第24章 一元二次方程综合提升-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(冀教版)

本章综合提升（答案P10) 本章知识归纳 (1)只含有一个未知数，且未知数的最高 次数是 的整式方程叫做一元二次方程 (②)一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是 ， 方程中如果有分母，那么 分母中无未知数 2只含有 未知数 一元二次方程 ③未知数的最高次数是 (3)一般地，形如 这种形式叫做一元二次方程的一 般形式，其中叫微二次项，叫微二次项系数， 叫做一次项」 c做常数项 (4④)能使一元二次方程左右两边 的未知数的值是一元二次方程的 解，也叫做这个方程的 (1)形如 或 一元 二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程 配方法 (2)将一元二次方程配成 的形式，再利用直 接开平方法求解 一元二次方程 (1)求根公式： (②一元二次方程的根与根的判别式有如下关系： 公式法 ①当 时，方程有两个不相等的实数根： ②当 时，方程有两个相等的实数根： ③当 时，方程无实数根 解一元二次方程 (1)因式分解法就是利用 求出方程的解的方法，是解一元二次方程最常用的方法 (②)因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①D移项，使方程的右边化为 因式分解法 ②将方程的左边分解为两个一次因式的 ③令每个因式分别为零，得到两个 方程 ④解这两个 方程，它 们的解就是原方程的解 一元二次方程根 无1是一元二次方程的两根时， 与系数的关系 有x十x 列一元二次方程解应用题的“六字诀” ()审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的关系 (②)设：根据题意，可以 设未知数，也可以 设未知数 (③)列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示 一元二次方程的应用 其他未知量，从而列出 (4)解：准确求出方程的 (⑤)脸：检验所求出的 是否符合所列方程和实际问题 (6答：写出答案 一力年级上饰数学 46 思想方法纳 【变式训练2】(2023·石家庄藁城区期末)方 程3x(x一1)=2(x一1)的根为 1.转化思想 3.数形结合思想 通过对条件、结论的转化，使问题化难为易， 智子链接本章 根据知识间内在的联系，恰当地把题目中的数量 在本章中，一元二次方程的应用常常涉 关系，从一种形式转化为另一种形式，使问题顺 及数形结合思想. 利地得到解决，这个过程体现了转化的思想 方法。 【例3】雅理能力》如图所示，利用一面墙 (墙长25米)，用总长度49米的栅栏（图中实线 :“管链授本童 在本章中，一元二次方程的解法，其实 部分)围成一个矩形围栏ABCD,且中间共留两 质就是把解一元二次方程转化为解一元 个1米的小门，设栅栏BC长为x米. 次方程的何题进行解决. (1)AB= 米.（用含x的代数式 表示). 【例1】(2023·邯郸广平期末)用因式分解 (2)若矩形围栏ABCD面积为210平方米， 法解一元二次方程(x一1)2一4=0时，要转化成 求栅栏BC的长. 两个一元一次方程求解，其中的一个方程是x一 (3)矩形围栏ABCD的面积是否有可能达 1+2=0,则另一个方程是 ，一元二次方 到240平方米？若有可能，求出相应x的值：若 程(x一1)2一4=0的解是 不可能，请说明理由。 【变式训练1】(2023·唐山迁安模拟)用配方 法解一元二次方程x2一4x一6=0，下列变形正 确的是() A.(x-2)2=-6+4 B.(x-2)2=6+2 C.(x-2)2=-6+2 D.(x-2)2=6+4 2.整体思想 把某些式子或图形看成一个整体，把握它们 之间的关联，有意识地进行整体处理、整体代入、 叠加叠乘，就是整体思想.从问题的整体性质出 发，达到解决问题的目的 子链接本章 在本章中，一元二次方程的解法中的直 接开平方法、因式分解法中，常常涉及到整 体思想 【例2】解方程：（x十2)(x+3)=(x+2). 47 优学案课时通 【变式训练3】如图所示，流感高发时期学生3.(2023·石家庄裕华区期中)如图所示，某建筑 入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区 工程队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅 进行留观.我校要建一个长方形临时隔离区，隔 栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为 离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其他三 440平方米.为了方便取物，在各个仓库之间留 面用隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇 出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边 1米宽的进出口（不需材料），共用隔离材料8米. 留下一个1米宽的缺口作小门.若设AB=x (1)若面积为10平方米，隔离区的长和宽分别是 米，则可列方程( 多少米？ (2)隔离区的面积能为12平方米吗？请说明 理由。 A.x(81-4x)=440 45米 B.x(78-2x)=440 进通道 临时隔离区 C.x(81-2x)=440 D.x(84-4x)=440 4.