专题5 二次函数与几何图形的小综合-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

专题五」 二次函数与几何图形的小综合（答案P15) 类型1线段长、图形面积最值问题 类型2线段和、周长最值问题 1.如图所示，直线y=x十2与抛物线y=ax2+ 2.(2023·廊坊广阳一模)如图所示是某家具厂 bz+6a≠0)湘交于A4,6)和B合，)两点， 的抛物线形木板余料，其最大高度为9dm,最 大宽度为12dm,现计划将此余料进行切割. 点P是线段AB上异于A,B的动点，过点P (1)如图①所示，根据已经建立的平面直角坐 作PD⊥x轴于点E,交抛物线于点D 标系，求木板边缘所对应的抛物线的函数解 (1)求抛物线的函数解析式. 析式 (2)当D为抛物线的顶点时，求△ADC的 (2)如图②所示，若切割成矩形HGNM,求此 面积 矩形的最大周长 (3)是否存在这样的点P,使△ADC的面积有 最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在， 请说明理由， t59 优学海课阴通 类型3特殊三角形、四边形问题 曲类型5脂角度数量关系问题 3.如图①所示，已知抛物线y=一x2+bx十c与 5如图所示，抛物线=ar2+6缸十与x钩交 x轴交于点A,B(3,0),与y轴交于点C(0, 3),直线1经过B,C两点.抛物线的顶点为D. 于点A(一3，O),点B,点D是抛物线y1的顶 (1)分别求抛物线和直线1的函数解析式. 点，过点D作x轴的垂线，垂足为点 (2)判断△BCD的形状并说明理由. C(一1,0).点M在抛物线上，横坐标为m,连 (3)如图②所示，若点E是线段BC上方的抛 接MC,若∠MCB=∠DAC,求m的值. 物线上的一个动点，过E点作EF⊥x轴于点 F,EF交线段BC于点G,当△ECG是直角三 角形时，求点E的坐标. 类型4线段数量关系、面积数量关系问题 4.如图所示，抛物线y=一x2十bx十c与x轴交 于A(-1.0,B6,0两点，直线y-号+3 与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是第 一象限内抛物线上一动点，过点P作PF⊥x 轴于点F,交直线CD于点E.设点P的横坐 标为m,若PE=5EF,求m的值. 一九年级上带数学：河北专司 601 当x=9时y=-72×(9-6)+2.5=2.375> 4B=40-9C 2.24, BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为 排球能过球网 13.解：因为抛物线的顶点为(4,4)， ym,则AB-(40-号)m, 设抛物线的函数解析式为y=a(x一4)”十4. y=BC·AB=x(40-9r) 6 5x)=- r2+40x. .抛物线经过点(0,2)，.2=16a十4，∴a= 6 :AB=40-5T, 8x-4)2+4. ÷BE=10-0>0 3 当x=7时y=-号+4-98 解得r<100 ,此球不能投中. · 探究一：设向前平移h米。 5r+40z(0<x<100） 6 y=- 371 由题意，得y=一8(x一4一h)十 13.解：(1)y=- 代入7,3).得3=-名(7-4-6)2+4. 12+2 +6x+1= 12x-14x+ 49-49)+1= 12x-7)2+61 2 解得h=3±2√2. 根据实际情况h=3一22， 即小明朝着篮球架再向前平移(3一2√2)米后跳起 投篮，能将篮球投人篮筐中 当x=7时y有最大值，最大值为 12 探究二：设此时抛物线的解析式为y= a(x-4)2+4. ·小山坡AB的坡顶高度为 12m. :投中篮管，。由x=7,y=3,得3= (2):点D的高度为3m, 点D的纵坐标为3， a(7-4)2+4,解得a=一 1 9 1 把y=3代人L,:y= 6x+1,得 y=gx-4)+4 当x=0时，y 2020-2=1 99 米. 立+名+1-8 解得x1=2,x2=12. 点D在小山坡AB的坡顶的右侧， 即小明出手的高度需要增加。米，才能将篮球投入 .x=12, 篮筐中， 即点D的坐标为(12,3). 阶段检测三（22.2~22.3) 当x=0时-+名+1-1 1.C2.C3.A4.D5.B6.x1=1,x2=-3 即OA=1m, 7.1708.40m9.-1<x<410.15 ∴.OC=OA+AC=1+3=4(m), 11.解：(1)证明：令y=0,则x2-2m.x+m2-4=0, ∴点C的坐标为(0,4). 