22.2 二次函数与一元二次方程&专题4 确定二次函数解析式的技巧-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

.(x-1-m)2+1-n=(x-4)2-1, 设直线AD的解析式为y=dx十. ∴.1+m=4,1一=一1， ∴.m=3,n=2 “点A的坐标为1，）点D的坐标为(2,2， ,,n十n=5. 3 1 (4)当a>0时，抛物线有最小值一2，把(1，一2)代 ∴.2 =d十…， d=2' 入抛物线，得-2=a-2a十2， 2=2d+n,n=1, ,.a=4. 1 当a0时，抛物线开口向下， ∴直线AD的解析式为y=2t十L 当x=一2时，抛物线有最小值， 1 把(-2，-2)代人抛物线，得-2=4a+4a+2, 当x=0时，y=2x+1=1. 解得a=一 2-1=1, 2 ∴.图象W向下平移1个单位长度时，点C在直线 综上所述口的值为4或- AD上. 1 22.2二次函数与一元二次方程 当x=4时y=2x+1=3. (含课程标准新增内容) 63=3. 1.C2.C3.B4.C5.A6.x>3或x<-1 .图象W向下平移3个单位长度时，点E在直线 7.D AD上. 8.解：在平面直角坐标系中作出二次函数y=x2一x一1 ∴.当1<m≤3时，图象W向下平移m个单位长度 的图象如图所示. 与直线AD有唯一的公共点. 专题四确定二次函数解析式的技巧 1.解：(1)把(-1,6)代人y=a.x2-4ax十1，得a十 4a十1=6，解得a=1, ∴.抛物线的解析式为y=x一4x十1. 52 (2)y=a.x2-4a.x+1=a(.x-2)2-4a+1, ∴.抛物线的对称轴为直线x=2. ,抛物线的顶点的横坐标在1≤x≤5的范围内， 抛物线的顶点的纵坐标就是y的最小值一1， 观察图象，可知方程x一x一1=0有两个根，一个 在-1和-0.5之间，另一个在1.5和2之间. -4a十1=-1，解得a=2 在1.5和2之间，取以下值： 1 x1.61.7 1.8 1.9 心抛物线的解析式为y=2x一2x十1 y-0.040.19 0.440.71 当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，当x=1时， 观察表格可知，方程x”一x一1=0的一个根在1.6 1 y能大=2-2+1三-29 和1.7之间，而一0.04比0.19更接近0，故x 1.6. 当2<x≤5时，y随x的增大而增大，当x=5时， 同法可求出另一根x≈一0.6. 25 7 ∴方程x2一x一1=0的近似解为x1≈1.6，x2≈ y陆大= 2 2-10+1=2 -0.6. 9.B10.A11.D12.A ”-<名y的最大值为子 13.解：设抛物线的解析式为y=ax-D+2 (3),直线y=一x十1及抛物线y=a.x2-4ax十I 与y轴的交点都是(0,1)， 把(-1，号)代入得号=a(-1-1)+2 .直线y=一x十1与抛物线y=a.x一4a.x十1的两 个交点到x轴的距离都是1，且其中一个交点坐标 1 为(0,1)， 解得a=2 ∴.另一个交点的纵坐标为一1， 1 当y=-1时，由一1=一x+1,得x=2, ∴抛物线的解析式为y2(x一1D十。=名x .另一交点坐标为(2，一1)， x+2, 把(2，-1)代入y=a.x2-4ax十1，得4a-8a十 ∴.b=-1,c=2. 1 1=-1,解得a=2 (2)把x=0代人y=2x-x+2,得y=2, (4)由题意可知，抛物线G与抛物线G'围成的封闭 .点C的坐标为(0,2) 区域是以x轴为对称轴的轴对称图形， ,点D在抛物线上，且直线CD∥x轴， .该区域内x轴上有三个横、纵 2=之-十2，解得，=0，=2 坐标均为整数的点，x轴的下方 和上方各有四个这样的点，且两 点D的坐标为(2,2)，∴.CD=2. 两关于x轴对称. 如图所示，对于抛物线G,当x=1 1 (3)当x=4时，y=2×4-4+2=6, 时，y=-3a十1； 点E的坐标为(4,6). 当x=2时，y=一4a十1， 12 由题意，得厂2-3a十1<-1， 1 1-3≤-4a+1<-2, 8.1)y=-2x2+2x0<r<4(222 解得 9.15010.C11.C <a≤1， 12.解：(1)依题意，得AP=1,BQ=21. a的歌值范围是子a<1, 又，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运 动，BC=6, 2.解：(1)，二次函数y=一x2+bx+c的图象与x轴 ∴.0<t3. 交于A(一3,0)，B(1,0)两点， 又.AB=8. .可知二次函数的解析式为y=一(x+3)(x一1)， ..BP=AB-AP=8-t. .