第07讲 圆与圆的位置关系（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年高二数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019选修一）

第07讲 圆与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 两圆相切问题中考虑不全面漏解致错 题型方法 题型一 圆与圆位置关系的判断 题型二 与两圆相切有关的问题 题型三 与两圆相交的有关问题 题型四 与两圆位置关系有关的综合问题 知识清单 知识点01圆与圆的位置关系及其判断 1. 代数法：设两圆的方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)， C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)，联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到 的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按下列表中的标准进行判断. 2. 几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，按下列表中的标准进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公共点个数 0 1 2 1 0 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与r1，r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点02两圆位置关系的判断 1. 几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中常用的方法. 2. 代数法：将两圆的方程联立，得到方程组，解方程组，根据方程组解的组数判断两圆的位置关系. 知识点03两圆相切问题  1. 两圆相切包括内切和外切，若只知道相切，则需分内切、外切两种情况讨论，再根据两圆的圆心距与半径的关系列方程解决问题. 2. 求两圆外公切线问题的关键 (1)判断两圆的位置关系； (2)设公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得参数所满足的方程，求出参数值得切线方程. (3)可通过作图解决，画图要标准，做到“草图不草”. 知识点04两圆的公共弦问题 1. 两圆的公共弦所在直线方程的求法 设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0). 由 ，①-②，得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. ③ 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程①②，也适合方程③，因此方程③就是经过两圆交点的直线方程. 故当两圆相交时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程. 当两圆外离时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程. 当两圆相切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程 若两圆是等圆，则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程. 2. 两圆公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：用几何法解两圆的公共弦问题的步骤 ①将两圆的方程作差，求出公共弦所在直线的方程； ②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离； ③利用勾股定理求出公共弦长. 3. 求经过两圆交点的圆的方程的方法 一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (+-4F2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ∈R，λ≠-1)，再由其他条件求出λ即得圆的方程. 知识点05解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去. 易错分析 【易错点一】两圆相切问题中考虑不全面漏解致错 【例1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【答案】D 【分析】分类讨论，两圆外切和内切两种情况，分别根据圆心距与半径的关系即可求解． 【详解】圆圆心为，半径为，圆圆心为，半径为， 当两圆外切时，，即，解得； 当两圆内切时，，即，解得或（舍）； 所以当两圆相切时，或， 故选：D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆 ，圆，.如果这两个圆相切，则实数a的值是 【答案】0或 【分析】两个圆相切，则两个圆内切或外切，分别求出a，即可得出结论. 【详解】圆，半径，圆，半径， 因为两个圆相切所以两个圆内切或外切， 两个圆内切时，，即，解得； 两个圆外切时，，即，解得； 所以实数a的值为0或． 故答案为：0或． 【变式2】（21-22高二·江苏·课后作业）求半径为8且与圆相切于原点的圆的方程． 【答案】或 【分析】设所求圆的方程为，进而根据题意得在此圆上，且圆心在直线上，进而代入解方程即可得答案. 【详解】解：将圆化为标准方程得. 从而圆心为，半径为， 所以经过此圆心和原点的直线的方程为. 设所求圆的方程为. 由题意知在此圆上，且圆心在直线上， 则有解得或 所以，所求圆的方程是或. 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·期中）若圆C的圆心在x轴上，且与直线相切于点． (1)求圆C的方程： (2)若圆C1与圆C相切，求实数m的值． 【答案】(1) (2)或1. 【分析】（1）设出圆心坐标，根据半径相等列出方程，求出圆C的方程； （2）先求出圆的圆心为，半径为3，分两圆内切和外切两种情况，列出方程，求出实数m的值. 