第1章 图形的相似综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

号AD.RG/Bc.且G=BC,GH/CD,且GH= 【思想方法归纳】 【例1】思路分析：未指出对应顶点，故分△B'FCD D. 1 △ABC和△B'FCC∽△BAC两种情况讨论. ∴.∠FEO=∠BAO,∠OEH=∠OAD. 8 又四边形ABCD是矩形， 【变式训练1】 ∴.AB∥CD,AB=CD,∠BAD=90° (一1,0)或(5，一2) ∴.EFGH,EF=GH,∠FEH=90° 【例2】思路分析：可设经过的时间为xs,故CQ,CP可 .四边形EFGH是矩形. 用含工的代数式表示出来，由相似三角形对应边成比 又品部册2 例构造方程求解」 解：在Rt△ABC中，BC=8cm,AC:AB=3:5, .矩形EFGH与矩形ABCD相似，且相似比 易求得AB=10cm,AC=6cm. 设经过xs时，以点P,Q,C为顶点的三角形与 △CBA相似，此时BP=2xcm,CP=(8-2x)cm, 又两个图形的对应顶点所在的直线都经过点O, CQ=xcm.根据相似三角形对应点顺序相同，有两种 ∴这两个图形是位似图形，位似中心是点O,相似比 可能情况. ①若△CPQO△CBA,则需-器，甲8= 第2课时位似图形的坐标变换 看解得x=24 1.A2.4.53.(4,6) 4.解：(1)如图所示，△A'B'C即为所求. ②若△CPQ△CAB,则器-器即8 y 意解得红-器 综上所述，当经过2.4s或骆时，以点卫，Q,C 为顶点的三角形和△CBA相似. 142-C1-- 【变式训练2】 (2)△A'B'C'的各顶点的坐标分别为A'(3,6), 解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x. B'(5,2),C(11,4). ,四边形EFGH是正方形， 5.C6.C7.A8.(3,2)9.(-9,-2)或(3,2) .∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC, 10(-30该得》 ∴.△AEFC∽△ABC .AD是△ABC的高，.∠HDN=90°， 11.解：(1)如图所示，△A:B,C1即为所求. ∴.四边形EHDN是矩形，.DN=EH=x, 点A1,B,C1的坐标分别为(3，一2)，（一1，一6）， (5,-6). :△AEFn△ABC,AN-EE ADBC· (2)如图所示，△A,B2C2即为所求 .BC=12,AD=6,.AN=6-x, 点A2,B2,C2的坐标分别为（一3，一3），(1,1)， (-5,1). :6。-益解得工 6 ∴.AN=6-x=6-4=2. 【例3】思路分析：延长CB,DA相交于点F,证出 △FCD是等腰三角形，求出FA=AE=FD,证明 1 1 △FBA~△FCD,得出SAaM=6S△rCD=8,即可得 出答案」 解：如图所示，延长CB,DA相交于点F.因为CE 平分∠BCD,CE⊥AD,所以△FCD为等腰三角形，点 E为FD的中点. (3)如图所示，△A,B,C?即为所求 点A,B,C的坐标分别为(6,6)，(-2，一2)， (10,-2)或（一6，-6），(2,2)，（一10,2）. 12.A D 本章综合提升 【本章知识归纳】 因为Sam=1,所以Sam=FD·CE= 2 相同相等成比例比相等 2ED·CE=2SacD=2. 成比例 成比例成比例相等 夹角 所以S△rcE=S△cED一1. 成比例相似比相似比平方 因为DE=2AE,DE=EF, 互相平行（或共线）同一共线 (ka,kb)(-ka-kb) 所以EF=2AE,所以FA=AE=FD, 又因为AB∥CD, .∠1=∠2. 所以∠FBA=∠FCD,∠FAB=∠D, 又：BE平分∠DBC, 所以△FBAC∽△FCD, .∠1=∠6， 所-份-- ,∠3=∠6， .