专题1一元二次方程的解法-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)河北专版

专题一一元二次方程的解法（答案3） 类型1国限定方法解一元二次方程 A.①直接开平方法：②公式法；③配方法 1.在下列方程中，一定有实数解的是() B.①因式分解法：②公式法：③公式法 A.x2+1=0 B.(2x+1)2=0 C.①直接开平方法：②因式分解法：③配方法 D.①直接开平方法；②公式法：③因式分解法 C.(2x+1)2+3=0 D.(zz-a)-a 5.用适当的方法解一元二次方程： 2.(2023·唐山迁安模拟)用配方法解一元二次 (1)x2-5.x+4=0: 方程x2一4x一6=0，下列变形正确的 是() A.(x-2)2=-6+4B.(x-2)2=6+2 C.(.x-2)2=-6+2D.(x-2)2=6+4 3.解下列方程： (2)x2-2.x-15=0: (1)(x-2)2=9(直接开平方法)： (3)5.x2=4-2x: (2)x2-4x-5=0(配方法)： (3)(x十1)(x-3)=2.x-6(因式分解法)： (4)x(x-2)=2-x, (4)3.x2+2x-1=0(公式法). 类型3一元二次方程的特殊解法 6.若实数x满足(x2+3.x)+2(x2十3.x)-3 0,则x2+3.x的值为() A.3 B.-3或1 C.1 D.-1或3 类型2选用适当的方法解一元二次方程 7.已知方程x一5.x2十6=0，设y=x2,则原方程 4.解下列方程：①(x-2)2=5;②.x2一3.x-2=0: 变形为 ,原方程的根 ③x2一4x一896=0.其中较适当的方法 为 为() 一九年级上用敬学+以河北专润 12 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (深程标准变动为考查内容)（答案P4) 通基础》222292349222999 7.已知关于x的一元二次方程x2一(2m十1)x+ m2十m=0. 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不等的 两根之积 实数根. 1.(2023·保定定州期中)已知x1,x2是一元二 (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十b)· 次方程2.x2一4.x十1=0的两个实数根，则 (a+2b)=20,求m的值. x1·x等于() A.-2 B.2 1 c D.2 2.新视野关于x的方程x”十b.x十c=0的两根 为1和一2，则b,c的值分别为() A.b=1,c=-2 B.b=-1,c=-2 烟固用根与系数的关系时忽视隐含条件 C.b=3,c=2 D.b=-3,c=2 “△≥0” 知识点2利用根与系数的关系求相应代数式 8.关于x的方程x2+(a十1)x十a2=0的两根互 的值 为倒数，则a= 3.若一元二次方程x2一x一2=0的两根为x1, x2,则(1+x)十x2(1-x1)的值是( 通能力● >33>3>39>333>>3>23293303>>7923》 A.4 B.2 C.1 D.-2 9.(2023·邯郸邯山区一模)一元二次方程x2 4.已知x1,x2是方程2x一3.x一1=0的两根，则 3.x一1=0与x2一x+3=0的所有实数根的和 x+x2= 等于() 划识点3利用根与系数的关系求方程中待定 A.2 B.-4 C.4 D.3 字母的取值或取值范围 10.推理能方◆若一个菱形的两条对角线长分别 5.已知x1,x2是关于x的方程x2十bx一3=0的 是关于x的一元二次方程x2一10.x十m=0 两根，且满足x1十x2一3x1x2=5,那么b的值 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边 为() 长为( ) A.4 B.-4C.3 D.-3 A.3 B.23 C.√14 D.214 6.若关于x的一元二次方程x2十2.x十1一2m=0 11.已知关于x的一元二次方程mx2一(m十2)x十 有两个实数根，且这两个实数根之积为负数， ?=0有两个不等的实数根1：若十 则实数m的取值范围是( 1 A.m≥0 B.m> 2 ⊥=4m,则m的值是( T A.2 B.-1 C.0<m<2 1 n0Cm<号 C.2或-1 D.