【详解】（1）设圆心坐标为， 则， 解得：， 故圆心坐标为，半径为， 故圆C的方程为； （2）圆C1变形为， 故圆心为，半径为3， 若圆与圆C相外切，则， 解得：， 若圆与圆C相内切，则， 解得： 综上：或1. 题型方法 【题型一】圆与圆位置关系的判断 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 【答案】A 【分析】求出两圆半径及圆心距，再判断两圆的位置. 【详解】圆：的圆心，半径，圆：圆心，半径， 而，所以两圆相交. 故选：A 解题技巧 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径． (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 【举一反三】【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线，圆，圆，.则下列说法正确的有（   ） A．若圆心在直线上，则直线与圆相切 B．若圆心在圆内，则直线与圆相离 C．若直线与圆相切，则圆与圆相切 D．若直线与圆相交，则圆心在圆外 【答案】ABD 【分析】根据两圆标准方程可得两圆圆心以及两圆的半径，根据点与圆、直线与圆的位置关系由点到直线的距离公式计算对选项逐一进行判断，即可得出结论. 【详解】对于A，易知圆心，半径，圆心，半径为； 若圆心在直线上，可得； 此时圆心到直线的距离为，与半径相等，即直线与圆相切，即A正确； 对于B，若圆心在圆内可得， 此时圆心到直线的距离为，即直线与圆相离，即B正确； 对于C，若直线与圆相切可得，即， 此时圆与圆的两圆心距为，满足，此时两圆相交，即C错误； 对于D，若直线与圆相交，可得，可得； 则可得圆心在圆外，即D正确. 故选：ABD 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【答案】相交 【分析】首先将圆的方程化为标准方程，求得两圆的圆心坐标、半径，由两点间的距离公式算出圆心距，比较圆心距与半径之和、半径之差的大小关系即可求解. 【详解】由题意圆的标准方程为， 所以圆的圆心、半径， 由，可知圆的圆心，半径， 所以两圆的圆心距，所以， 所以圆与圆的位置关系是相交. 故答案为：相交. 【变式3】（22-23高二·江苏·假期作业）已知两圆，，判断圆与圆的位置关系． 【答案】圆与圆的位置关系是相交 【分析】利用圆心距与两圆半径之间的关系判断可得结果. 【详解】把圆的方程化为标准方程，得,则圆的圆心坐标为，半径． 把圆的方程化为标准方程，得,则圆的圆心坐标为，半径． 圆与圆的圆心距， 又圆与圆的半径之和是，半径之差是， 而，即，所以圆与圆的位置关系是相交． 【题型二】与两圆相切有关的问题 【例2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断两圆的位置关系，即可得出结论. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 圆心距为，所以，， 所以，两圆相交，故两圆的公切线条数为. 故选：B. 解题技巧 通过圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知圆与圆，若圆与圆外切，则实数的值为（      ） A．2 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【分析】求出两圆圆心坐标后根据两圆位置关系可得，解得. 【详解】易知圆的圆心为，半径； 圆可化为，圆心，半径； 易知，由圆与圆外切可知，即， 解得. 故选：B 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求得圆的圆心和半径，从而求得圆的方程. （2）根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，由弦长来求得直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 直线的方程是，所以圆的圆心可设为， 则，则， 半径， 所以圆的方程为. （2）由，令，解得， ，所以直线符合题意. 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由于，所以到直线的距离为， 所以，解得， 直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. 【题型三】与两圆相交的有关问题 【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两圆相交建立不等式求解. 【详解】由圆的方程可知，，， 所以根据两圆相交可得，即或， 故选：C 解题技巧 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出已知两圆的交点，求线段的中垂线，联立待求圆圆心所在直线，即可得出圆心坐标. 【详解】设圆与圆的交点为A，B 联立两圆方程，得，解得，或． 不妨记，， 于是的中点为， 从而可得的垂直平分线方程为 ，即， 联立与，得解得， 即圆心坐标为． 故选：D． 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】两圆方程相减可得公共弦的方程，再利用直线的倾斜角求出斜率即可求解. 【详解】因为圆，即与圆相交于两点， 所以两圆方程相减可得公共弦的方程，即， 因为直线的倾斜角为， 所以直线的斜率，解得， 故答案为： 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点都在圆上； (1)求圆的标准方程； (2)已知圆与圆相交于，求直线的方程，并求. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用待定系数法，设圆的一般方程为，列出方程组求出，然后化为标准方程即可； （2）根据两圆的方程相减可得直线的方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式计算可求出． 【详解】（1）设圆的一般方程为， ∵点都在圆上， ∴，解得， ∴圆的一般方程为， 化为标准方程为：. （2）圆，圆， 圆与的方程相减得，即， ∴直线的方程为， 圆的圆心，半径， ∵到直线的距离为， ∴. 