代 如图所示，在平面直角坐标系中，一个单位长 数式表示). 度代表1m长.嘉嘉在点A(6,1)处将沙包 (2)当抛物线L经过点C(0,3)时， (看成点)抛出，其运动路线为抛物线C1:y= ①点B (填“是”或“不”)在L上 a(x一3)2+2的一部分，祺淇恰在点B(0,c) ②连接CD,点P是第一象限内抛物线上的动 处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为 点，设点P的横坐标为m,过点P作PE⊥ 抛物线C2:y= 8x2+ 8x+c+1的一 CD,垂足为点E,则PE=√2时，m= 部分 (3)在(2)的条件下，若线段AB以每秒2个 (1)写出C1的最高点坐标，并求a,c的值. 单位长度的速度向下平移，设平移的时间为 (2)若嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点 t秒. A水平距离不超过1m的范围内可以接到沙 ①若1与线段AB总有公共点，求l的取值 包，求符合条件的n的整数值. 范围 y/m ②若1同时以每秒3个单位长度的速度向下 平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总 有两个公共点，直接写出t的取值范围。 x/m 67 优学海课阴通(3)∵a>0， 抛物线G位于线段CP下方的部分与线 ∴ 抛物线的函数解析式为 $$y = - x ^ { 2 } + 2 .$$ 段CP 所围成的区域内(不含边界)恰有5个“整 (2)令 $$- x ^ { 2 } + 2 = 0 ，$$ ，得 $$x = \pm \sqrt 2 .$$ 点”，且C(0，一3)， ，P( (2，-3)， 当 $$0 < x < \sqrt 2$$ 时， $$A _ { 1 } D _ { 1 } = 2 x ， A _ { 1 } B _ { 1 } = - x ^ { 2 } + 2 ，$$ ∴ .区域内的整点为 (1，-4)，(1，-5)，(1，-6)， (1，-7)，(1，-8)， $$\therefore l = 2 \left( A _ { 1 } B _ { 1 } + A _ { 1 } D _ { 1 } \right) = - 2 x ^ { 2 } + 4 x + 4 ；$$ 将(1，一8)代人 $$y = a x ^ { 2 } - 2 a x - 3 ，$$ ，得 a=5， 当 $$x > \sqrt 2$$ 时， $$， A _ { 2 } D _ { 2 } = 2 x ，$$ 将(1，一9)代人 $$y = a x ^ { 2 } - 2 a x - 3 ，$$ ，得 a=6， $$A _ { 2 } B _ { 2 } = - \left( - x ^ { 2 } + 2 \right) = x ^ { 2 } - 2 .$$ ∴a 的取值范围为 5<a≤6. $$\therefore l = 2 \left( A _ { 2 } D _ { 2 } + A _ { 2 } B _ { 2 } \right) = 2 x ^ { 2 } + 4 x - 4 .$$ 本章综合提升 综上所述，1关于 的函数解析式为 【本章知识归纳】 l= $$| - 2 x ^ { 2 } + 4 x + 4 \left( 0 < x < \sqrt 2 \right)$$ $$y = a x ^ { 2 } + b x + c \left( a ， b ， c$$ 是常数， a≠0)⊥ )上下 $$2 x ^ { 2 } + 4 x - 4 \left( x > \sqrt 2 \right) .$$ 越大越小 (0，k)x=h (h，0)x=h (h，k) ) 【 【变式训练 41①②③ $$y = a \left( x + \frac { b } { 2 a } \right) ^ { 2 } + \frac { 4 a c - b ^ { 2 } } { 4 a } x = - \frac { b } { 2 a }$$ 【通模拟】 1.D 2.A 3.B 4.C 5.C 6.C 7.D 8.B 9.A $$\left( - \frac { b } { 2 a } ， \frac { 4 a c - b ^ { 2 } } { 4 a } \right)$$ 左加右减，上加下减 △>0△=0 10.C 11.A 12.D 13.-3 14.(1)直线 $$x = \frac { 1 } { 2 }$$ $$\triangle < 0 \quad y = a x ^ { 2 } + b x + c y = a \left( x - h \right) ^ { 2 } + k y =$$ a(r-x)(x-x) $$a \left( x - x _ { 1 } \right) \left( x - x _ { 2 } \right)$$ (2)①(0，1)或 $$\left( 1 ， 1 \right) \textcircled 2 0 < a < \frac { 4 } { 5 }$$ 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：设 y=0， ，则点A和点B 的横坐标转 15.