∠6+∠5=90 1 ∴∠BFC=90°，即BF⊥AC. 所以SaFM=16 XSAPCD=i16X2= 8 (2)与△OBF相似的三角形有△ECF,△BAF. 17 理由如下： 所以Sa5ACE=SAcE一SATHA=1-8-名 :∠1=∠3，∠EFC=∠OFB, 【变式训练3】 .△ECF∽△OBF. 解：甲的加工方法符合要求， ∠3=∠4， 设图①加工桌面长xm, ∴，∠1=∠4， ,FD∥BC,∴.Rt△AFD∽Rt△ACB, 又∠BFA=∠OFB, ..AF:AC=FD:CB, .△BAF∽△OBF. 12 (3)由(2)知，△ECF∽△OBF. 即(4-x)14=x13,解得x=7 .EFCE 设图②加工桌面长ym,过点C作CM⊥AB,垂足是 OF BF' M,与GF相交于点N,如图所示. ,GF∥DE,.△CGF△CAB, 号乐即9CF=2BF ..CN:CM=GF AB, .3(CF+OF)=3CF+9=2BF+9, ∴.(CM-y)CM=y:AB. .3OC-2BF+9, AB-CCM .3OA=2BF+9① 由(2)知，△BAFC∽△OBF, 由面积相等可求得CM=2.4, 60 器肥 故此可求得y一37 .BF2=OF·AF, 很明显x>y,故x>y2 .BF2=3(OA+3)②. 甲的加工方法符合要求 联立①②，可得BF=1十√I9(负值舍去)， .DE=BE=2+1+√19=3+√19. 第2章解直角三角形 2.1锐角三角比 1.B2.D3i5425.A6.B7.88.B 12 3 【通模拟】 9.c10.311.C12.C13.C14. 4 1.C2.C3.B4.B5.D6.AC 15.①②③④ 7.98.9 9.证明：(1)，四边形ABCD为菱形，AB∥CD, 16.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6,tanA= ·∠BAE=∠G. BC 1 :∠BAE=∠DAF,∴.∠G=∠DAF AC=2' ,∠ADG=∠FDA,∴.△AGDD△FAD .AC=12, (2),四边形ABCD为菱形，，.ABCD, ∴.AB=√JAC+BC=√/12+6=65， ∴.∠ABD=∠GDB,∠BAG=∠G, AH BH △ABH∽△GDH,Gi-DH' 血8-福-是-5 ∴.AH·DH=BH·GH. 17.解：(1)存在的一般关系：sin2A十cos2A=1, 【通中考】 tan A=sin A 10.18.211.1:312.4W2元 cos A 13.证明：，BE=BC,.∠C=∠CEB. 理由：sinA=a b ,c0sA=2,a2+b2=c2, ∠CEB=∠AED,.∠C=∠AED. :AD⊥BE,.∠D=∠ABC=90°， '.sin'A+cos'Ac .△ADE∽△ABC. c?+ 14.解：(1)证明：如图所示， a D .sin A c cos A Bb tan A=a a C 6 4 .tan A=sin A cos A 在矩形ABCD中，OD=OC,∠BCD=90°，ABCD, (2)①，∠A为锐角，.c0sA>0. ∴.∠2=∠3=∠4，∠3+∠5=90° .DE=BE,本章综合提升（答案P5) 本章知识归纳 定义：两个边数 的多边形，如果一个多边形的各个角与另一个多边形 的各个角对应 各边对应 ,那么这两个多边形叫做相似多边形 相似多边形 相似比：相似多边形对应边的 相似多边形对应角」 性质 相似多边形对应边 定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段 基本事实 推论：平行于三角形的一边，并且与其他两边相交的直线，所藏得 的三角形的三边与原三角形的三边对应 相似三角形的判定 判定定理1：两角分别 的两个三角形相似 图形的相似 相似三角形的判定 判定定理2：两边成比例，且 相等的两个 三角形相似 判定定理3：三边 