【题型四】与两圆位置关系有关的综合问题 【例4】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由可得点轨迹方程，又点在圆上，由两圆有公共点，建立不等式求解的范围即可. 【详解】设，则由，得到､ 整理得到，又点在圆上， 所以与圆有公共点， 又的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径， 所以，解得. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据几何的思路得到当以为直径的圆与圆外切，且圆心连线与垂直时，线段长度最小，然后求即可. 【详解】由圆得圆心,半径. 因为直线上存在两点，使得恒成立， 则以为直径的圆与圆有交点，当长度最小时，两圆外切， 且两圆圆心所在直线与垂直，如图，    因为圆心到直线的距离， 所以， 故选：A 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上任一点，点为的中点，若点满足，则线段长度的最大值为 . 【答案】7 【分析】相关点法求出点的轨迹方程，得到点在以为圆心，1为半径的圆上，直接法得到点在圆上，数形结合得到当点时，取得最大值，最大值为7. 【详解】设，由于，点为的中点，故的坐标为， 将其代入中得，，化简得， 即点在以为圆心，1为半径的圆上， 设，则，整理得， 故点在圆上， 画出两圆，可以看出当点时，取得最大值，为7. 故答案为：7 【变式3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点的位置，即可得出直线的斜率； （2）设出点坐标，利用圆与圆外切和圆到原点的距离即可得出圆的方程. 【详解】（1）在圆中， ，圆心，半径， 当最大时，与圆相切，, 此时点为的中点， 点恰好是以为圆心，为直径的圆与的交点， 此时, ∴, （2）由题意及（1）得， 在圆中， 圆心，半径， 圆过点及点， ∴圆的圆心在直线上， 设，半径为， 因为圆与圆外切， 所以，即， 又，即， ∴联立解得：或(舍)， 所以， 故所求圆的标准方程为：. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】C 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由圆心距与半径和差关系判断两圆的位置关系. 【详解】圆的圆心为，半径为3， 圆的圆心为，半径为2， 两圆的圆心距为， 即两圆的圆心距等于半径和，所以两圆外切. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆有且只有三条公切线，则实数的值为（    ） A．6 B．4 C．6或 D．4或 【答案】C 【分析】由题意可得两圆外切，即可得，计算即可得. 【详解】由圆与圆有且只有三条公切线，故两圆外切， 故，即，解得. 故选：C. 3．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 【答案】C 【分析】根据有3条公切线，得两圆外切，从而，解出的值即可. 【详解】因为是圆，所以， 因为两圆的公切线恰有3条，所以两圆外切， 因为，所以，解得， 故选：C. 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点，由圆与圆的位置关系建立不等式求解即可． 【详解】因为圆上总存在两个点到点的距离为， 所以圆与以为圆心，为半径的圆有个公共点， 则圆与圆相交， 所以，即， 解得：或， 所以实数的取值范围是． 故选：A． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为两圆相交，进而可得，求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径为. 设圆， 由题意，两圆有两个公共点，即两圆相交，所以， 解得，即或. 所以实数a的取值范围是. 故选：D. 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】设两圆心，由圆心到切线距离等于半径求出，再结合求出即可计算. 【详解】两圆的一条公切线的方程为 即过点， 不妨设两圆心，则， 则，， 则，故. 故选：D 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（   ） A．1 B．3 C．8 D．9 【答案】AD 【分析】判断点O与圆C的位置，再利用两圆相离列出不等式求解即得. 【详解】由得的圆心，半径， 又，显然点O在圆C外， 由于圆O与圆C无公共点，则圆O与圆C可以外离，也可以内含，且圆C在圆O内， 设圆O的半径为R，于是或，即或， 解得或，所以圆O的半径可以是1或9，即AD满足，BC不满足. 故选：AD 8．（24-25高二上·江苏盐城·期中）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 【答案】BC 【分析】将问题转化为圆与相交，从而可得，进而可求出实数a的取值范围. 【详解】到点的距离为2的点在圆上， 所以问题等价于圆上总存在两个点也在圆上， 即两圆相交，故， 解得或， 所以实数a的取值范围为， 结合选项可知BC满足条件， 故选：BC． 9．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知为圆上一动点，动圆，则（    ） A．动圆必过定点 B．圆与圆内切 C．直线与圆相离 D．直线被圆所截得的弦长存在最大值 【答案】ABD 【分析】对于A：分析可知，动圆必过定点；对于B：根据两圆位置关系分析判断；对于C：求得点到直线的距离，可知直线与圆相切；对于D：利用基本不等式可得点到直线的距离有最小值，即可分析判断. 【详解】对于选项A：因为圆的圆心为，半径， 动圆的圆心为，半径， 显然，所以动圆必过定点，故A正确； 对于选项B：圆的圆心为，半径， 则，所以圆与圆内切，故B正确； 对于选项C：因为点为圆上，则， 点到直线的距离， 所以直线与圆相切，故C错误； 对于选项D：因为，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 点到直线的距离， 当且仅当时，等号成立， 即有最小值，所以直线被圆所截得的弦长存在最大值，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 【答案】 【分析】求出公共弦所在的直线方程，再利用圆的弦长公式计算得解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为， 点到直线的距离， 所以公共弦长为. 