第21章 一元二次方程综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(人教版)

本章综合提升（答案P5) 本章知识归纳 定义：等号两边都是 ,只含有 末知数，未知数的最高次数是2 般形式 基木概念 根：使方程左右两边 的未知数的值 配方法：左边配成 的形式，右边为常数 公式法： 解法 因式分解法：使方程的右边为0、对其左边进行因式分解 一元二 次方程 4>0·一方程有 实根 4=0·一方程有 实根 判别式 <0一方程 实根 1+ 根与系数 的关系 r1x= 列元二次方程 步骤：1找，2.设。3.列，4.解，5.检，6.答 解决实际问题 思想方法川纳 化为y2-5y+4=0,解此方程，得y1=1,y2=4. >33>3>3》33>333333333 当y=1时，x2-1=1,x2=2,∴.x=士2； 1.转化思想 当y=4时，x2-1=4,x2=5,∴.x=士5. 在数学研究中，常常将复杂问题转化为简单 问题，将生疏问题转化为熟悉问题，把未知问题 ∴原方程的解为x1=一√2，x2=2,x=一5， 转化为已知问题，这种思想在数学中称为转化 x4=√5. 思想 以上方法就叫换元法，达到了降次的目的， 一链接本章“ 体现了转化的思想， 在本章中，各种解一元二次方程的方法 运用上述方法解答下列方程： 都是通过“降次”，转化为一元一次方程求 (1)x4-3x2-4=0. 解：高于二次的方程，也可以通过转化思想 (2)(x2+2x)2-(x8+2x)-6=0. 进行降次求解. 【例1】阅读理解)解方程(x2一1)2 5(x2-1)+4=0时，我们可以将x2-1视为一 个整体，设x2-1=y,则y2=(x2-1)2,原方程 23 伏学速课时m 【变式训练1】 a+的值. (2023·重庆垫江期末)阅读理解：已知 2023 m2-2mn十2n2-8n+16=0,求m,n的值. 解：，'m2-2mn+2n2-8n十16=0， ∴.(m2-2mn十n2)+(n2-8n+16)=0. .(m-n)2+(n-4)2=0. .(m-n)2=0,(n-4)2=0. 【变式训练2】 ∴.n=4,m=4. (2023·山东威海文登区期末)关于x的一 方法应用：(1)已知a2+b2一10a十4b十29= 元二次方程x2-3x一mx十m-1=0. 0,求a,b的值. (1)试判断该方程根的情况并说明理由。 (2)已知x+4y=4. (2)若x1,x2是该方程的两个实数根，且 ①用含y的式子表示x: 3x1一x1x2十3x2=12,求该方程的解. ②若xy一x2-6x=10,求y+的值. 3.分类讨论思想 分类讨论就是根据所研究对象的性质差异， 2.整体思想 分各种不同的情况予以分析解决，且做到“不重 整体思想就是从问题的整体性质出发，突出 复、不遗漏” 对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整 子链接本章 体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子 (1)在已知方程解的情况下求字母系数 或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进 的值或取值范围，往往需要分类讨论。 行有目的、有意识地整体处理， (2)一元二次方程的根作为三角形的边 “链接本章… 长时，往往需要分类讨论求解. (1)对于一些与一元二次方程有关的求 代数式的值的题目，运用整体代入法，仔细 【例3】推理能力)已知关于x的方 观察所求的代数式与已知条件的关系，通过 程mx2-(m十2)x十2=0. 变形，整体代入计算，可起到了化繁为筒的 (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根. 目的. (2)若方程的一个根是2，求m的值及方程 (2)根与系数关系的有关问题大多采用 的另一个根. 整体代入法 【例2】模型观念已知a是一元二次方程 x2-2023x+1=0的一个根，试求a2-2022a- 一九年做上出数学 24 【变式训练3】 D.小球两次到达离地面的高度为5m的位置， 已知△ABC的两边AB,AC的长是关于x 其时间间隔约为0.28s 的一元二次方程x2-(2k十3)x十k2+3k+2=0 5.