的两个三角形相似 相似三角形对应线段（角平分线、中线、高等）的比等于 相似三角形的性质 相似三角形周长的比等于 相似三角形面积的比等于相似比的 定义：对应边 且每对对应点所在的直线都经过 点的 两个相似多边形叫微位似图形 位似图形是相似图形 性质 对应点所在的直线交于一点（位似中心） 位似图形 对应边互相平行或 画位似图形→将图形放大或缩小 (利用坐标画位似图形 图形的位似与坐标 利用位似求对应点的坐标：点（包，b),以原点为位似中心， k为相似比，当位似图形上的对应点与已知，点在原点同侧时，其 对应点的坐标为 ；当位似图形上的对应点与已知点在 原，点异侧时，其对应点的坐标为 思想方法月纳 不重复、无遗漏地进行分类 台子链接本章 1.分类讨论思想 利用相似三角形的知识解题时经常会 在数学中，当所求解的问题存在多种情况， 遇到多解问题，如果在没有指明对应关系的 我们又不能一概而论时，就需要按照可能出现的 各种情况分类讨论，从而得到各种情况下的结 情况下求解，必领考虑各种可能的情况，并 论，这种处理问题的方法就是分类讨论的思想方 加以讨论，分类讨论是防止出现漏解的有效 法.应用分类讨论思想方法解题的关键是要按照 方法。 一定的标准，把所研究的对象按可能出现的情况 一九年上所数学 【例1】推理能力将△ABC纸片按如图 【变式训练2】几何直观》如图所示，在 所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点 △ABC中，BC=12,高AD=6,正方形EFGH B′，折痕为EF.已知AB=3,AC=4,BC=5,若 一边在BC上，点E,F分别在AB,AC上，AD 以B',F,C为顶点的三角形与△ABC相似，那交EF于点N,求AN的长. 么CF的长度是 【变式训练1】(2023·聊城一模)如图所示， 在正方形ABDC和正方形OEFG中，点C和点 F的坐标分别为（一3,2），(1，一1)，则两个正方 形的位似中心的坐标是 2.方程思想 方程思想就是指把所研究数学问题中的已 知量与未知量之间的等量关系，转化为方程 (组)，从而达到解决数学问题的一种思维方法， “链接本章 本章中利用相似三角形的性质列方程 可求某些线段的长，在利用面积比与对应边 的比的关系解题时，注意其中的对应关系， 以防出错。 【例2】如图所示，在△ABC中，∠C=90°， BC=8cm,AC:AB=3:5,点P从点B出发， 3.转化思想 沿BC以2cm/s的速度向点C移动，点Q从点 通过对条件、结论的转化，使问题化难为易， C出发，沿CA以1cm/s的速度向点A移动，如 化生为熟，化未知为已知，最终解决问题，这个过 果点P,Q分别从点B,C同时出发，问：经过多 程体现了转化的思想方法. 少秒时，以点P,Q,C为顶点的三角形和△CBA 相似？ 留链接本章… 本章的许多问题都应用了转化思想，如 把多边形的问题转化为三角形问题，把等积 式转化成比例式，从而转化为证明三角形相 似，把实际问题转化为相似多边形、相似三 角形等问题来解决。 25 优十学塞·课时通 【例3】如图所示，在四边形ABCD中， 通模拟3233223292222>32222 AB∥CD,CE平分∠BCD,CE⊥AD,DE= 2AE.若△CED的面积为1，求四边形ABCE的 1.(2023·潍坊诸城期末)如图所示，在平面直角 面积. 坐标系中，△ABC与△A'B'C位似，位似中心 为原点O,相似比为1：2.若点C(一2,3)，则 点C的坐标为( A.(6,-3) B.(3,-6) C.(4,-6) D.(6,-4) 2.(2023·菏泽牡丹区三模)如图所示，△ABC 和△DEF是以点O为位似中心的位似图形. 若OA:AD=2:3,则△ABC与△DEF的周 长比是( 【变式训练3】现有一块直角三角形木板，它 的两条直角边分别为3米和4米.要把它加工成 面积最大的正方形桌面，甲、乙二人加工方法分 A.2:3 B.4:9 别如图①和图②所示.