专题5 运用旋转知识作辅助线-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

9.解：设计的图案示例如图所示.（答案不唯一） 根据勾股定理，得PP'=√2BP=2√2， AP=1,.AP2+P'P2=1+8=9. 又P'A2=32=9,∴AP2+P'P2=P'A2, ∴△APP'是直角三角形，且∠APP'=90°， ∴.∠APB=∠APP'+∠BPP'=90°+45°=135. 思路二，将△PAB绕点B顺时针旋转90°，得到 3 △P'CB,连接PP',如图②所示. 10.解：(1)相同点：①两组邻边分别相等：②有一组对角 ∴.P'B=PB=2,P'C=AP=1,∠P'BP=90 相等；③一条对角线垂直平分另一条对角线：④一条 ∠APB=∠BP'C,.∠BP'P=45°，P'P= 对角线平分一组对角：⑤都是轴对称图形；⑥面积 √PB+PB7=√22+22=2√2. 等于对角线乘积的一半. PC=3,P'C=1,..P'C+PP:=PC, 不同点：①菱形的对角线互相平分，筝形的对角线 ∴.∠PP'C=90°， 不互相平分： ∴.∠BP'C=∠BP'P+∠PP'C=45°+90°=135°， ②菱形的四边都相等，筝形只有两组邻边分别 ∴.∠APB=∠BP'C=135 D 相等； ③菱形的两组对边分别平行，筝形的对边不平行： ①菱形的两组对角分别相等，筝形只有一组对角 相等； ⑤菱形的邻角互补，筝形的邻角不互补： ⑥菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，筝形是 轴对称图形不是中心对称图形 、-p③ (2)(答案不唯一)如图所示. (2)如图③所示，将△BPC绕点B逆时针旋转90°， 得到△BP'A,连接PP' 则△ABP'≌△CBP,AP'=CP=√7，BP'=BP= 1,∠PBP'=90°，∴.∠BPP'=45 根据勾股定理，得PP'=√2BP=√2 ,AP=5,∴.AP2+P'P2=5+2=7. 又PA2=(7)2=7, ∴AP2+PP2=P'A2, △APP'是直角三角形，且∠APP'=90°， .∠APB=∠APP'-∠BPP'=90°-45°=45° 2.解：(1)，△ACP'≌△ABP, ∴AP'=AP=3,CP'=BP=4,∠AP'C=∠APB, 由题意知旋转角∠PAP'=60°， ∴.△APP'为等边三角形， PP'=AP=3,∠AP'P=60° 又PP2+P'C2-32+42-25=52-PC2, ∴.△PP'C为直角三角形，且∠PP'C=90°， ∴.∠APB=∠AP'C=∠AP'P+∠PP'C=60°+ 90°=150 (2)证明：如图所示，把△ABE绕点A逆时针旋转 90得到△ACE 专题五运用旋转知识作辅助线 由旋转的性质，得AE'=AE,CE'=BE,∠CAE'= 1.解：(1)思路一，如图①所示，将△BPC绕点B逆时 ∠BAE,∠ACE'=∠B,∠EAE'=90 针旋转90°，得到△BP‘A,连接PP :∠EAF=45°， ∴.∠E'AF=∠CAE'+∠CAF=∠BAE+ ∠CAF=∠BAC-∠EAF=90°-45=45°， .∠EAF=∠E'AF AE=AE', 在△EAF和△E'AF中，{∠EAF=∠E'AF, AF=AF. B .△EAF≌△E'AF(SAS),.E'F=EF ① :∠CAB=90°，AB=AC, 则△ABP'≌△CBP,AP'=CP=3,BP'-BP-2, ,∴.∠B=∠ACB=45°， ∠PBP'=90°，.∠BPP'=45. ∴.∠E'CF=45°+45°=90° 23 由勾股定理，得E'F=CE2+FC, 即EF2=BE2+FC2 本章综合提升 【本章知识归纳】 ① ② 转动距离相等 旋转角全等 ②当△ABC绕点B顺时针旋转45得到△A'BC'时， 180°对称中心对称中心 过，点D作DM⊥A'B于点M,作BD的垂直平分线 全等图形原来的图形重合：符号 PQ交AB于点Q,如图②所示， 【思想方法归纳】 由旋转的性质，得∠ABA'=45°，∠BA'C'=∠A= 120°，AB=AB=2, 【例1】 【思路分析】分点P在线段BC上和点P'在线段CB的 .∠A'BD=∠ABA'-∠ABC=15°，∠BA'D=60 延长线上两种情况，分别根据全等三角形的性质即可 DM⊥A'B,∠A'MD=90,∴.∠A'DM=30°. 得到结论. 在Rt△A'DM中，∠A'DM=30°，设A'M=x, 3或11解析：如图所示，①当点P在线段BC上时， 则A'D=2AM=2x, :∠D=∠ABP=90°，AD=AB,AE=AP, 由勾股定理，得DM=√AD-AM=√3x. .Rt△ABP≌Rt△ADE(HL), ,PQ为BD的垂直平分线， ,.BP=DE=4. ..BQ=DQ, .DC=AB=BC=DE+EC=7,..PC=3. ∴.∠A'BD=∠QDB=15°， ②当点P'在线段CB的延长线上时，同法可证：BP'= .∠DQM=∠A'BD+∠QDB=30°， DE=4, ∴.DQ=BQ=2DM=25x. ∴.CP'=CB+BP'=7+4=11. 由勾股定理，得QM=√QD-DM=3x 综上所述，满足条件的PC的值为3或11. .A'M+QM+BQ=A'B, D .x+3x+2√5x=2, x=2-3, 即A'D=2x=4-2√3. 