(2022·江苏宿迁月考)已知a是一元二次方 的两个实数根，第三边BC的长为4，若△ABC 是等腰三角形，求△ABC的周长. 程2-3x-5=0的根，则代数式20吕的 值为 6.(2023·山东德州陵城区模拟)若关于x的一 元二次方程mx2十2m:x十4=0有两个相等的 实数根，则m的值为 7.几何直观)由10块相同的 小长方形地砖拼成面积为 1.6m2的长方形ABCD 通模拟> (如图所示)，则长方形ABCD的周长 1.(2023·河南南阳桐柏模拟)关于x的方程 为 (m十1)x+1一mx十6=0是一元二次方程， 8.运算能力》解下列方程。 则m的值是( (1)x2+6x+2=0; A.-1 B.3 C.1 D.1或-1 2.(2023·天津南开区模拟)关于x的方程x2十 bx十c=0的两根为1和一2，则b,c的值分别 (2)(x-5)(3.x-2)=10: 为() A.b=1,c=-2 B.b=-1,c=-2 C.b=3,c=2 D.b=-3,c=2 (3)3x2-10.x+6=0. 3.(2022·安徽合肥瑶海区三模)若关于x的一 元二次方程nx2一2x一1=0无实数根，则一次 函数y=(n十1)x一n的图象不经过( A.第一象限 B.第二象限 9.(2023·湖北襄阳老河口模拟)已知：关于x的 C.第三象限 D.第四象限 一元二次方程x2一14x+4m=0有实数根. 4.学科融合根据物理学规律，如果把一个小球 (1)求m的取值范围. 从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么小球 (2)Rt△ABC的斜边长p=m一2，两条直角边 经过xs离地面的高度（单位：m)为10x一 长r,s恰好是方程x2一14x十4m=0的两个 4.9x2.根据该规律，下列对方程10x一4. 根，求m的值. 9x2=5的两根x1≈0.88与x2≈1.16的解释 正确的是() A.小球经过约1.02s离地面的高度为5m B.小球离地面的高度为5m时，经过约0.88s C.小球经过约1.16s离地面的高度为5m,并 将继续上升 伏学速课时m 通中考● (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十 b)(a+2b)=20,求m的值. 10.(2021·黑龙江中考)关于x的一元二次方程 (m-3)x2+m2x=9x+5化为一殷形式后不 含一次项，则m的值为() A.0 B.±3C.3D.-3 11.(2022·山东聊城中考)用配方法解一元二次 方程3x2+6x-1=0时，将它化为(x+ a)2=b的形式，则a十b的值为() A号 R号 C.2 12.(2023·山东菏泽中考)一元二次方程x2+ 3x-1=0的两根为x1x4,则上十1的值 18.应用意识》(2023·山东东营中考)如图所 x1 2 为() 示，老李想用长为70m的橱栏，再借助房屋 A.g 的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈 B.-3C.3 n号 ABCD,并在边BC上留一个2m宽的门（建 13.(2023·上海中考)已知关于x的一元二次方 在EF处，另用其他材料). 程ax2十6x十1=0没有实数根，那么a的取 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成 值范围是 一个面积为640m2的羊圈？ 14.(2023·湖南娄底中考)若m是方程x2一 (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， 请你给出设计方案：如果不能，请说明理由. 2x二1=0的根，则m2+m2一 15.(2022·上海中考)某公司5月份的营业额为 25万，7月份的营业额为36万，已知6,7月 的增长率相同，则增长率为 16.(2023·江苏无锡中考) 解方程：2x2十x一2=0. 17.(2023·湖北潜江中考)已知关于x的一元二 次方程x2-(2m+1)x+m2+m=0. (1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不 等的实数根 一九年鱼上曲数学 264.