专题6 二次函数的动态临界问题及整点问题-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

专题六二次函数的动态临界问题及整点问题（答案P7) 类型1动态抛物线中的临界问题 (3)若抛物线在-1<x<0位于x轴下方，在 1.(2023·石家庄新华区一摸)如图所示，已知抛 3<x<4位于x轴上方，求n的值. 物线L:y=-x(x一3)十n与x轴交于A,B 两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点M, (1)若该抛物线过点(1,6)， ①求该抛物线的函数解析式，并求出此时A,B 两点的坐标 ②将该抛物线进行平移，平移后的抛物线对应 的函数解析式为y=一x(x一3)十6，A点的对 应点为A',求点A移动的最短距离 (2)点M关于抛物线L:y=-x(x一3)十n的 对称轴的对称点坐标为 (用含n的代 数式表示) (3)将抛物线L:y=一x(x一3)十n上0≤x≤ 3的一段图象记作C,若C与直线y=x十2有 唯一公共点，直接写出n的取值范围。 类型2动态抛物线中的整点问题 3.创新意识如图所示，若抛物线y=x2与直线 1 y=2x十3围成的封闭图形内部有k个整点 (不包括边界)，则一次函数y=kx十k的图象 为() 2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2一 2m.x+m一3(m>0)与x轴的交点为A,B. (1)求抛物线的顶点坐标. (2)若线段AB上有且只有5个点的横坐标为 整数，求m的取值范围， 61 优学条渊时金 4.(2023·承德一模)如图所示是某位同学设计 5.(2023·石家庄藁城区二模)已知抛物线G: 的动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会 y=a.x2一2a.x十a+m(a,m均为常数，且a≠ 闪现不同的抛物线.抛物线的统一形式为y= 0),交y轴于点C(0,一3)，点P在抛物线G ax十bx(a为整数，x≥0，y≥0)，且顶点始终 上，连接CP,且CP平行于x轴. 在直线y=kx上. (1)用a表示m,并求抛物线G的对称轴及P (1)若k=1,且抛物线顶点纵坐标为3，求a,b 点的坐标. 的值. (2)当抛物线G经过（一1,3）时，求抛物线G (2)试推断：k与b的数量关系 的函数解析式及其顶点坐标 (3)横、纵坐标都是整数的点称为整点，若抛物 (3)如果把横、纵坐标都是整数的点叫做“整点” 线的顶点恰好是整点时，抛物线就会改变颜 如图所示，当a>0时，若抛物线G位于线段 色.那么，当k=6时，这组抛物线中有几条会 CP下方的部分与线段CP所围成的区域内 改变颜色 (不含边界)恰有5个“整点”，求a的取值 范围。 -九年级上用敬学+以斑此到 62此时图象C与抛物线有唯一公共点. 解得 4 ②当抛物线经过(0,2)时，n=2,此时图象C与抛物 故抛物线所对应的函数解析式为 线有两个公共点， 6= 当抛物线经过(3,5)时，n=5,此时图象C与抛物线 有一个公共点， y= 2x+4 2<n≤5时，图象C与抛物线有唯一公共点. 1 13 综上所述，2<n≤5或n=1时，图象C与抛物线有 当x=一1时，y= 4+2+ 4 =1 唯一公共点. .点D(-1,1). 2.解：(1)：y=mx2-2mx+m-3=m(x-1)2-3, 设直线AD的函数解析式为y=kx十c, .抛物线的顶点坐标为(1，一3). 1 (2),抛物线y=mx2一2mx十m一3(m>0)的对称 一3k十c=0,解得 及= 2" 轴为直线x=1, -k十c=1, 3 线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些 =2' 整数为一1,0,1,2,3， ∴.