请你运用所学知识说明谁 C.2:5 D.4:25 的加工方法符合要求 3.(2023·泰安宁阳期末)如图所示，在三角形纸 片ABC中，AB=9,AC=6,BC=12,沿虚线 剪下的涂色部分的三角形与△ABC相似的 是( 4.(2023·聊城东阿月考)若△ABCc∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1：3，则 S△ABC:S△DEF为(） A.1:3 B.1:9 C.1:3 D.3:1 一九年里上所数学0 26 5.(2023·泰安东平一模)如图所示，在平行四边 AE,AF,BD,AE与BD交于点H,延长AE, 形ABCD中，AC,BD相交于点O,点E是 DC交于点G,∠BAE=∠DAF. OA的中点，连接BE并延长交AD于点F.已 (1)求证：△AGD∽△FAD 知Sa=3,则下列结论：①品=分 (2)求证：AH·DH=BH·GH. ②S△BCE=27;③S△ABE=12;④△AEFD △ACD.其中一定正确的是() A.①②③④ B.①④ C.②③④ D.①② 6.(多选题)(2023·潍坊临胸期末)如图所示，在 △ABC中，AB=4cm,AC=3cm,BC= 6cm,D是AC上一点，AD=2cm,点P从C 出发沿C→B→A方向，以1cm/s的速度运动 至点A处，线段DP将△ABC分成两部分，其 中一部分与△ABC相似，则运动时间可能 是() B.3s c号 D.8s j中考>9999999>929 7.(2023·菏泽成武期末)若△ABCC∽△DEF, 10.(2023·静坊中考)在《数书九章》（宋·秦九 △ABC的周长是6，面积是4，△DEF的周长 韶)中记载了一个测量塔高的问题：如图所 是9，则△DEF的面积是 示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到 8.(2023·濉坊游城区期末)如图所示是小孔成 地面的高度，EF表示人眼到地面的高度， 像的示意图，已知物距OB=6cm,像距为 AB,CD,EF在同一平面内，点A,C,E在一 OB'=18cm,则当火焰高度为3cm时，火焰的 条水平直线上.已知AC=20米，CE=10米， 像A'B'的高度是 cm. CD=7米，EF=1.4米，人从点F远眺塔顶 B,视线恰好经过竹竿的顶端D,可求出塔的 高度.根据以上信息，塔的高度为 米 9.(2023·潍坊離城区期末)如图所示，在菱形 ABCD中，点E,F分别在BC,CD上，连接 优十学塞·课时通 11.(菏泽中考)如图所示，在△ABC中，AD⊥「14.（泰安中考）如图所示，在矩形ABCD中，点E BC,垂足为D,AD=5,BC=10,四边形 在DC上，DE=BE,AC与BD相交于点O, EFGH和四边形HGNM均为正方形，且点 BE与AC相交于点F. E,F,G,N,M都在△ABC的边上，那么 (1)若BE平分∠CBD,求证：BF⊥AC. △AEM与四边形BCME的面积比 (2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说 为 明理由 (3)若OF=3,EF=2,求DE的长度 B F DG N C 12.(雠坊中考)《墨子·天文志》记载：“执规矩， 以度天下之方圆.”度方知圆，感悟数学之美. 如图所示，正方形ABCD的面积为4，以它的 对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 A'BC'D.若A'B′：AB=2:1,则四边形 A'B'CD'的外接圆的周长为 D 13.(菏泽中考)如图所示，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°，E是边AC上一点，且BE= BC,过点A作BE的垂线，交BE的延长线 于点D,求证：△ADEC∽△ABC. 一九年里上所数学0 281