解：设扩充后广场的长为3xm,宽为2xm,依题 0,2,6,故得分总数只能是2070， 意，得 3x×2x×100+30(3x×2x一50×40)=642000， 则2x-1D×2-2070, 整理，得780.x2=702000, 解得x1=46,x2=一45（舍去）. 解得x1=30,x2=-30(不合题意，舍去). 答：这次比赛的选手共有46名. 所以3x=90,2x=60. 6.解：，100×30=3000<3150， 答：扩充后广场的长为90米，宽为60米 .该班参加研学游活动的学生数超过30人. 5.56.B7.D8.2 设共有x名学生参加了研学游活动，由题意，得 9.解：(1)当1=3时，CP=10-2×3=4(cm), x[100-2(.x-30)]=3150. CQ=8-1×3=5(cm), 解得x1=35,x2=45, 1 当x=35时，人均旅游费用为100一2×(35一30)= △PQC的面积为2CP,CQ=2×4X5=10(cm), 90(元)>80（元），符合题意： 当x=45时，人均旅游费用为100一2×(45-30)= (2)当0<1≤5时，2×(10-21)(8-1)=2， 70(元)<80（元），不符合题意，舍去. 解得1，=18+，匠（不合题意，舍去），4= 答：共有35名学生参加了研学游活动。 2 7.解：(1)经过x秒钟，四边形APQC的面积等于 13-√/17 16cm. 2 .在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=8cm. 当5<1≤8时，2(21-10)(8-1)=2， 5Ae=2AB·BC=20em .SAPa=S△Ar一S间边形Aec=4cm'. 解得t1=6,t2=7. :点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速 综上所述，当时间为13-，7或6或7秒时，△PQC 度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以 2 2cm/s的速度移动， 的面积为2cm, .'BP=AB-AP=(5-x)em,BQ=2x cm, 专题一一元二次方程的实际应用 1.解：(1)设平均每次下调x, 2·2z(5-x)=4,x-5x+4=0g 根据题意，得10(1一x)产=6.4， 解得x=1或x=4(舍去)， 解得x=20%或x=180%(舍去)， ,经过1秒钟，四边形APQC的面积等于16cm 答：平均每次下调20%. (2)△PQB的面积不能等于9cm2,理由如下： (2)方案一更优惠，理由如下： 2吨=2000千克， 同1得号·2x6-)=9r-5x+9=0. 方案一：6.4×0.8×2000=10240（元）， .△=b2-4ac=(-5)2-4×9×1=-11<0, 方案二：6.4×2000-2000=10800（元）. ∴.此方程无解，.△PQB的面积不能等于9cm2. ,10240<10800,∴.采购员选择方案一更优惠. 8.解：(1)设小道进出口的宽度为x米，依题意得(30 2.解：设每轮每人传染的人数为x人，则第一轮中有 2x)(20-x)=532 4x人被感染，第二轮中有x(4十4x)人被感染， 整理，得x2-35.x+34=0.解得x1=1,x,=34. 根据题意，得4十4x十x(4十4x)=256, 34>20(不合题意，舍去)， 即4(1+x)2=256, .x=1. 解得x1=7,x2=一9（不符合题意，舍去）. 即小道进出口的宽度应为1米 答：每轮每人传染的人数为7人 (2)①剩余的种植花草区域的面积为(30一2×2)× 3.24 4.解：设这次参加开会的校长有x人，则每人应握 (20-2)-4×号(30-a)×2×2(20-4) (x一1)次手，由题意，得 (-2a2+25a+168)m. 2x(x-1)=300, ②根据题意，得 即x2-x-600=0, (←20+2u+168j×100=420. 解得x1=25,x:=一24（不符合题意，會去）， 答：这次参加开会的校长有25人. 解得a=14或a=36(不合题意，舍去)， 5.解：设这次比赛共有x名选手。 答：a的值为14. 由题意，可知无论胜负情况，每局两位选手得分总和均 本章综合提升 【本章知识归纳】 为2分x名选手比赛的总局数为22(x一1)局，所以 整式一个a.x'+bx+c=0(a≠0)相等完全平 得分总数为x(x一1)分. 