不存在 优+学第·讯时逊一∴a的值可以为0,1,2. x+3=0, 当a=0时，方程为x2-5=x(0-2)-2, x1=1,x2=-3. .x2+2x-3=0, ④x2+3x-4=0,(x-1)(x+4)=0,x-1=0,或 x1=-3,x2=1. x+4=0, 当a=1时，方程为x2-5=x(x一2)一2， ,.x1=1,x2=一4. .2x-3=0, 猜想：第2023个方程的根为x1=1, 此时方程不是一元二次方程， x2=-2023. 即此种情况不符合题意，舍去， 专题一 一元二次方程的解法 当a=2时，方程为x2-5=x(2x一2)-2， 1.B2.D .x2-2x+3=0, 3.解：(1)(x-2)2=9, 此时，△=4-4×1×3<0， x-2=士3， ∴.方程x2-5=x(2x-2)-2无解。 x-2=3或x-2=-3, 综上所述：当a=0时，方程的解是x1=一3， x1=5,x2=-1. x1=1;当a=2时，方程无解. (2)x2-4x-5=0, 21.2.3因式分解法 x2-4x=5, 1.C2.A3.D4.(x-2)(x+3) x2-4x+4=5+4, 5.x十3=0（或x一1=0） (x-2)2=9, 6.解：(1)因式分解，得(x+3)(x-3)=0. 于是得x十3=0或x一3=0， x-2=士3， x-2=3或x-2=-3, .x1=一3，x2=3. (2)因式分解，得2(x-5)(x+3)=0. x1=5,x2=-1. (3)(x十1)(x-3)=2x-6, 于是得x-5=0或x十3=0， (x十1)(x一3)=2(x-3), x1=5,x2=-3. (x+1)(x一3)-2(x-3)=0, 7.A8.B (x-3)(x+1-2)=0, 9.解：(1)(x-2)- 7 25x-2=± 51 (x-3)(x-1)=0, x-3=0或x-1=0, 17 3 所以x1=5x?=5 x1=3,x2=1. (4)3x2+2x-1=0, (2)x2-2x=2,x2-2x+1=3, ,a=3,b=2,c=-1 (x-1)2=3,x-1=士3， .b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, 所以x1=1十√3，x2=1一3， (3)a=4,b=一5，c=-7, x=-6±y6-4ae=-2±16 2a 6 △=b2-4ac=(-5)2-4×4×(-7)=137>0.方程 1 5土√1375土√137 有两个不等的实根x= 六x1=3x=-1 2×4 4.A 所以x1=5+137 5-√137 5.解：(1)a=1,b=-5,c=4, 8 8 ,b2-4ac=(-5)2-4×1×4=9, (4)(x-2)2+5(x-2)-0, -(-5)士√95±3 (x-√2)(x-√2+5)=0， - 2×1 2 x-√2=0或x-√2+5=0， 即x1=4,x2=1. 所以x1=√2，x2=√2-5. (2)x2-2x=15, x2-2x+1=16, 10.A11.C12.C13.114.4+2√2 (x-1)2=16, 15.解：(1)x2+2x-8=0, x-1=4或x-1=-4, (x+4)(x-2)=0, x1=5,x2=-3. x十4=0或x一2=0， (3),5x2=4-2x, 解得x1=一4，x2=2. (2)设一次项系数“口”为b, ∴.5x2+2x-4=0. 将x=-1代人x2+bx-8=0, a=5,b=2,c=-4, 得(-1)2-b-8=0, ∴.4=22-4×5×(-4)=84>0， 解得b=一7， -2±√84-1±21 'x= 即原题中系数“口”是一7. 2×5 5 16.解：(1)第n个方程为x2+(n-1)x-n=0. -1+√21 -1-√2I (2)①x2-1=0,(x-1)(x+1)=0, x1= 5 ,2= 5 x-1=0,或x十1=0， (4)x(x-2)=2-x, ∴.x1=1,x2=-1. x(x-2)+x-2=0, ②x2+x-2=0,(x-1)(x+2)=0, (x-2)(x+1)=0, x-1=0,或x十2=0， .x-2=0或x+1=0, x1=1,x2=-2. 解得x1=2,x2=-1. ③x+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x-1=0,或6.C 3 7.y2-5y+6=0 最小值1. x1=-√2，x2=2,x=3, 阶段检测一（21.1~21.2) x,=-√3 1.C2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.2029 ·21.2.4一元二次方程的根与系数 的关系（课程标准变动为考查内容） 9.m3-3m-10=0510.511.24 5.A6.B 12.