故答案为： 11．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 【答案】2 【分析】先判断两圆的位置关系，得到公切线的条数即可． 【详解】由题意得圆的圆心坐标为，半径为1， 的圆心坐标为，半径为2， 则圆心距为， 故两圆相交，则两圆的公切线的条数是2条. 故答案为：2 12．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 【答案】 【分析】根据圆的方程写出圆心和半径，由题意有，即可求参数范围. 【详解】由，则， 由，则， 则， 因为圆与圆有公共点，所以， 即，解得， 所以实数取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，圆的半径为1. (1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)若圆的圆心在直线：上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆圆心的横坐标的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）确定圆方程，考虑切线斜率不存在和存在两种情况，根据圆心到直线的距离等于半径计算得到答案. （2）确定圆方程，根据得到的轨迹为圆，确定两圆的位置关系，解得答案. 【详解】（1）圆的圆心坐标为，半径为1，故圆方程为， 当切线斜率不存在时，易知与圆相切； 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 圆心到直线的距离为，解得，切线方程为：； 综上所述：切线方程为或. （2）圆方程为， 设，，故， 整理得的，故在两圆的交点上，故两圆相切或者相交， 即，解得或， 故. 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得以为直径的圆的方程为，即可根据两圆位置关系求解. （2）根据中点坐标公式得到，，再将两点的坐标代入圆方程，建立方程组，根据方程组有解转化为圆与圆的位置关系进行求解． 【详解】（1）的中点为，所以以为直径的圆的方程为， 由于圆上存在点满足， 则P在以为直径的圆上，故该圆与有交点即可， 所以,解得 （2）由题可知，圆，所以圆心， 直线， 因为为线段上的任意一点，所以设，，， 因为为的中点， 所以， 又因为，都在以点为圆心的圆上， 所以，即， 所以方程组有解，即为圆心为半径的圆与为圆心为半径的圆有公共点，两圆圆心距离为， 所以对恒成立， 因为时，，所以，解得， 又因为在圆外，所以恒成立，所以，，所以， 所以， 15．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 【答案】(1)或 (2) 【分析】 （1）首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，分直线的斜率存在与不存在两种情况讨论，若直线的斜率存在，设的方程为，利用圆心到直线的距离为，求出，即可得解； （2）设圆的方程为，依题意圆心在直线上，从而得到方程组，解得即可. 【详解】（1）圆即， 圆心为，半径， 若直线的斜率不存在，则的方程为， 将代入圆的方程，解得或， 所以，符合条件； 若直线的斜率存在，设的方程为， 即． 因为，所以圆心到直线的距离为， 所以， 解得，所以直线的方程为， 综上，直线的方程为或. （2）设圆的方程为． 因为圆经过点，且与圆相切于点， 所以圆心在直线上， 所以，解得， 所以圆的方程为． 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆：，圆：（），直线：，：． (1)若圆与圆相内切，求实数m的值； (2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据半径与圆心距的关系可求实数的值. （2）根据弦长的长度之比可得关于的方程，从而可求实数的值. 【详解】（1）由题设可得，， 因为圆与圆相内切，故，其中， 解得. （2）到的距离为，到的距离为， 故，解得. 17．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，圆的方程为． (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 【答案】(1)1或 (2) 【分析】（1）求出两圆公共弦所在直线方程为，结合弦长求得； （2）结合已知条件求出圆的方程，求出圆心和半径，设出圆的标准方程，利用切点以及两圆圆心共线求出圆的圆心的横纵坐标之间的关系，然后利用圆半径相等即可求解. 【详解】（1）由题知两圆相交， 将圆与圆相减可得， 即两圆公共弦所在直线方程， 圆心到直线的距离为， 所以，解得或， 所以实数的值为或. （2）将点代入圆，可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆的圆心为，半径为， 设圆的标准方程为， 因为圆与圆相切于点，所以、、三点共线， 所以直线的方程为，即， 将点代入得①，又点在圆上， 则，即②， 由①②两式解得，，， 所以圆的标准方程为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 圆与圆的位置关系 题型梳理 易错分析 易错点一 两圆相切问题中考虑不全面漏解致错 题型方法 题型一 圆与圆位置关系的判断 题型二 与两圆相切有关的问题 题型三 与两圆相交的有关问题 题型四 与两圆位置关系有关的综合问题 知识清单 知识点01圆与圆的位置关系及其判断 1. 代数法：设两圆的方程分别为C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)， C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)，联立得方程组 消元后得到一元二次方程(若得到 的是一元一次方程，则要求出方程组的解进行判断)，计算判别式Δ的值，按下列表中的标准进行判断. 