因为x是正整数，且大于1，所以x,x一1是两个连 方式 -b士/B=4ac(6-4ac≥0) 两个不等两 2a 续的正整数. 不难验证：两个连续的整数之积的末位数字只能是 个相等没有一么二 【思想方法归纳】 .3(x1十x2)-x1x=12 【例】 .3(3十m)-(m1)=12, 【思路分析】(1)先把要求的式子变形为(x)2一3.x 解得m=1. 4=0,再进行因式分解，求出符合条件的x2的值，从而方程为x2一4z=0, 得出x的值. 解得x1=0,x:=4. (2)根据已知条件设x2十2x=y求出x的值即可. 【例3】 解：(1)x'-3x2-4=0, 【思路分析】(1)分类讨论：当m=0时，方程为一元一 (.x2)2-3.x2-4=0, 次方程，有一个实数解：当≠0时，计算判别式得到 (x2-4)(x2+1)=0, △=(m一2)≥0，则方程有两个实数解.于是可判断不 x2-4=0,x+1=0, 论m为何值，方程总有实数根. 解得x2=4,x”=-1(不合题意，舍去)， (2)设方程的另一个根为1，利用根与系数的关系得到 则x1=2,x2=-2. (2)设y=x2+2.x,y-y-6=0, 2+1=m十2,21=2，然后解关子1与m的方程组 月 .(y-3)(y+2)=0,y1-3,y1=-2. 即可， 当y=3时，x2+2x-3=0,x1=-3,xz=1: 解：(1)证明：当m=0时，方程变形为一2x十2=0，解 当y=一2时，x+2.x十2=0，无解. 得x一1，方程有实数根： 故方程的解为x1=一3，x2=1. 当m≠0时，△=(m+2)2一4m·2=(m一2)2≥0，方 【变式训练1】解：方法应用： 程有两个实数解. (1):a2+b-10a+4b+29=0, 所以不论m为何值，方程总有实数根. ,∴.(a°-104+25)+(b2+4b+4)=0. (2)设方程的另一个根为t, .(a-5)2+(b+2)2=0, .(a-5)=0,(b+2)2=0. 根据题意，得2十1=m+2 .a=5,b=-2. 则2+t=1十2t,解得1=1， (2)①4-4y 所以n=1, ②，xy-z2-6z=10 即m的值为1，方程的另一个根为1. .y(4-4y)-g2-6z=10, 【变式训练3】解：：x2-(2k+3).x+k2+3k+2=0, .4y-4y2-2-6x=10, x1=k+1,x2=k+2. .4y2-4y+≈2+6x+10=0, △ABC是等腰三角形， .(2y-1)2+(:+3)2=0, ①k十1=k十2，不成立： ②k+1=4,.k=3,.k+2=5,周长为4+4+5=13： y=2=-3x=2y ③k+2=4,.k=2,.k+1=3,周长为3+4+4=11. 【例2】 ∴△ABC的周长为11或13. 【思路分析】根据题意，把工=a代入方程x2一 【通模拟】 2023.x+1=0中，得a°-2023a十1=0，从而可得1.C2.A3.C4.D5.36.47.5.2m a+1=2023a,a2-2023a=-1,然后整体代入式子8.解：(1)x2+6.x+2=0, 中进行计算，即可解答 x2+6x=-2, 解：由题意，把x=a代入方程x2-2023x+1=0中， 则x2十6.x+9=-2+9,即(x十3)=7， 得a2-2023a+1=0, x+3=士√7， .a+1=2023a,a-2023a=-1, x1=-3十√7，x2=-3-√7， a3+1 2023a a2-202a2023a-2022a- (2)整理为一般式，得3.x2一17x=0, 2023 x(3.x-17)=0, =a￥-2022a-a 则x=0,或3.x一17=0. =a2-2023a 17 =-1 解得x1=0,x:=3 a”-2022a一2023的值为-1. (3)3x2-10x+6=0. a=3,b=-10.c=6. 【变式训练2】解：(1)该方程有两个不等的实数根. △=(-10)2-4×3×6=28>0. 理由：x2-3.x-mx十m-1=0, x2+(-3-m)x十m-1=0, x=-b±y-4ac_10±285±万 △=(-3-m)2-4×1×(m-1) 2a 2×3 3 =m”+2m+13 5-√7 =(m+1)2+12 .x1= 5+√7 3= 3 ,不论m为何值.