专题3 确定二次函数的解析式&专题4 二次函数的综合应用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

专题三确定二次函数的解析式（答案P16) 类型1已知是二次函数，用待定系数法确定 类型2盟未告知是二次函数，找相等关系得到 解析式 解析式 1.(2023·山东菏泽牡丹区期末)一抛物线的形 4.应用意识“端午节”吃粽子是中国传统习俗， 状，开日方向与抛物线y=22一2x十3相 在“端午节”来临前，某超市购进一种品牌粽 子，每盒进价是40元，并规定每盒售价不得 同，顶点为（一2,1），则此抛物线的函数解析 少于50元，日销售量不低于350盒.根据以往 式为( 销售经验发现，当每盒售价定为50元时，日 1 A.y=2(x-2)+1 销售量为500盒，每盒售价每提高1元，日销 售量减少10盒.设每盒售价为x元，日销售 B.y=2（x+2-1 量为p盒 1 (1)当x=60时，p= C.y=2x+2)+1 (2)当每盒售价定为多少元时，日销售利润W 1 D.y=2x-2)-1 (单位：元)最大？最大利润是多少？ (3)小强说：“当日销售利润最大时，日销售额 2.(2023·河南南阳完城区月考)如图所示，抛 不是最大.”小红说：“当日销售利润不低于 物线y=ax2+bx-3与y轴交于点C,与x 8000元时，每盒售价x的范围为60≤x≤ 轴交于A,B两点，OB=OC=3OA,则该抛物 80.”你认为他们的说法正确吗？若正确，请 线的函数解析式是 说明理由：若不正确，请直接写出正确的 结论 3.已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(2,0), B(3n一4，y1),C(5n+6,y2)三点，对称轴是 直线x=1.关于x的方程a.x2十b.x十c=x有 两个相等的实数根。 (1)求抛物线的函数解析式， (2)若n<一5，试比较y1与y2的大小 一九年级上册数学：划 56 专题四 二次函数的综合应用（答案P17) 翻类型1线段和的最小值问题 类型2图形面积的最大值问题 1.几何直观如图所示，抛物线y=一x2十 bx十c的顶点为Q,与x轴交于A(一1,0)， 2.如图所示，指物线= 2x-2交x轴 B(5,0)两点，与y轴交于C点。 于A,B两点，交y轴于点C,其对称轴交AC (1)直接写出抛物线的函数解析式及其顶点 于点D Q的坐标. (1)求出A,B,C,D四点的坐标. (2)在该抛物线的对称轴上求一点P,使得 (2)在直线AC下方的抛物线上是否存在一点 △PAC的周长最小.请在图中画出点P的位 T,使得△ADT的面积最大？若存在，求出点 置，并求点P的坐标. T的坐标：若不存在，请说明理由. O/B D 57 优学需课时远一 类型3照探究平分三角形面积的条件问题 类型4超探究三角形全等的条件问题 3.如图所示，已知抛物线y=一x2十b.x十c经过 4如图所示，抛物线y=一十m一3与x轴 点A(1,0)和B(0,5) (1)求这个抛物线的函数解析式. 交于A,B两点，且OA=OC (2)设(1)中抛物线与x轴的另一交点为C, (1)求m的值与抛物线的函数解析式. 抛物线的顶点为D,试求出点C,D的坐标和 (2)在抛物线上是否存在另一点M,使 △BCD的面积. △MAC≌△OAC?若存在，求出点M的坐 (3)点P是线段OC上一点，过点P作PH⊥ 标：若不存在，说明理由， x轴，与抛物线交于H点.是否存在点P,使 得线段BC把△PCH分成面积相等的两部 分？若存在，请求出点P的坐标：若不存在， 请说明理由. 一九年级上册数学：财 58 类型5照探究特殊三角形是否成立问题 类型6探究平行四边形是否成立问题 5,探究拓展如图所示，已知抛物线y=一 6.深究拓展)如图所示，抛物线y=一x2十 bx+c经过A(一1,0)，C(0,3)两点，并交x 2十2与x轴交于A,B两点，交y轴于点 轴于另一点B,点M是抛物线的顶点，直线 AM与y轴交于点D. C,连接AC,BC (1)求该抛物线的函数解析式. (1)判断△ABC的形状，并说明理由. (2)若点H是x轴上一动点，分别连接MH, (2)在抛物线对称轴上是否存在一点P,使得 DH,求MH+DH的最小值 以A,C,P为顶点的三角形是等腰三角形？ (3)若点P是抛物线上一动点，问在对称轴上 若存在，求出点P的坐标：若不存在，说明 是否存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点的 理由 四边形是平行四边形？若存在，请直接写出 所有满足条件的点Q的坐标：若不存在，请说 明理由， 59 钱学第课时远一3.解：(1)8-6=2， 综上所述，无论a取什么实数，图象T与x轴总有 ∴.抛物线的顶点坐标为(2,3). 公共点 设抛物线的函数解析式为y=a(x一2)+3. (2)存在整数a,使图象T与x轴的公共点中有 把点A的坐标(8,0)代入，得36a+3=0, 整点 1 1 解得a= 12' 当a=一2时，不符合题意： 抛物线的函数解析式为y=一2x一2)十3， 当a一时。 当r0时y=-2×4+8= 1 3>2.44, 在y=(4a+2).x2+(9-6a)x-4a+4中，令y= 0,得0=(4a+2)x2+(9-6a).x-4a+4, 球不能射进球门. 4a-4 (2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛 解得x=一2或x=2a+1 物线的函数解析式为y=一bx一2-m)+3, Yt 4a-4 6 2a+i-2-2a十10是整数， 1 把(02.25)代人.得2.25=-120-2-m)+3. 4a-4 六当2a十1是6的因数时，20+是整数. 解得m=一5（舍去）或m=1, .2a+1=-6或2a+1=-3或2a+1=-2或 .当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让 2a+1=-1或2a+1=1或2a+1=2或2a+1= 足球经过点O正上方2.25m处. 3或2a+1=6. 4.D5.C6.C7.0.2 8.解：(1)6= 解得a=一了或a=一2或a二-。或a=-1或 6c-1. 1 5 2)由y=-6r火2 1=一。x一】5 a=0或a=2或a=1或a-2 6x-2) 241 ,a是整数，∴.a=-2或a=一1或a=0或a=1. 可知当一号时学有最大值织 11.解：(1)描出各点，画出图象如图所示： ↑/cm 70 故大棚最高处到地面的距离为 米 60 3)冷y-7则有- 37 6 6x+13 4 0以tk义 1 13 解得x1=2: 0 306090120150180210240xcm 2 (2)①49230 又，0≤x≤6， ②设抛物线的函数解析式为y=a(.x一90)十49， 大橱内可以瑞建支架的士地的痕为6兰术 将(230,0)代入，得0=a(230-90)+49, 解得a=-0.0025, 又，大棚的长为16米， .抛物线的函数解析式为y=一0.0025(x “需要搭建支架部分的土地面积为16× 90)2+49. 2 (3)当OA=28.75时，抛物线的函数解析式为y= 88(平方米)，故共需要88×4=352（根）竹竿. -0.0025(x-90)+49, 阶段检测三（22.2~22.3) 设乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球 1.C2.C3.D4.C5.D6.C 高度OA的值为h,则平移距离为(h-28.75)cm, 9 '.平移后的抛物线的函数解析式为 7.1m8.-1<x<49.55 y=-0.0025(x-90)2+49+h-28.75, 10解：1)证明：当a十2=0，即a=一时，函数的解 当x=274时，y=0, .-0.0025(274-90)2十49+h-28.75=0, 析式为y=12.x+6, 解得h=64.39. ∴乒乓球恰好落在对面球台边缘点B处时，击球 令y=0,得x三-名， 高度OA的值为64.39cm. .此时函数y=(4a十2)x2+(9-6a).x-4a+4 专题三确定二次函数的解析式 (实数a为常数)的图象与x轴有交点. 1.C 当a≠-2时，y=(4u+2)x+(9-6a)r-4u+4 2.y=x-2x-3 3.