当x=3时，y≤0，即9m-6m+m-3≤0， 13 “直线AD的函数解析式为y=2x十2 如图所示，①当点M在x轴上方时， 解得加≤是 ,∠M,CB=∠DAC,.DACM1. 当x=4时，y>0,即16m-8m十m-3>0, 1 设直线CM,的函数解析式为y=十61。 解得m>3' 1 ,直线经过点C, ∴m的取值花围为写<m<是 5-名十6，=0，解得61=2 1 (3),抛物线y=mx2-2m.x十m-3(m>0)的对称 轴为直线x=1, 1 直线CM,的函数解析式为y=x十司 而在3<x<4位于x轴上方， 抛物线在一2<x<一1这一段位于x轴的上方. 1 1 y=. 2x+2: :在-1<x<0位于x轴下方， 联立 解得x1=一2+√5， .抛物线过点（一1,0）， 1 3 y=- 4x-2x+4 把(-1,0)代入y=mx2-2mx+m-3,得 x2=-2-5(舍去)， m+2m十m-3=0,解得m=s. .m=-2+√5. 3.D ②当点M在x轴下方时，直线CM2与直线CM1关 4.解：(1)k=1,则y=x, 于x轴对称，由轴对称的性质可得直线CM2的解析 =3, 1 式为y= 1 1 2a 解得 /a= 2x-2' -b2 3 =3, b=2, 1 1 4a y=- 联立 2- 2 /y 121 ∴a=- 3 36=2. -4x-2x+4 (2)依题意，顶点始终在直线y=kx上， 解得x1=√5，x2=一√5 (舍去)， 名-X(一会又0b*0解得6=2达 ,m=√5 (3)k=6, ∴.b=12,顶点在直线y=6x上. 综上所述，m的值为√5或一2十√5 专题六二次函数的动态 “对称为直线工一名一品 6是整数， 临界问题及整点问题 .当a=士1，士2，士3，士6时，x为整数. 1.解：(1)①将(1,6)代入y=-x(x-3)+n, 抛物线开口向下，所以a为负数， ∴.6=-1×(1-3)+n, .4=-1，-2,-3,-6, 解得n=4, ∴.当k=6时，这组抛物线中有4条会改变颜色 ∴.抛物线的函数解析式为y=一x2十3x十4， 5.解：(1)将(0，-3)代入y=ax-2ax十a十m, 令y=0,则0=-x2十3x十4， 得m=一3-a.对称轴为x= -2a-1. 解得x1=一1，x2=4, 2a 点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0). ,CP平行于x轴. ②将抛物线y=一x2+3x十4向上平移2个单位长 点P与点C关于对称轴对称， 度可以得到y=一x(x一3)十6， 点P的坐标为(2，一3). ∴点A向上平移最短距离是2个单位长度，得到 (2)将(-1,3)代入y=ax2-2ax-3,得a+2a 点A. 3=3,解得a=2, (2)(3,n) ∴抛物线G的函数解析式为y=2x2-4x一3. (3)①当x十2=一x(x一3)十n有唯一实数根时， :y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5, △=4n-4=0,解得n=1, .其顶点坐标为(1，一5). 17 (3),a>0,抛物线G位于线段CP下方的部分与线 抛物线的函数解析式为y=一x2十2. 段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个“整 (2)令-x2十2=0，得x=士√2. 点”，且C(0,-3),P(2,-3), 当0<x<√2时，A:D1=2x,A1B1=-x2+2, .区域内的整点为(1，一4)，(1，一5)，(1，-6)， (1,-7),(1,-8), .l=2(A:B1+A1D1)=-2x2+4x+4; 将(1，-8)代入y=ax2-2ax-3,得a=5, 当x>√2时，AzD2=2x. 将(1，-9)代人y=ax2-2ax-3,得a=6, A2B2=-(-x2+2)=x2-2. .a的取值范围为5<a≤6. .l=2(AzD2十AzB2)=2x2+4x-4. 