专题1 相似三角形的性质与判定-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(青岛版)

专题一相似三角形的性质与判定（答案3） 类型1利用角判定两个三角形相似 国类型2利用边角判定两个三角形相似 1.如图所示，在△ABC中，AB=AC,点D为线 3.推理能力如图所示，锐角三角形ABC的边 段BC上一动点（不与点B,C重合），连接 AB,AC上的高线CE,BD交于点O,连接 AD,作∠ADE=∠B=40°，DE交线段AC于 ED,则图中相似的三角形有( 点E. 下面是某学习小组根据题意 得到的结论： 40 甲同学：△ABD△DCE; 乙同学：若AD=DE,则BD=CE; A.5对 B.6对 C.7对 D.8对 丙同学：当DE⊥AC时，D为BC的中点. 4.如图所示，已知D,E分别是△ABC的边AB, 则下列说法正确的是() AC上的点，AB=8,AD=3,AC=6,AE=4, A.只有甲同学正确B.乙和丙同学都正确 求证：∠ABC=∠AED C.甲和丙同学正确D.三个同学都正确 2.如图所示，在△PAB中，C,D为AB边上的两 个动点，PC=PD. (1)若PC=CD,∠APB=120°，则△APC与 △PBD相似吗？为什么？ (2)若PC⊥AB(即C,D重合)，则∠APB= 时，△APC∽△PBD. (3)当∠CPD和∠APB满足怎样的数量关系 时，△APC∽△PBD?请说明理由. 5.如图所示，A,B,C三点均在边长为1的小正 方形网格图的格点上 (1)请在BC上标出点D,连接AD,使得 △ABDC∽△CBA. (2)试证明上述结论：△ABDC∽△CBA. 一九年级上数学0 18 类型3利用三边判定两个三角形相似 曲类型5相似三角形与图形的面积 6.已知△ABC的三边长分别为6cm,7.5cm, 9.已知△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'是它们 9cm,△DEF的最小边长为4cm,当△DEF 的对应角平分线，若AD=8,A'D'=12,则 的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相 △ABC与△AB'C的面积比是( ) 似？() A.23 B.4:9 A.2 cm,3 cm B.4 cm,5 cm C.3:2 D.9:4 C.5 cm,6 cm D.6 cm,7 cm 10.如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC, 7.如图所示，点B,D,E在一条直线上，BE与 BD相交于点O,E是CD的中点，则△DEO AC相交于点r,品器-能 与△BCD的面积的比等于( (1)求证：∠BAD=∠CAE (2)若EF=CF,△AEF的周长等于号，求 1 △BFC的周长. A.2 c D. 11.如图所示，在□ABCD中，E是CD的延长线 上一点，BE与AD交于点F,DE=2CD. (1)求证：△ABFc∽△CEB. (2)若△DEF的面积为2，求□ABCD的面积. 类型4相似三角形性质与判定的综合应用 8.如图所示，在△ABC中，点D在边BC上， AE∥BC,BE与AD,AC分别相交于点F,G, AF2=FG·FE (1)求证：△CAD∽△CBG. (2)连接DG,求证：DG·AE=AB·AG. 19 优学案课时通一解得AB=12m, (AB=AD, 即小河的宽度为12m. ∠BAF=∠DAG, 11.解：由题意，得FCDE, AF=AG, BC FC △BFC∽△BED,BDDE' .△ABF≌△ADG(SAS)..BF=DG ..FD+DG=FD+BF=BD 即8C解得BC=3m 1.3相似三角形的性质 1.B2.B3.94.B5.B6.B7.8 AC=5.4m,∴.AB=5.4-3=2.4(m). 8.解：在Rt△ABC中，AB=10,AC=8,.BC=6. ,光在镜面反射中的反射角等于入射角， ·∠C=∠DEA=90°，∠A=∠A, ∴.∠FBC=∠GBA. '△ADE∽△ABC. 又，∠FCB=∠GAB '.△BGAC∽△BFC, :DE-3-=1,:SAAE1 BC-62SAANC4' 治跽9号 SAANC-2X8X6-24,.SAADE-6, 解得AG=1.2m, ∴.四边形DEBC的面积为24一6=18. 即灯泡到地面的高度AG为1.2m. 9.B10.C11.B12.√3 阶段检测一（1.1~1.2) 13.解：，在矩形EFGH中，EH∥FG,EH=GF, 1.D2.C3.C4.C5.C6.B .△AEHC∽△ABC 又AD⊥BC,,.AM⊥EH, 7.100°8.4或99.①②④ 10.解：(1)证明：，AB=AC,AD为BC边上的中线， ∴.BD=CD,AD⊥BC,∠B=∠C 腮0 DE⊥AB,.∠DEB=∠ADC, ,矩形EFGH的长与宽的比为3：2， ∴.△BDE∽△CAD. .设EH=3xcm,则MD=EF=2xcm,AM= (2)AB=AC,BD=CD,∴.AD⊥BC (12-2x)cm, 在R△ADB中，：AB=13,BD=号BC=5, 货-2解得=3 .AD=12. ∴.EH=9cm,EF=6cm, 号AD·BD-AB·DE, .