二次函数的解析式为y=一x2一2x十3， 又'∠ABC=90°， 令x=0,y=3, 1 1 .点C的坐标为(0,3). Samm=2BP·BQ=2(8-)·21=-I+ (2)y=-(x+1)2+4, 8=-(t-4)2+16, ∴，抛物线的对称轴为直线x=一1. .当1=2时，S△r0=-(2-4)+16=12. C,D两点关于直线x=一1对称，且点C的坐标 (2),SaPm=一(1一4)+16，开口向下，对称轴为 为(0,3)， 1=4, D(-2,3) ∴.当0<1≤3时，S△P阳随着1的增大而增大， 观察图象可知当x<一2或x>1时，一次函数值大 ∴.当t=3时.(S△ro）m*=-(3-4)2+16=15. 于二次函数值. 13.解：如图所示，连接E℃，过点D D (3)D(-2,3),B(1,0), 作DF⊥EC,垂足为点F. .直线BD的解析式为y=一x十1. ,∠DCB =∠CDE= 设E(m,一m十1)， ∠DEA, 则F(m,0),H(m,一m2-2m+3), ∠EAB=∠CBA=90°， 当EF=EH时.-m+1-名(-m-2m+3. ∴.∠DCB=∠CDE=∠DEA=[180°X(5-2) 1 解得m=1(舍去)或-1： 90°-90门×3=120. 当HE=HF时.-m-2m+3=号（-m+1. ,DE=CD,∴∠DEC=∠DCE=30°， .∴.∠CEA=∠ECB=120°-30°=90°， 解得m=1(舍去)或-2.5： ∴.四边形EABC为矩形，∴AE=BC 当FH=FE时，一m+1+(一n-2m+3)=0, ,DE=rm,.AE=(12÷2-x)m=(6-x)m, 解得m=1(舍去)或一4. 1 DF= 综上所述，满足条件的点E的横坐标为一1或一2.5 2 m. 或一4， 3.解：(1)抛物线y=a.x十bz十c经过A(2.0), 由勾股定理，得EF= 2 m, ∴.0=4a+2b+c.① ∴.AB=EC=√3xm. b=1.@ :对称轴是直线x=1一 1 、1。反。.x十（6—x》·3xx”十 关于x的方程a.x2+b.x十c=x有两个相等的实 数根， 6v3x= 3 2(x-4)2+123(0<x<6). ∴.4=(b-1)2-4ac=0.③ 4 1 a=- 2 :-35<0. 4 由①②③可解得 b=1, ∴.当x=4时，S最大，且S斯灰m=123m2. c=0. 14.解：(1)设t秒后点P,D之间的距离是点P,Q之 1 ·抛物线的函数解析式为y=一 x2+x. 间距离的2倍，.PD=2PQ, ,四边形ABCD是矩形， (2),n<-5, .∠A=∠B=90°， .3n-4-19,5n+6<-19. .PD*=AP*+AD. ∴.点B,点C在对称轴直线x=1的左侧. PQ=BP1+BQ°， 1 1 ~抛物线y=-2r+x,一2<0， PD=2PQ,则PD=4PQ, ∴.8+(2：)2=4[(10-21)+1]， ∴.在对称轴左侧y随x的增大而增大。 解得11=3,12=7. (3n-4)-(5n+6)=-2n-10=-2(n+5)>0, ,1=7时，10-21<0， .3n-4>5n+6,…y1>y: .1=3. 22.3实际问题与二次函数 即3秒后，点P,D之间的距离是点P,Q之间的距 第1课时几何图形问题 离的2倍. 5 (2)设x秒后，△DPQ的面积为Scm, 1D21大-53-7小- 4.A5.B 则S=80- 1 1 ×8×2x+2(10-2x)· 6.C7.32 1322.2二次函数与一元二次方程 (含深程标准新增内容)（答案P12) 通基础>9922922999922999 A.-1<x<5 B.x>5 C.x<-1 D.x<-1或x>5 知识点1利用二次函数图象解一元二次方程 1.新视野》二次函数y=ax2+bx十c的图象如 图所示，则方程ax2十bx十c=0的根是( A.x1=1,x2=-1 B.x1=0,x2=2 第5题图 第6题图 C.x1=-1,x2=2 6.二次函数的部分图象如图所示，则当y<0时， D.x1=1,x2=0 x的取值范围是 2.如图所示，抛物线y=ax2与直线y=bx十c 知识点4二次函数系数的符号的确定 的两个交点分别为A(一2,4)，B(1,1),则关于 7.(2023·张家口四模)如图所示的是二次函数 x的方程a.x2-bx一c=0的解为() y=ax2+bx+c图象的一部分，且过点A(3, 0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列 结论正确的是() A.-4,3 B.-5,2 C.-2,1 D.-3,2 知识点2二次函数的图象与x轴的公共点个 A.b2<Aac B.ac>0 数与对应的一元二次方程的根的判 C.2a-b=0 D.a-b+c=0 别式之间的关系 3.