专题8 圆周角和圆心角有关性质的应用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(冀教版)

专题八圆周角和圆心角有关性质的应用（答案37） 类型1猫巧作辅助线求角度、长度 类型2圆周（心）角与直角三角形的综合应用 1.如图所示，A,P,B,C是⊙O上的四个点， 3.如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦， ∠APC=∠CPB=60°. OD∥BC,交AC于点D,BC=4cm. (1)判断△ABC的形状，并证明你的结论， (1)求证：AC⊥OD. (2)若BC的长为6，求⊙O的半径 (2)求OD的长 3)若A=号，求⊙0的直径 2.如图所示，CD是⊙O的直径，点O是圆心，E 是圆上一点，且∠EOD=81°，点A是DC延长 线上的一点，AE与⊙O交于另一点B,且 AB=OC. (1)求证：∠E=2∠EAD, 4.如图所示，在△ABC中，AB=AC,以AB为 (2)求∠EAD的度数. 直径的⊙O交BC于点D,交线段CA的延长 线于点E,连接BE. (1)求证：BD=CD (2)若amC=2,BD=4,求AE的长」 R137 优学棒课时避一 瞄类型3腊圆周（角）与全等三角形的综合 描类型4驻圆周角定理的创新应用 5.如图所示，四边形ABCD内接于⊙O,∠1= 7.如图所示，在⊙O的内接四边形ABCD中， ∠2，延长BC到点E,使得CE=AB,连 DB=DC,∠DAE是四边形ABCD的一个外 接ED 角.∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？ (1)求证：BD=ED. (2)若AB=4,BC=6,∠ABC-60°，求 tan∠DCB的值. 0 8.如图所示，∠AOB=90°，点C,点D是AB的 三等分点，连接AB,分别交OC,OD于点E, F,求证：AE=BF=CD 6.如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=6,CB=8,AD是△ABC的角平分线，过 A,D,C三点的⊙O与斜边AB交于点E,连 接DE (1)求证：AC=AE. (2)求△ACD外接圆的直径， 一小年级：上册+数学 138∠ABC=∠F+∠BCF, .AC⊥OD ∴.∠ADC=∠ABC. (2)OD∥BC,O是AB的中点， (2)由(1)知∠ADC=∠ABC. .OD是△ABC的中位线， ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠ADC+∠ABC=180°， 0D-Bc=号X4=2以em .∠ADC=∠ABC=90°，∠A=90°-∠E= 90°-40°=50. 8mA=号∠A=30 (3)如图所示，连接EF. 在R△ABC中，∠A=30,BC=AB, ,四边形ABCD是⊙O的 内接四边形， ∴.AB=2BC=8cm. ∴.∠A+∠BCD=180° 即⊙O的直径是8cm. 又，∠ECD+∠BCD=180°， 4.解：(1)证明：连接AD,如图所示 .∠ECD=∠A. ,AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°， :∠ECD=∠1+∠2. AB=AC,∴.BD=DC. ∴∠A=∠1+∠2. (2).'BD=DC=4,..BC=DB+DC=8. :∠A+∠1+∠2+∠AEB+∠AFD=180°， 。1 在Rt△ADC中，tanC=2: .2∠A+30°+40°=180°， ∴∠A=55 AD=CDC=4X号-2， 专题八圆周角和圆心角有关性质的应用 ∴.AC=√AD+CD-√2+4-25 1.解：(1)△ABC是等边三角形. AB是⊙O的直径，∠AEB=90°. 证明：由圆周角定理，得∠ABC= :∠AEB=∠ADC=90°，∠C=∠C, ∠APC=60°， CE CB ∠CAB=∠CPB=60°， △CDA∽△CEB,CD-CAI ∴.△ABC是等边三角形 (2)连接BO并延长交⊙O于点E, 4 25CE=8x4_165 2,5 5, 连接CE,如图所示. 由圆周角定理，得∠E=∠BAC=60, AE-CE-AC-号后AE的长为号6。 ,BE是⊙O的直径，.∠BCE=90. E 在R1△BCE中，BE= BC sin E=43. .⊙0的半径为23. 2.解：(1)证明：如图所示，连接OB, 设∠1，∠2. .AB=OC,OB=OC, 5.