解：(1)，抛物线y=a.x十bx十c经过A(2,0), 为二次函数， .0=4a+2b+c①. ,△=(9-6a)-4(4a+2)(-4a+4)=100a :对称轴是直线x=1小一2a b 140a+49=(10a-7)≥0， =1② .函数y=(4a+2)x2+(9-6a)x-4a+4(实数 :关于x的方程a.x十bx十c=x有两个相等的实 a为常数)的图象与x轴有交点. 数根，.△=(b一1)2-4ac=0③， 16 a=- 2.解：1)令y=0.则2+2一2=0，解得x=一4 由①②③解得 2 b=1. 或1， c=0. ∴.点A的坐标为（一4,0），点B的坐标为(1,0). 1 令x=0,得y=一2， 抛物线的函数解析式为y=一2！十工 .点C的坐标为(0，一2). (2),n<-5,.3m-4<-19,5m十6<-19， 设直线AC的函数解析式为y=kx+b,则 ∴.点B,点C在对称轴直线x=1的左侧. b=-2, 解得 k= 1 2 ~抛物线y=一2x2+x:一)<0， 一4k十b=0, b=-2, .在对称轴左侧，y随x的增大而增大. 1 (31-4)-(5n+6)=-21-10=-2(n十5)>0， “直线AC的函数解析式为y=一2x一2. ∴.3n-4>5n+6,∴.y1>yg 4.解：(1)400 ·抛物线对称轴为直线工= 2 (2)由题意可得， W=(x-40)[500-10(.x-50)]=-10x2+ 点D的坐标为(-一》 1400.x-40000=-10(x-70)2+9000, (2)存在。 由题可知：每盒售价不得少于50元，日销售量不低 于350盒r之50， 如图所示，设T(m,2m十 1p≥350. 3 即r≥50， m-2),连接AT,TD,作TG/ 500-10(.x-50)≥350， 解得50≤r≤65. OC交AC于点G,则 ∴.当x=65时，W取得最大值，此时W=8750, 即当每盒售价定为65元时，日销售利润W(单位： c(m,-m-2 元)最大，最大利润是8750元. (3)小强的说法正确.理由：，50≤x≤65， Sw=Sa十Sam=号×(-m-2 设日销售额为y元， 1 y=x·p=x[500-10(x-50)]=-10.x+ 2m2、3 m+2)x5 、5 2 8m+2)+5 1000x=-10(x-50)2+25000, 当x=50时，y值最大，此时y=25000, :-8<0.心当m=一2时，△ADT的面积最大 当x=65时，W值最大，此时W=8750, 此时点T的坐标为（一2，一3）. .小强正确 3.解：(1)把(1,0)，(0,5)代入y=-x+bx+c,得 小红的说法不正确，当日销售利润不低于8000元 时，每盒售价x的范围为60≤x≤65. 0=-1+6+c解得二-4： c=5. lc=5, 专题四二次函数的综合应用 故抛物线的函数解析式为y=一x一4x十5. 1.解：(1)，抛物线y=一x2十bx十c经过A(一1,0)， (2)令y=0,则0=-x2-4.x+5, B(5,0)两点{-25+5b+c=0, {1一b十(=0·解想0 解得x1=1,x:=一5，.C(-5,0), 由y=一x2一4x十5=一(x十2)2+9，得顶点D的 .抛物线的函数解析式为y=一x2+4x十5. 坐标为（一2,9）. y=-x2十4x十5=-(x-2)2+9, 过顶点D作DE⊥x轴交线段BC于点E,如图①所 ∴.Q(2,9). 示，由点B,C得直线BC的函数解析式为y=x十 (2)如图所示，连接BC,交对称轴于点P,连接 5,.当x=-2时，y=3, AP.AC. .点E的坐标为(-2,3)，DE=6 ,AC长为定值， .要使△PAC的周长最小，只需PA十PC最小. .S△BD=S△BDE十S△cpE= 2×5×6=15. :点A关于对称轴x=2的对称点是点B(5,0),抛 物线y=一x2+4x十5与y轴交点C的坐标为 (0,5). ∴.由几何知识可知，PA十PC=PB+PC为最小 设直线BC的函数解析式为y=kx+1(k≠O), 将(5,0)，(0,5)代入，得5十1=0， y t=5, 解得作=一1， 1=5, ② .y=-x+5. (3)存在. 