矩形EFGH的周长为2×(9十6)=30(cm). 14.解：(1)证明：CF LAB,BE⊥AC, DE=器 ∴.∠AEB=∠AFC=90 '∠A=∠A,.△ABE∽△ACF. 11.解：(1)△ABC与△ADE相似.理由：BC⊥AC, 带肥福能 DE⊥AC,.DE∥BC .△ABC△ADE, 又，∠A=∠A,∴.△ABC∽△AEF. (2):△ABC△ADE, (2)(1)中的结论还成立. -能即00异 (3)在Rt△ABE中，，∠BAC=60°， BC20+21 ZABE=30福- 解得BC=19.8米， 即信号发射塔的高度为19.8米。 :a4g=1 12.解：(1)证明：由题意可得∠B=∠D=∠CFE.由 ·S△ABC =4 F是BD的中点可知BF=DF.在△DFG中， 专题一相似三角形的性质与判定 ∠D+∠DFG+∠DGF=180°，而∠DFG+ 1.D ∠CFE+∠BFH=180°， 2.解：(1)△APCc∽△PBD ∴.∠BFH=∠DGF 理由如下：PC=PD=CD, 又，∠B=∠D,.△BFH△DGF. ∴.∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°， 8源腮 ∴.∠ACP=∠BDP=120°. :∠A+∠APC=60°，∠APC+∠BPD= ,BF=DF,∴.BF2=BH·DG, ∠APB-∠CPD=120°-60°=60°， 即BH·GD=BF2. ∴.∠A=∠BPD, (2)BD .△APC∽△PBD 证明：，AGCE, (2)90 ∴.∠FAG=∠FCE,∠FGA=∠E. (3)2∠APB-∠CPD=180°. ,∠CFE=∠E,∴.∠CFE=∠FGA. 理由如下：PC=PD, ,∴.AF=AG ∠PCD=∠PDC, 根据题意可知∠BAD=∠FCE, ∴.∠PCA=∠PDB. ,.∠BAD=∠FAG .∠BAF+∠FAD=∠FAD+∠DAG. 当C品时，则有△APC△PBD, ∴.∠BAF=∠DAG. .∠A=∠DPB. 在△ABF与△ADG中， :∠APC+∠DPB=∠APB-∠CPD, ∴·∠PCD=∠PDC=∠A+∠APC=∠APB-∠CPD 在△PCD中，∠PCD+∠PDC+∠CPD=180°， 3 ∴.∠APB-∠CPD+∠APB-∠CPD+∠CPD=180°，9.B10.B 即2∠APB-∠CPD=180° 11.解：(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形， 3.D ∴∠A=∠C,ABCD 4.证明：在△ABC和△AED中， .∠ABF=∠CEB. 把26号2 AC 6 ..△ABF△CEB」 (2):四边形ABCD是平行四边形， AB AC .AD∥BC,AB∥CD且AB=CD. AE AD' .△DEF∽△CEB,△DEFC∽△ABF 又，∠A=∠A,∴.△ABC∽△AED ∴.∠ABC=∠AED. DE= 2CD, 5.解：(1)如图所示，点D是所求作的点 .DE-1.DE DE 1 4 CE3'ABCD2 c 1121 B:D 3)=9 (2)证明：：AB=√+2=√5，BC=5,BD=1, S△DEE= 器方提- S△ABF -是 ,SADEF=2,.S△CEB=18,S△ABr=8. .S四边形BCDF=S△CE一S△DE=16, BD AB ABBC 故SBABCD=S四边影CDr十S△ABr=16十8=24. 1.4图形的位似 ∠DBA=∠ABC,∴.△ABD△CBA. 第1课时位似图形 6.C 解：0证男侣跽能， 1.B2.D3.B4.D5.4:9 6.解：(1)：△ABC与△A'B'C'是位似图形，OB: 0B=3:6=1:2, ∴.△ABC△ADE, ∴∠BAC=∠DAE, “△ABC∽△A'B'C',且相似比为2 ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠CAE (2)由(1)知△ABC∽△ADE,.∠E=∠C, AC=2 又，∠AFE=∠BFC, ∴.A'C=10. '.△AFEp△BFC, (2)根据题意，得S△4匹 AC 黑 SAABC CF 1 5 4S△4gC=7X4=28. 1 7.解：如图所示，△A'B'C'和△A"BC即为所要画的 图形. ∴.C△Bre=5. 即△BFC的周长为5. 8.证明：(1)，AF2=FG·FE ∠AFG-∠EFA,△FAGD△FEA, .∠FAG=∠E. ,AE∥BC,.∠E=∠EBC, ∴.∠EBC=∠FAG 8.ABC9.C10.1:311.1 ,∠ACD=∠BCG, 12.解：(1)如图所示，△A'BC即为所求。 .△CADn△CBG. (2).△CAD∽△CBG, 0品品册 ∠DCG=∠ACB,∴.△CDGC∽△CAB, 88 ,AE∥BC, (2)如图所示.，AA'=2,A'C=√22+2=2√2， AE AG C'C=2,AC=√4+4=4√2，∴.四边形AA'CC的 BC-GC' 周长为2+22+2+42=6w2+4. AE-C 13.解：是位似图形，位似中心是点O,相似比为2 治能 点E,F,G,H分别是OA,OB,OC,OD的中点， ,.DG·AE=AB·AG」 ∴EF∥AB,且=专AB,EH∥AD,且EH-