解：(1)，4(6x-1)2=25, 1.C2.A3.A4. 7.解：(1)证明：，△=[-(2m+1)]2-4(m2+m) (6x-1)2=25 4 =4m2+4m十1-4m2-4m 6z-1-士号解得-7，- 7 =1>0, 41 ∴无论m取何值，方程都有两个不等的实数根。 (2)原方程整理为x2-4x+1=0. (2),该方程的两个实数根为a,b, a=1,b=-4,c=1, ÷a+b=-二(2m+1D=2m+1,ab=m2+m ∴.△=b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0. 1 方程有两个不等的实数根 m2十m. ,(2a+b)(a+2b) x=4生厘-4生25 2×1 2 =2士3. =2a2+4ab+ab+2b2 =2(a2+2ab+b2)+ab x1=2+5,x2=2-W3 =2(a+b)2+ab, (3),x2+3x-2=0,∴.x2+3x=2. .2(a+b)2+ab=20, .2(2m+1)2+m2+m=20, 21 整理得m2十m一2=0， 解得m1=一2，m2=1, 2,x,=二7-3 解得x,=7-3 2 m的值为一2或1. (4)x(x-7)=8(7-x), 8.19.D10.C11.A12.202313.16 x(x-7)+8(x-7)=0. 14.3<m5 .(x一7)(x十8)=0. 15.解：(1)根据根与系数的关系， x一7=0，或x十8=0， 得q=-3×1=-3, 解得x1=7,x2=一8. p=-(-2+4)=-2. 13.解：(1)x=-1 则p的值为一2,9的值为一3. a-1=0, a=1, (2)由(1)得方程为x2一2x一3=0， (2)根据题意，得{b一2=0，解得{b=2, .n2-2n-3=0,∴.n2-2n=3. c+3=0, c=-3, :m十n=2,mn=-3, 则方程是x2+2x一3=0， .m2+2n2+pn=m2+2n2-2n=(m+n)2 即(x+3)(x-1)=0, 2mn十n-2n=4+6+3=13. .x十3=0或x-1=0, 16.解：(1)根据题意，得△=(2m+1)2- x1=-3,x2=1 4(m2-2)≥0， 14.解：(1)(2ax+b) 解得m≥-9， ,所以m的最小整数值为一2. (2)0b2-4ac≥0②-6S aa (2)根据题意，得x1十x2=一(2m十1)，x1x2= (3)x2-4x-1=0, m2-2. x2-4x=1, (x1-x2)2+m2=21, x2-4x+4=1+4, ∴.(x1十x2)2-4x1x2十m2=21. (x-2)2=5, .(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21, 整理，得m2+4m一12=0，解得m1=2,m2=一6. x-2=±5，x1=2+W5,x2=2-5, 9 ∴x1十x2=2+5+2-5=4, ”m≥-4心m的值为2. x1x2=(2+√5)(2-√5)-2-(W5)2=-1. 17.解：(1)将原方程整理为x2+2(m一1)x+m2=0. 15.解：(1)，x8+2xy+2y+2y+1=0, 原方程有两个实数根， ∴.(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0, ∴.△=[2(m-1)]2-4m2=-8m+4≥0， .(x+y)2+(y+1)2=0. 解得m≤2 1 又：(x+y)≥0，(y+1)2≥0， x+y=0,y+1=0, (2)x1,x2为一元二次方程x2=2(1-m)x一m x=1,y=-1,.x-y=2. 的两实数根， (2)a2+b2-6a-8b+25=0, 即x1,x2为一元二次方程x2十2(m一1)x十m2= ∴.(a-6a+9)+(b2-8b+16)=0, 0的两实数根。 .(a-3)2+(b-4)2=0, 1 ∴y=x1+x2=-2m+2,且m≤2 .a-3=0,b-4=0, ,.a=3,b=4. 因为y随m的增大而减小，故当m=2时，y取得 ,三角形两边之和大于第三边， .c<a+b,即c<3+4,