2. 几何法：设两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，按下列表中的标准进行判断. 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 公共点个数 0 1 2 1 0 Δ的值 Δ<0 Δ=0 Δ>0 Δ=0 Δ<0 d与r1，r2的关系 d>r1+r2 d=r1+r2 |r1-r2|<d<r1+r2 d=|r1-r2| d<|r1-r2| 公切线条数 4 3 2 1 0 知识点02两圆位置关系的判断 1. 几何法：将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较，进而判断出两圆的位置关系，这是在解析几何中常用的方法. 2. 代数法：将两圆的方程联立，得到方程组，解方程组，根据方程组解的组数判断两圆的位置关系. 知识点03两圆相切问题  1. 两圆相切包括内切和外切，若只知道相切，则需分内切、外切两种情况讨论，再根据两圆的圆心距与半径的关系列方程解决问题. 2. 求两圆外公切线问题的关键 (1)判断两圆的位置关系； (2)设公切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径得参数所满足的方程，求出参数值得切线方程. (3)可通过作图解决，画图要标准，做到“草图不草”. 知识点04两圆的公共弦问题 1. 两圆的公共弦所在直线方程的求法 设圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)，圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0). 由 ，①-②，得(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0. ③ 设两圆交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B的坐标适合方程①②，也适合方程③，因此方程③就是经过两圆交点的直线方程. 故当两圆相交时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是经过两圆交点的直线方程，即公共弦所在直线的方程. 当两圆外离时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是垂直于两圆圆心连线的一条直线的方程. 当两圆相切时，(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是两圆的一条公切线的方程 若两圆是等圆，则(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0是以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线的方程. 2. 两圆公共弦长的求法 (1)代数法：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求出弦长. (2)几何法：用几何法解两圆的公共弦问题的步骤 ①将两圆的方程作差，求出公共弦所在直线的方程； ②求出其中一个圆的圆心到公共弦的距离； ③利用勾股定理求出公共弦长. 3. 求经过两圆交点的圆的方程的方法 一般地，过圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与圆C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0 (+-4F2>0)交点的圆的方程可设为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0 (λ∈R，λ≠-1)，再由其他条件求出λ即得圆的方程. 知识点05解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知和未知. (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方程表示几何模型中的基本元素. (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去. 易错分析 【易错点一】两圆相切问题中考虑不全面漏解致错 【例1】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）若圆与圆相切，则（    ） A．6 B．3或6 C．9 D．3或9 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏无锡·期中）已知圆 ，圆，.如果这两个圆相切，则实数a的值是 【变式2】（21-22高二·江苏·课后作业）求半径为8且与圆相切于原点的圆的方程． 【变式3】（22-23高二上·江苏扬州·期中）若圆C的圆心在x轴上，且与直线相切于点． (1)求圆C的方程： (2)若圆C1与圆C相切，求实数m的值． 题型方法 【题型一】圆与圆位置关系的判断 【例1】（24-25高二上·江苏南京·期末）已知圆：，：，则两圆的位置关系为（    ） A．相交 B．外切 C．内切 D．内含 解题技巧 判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤 (1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径． (2)计算两圆圆心的距离d. (3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合． 【举一反三】【变式1】（多选）（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知直线，圆，圆，.则下列说法正确的有（   ） A．若圆心在直线上，则直线与圆相切 B．若圆心在圆内，则直线与圆相离 C．若直线与圆相切，则圆与圆相切 D．若直线与圆相交，则圆心在圆外 【变式2】（24-25高二上·江苏南通·期末）圆与圆的位置关系 . 【变式3】（22-23高二·江苏·假期作业）已知两圆，，判断圆与圆的位置关系． 【题型二】与两圆相切有关的问题 【例2】（24-25高二上·江苏南通·期中）已知圆，圆，则与圆和都相切的直线的条数为（    ） A． B． C． D． 