教材P44思考变式抛物线y=x2十4x十4与 知识点5利用二次函数y=ax2+bx十c的图 x轴的公共点有() 象求一元二次方程的近似解 A.0个 B.1个C.2个 D.3个 8.用图象法求方程x2一x一1=0的近似解.（精 4.已知二次函数y=kx2一7x一7的图象和x轴 确到0.1) 有公共点，则的取值范围是() A>-号 B> 4 C.k≥-4且k0 D.k>- 4且k≠0 知识点3利用二次函数y=ax2十bx十c的图 象解不等式 5.几何直观◆如图所示是二次函数y=ax2十 bx十c的部分图象，由图象可知满足不等式 ax2+bx+c>0的x的取值范围是() 47 优学海课阴通 辑互忽视抛物线与y轴的交点 通素养 9.抛物线y=一x2十4x一5与坐标轴的交点 13.(2023·石家庄模拟)如图所示，在平面直角 有() 坐标系中，抛物线y=ax2十bx十c(a≠0)的 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 顶点为A1,》,且经过点B(-1,2),交y 通能力 轴于点C,点D在抛物线上，且直线CD∥ x轴。 10.“如果二次函数y=ax2十bx十c的图象与x (1)求a,b,c的值. 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2十 (2)求线段CD的长。 bx十c=0有两个不相等的实数根.”请根据 (3)过点(4,0)作平行于y轴的直线与抛物线 你对这句话的理解，解决下面问题：若m,n 交于点E,抛物线在点C,E之间的部分（包括 (m<n)是关于x的方程1-(x-a)(x-b)= 点C,E)记作图象W,若图象W向下平移 0的两根，且a<b,则a,b,m,n的大小关系 m(m>0)个单位长度与直线AD有唯一的公 是() 共点时，请求出m的取值范围. A,m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b 11.已知二次函数y=(a十1)x2十2bx+(a十1) 的图象和x轴只有一个公共点，则下列判断 正确的是() A.1一定不是关于x的方程x2十b.x十a=0 的根 B.0一定不是关于x的方程x2十bx十a=0 的根 C.1和一1都是关于x的方程x2+bx十a=0 的根 D.1和一1不都是关于x的方程x2+bx+ a=0的根 12.(2023·河北中考)已知二次函数y= 一x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图 象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每 相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图 象对称轴之间的距离为() A.2 B.m2 C.4 D.2m2 一九年围上密数学：则河北有润 48 专题四 确定二次函数解析式的技巧（答案P12) 类型1含有一个待定系数 (1)求二次函数的解析式及点C的坐标： 1.(2023·唐山路南区二模)如图①所示，在平面 (2)结合图象直接写出使一次函数值大于二次 直角坐标系xOy中，已知抛物线G:y=ax2 函数值的x的取值范围。 (3)若点E(不在x轴上)是直线BD上一动 4ax+1(a>0). (1)若抛物线过点A(一1,6)，求出抛物线的解 点，过点E作EF⊥x轴于点F交抛物线于点 H,且点E,F,H三点中有两点关于第三点成 析式 中心对称，直接写出点E的横坐标。 (2)当1≤x≤5时，y的最小值是一1，求1≤ x≤5时，y的最大值， (3)已知直线y=一x十1与抛物线y=ax2 4ax十1(a>0)存在两个交点，若两交点到x 轴的距离相等，求a的值. (4)如图②所示，作与抛物线G关于x轴对称 的抛物线G',当抛物线G与抛物线G围成的 封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐 标均为整数的点时，求a的取值范围. 类型3含有三个待定系数 3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0), B(3n一4，y1),C(5n十6，y2)三点，对称轴是直 线x=1.关于x的方程ax2十bx十c=x有两 个相等的实数根， (1)求抛物线的函数解析式， (2)若n<一5，试比较y1与y2的大小 类型2含有两个待定系数 2.(2023·唐山丰润区期中)如图所示，二次函数 y=一x2+bx十c的图象与x轴交于A(一3， 0),B(1,0)两点，与y轴交于点C,点C与D 是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的 图象经过B,D 49 优学海课阴通