4=(-2m)2-4(m2-4)=16>0, 1 ∴.x2一2m.x+m一4=0有两个不同的实数根，即 把C,D坐标分别代入y=一 8r2+br+c,得 该二次函数的图象与x轴有两个交点： 1 17 (2)y=x2-2mx十2-4=(x-)2-4, X12+12b+c=3,解得b= 12 通过平移后得到y=(x一m+2)”一4十 c=4, c=4, 1=(x-m+2)2-3. 将x=0,y=0代入以上函数解析式， “抛物线L:的函数解析式为y=一8r十 得0=(-m十2)-3， 17 .m1=2+√5，m2=2-√3， 12x+4. 12.解：(1)证明：，四块矩形花圃的面积相等， (3),小球运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过 ..AM-GH-DN. 3米， ∴.AM·AH=ME·EF=HD·DN=EF·BE, -8×72+7b+4>6 1 35 .AH-HD-AD.ME-BE-TAM-TBM. 2+3,解得6>2 35 ..AE=AM+ME=2BE+BE=3BE, :b的取值范围为b> ..AE-3BE. 专题五二次函数与几何图形的小综合 (2),篱笆总长为100m, L解：(1)将点A,点B的坐标代入抛物线的函数解析 ,∴.2AB+GH+3BC=100, 16a+4b+6=6, 即2AB+2AB+3BC=10, 式，得{1 1 5 4a+ 2b+6=2: 15 解得份-26. .∠DCB=180°-∠HCD-∠OCB=90°， .△BCD是直角三角形. .抛物线的函数解析式为y=2.x一8.x十6. (3)EF⊥x轴，∠OBC=45, (2),抛物线的对称轴为直线x=2, .∠FGB=90°-∠0BC=45°， 点D(2,-2), ∴.∠EGC=45°， 当x=2时，y=x十2=4， ∴.若△ECG是直角三角形，只可能存在∠CEG= .P(2,4),则PD=6, 90°或∠ECG=90° 当y=0时，x十2=0，x=-2, ①如图②所示，当∠CEG=90时， .C(-2,0), :EF⊥x轴，EF∥y轴， 六△ACD的面积=PD(4-c) 2×6 ∴.∠ECO=∠COF=∠CEF=90°， ∴.四边形OFEC为矩形， 6=18. yc=ye=3. (3)存在，理由： 在y=-x2+2x+3中.，当y=3时，x1=0,x2=2, 设点P(x,x+2),点D(x,2x2-8.x+6), 点E(2,3): SaA-7PD(xA-te)-7x(r+2-2+ 1 ②如图③所示，当∠ECG=90时， 由(2)知，∠DCB=90°， 8x-6)×6=-6.x2+27x-12. ∴.此时点E与点D重合. ”-6<0,故S%m有最大值，当x-号时，S6m 点D(1,4),点E(1,4) 综上所述，当△ECG是直角三角形时，点E的坐标 最大值为 为(2,3)或(1,4). D(E) 2.解：(1)根据已知可得抛物线顶点坐标为(0,9)， A(一6,0)，B(6,0). 设抛物线对应的函数解析式为y=ax2+9, 1 把B(6,0)代入，得0=36a+9,解得a=-4: ,木板边缘所对应的抛物线的函数解析式为y= 2 1 r+9. 4.解：抛物线y=一x+bx十c经过A(一1,0)，B(5,0) (2)在矩形HGNM中，设M(m,一 4m+9) 两点，将点A,B的坐标代入，得 5b+o0. (0<m<6), 解得6=4， c=5. 由抛物线的对称性可知H(一m,一子m十9)。 故y=-x+4x+5. 由题意可设点P(m,一m2十4n十5)， ∴矩形HGNM的周长为2(2m-m+9） 则点E(m,-m+3),点Fm,0. 2(m—4)2+26] 因为点P在x轴上方，要使PE=5EF,则0<m< 5,所以PE=-m+4m+5-(←号m+3)=-m+ -2≤0，且0<m<6, 19 ∴.当m=4时，矩形HGNM的周长有最大值，最大 4m十2，EF= 3 一4m+3 值为26， PE=5EF. 即矩形HGVM的最大周长为26dm. 3.解：(1)，抛物线y=-x2十bx十c与x轴交于点 -m+19 A,B(3,0),与y轴交于点C(0,3), +2=-m+3 y=-x+b.x+3, 当-m+19 m+2=5(←m+3 将点B(3,0)代入y=-x+b.x+3, 得0=-9+3b+3,解得b=2, 解得m1=6.5(舍去)，m2=2. ∴.抛物线的函数解析式为y=一x十2x十3. 当-m”+19 3 直线1经过B(3,0),C(0,3), m+2=-5-子m+3 ∴.