综上所述，A'D的长度为4十2√3或4一2√5 【例2】 【变式训练1】4+2√5或4-23解析：，将△ABC 【思路分析】先根据B,C两点的坐标建立平面直角坐 绕点B旋转45得到△A'BC', 标系，再作出点A绕原点O顺时针旋转90°所得的对 .分顺时针旋转45°和逆时针旋转45°两种情况. 应点，即可求解。 ①当△ABC绕，点B逆时针旋转45°得到△ABC'时， (-3,1) 过点B作BE⊥A'D于点E,作BD的垂直平分线HF 【变式训练2】(4n+1,w3) 交DB于点H,交A'D于点F,连接BF.如图①所示. 【例3】 ,△ABC为等腰三角形，∠A=120°，AB=2, 【思路分析】(1)由旅转的性质，得BH=BP, ∴.∠BA'C'=∠A=120°， ∠PBH=60°，AH=PC,可证△BPH是等边三角形， A'B=AB=2,∠ABC=30° 可得∠BPH=60°，由勾股定理的逆定理，得 ∴.∠DA'B=60. ∠APH=90°，即可求解. 由旋转的性质，得∠A'BA=45°， (2)由勾股定理可求AB2,由面积和差关系可求解. ∴∠A'BC=∠A'BA+∠ABC-75 解：(1)如图①所示，将△BPC绕点B逆时针旋转60°， 叉，∠A'BC=∠DA'B+∠D, 得到△BHA,连接HP. 即75°=60°+∠D,∴∠D=15 ,.BH=BP,∠PBH=60°，AH=PC, 在Rt△A'BE中，∠DA'B=60°，A'B=2, .△BPH是等边三角形， ∠ABE-30,AE-7AB=1 ∴.∠BPH=60°，PH=BP PA2+PB2=PC2,..PA+PH2=AH2, 由勾股定理，得BE=√AB一AE=√5 .∠APH=90°，∴.∠APB=150°. HF为BD的垂直平分线，DF=BF, ∴.∠D=∠FBD=15°， ∴.∠EFB=∠D+∠FBD=30°， ∴.BF=2BE=2√3，故DF=BF=23, 由勾股定理，得EF=√BF一BE=3, .A'D=A'E+EF+DF=4+25. ① 2 (2)如图②所示，过点B作BN⊥AP,交AP的延长线 24专题五 运用旋转知识作辅助线（答案P23) 1.探究拓展一节数学课上，张老师提出了这样 2.阅读理解阅读下面材料，并解决问题： 一个问题：如图①所示，点P是正方形ABCD (1)如图①所示，等边三角形ABC内有一点 内一点，PA=1,PB=2,PC=3.你能求出 P,若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4， ∠APB的度数吗？ 5,求∠APB的度数. (1)小明通过观察、分析、思考，形成了如下 由于PA,PB,PC不在一个三角形中，为了 思路： 解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转 思路一：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得 到△ACP'处，并连接P,P',此时△ACP'☑ 到△BP'A,连接PP',求出∠APB的度数： △ABP.这样就可以利用旋转变换，将三条线 思路二：将△APB绕点B顺时针旋转90°，得 段PA,PB,PC转化到一个三角形中，从而求 到△CP'B,连接PP',求出∠APB的度数. 出∠APB的度数. 请参考小明的思路，任选一种写出完整的解 (2)请你利用第(1)题的解答方法，解答下面 答过程。 的问题： (2)如图②所示，若点P是正方形ABCD外 如图②所示，在△ABC中，∠CAB=90°，AB 一点，PA=5,PB=1,PC=7,求∠APB AC,E,F为BC上的点，且∠EAF=45 求证：EF=BE2+FC2. 的度数 79 优学案课阴强一 本章综合提升（答案P24) 本章知识归纳 把一个平面图形绕着平面内某一点 一…个角度 定义 对应点到旋转中心的 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于 性质 旋转前后的图形 把一个图形绕某一点旋转 能够与另一个图形重合 定义 对应点所连线段都经过 ·面且被 所平分 旋转 中心 对称 性质 中心对称的两个图形是 定义 把一个图形绕某一点旋转I80能够与 关于原 中心对 点对称 称图形 的点的 关于原点对称的两个点，它们的坐标 相反 坐标 利用平移、轴对称和旋转进行图案设计 思想方法川纳 2.数形结合思想 【子链接本章 1.分类讨论思想 在本章中，图形在平面直角坐标系中的 置链接本童 旋转，以及图形关于原点的对称，一般通过 在本章中，旋转方向有顺时针、逆时针 点的坐标将数和形结合起来，运用数形结合 之分，若没有明确告知，需要分类讨论求解。 的思想解答 【例1】如图所示，在正方 【例2】(2023· 形ABCD中，点E在边DC上， 山东枣庄中考)银杏是 DE=4,EC=3,把线段AE绕 著名的活化石植物，其 点A旋转后使点E落在直线B 叶有细长的叶柄，呈扇 BC上的点P处，则CP的长为 形.如图所示是一片银 【变式训练1】 杏叶标本，叶片上两点 B,C的坐标分别为 已知等腰三角形ABC,∠A=120°，AB=2. (一3,2)，(4,3)，将银杏叶绕原点顺时针旋转90° 现将△ABC以点B为旋转中心旋转45°，得到 后，叶柄上点A对应点的坐标为 △A'BC',延长C'A'交直线BC于点D,则A'D 的长度为 一九平级上的数学划 80