解题技巧 通过圆与圆的位置关系，建立数学模型，利用方程思想，解决求圆的方程问题 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）已知圆与圆，若圆与圆外切，则实数的值为（      ） A．2 B．5 C．6 D．9 【变式2】（多选）（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高二上·江苏·期中）已知圆经过点，且与圆相切于点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于M，N两点，且，求直线的方程. 【题型三】与两圆相交的有关问题 【例3】（23-24高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆相交，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)求两圆的公共弦所在直线的方程的方法：将两圆方程相减即得两圆公共弦所在直线的方程，但必须注意只有当两圆方程中二次项系数相同时，才能如此求解，否则应先调整系数． (2)求两圆公共弦长的方法：一是联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；二是先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解． (3)已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C的圆心在直线上，并且圆C经过圆与圆的交点，则圆C的圆心是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知圆与圆相交于两点，若直线的倾斜角为，则实数的值为 ． 【变式3】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点都在圆上； (1)求圆的标准方程； (2)已知圆与圆相交于，求直线的方程，并求. 【题型四】与两圆位置关系有关的综合问题 【例4】（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点，使得，则正数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高二上·江苏·阶段练习）已知P是圆C：上一动点，若直线l：上存在两点A，B，使得能成立，则线段的长度的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，点是圆上任一点，点为的中点，若点满足，则线段长度的最大值为 . 【变式3】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，，为坐标原点. (1)若为圆上的动点，当最大时，求直线的斜率； (2)若圆过点及点，且与圆外切，求圆的方程. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏连云港·阶段练习）圆和圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．外切 D．内含 2．（24-25高二上·江苏徐州·期中）若圆与圆有且只有三条公切线，则实数的值为（    ） A．6 B．4 C．6或 D．4或 3．（24-25高三下·江苏常州·阶段练习）圆，若两圆的公切线恰有3条，则 （    ） A．4 B．6 C．16 D．36 4．（24-25高二上·江苏常州·期中）若圆上总存在两点到点的距离等于3，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若圆上总存在两个点到点的距离为3，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知圆心均在x轴上的两圆外切，半径分别为，若两圆的一条公切线的方程为 ，则（   ） A． B．2 C． D．3 二、多选题 7．（24-25高二上·江苏连云港·期中）若点为原点，且圆与圆没有公共点，则圆的半径可以是（   ） A．1 B．3 C．8 D．9 8．（24-25高二上·江苏盐城·期中）若圆上总存在两个点到点的距离为2，则实数的取值可能是（   ） A．0 B． C．1 D． 9．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知为圆上一动点，动圆，则（    ） A．动圆必过定点 B．圆与圆内切 C．直线与圆相离 D．直线被圆所截得的弦长存在最大值 三、填空题 10．（24-25高二上·江苏泰州·期中）已知圆和圆，则两圆的公共弦的弦长为 . 11．（24-25高二上·江苏南通·期末）已知圆和圆，则的公切线共有 条. 12．（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知圆，圆，如果这两个圆有公共点，则实数取值范围是 . 四、解答题 13．（23-24高二上·江苏无锡·期中）已知点，，圆的半径为1. (1)若圆的圆心坐标为，过点作圆的切线，求此切线的方程； (2)若圆的圆心在直线：上，且圆上存在点，使，为坐标原点，求圆圆心的横坐标的取值范围. 14．（23-24高二上·江苏常州·期中）已知圆，点，. (1)若圆上存在点满足，求半径的取值范围； (2)对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，，使得点是线段的中点，求的取值范围. 15．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知圆，点． (1)过点作直线与圆交于，两点，若，求直线的方程； (2)若圆经过点，且与圆相切于点，求圆的方程． 16．（24-25高二上·江苏常州·期中）已知圆：，圆：（），直线：，：． (1)若圆与圆相内切，求实数m的值； (2)若，被圆所截得的弦的长度之比为，求实数的值． 17．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）设为实数，圆的方程为． (1)若圆和圆的公共弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$