本章综合提升 综上所述，关于x的函数解析式为 【本章知识归纳】 1= -2x2+4x+4(0<x<2), y=ax2十bx+c(a,b,c是常数，a≠0)上下 2x2+4x-4(x>√2). 越大越小(0，k)x=h(h,0)x=h(h,k) 【变式训练4】①②③ y=alx+2)+tacbi b 【通模拟】 x=- 4a 2a 1.D2.A3.B4.C5.C6.C7.D8.B9.A 6 4ac-b 10.C11.A12.D13.-3 2a'4a 左加右减，上加下减△>0△=0 14.(1)直线x=2 1 A<0 y=ax?+bx+c y=a(z-h):+k y= a(x一x:)(x一x2) (2)①(0,1)或(1,1) 【思想方法归纳】 @0<a<号 【例1】思路分析：设y=0,则点A和点B的横坐标转 15.解：(1)①直线x=1 化为一元二次方程的解，利用根与系数的关系即可 ②，0≤x≤3， 求出】+1的值 ∴.当<0时，x=1时，y有最大值，y大值=k一 2k一3k=一4k: 一4 当k>0时，x=3时，y有最大值，y最大值=9k 【变式训练1】8 6k-3k=0. 【例2】思路分析：运用数形结合思想解题时，要一边看， (2)①不②1或2 一边算：(1)根据函数与方程的关系，当y=0时，函 (3)①设平移后B(-2,-1-2t),A(-4,-1-2t), 数图象与x轴的两个交点的横坐标即为方程 当抛物线经过点B时，有y=一（一2）2十2× ax2十bx十c=0的两个根： (-2)十3=-5， (2)根据函效的性质可知，在对称轴的左侧，y随工 当抛物线经过点A时，有y=一（一4）2十2× 的增大而增大，找到函数的对称轴观察图象即可得 (4)+3=-21, 到x的取值范围； ,1与线段AB总有公共点， (3)方程ax2十bx十c=k一1有两个不相等的实数 .-21≤-1-21≤-5，解得2≤1≤10. 根，即函数y=ax2+bx十c(a≠0)与y=k-1的 ②平移过程中，设C(0,3-3t),则抛物线的顶点为 图象有两个交点，据此即可直接求出的取值 (1,4-31). 范围， :抛物线在y轴及其右侧的图象与直线AB总有 解：(1)当y=0时，函数图象与x轴的两个交点的 两个公共点， 横坐标即为方程ax十bx十c=0的两个根，由题图 -1-2t≥3-31解得4≤1<5. 可知，方程的两个根为x1=1,x2=3. -1-2t<4-3t,1 (2)根据函数图象，在对称轴的左侧，y随x的增大 【通中考】 而增大，此时x<2, 16.解：(1)：抛物线C1:y=a(x一3)2+2， 自变量x的取值范围是x<2. .C1的最高点坐标为(3,2). (3)如图所示. 点A(6,1)在抛物线C1y=a(x-3)2+2上， 方程ax2十bx十c=k一1有 ∴.1=a(6-3)2+2, 两个不相等的实数根，即函数 1 y=ax2+bx+c(a≠0)的图 ,a= 9· 象与y=k一1的图象有两个 -10 1 交点，此时，k一1<2，解得 ∴抛物线C,的函数解析式为y=一 g(x- k<3.,,k的取值范围是 -21 3)2+2, k<3. 【变式训练2】三 当x=0时=1.故a的值为-)c的值为1 【变式训练3】D (2):嘉嘉在x轴上方1m的高度上，且到点A水 【例3】思路分析：(1)利用“y轴为对称轴”求出k的值， 平距离不超过1m的范围内可以接到沙包， 用描，点法绘制函数图象； .此时，点A的坐标范围是(5,1)~(7,1). (2)根据点A在x轴上方和下方分类讨论. 解：(1)根据题意，得k2-4=0,∴k=士2. 当经过(5,1)时，1=一写×25+日×5+1+1，解得 当k=2时，2k一2=2>0. 17 当k=-2时，2k-2=-6<0, n= 5 又抛物线与y轴的交点在x轴上方， .k=2 当经过(7,1时，1=-言×49+日×7+1+1，解得 18