解：(1)证明：，四边形ABCD内接于⊙O, ∴.AB=BO,∴.∠EAD=∠2， .∠A+∠BCD=180. ∴.∠1=∠2+∠EAD=2∠EAD. 又：∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE. 又OE=OB,∴.∠1=∠E, :∠1=∠2，AD=DC,AD=DC. ∴∠E=2∠EAD. AB=CE, (2),∠EOD=∠E+∠EAD=3∠EAD=81°， 在△ABD和△CED中，∠A=∠DCE, ∠EAD=27. AD=DC, ∴.△ABD≌△CED(SAS),.BD=ED. (2)过点D作DM⊥BE于点M,如图所示. .AB=4,BC=6,CE=AB, ..BE=BC+EC=10. 3.解：(1)证明：AB是⊙O的直径， BD-ED.DMLBE.:BM-ME-BE-5, .∠C=90 ..CM=BC-BM=1. OD∥BC,.∠ADO=∠C=90°， :∠ABC=60°，∠1=∠2，∠2=30°， 37 DM=BM·tan∠2=5X5_5V5 ∴.∠AEC=∠AOC+∠OAB=75° 3 3 在△AOC中，OA=OC, DM5√3 .tan∠DCB= ∠Ac0=180°-∠A0C-180,30°=75， CM 3 2 2 ∴∠AEC=∠ACO,.AE=AC,同理BF=BD, ∴.AE=BF=CD 阶段检测四（28.1~28.3) 1.B2.C3.A4.B5.D6.120 7.△ABD,△ACD,△BCD8.3√3 9.解：(1)经过A,B,C三个点不能画一个圆. 6.解：(1)证明：，∠ACB=90°， 理由如下：假设经过A,B,C三个点可以作一个圆， .AD为⊙O的直径，.∠AED=90°， 圆心为O,则OA=OB=OC, .∠ACB=∠AED. 点O在AB的垂直平分线上，点O也在BC的垂 AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD 直平分线上， 在△ACD与△AED中， 即过点O作两条直线与AC垂直，这与过直线外一 I∠ACD=∠AED, 点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾， ∠CAD=∠EAD, 假设不成立， AD=AD, ∴经过A,B,C三个点不能画一个圆. .△ACD≌△AED(AAS),∴.AC=AE (2)经过A,B,C三个点可以画一个圆.如图所示. (2),△ABC是直角三角形，且AC=6,BC=8, ∴.AB=√AC+BC=√6+8-10. ,'由(1)得∠AED=90°，.∠BED=90. 设CD=DE=x,则DB=BC-CD=8-x,EB AB-AE=10-6=4. 在Rt△BED中，根据勾股定理，得BD2=BE2十 ED,即(8-x)2=x+42, 解得x=3,.CD=3. 28.4 垂径定理 :AC=6,△ACD是直角三角形， (课程标准变动内容) .AD2=AC2+CD2=62+32=45,.AD=35. 1.D2.C3.C4.2 即△ACD外接圆的直径为3√5. 7.解：∠DAE与∠DAC相等. 5.解：(1)证明：BD=BD,∴∠C=∠P 理由：：DB=DC,.∠DBC=∠DCB. 又∠1=∠C, :∠DAE是四边形ABCD的一个外角， ∴.∠1=∠P,∴.CB∥PD ∴.∠EAD+∠DAB=180°. (2)连接AC.,AB为⊙O的直径， :四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴.∠ACB=90°.，CD⊥AB, ∴.∠DAB+∠DCB=180°， BC=BD,∴.∠P=∠A, ∴.∠EAD=∠DCB,.∠DBC=∠DAE. 又，∠DAC=∠DBC,∴.∠DAE=∠DAC. A=nP=号，即 BC 3 AB=5 8.证明：连接AC,BD BC=3,.AB=5,即⊙O的直径为5. ,点C,点D是AB的三等分点， 0 6.C7.A8.B9.3 10.213 ∴.AC=CD=DB. 11.解：设OA=OE=rm. ..AC=CD=DB. ,EF=1m,.OF=(r-1)m. 又：∠AOB=90°， OE⊥AB, ÷∠A0C=∠COD=∠BOD-号∠AOB=专× 1 AF-7AB-2×3=1.5m. 90°=30° 在Rt△OAF中，OF2+AF2=OA2, OA=OB,.∠OAB=∠OBA=45°， 即(r-1)2+1.5=r2. 38