可设直线1的函数解析式为y=kx十3， 1+√69 解得m 将点B(3,0)代入，得0=3k+3,解得k=一1， 1一√6丽（舍去）m 2 2 .直线1的函数解析式为y=一x十3. 1+√69 (2)△BCD是直角三角形，理由如下： 综上所述，m的值为2或2 如图①所示，过点D作DH⊥y轴于点H. ",y=-x+2.x+3=-(x-1)+4, 9a-3h+3 .抛物线的顶点D(1,4). 5.解：由题意得 0. C(0,3),B(3,0), b一1 2 ..HD=HC=1.OC=0B=3. ∴，△DHC和△OCB是等腰直角三角形， .∠HCD=∠OCB=45, 16 此时图象C与抛物线有唯一公共点. 4 ②当抛物线经过(0,2)时，n=2,此时图象C与抛物 解得 故抛物线所对应的函数解析式为 线有两个公共点， 2 当抛物线经过(3,5)时，n=5,此时图象C与抛物线 有一个公共点， y= 2x+4 ∴2<n≤5时，图象C与抛物线有唯一公共点. 1 3 综上所述，2<n≤5或n=1时，图象C与抛物线有 当x=一1时，y=一 4+2+ =1, 4 唯一公共点 点D(-1,1). 2.解：(1)y=mx2-2mx十m-3=m(x-1)2-3, 设直线AD的函数解析式为y=k:x十c, ∴.抛物线的顶点坐标为(1，一3). 1 (2),抛物线y=mx”一2m.x十m一3(m>0)的对称 一3k十c=0·解得 k= 2 轴为直线x=1, -k+c=1, 3 线段AB上有且只有5个点的横坐标为整数，这些 =2 数为-1,0.1,2,3， ∴.当x=3时，y≤0，即9m-6m十m-3≤0， 直线AD的函数解析式为y=2x十2 13 如图所示，①当点M在x轴上方时 解得加≤是 当x=4时，y>0,即16m-8m十m-3>0, :∠MCB=∠DAC..DACM1. 设直线CM,的函数解析式为y=2x十61， 解得m>3' ,直线经过点C, m的取值范围为兮m<是 ÷-十6，=0，解得6，= 1 (3)抛物线y=m.x”一2mx十m一3(m>0)的对称 轴为直线x=1, 1 二直线CM,的函数解析式为y=?x十2 而在3<x<4位于x轴上方， .抛物线在一2<x<一1这一段位于x轴的上方. 1 1 y= 2x+2 在-1<x<0位于x轴下方， 联立 解得x1=一2十√5， .抛物线过点（一1,0）， 11 3 y=-x-2x+ 把(-1,0)代入y=m.x-2m.x+m一3，得 x2=-2-5(舍去). m十2m十m-3=0,解得m=3. ∴.m=-2十√5. 3.D ②当点M在x轴下方时，直线CM:与直线CM1关 4.解：(1)k=1.则y=x, 于x轴对称，由轴对称的性质可得直线CM的解析 b 2a =3, 1 1 1 =- 式为y=一 2 2 -b2 解得 3 b=2, 1 =3, 1 4a /y= 24- 2· 联立 1 a=- 1 3 36=2 y=- 41 2x+ 4 (2)依题意，顶点始终在直线y=x上， 解得x,=5,x2=一√5 (舍去)， 公。=k×.又a≠0，b≠0，解得6三2 ∴m=√5 (3)k=6, .b=12,顶点在直线y=6.x上. 综上所述，m的值为√5或-2+√5 专题六二次函数的动态 :对称轴为直线x=一2a一 12 2a 6是整数， 临界问题及整点问题 .当a=士1，士2，士3，士6时，x为整数 1.解：(1)①将(1,6)代入y=-x(x-3)+n, :抛物线开口向下，所以a为负数， ∴.6=-1×(1-3)十n, .a=一1，-2，一3，-6， 解得n=4, ∴当k=6时，这组抛物线中有4条会改变颜色 ∴.抛物线的函数解析式为y=一x十3x十4， 5.解：(1)将(0，一3)代人y=ax一2a.x+a+m, 令y=0,则0=-x2+3x十4， 得m=一3一a,对称轴为x= -2a=1. 解得x1=一1，x:=4, 2a .点A的坐标为（一1,0），点B的坐标为(4,0) ,CP平行于x轴 ②将抛物线y=一x+3x+4向上平移2个单位长 ∴.点P与点C关于对称轴对称， 度可以得到y=一x(x-3)十6， 点P的坐标为(2，一3). ∴点A向上平移最短距离是2个单位长度，得到 (2)将(-1,3)代人y=a.x2-2a.x-3,得a+2a 点A. 3=3,解得a=2, (2)(3,n) .抛物线G的函数解析式为y=2.x2一4.x一3. (3)①当x+2=一x(x一3)十n有唯一实数根时， y=2x3-4x-3=2(x-1)-5, △=4n-4=0,解得n=1, .其顶点坐标为(1，一5). 17