解：(1)①直线 x=1 化为一元二次方程的解，利用根与系数的关系即可 ②∵0≤x≤3， ∴ 当 k<0 时， x=1 时，y有最大值， 求出 $$\frac { 1 } { x _ { 1 } } + \frac { 1 } { x _ { 2 } }$$ 的值 2k-3k=- -4k； 当 k>0 ，x=3 时，y有最大值， 【变式训练1】8 6k-3k=0. 【例2】思路分析：运用数形结合思想解题时，要一边看， (2)①不②1或2 一边算：(1)根据函数与方程的关系，当 y=0 (3)①设平移后 B(-2，-1-2t)，A(-4，-1-2t)， 数图象与 x 轴的两个交点的横坐标即为方程 当抛物线经过点B时，有 $$y = - \left( - 2 \right) ^ { 2 } + 2 \times$$ $$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$$ 的两个根； (-2)+3=-5， (2) 根据函数的性质可知，在对称轴的左侧， 随x 当抛物线经过点 A时，有 $$y = - \left( - 4 \right) ^ { 2 } + 2 x$$ 的增大而增大，找到函数的对称轴观察图象即可得 (-4)+3=-21， 到x的取值范围； ∵l 与线段AB总有公共点， (3)方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = k - 1$$ 有两个不相等的实数 ∴-21≤-1-2t≤-5， ，解得 2≤t≤10， 根，即函数 $$y = a x ^ { 2 } + b x + c \left( a e 0 \right)$$ 与 y=k-1 的 ② 平移过程中，设 C(0，3-3t)， ，则抛物线的顶点为 图象有两个交点，据此即可直接求出k的取值 (1，4-3t). 范围， ∵ 抛物线在 轴及其右侧的图象与直线AB总有 解：(1)当 y=0 时，函数图象与x轴的两个交点的 两个公共点， 横坐标即为方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = 0$$ 的两个根，由题图 -1-2t≥3-31 1-1-2t≥3-3t 解得 4≤t<5. 可知，方程的两个根为 $$x _ { 1 } = 1 ， x _ { 2 } = 3 .$$ |-1-2t<4-3t， (2)根据函数图象，在对称轴的左侧， y 随 x 的增大 大 【 【通中考】 而增大，此时 x<2 16.解：(1)∵抛物线 $$C _ { 1 } ： y = a \left( x - 3 \right) ^ { 2 } + 2 ，$$ 自变量 x 的取值范围是 x<2. $$\therefore C _ { 1 }$$ 的最高点坐标为 (3，2). (3)如图所示. ∵点 A(6，1) )在抛物线 $$C _ { 1 } ： y = a \left( x - 3 \right) ^ { 2 } + 2$$ 上， 3 方程 $$a x ^ { 2 } + b x + c = k - 1$$ 有 $$\therefore 1 = a \left( 6 - 3 \right) ^ { 2 } + 2 ，$$ 两个不相等的实数根，即函数 2 y=k-1 $$\therefore a = - \frac { 1 } { 9 } ，$$ $$y = a x ^ { 2 } + b x + c \left( a e 0 \right)$$ 的图 1 象与 y=k-1 的图象有两个 -10 3 4x 交点，此时， ，k-1<2， ，解得 -1 ∴ 抛物线 $$C _ { 1 }$$ 的函数解析式为y= 父，此时， $$y = - \frac { 1 } { 9 } \left( x -$$ k<3.∴k 的取值范围是 -2 $$3 \right) ^ { 2 } + 2 ，$$ k<3. 【变式训练2】三 当 x=0 时， ，c=1， 1.故a的值为 $$- \frac { 1 } { 9 } ， t ^ { 2 }$$ 的值为1. 【变式训练3】D (2)∵ 嘉嘉在x轴上方 1m 的高度上，且到点A水 【例3】思路分析：(1)利用“ 轴为对称轴”求出k的值， 平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， 用描点法绘制数图象； ∴ 此时，点A的坐标范围是 (5，1)∼(7，1). (2)根据点A在 x 轴上方和下方分类讨论. 解：(1)根据题意，得 $$k ^ { 2 } - 4 = 0 ， \therefore k = \pm 2 .