(m+1)2≥0， 9.解：(1)由题意，知△=（一14）-4×4m≥0， .△>0， 解得m12.25. 即该方程有两个不等的实数根 故m的取值范围是m≤12.25。 (2),x1x:是方程x一3x-mx+m-1=0的两个 (2)由题意，知r十s=14,rs=4m, 实数根，x1十x2=3十m,x1xg=m一1 由勾股定理，知r2十x2=(m一2)， 3x1-x1x2十3.x2=12, .(r十s)-2rs=(m-2)2, ∴.196-2×4m=(m-2),即m2+4m-192=0, 解得k=0. 解得m1=一16（舍去），m:=12. 6.B7.C8.y=πR+30πR 故m的值为12. 9.解：(1)由y=(m-4)x"-"+2x2-3x-1是关于 【通中考】 10.D11.B12.C13.a>9 c的一次函数，得m二m。2,解得m=2. 1m-4+2=0, 14.6解析：：m是方程x一2.x一1=0的根， 所以当m=2时，它是y关于x的一次函数. .m2-2m-1=0,即m2-1=2m,.m2+ (2)由y=(m一4)x-"+2.x”-3x-1是关于x的 二次函数， a-+2=四n+2-2+2= 得①m一4=0，解得m=4: 15.20% ②m一m=1,解得m=1士5 21 16.解：2x2+x-2=0. ,a=2.b=1,c=-2, ③m-m=2, m-4+2≠0， 解得m=一1： ∴.b2-4ac=1-4×2×(-2)=17. ④m2一m=0,解得m=0或m=1. ∴x=-6±y6-4ac_-1±17 2a 4 综上所述，当m=4或或1或0或1时，它是 x,=1+I7 4 x,=1-17 y关于x的二次函数 4 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 17.解：(1)证明：，4=[-(2m+1)]-4(m2+m) 1.C2.B3.减小4.m>1 =4m2十4m十1一4m2一4m 5.解：列表： =1>0. -3-21 -1 0 1 2 3 ∴，无论m取何值时，方程都有两个不等的实数根. (2),该方程的两个实数根为a,b, ∴.a+b= 一(2m+1) =2m+1, 0 3 ab=m十m=m'+m. 描点画图，得函数y= 1 3y=一3x2的图象如图 .(2a+b)(a+2b) 所示 =2a+4ab+ab+2b* =2(a2+2ab+b2)+ab =2(a+b)2+ab, ∴.2(a+b)2+ab=20,∴.2(2m+1)2+m2+m= 20,整理，得m2十m一2=0，解得m1=一2，m2=1, 4-1 ∴m的值为一2或1. 18.解：(1)设矩形ABCD的边AB=xm,则边BC= 70-2x十2=(72-2x)m. --- 根据题意，得x(72一2x)=640, 化简.得x2-36.x+320=0, 解得x1=16,x:=20. 当x=16时.72-2.x=72-32=40: 当x=20时，72-2.x=72-40=32. 两条抛物线的对称轴都是y轴，顶点都是(0,0). 答：当羊圈的长为40m,宽为16m或长为32m,宽 为20m时.能围成一个面积为640m的羊圈. 抛物线y=了女的开口向上，当>0时y随x的 (2)不能. 增大而增大：当x<0时，y随x的增大而减小 理由如下：由题意，得x(72一2x)=650, 1 化简，得x2-36.x十325=0， 抛物线y=一3x的开口向下，当x<0时，y随x △=(-36)2-4×325=-4<0， 的增大而增大：当x>0时，y随x的增大而减小. .一元二次方程没有实数根. 6.解：解法1：由二次函数y=a.x2的性质知， .羊圈的面积不能达到650m° (1)抛物线y=a.x2的开口大小由a|决定. 第二十二章二次函数 a越大，抛物线的开口越窄： a越小，抛物线的开口越宽， 22.1二次函数的图象和性质 (2)抛物线y=a.x2的开口方向由a决定. 22.1.1二次函数 当a>0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴 1.B2.-33.B4.y=18(1-x) 上方： 50解折：由题意，好货2-2 当a<0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴 下方.