当x=2时，y=一2+5=3， 如图②所示，若BC把△PCH分成面积相等的两部 点P的坐标为(2,3). 分，则需PH与线段BC的交点是线段PH的中点. 设PH与线段BC的交点为Q,设点P(x,O),则Q(x, 17 x+5),H(x,-x2-4x+5),由HQ=QP,得 综上所述，使得以A,C,P为顶点的三角形是等腰 -x2-4x+5-(x+5)=x+5, 解得x1=一1，x:=一5（舍去）， 三角形，点P的坐标为(-号0)或(-22+安） .存在这样的点P,其坐标为（一1,0） V1 4解：1)当1=0时y=-号+m-3=m-3 6.解：(1)，抛物线y=-x+bx+c经过A(-1,0), .C(0,m一3). C(0,3)两点， OA=0C=m-3,.A(m-3,0), 把(m一3.0)代入y=一2+m-3. 1 ÷1-6+c=0·解得6=： 1c=3, c=3. ∴.该抛物线的函数解析式为y=一x2十2x十3. 得-7(m-3)+m-3=0, (2),y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ,.顶点M的坐标为(1,4). 解得m1=5,m2=3(舍去)，∴.m的值为5， 设直线AM的函数解析式为y=kx十d,则 “抛物线的函数解析式为y=一2x+2。 伦4o解相台 1-k+d=0, (2)在抛物线上不存在另一点M,使△MAC2 .直线AM的函数解析式为y=2x十2. △OAC.理由如下： 当x=0时，y=2,.D(0,2). ,'△OAC是以AC为斜边的等腰直角三角形， 作点D关于x轴的对称点 ∴.当△MAC是以AC为斜边的等腰直角三角形时， D'(0,-2),连接D'M,D'H,如 △MAC≌△OAC. 图所示，则DH=D'H, 则点M为AC的垂直平分线与抛物线的交点，于是 .∴.MH+DH=MH+D'H≥DM. 此时△MAC不能为直角三角形，.在抛物线上不存 即MH+DH的最小值为DM. 在另一点M,使△MAC≌△OAC. DM=√(1-0)+(4+2) 5.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下： =37, 当y=0时，一之- 2x+2=0, .MH+DH的最小值为√37 解得x1=一4，x=1, (3)对称轴上存在点Q,使得以D,M,P,Q为顶点 即B(-4,0),A(1,0). 的四边形是平行四边形 当x=0时，y=2,即C(0,2). 由(2)得D(0,2),M(1,4). AB=1-(-4)=5,AB2=25, ,点P是抛物线上一动点， AC8=(1-0)2+(0-2)°=5， .设P(m,一m+2m十3). BC=(-4-0)2+(0-2)2=20. :抛物线y=一x十2.x十3的对称轴为直线x=1, AC2+BC2=AB,.△ABC是直角三角形. .设Q(1,n). (2)存在 ①当DM,PQ为对角线时，DM,PQ的中点重合， 抛物线y=一一。 x+2的对称轴是直线 0+1=m+1. 02士m+2m+3十n,解得份0. 1n=3, .Q(1,3); I=- 名设P(号小，由勾吸定理，得 ②当DP,MQ为对角线时，DP,MQ的中点重合， PM=+)°+m= 4 +n.PC:=9 +(2 ÷g2g-4+将得 n=1, n)2,AC2=5. Q(1,1); ③当DQ,PM为对角线时，DQ,PM的中点重合， 分类讨论： ①当AP=AC时，AP=AC2, ÷但十+十2m+8解得 n=5, 5+=5,方程无解，不存在： .Q(1,5). 综上所述，对称轴上存在点Q,使得以D,M,P,Q ②当PA=PC时，PA8=PC, 为顶点的四边形是平行四边形，点Q的坐标为 +n2=9 25 +(2-m), (1,3)或(1,1)或(1,5). 解得m=0,即P,(2o: 本章综合提升 【本章知识归纳】 ③当CA=CP时，CA2=CP2, 向上向下y轴左侧y轴右侧 5=4+(2-) 9 减小增大增大减小 部得m=2+=2-四 Aac-b 4ac-b2 21 Aa Aa y=a.x2+hx+c(a≠0) y=a(x-h)”+k(a≠0) y=a(x-x:)(x-x2)(a≠0) 横坐标 18