$$ 当经过(5，1)时， $$. 1 = - \frac { 1 } { 8 } \times 2 5 + \frac { n } { 8 } \times 5 + 1 + 1 ，$$ ，解得 当k=2 时， 2k-2=2>0. 当 k=-2 时， 2k-2=-6<0， $$n = \frac { 1 7 } { 5 } ，$$ 又∵抛物线与y轴的交点在 x 轴上方， ∴k=2. 当经过(7，1)时， $$， 1 = - \frac { 1 } { 8 } \times 4 9 + \frac { n } { 8 } \times 7 + 1 + 1 ，$$ 解得 18 .EE=√17+17=√34. 7 7.B解析：GC=GB, ∴点G在BC的垂直平分线上，可分两种情况讨论： ①如图①所示，当点G在AD的右侧时，连接DG, ,n为整数， :四边形ABCD是矩形， ∴.符合条件的n的整数值为4和5. ,,AD∥BC,AD=BC 第二十三章旋转 ,GM垂直平分BC, 23.1图形的旋转 ∴GM垂直平分AD, 第1课时图形的旋转 .DG=AG.根据旋转的性质，得∠DAG=a, AD-AG. 1.D2.D3.105 4.O∠A'OAA'AB'∠B'90 .DG=AG=AD. 5.240°20° .△ADG是等边三角形， ∴.∠DAG=60°，即a=60° 6解：(1)由图可知，点A为旋转中心. (2)∠EAF为旋转角， ,△BEA旋转后能与△DFA重合， '.△BEA≌△DFA, ∴.∠F=∠AEB=∠C=90°，AE=AF, 四边形AECF为正方形， ∠EAF=90°， ∴.逆时针旋转了90或顺时针旋转了270°. ②A (3),△BEA旋转后能与△DFA重合， ②如图②所示，当点G在AD的左侧时，同理可得 .△BEA≌△DFA, △ADG是等边三角形， .S△E=S△FA· ∴.∠DAG=60°，即a=360°-∠DAG=300. .四边形ABCD的面积=正方形AECF的面积. 综上所述，a的值为60°或300°， AE=5 cm, .亮亮的说法错误，红红的说法正确 ∴.四边形ABCD的面积为5=25(cm). 8.等边三角形√3 第2课时旋转的性质 9.解：(1)证明：由旋转的性质，得△ADV≌△ABE, 1.B2.D3.B4.C .∠DAN=∠BAE,AE=AN,∠D=∠ABE=90°， 5.C解析：A.'将△ABC绕点C逆时针旋转a度后 ∴.∠ABC+∠ABE=180°， 得到△DEC,.DE=AB,但无法确定DF=AB,故 .E,B,C三点共线 选项不符合题意，B.,将△ABC绕，点C逆时针旋转 :∠DAB=90°，∠MAN=45, a度后得到△DEC,.BC=CE,,∠CBE= ∴.∠MAE=∠BAE+∠BAM=∠DAN+ ∠CEB,∠ABC=∠DEC,若BC∥DE,则 ∠BAM=45°， ∠AED=∠CBE=∠CEB,.∠ABC=∠DEC= ∴.∠MAE=∠MAN. ∠BEC+∠AED=2∠CBE,∴.∠ABC+∠CBE= 又.MA=MA, 3∠CBE=180°，.∠CBE=60°，△BCE是等边 ∴.△AEM≌△ANM(SAS). 三角形，.∠BCE=60°，.a=60.a大小未知，故 (2)设CD=BC=x,则CM=x-3,CN-x-2. 选项不符合题意.C.,将△ABC绕点C逆时针旋转 .'△AEM≌△ANM.∴.EM=MN. a度后得到△DEC,∴.BC=CE,∴.∠CBE= .BE=DN...MN=BM+DN=5. ∠CEB.,∠CED=∠ABC=180°-∠CBE, :∠C=90°，.MN2=CM2+CN2, .∠AED=∠CED-∠CEB=180°-（∠CBE+ .25=(x-2)2+(x-3)2. ∠CEB)=∠BCE,∴.∠BCE+∠CBE=∠AED+ 解得x=6或一1（舍弃）， ∠CEB=∠DEC,故选项符合题意.D.,将△ABC ∴.正方形ABCD的边长为6. 绕点C逆时针旋转a度后得到△DEC,.BC=CE. 10.解：(1)AF+BF=EF,证明： AB+BC=AE,.AB+BE=AE,..BC=BE= ,正方形ABCD, CE,即△BCE是等边三角形，当且仅当a=60时成 .AB=AD,∠BAD=∠BAG+∠EAD=90 立，故选项不符合题意， ,DE⊥AG,.∠AED=90 6.解：(1)把△ADE绕点A逆时针旋转90°，得 ∴.∠EAD+∠ADE=90°..∠ADE=∠BAF △ADE', 又BF∥DE,∴.∠AFB=∠AED=90 .∠EAE'=90 在△AED和△BFA中， (2),四边形ABCD是正方形， '∠AFB=∠AED,∠BAF=∠ADE,AB=AD ∴.∠ADE=90, ∴.△BFA≌△AED(AAS). .BF=AE. ∴.AE=√AD+DE=√+1F=17, ,AF十AE=EF, 由旋转的性质可得AE=AE‘=I7. ∴.AF+BF=EF ∠EAE'=90°， (2)由题设得△AED≌△BFA, 19