(2023·保定莲池区期末)有两个人患了流行 性感冒，经过两轮传染后共有392人患了该流 行性感冒，则每轮传染中平均一个人传染的人 数是( A.14 B.15 C.13 D.12 5.(2023·唐山滦州二模)已知实数k,现有甲、 乙、丙、丁四人对关于x的方程kx2一(k十2)x+ =0进行了讨论： 甲说：这一定是关于x的一元二次方程： 乙说：这有可能是关于x的一元一次方程； 丙说：当k≥一1时，该方程有实数根； 丁说：只有当k≥一1且k≠0时，该方程有实 数根 1.(2023·邯郸峰峰矿区期末)将方程7x一3= 正确的说法是( 2x2化为一般形式后，常数项为3，则一次项系 A.乙和丙说得对 B.甲和丁说得对 数为() C.甲和丙说得对 D.乙和丁说得对 A.7 B.-7 C.7x D.-7x 6.(2023·石家庄赵县月考)某药品经过连续两 2.(2023·沧州南皮期中)若m,n是方程 次降价后，每盒的零售价由40元降为25.6元， x2+x一1=0的两个实数根，则m2十2m+n 若两次降价的百分率相等，则降价的百分率 的值为() 为() A.0 B.2 C.-1 D.3 A.10% B.20% C.25% D.30% 一九年级上数学 48 7.(2023·石家庄裕华区模拟)老师设计了一个13.(2023·保定期末)若关于x的一元二次方程 接力游戏，用合作的方式解一元二次方程，规 (k-1)x2+3x+k2-1=0有一个解为x= 则是：每人只能看到前一人计算的结果，并进 0,求k的值. 行一步计算，再将结果传递给下一人，最后得 到方程的解.部分过程如图所示，接力中，谁负 责的一步开始出现错误( 老师 甲 2-1-32-1 2x-1=3 2=3+1 2r=4 A.甲 B.Z C.丙 D.丁 8.(2023·承德期末)某节数学课上，甲、乙、丙三位 14.用适当的方法解下列一元二次方程： 同学都在黑板上解关于x的方程x(x一1)= (1)(2023·唐山丰润区期中)3(x-1)2一 3(x一1)，下列解法完全正确的个数为( 27=0: 分 乙 丙 移项，得 整理，得x2一4x= x(x-1)-3(x -3, -1)=0, 两边同时 配方，得x2一4x十 (x-3)(x- 除以(x-1D,2=一1， 1)=0, 得x=3. .(x-2)=-1, (2)(2023·唐山丰润区期中)x2一8x一9=0 x-3=0或 ∴x-2=士1， (配方法)： x-1=0, x1=1,x2=3. x1=1,x2=3 A.3个 B.2个 C.1个 D.0个 9.(2023·保定高碑店月考)若关于x的一元二 次方程ax2=b(ab>0)的两个根分别为m与 (3)(2023·唐山月考)x2-6.x-4=0: 2m一6，则m的值为 10.(2023·唐山丰润区期中)方程x(x十3)= 4(x+3)的解是 11.(2023·石家庄栾城区期中)已知x1,x2是一 元二次方程x2一4x一1=0的两实数根，则代 数式x子十x-4= (4)(2023·唐山月考)3x2+1=4x. 12.(2023·石家庄赵县月考)若x=2是关于x 的一元二次方程x2一4mx+m2=0的一个 根，求m的值. 49 优学案课时通 15.应用意识已知关于x的方程(x一3)(x一2)一 17.(2023·唐山遵化月考)某公司2月份销售新 p2=0. 上市的A产品20套，由于该产品的经济适用 (1)求证：无论p取何值时，方程总有两个不 性，销量快速上升，4月份该公司销售A产品 相等的实数根 达到45套，并且2月到3月和3月到4月两 (2)设方程两实数根分别为x1,x2,且满足 次的增长率相同. x十x=3x1x2,求实数p的值. (1)求该公司销售A产品每次的增长率. (2)若A产品每套盈利2万元，则平均每月可 售30套，为了尽量减少库存，该公司决定采 取适当的降价措施，经调查发现，A产品每套 每降0.5万元，公司平均每月可多售出20套： 若该公司在5月份要获利70万元，则每套A 产品需降价多少？ 16.毕业在即，某商店抓住商机准备购进一批纪 念品，若商店花440元可以购进50本学生纪 念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的 成本比学生纪念品的成本多8元. (1)请问这两种不同纪念品的成本分别是 多少？ (2)如果商店购进1200个学生纪念品，第一 周以每个10元的价格售出400个，第二周若 按每个10元的价格仍可售出400个，但商店 为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场 调查，单价每降低1元，可多售出100个，但 售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周 后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个 4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利 2500元，问第二周每个纪念品的销售价格为 多少元？ 通中考》3999999999929999999999 18.(河北中考)a,b,c为常数，且(a-c)2>a2十 c2,则关于x的方程ax2十bx十c=0根的情 况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 一九年级上饰数学 503150元，则商场每天多销售2x件。 【思想方法归纳】 根据题意，得(60一x)(40+2x)=3150. 【例1】 整理，得x2一40x十375=0. 思路分析：利用因式分解法解方程可得到两个一元一 解得x1=15,x2=25. 次方程，再解这两个一元一次方程可得方程的解 ,要尽快减少库存， x-1-2=0x1=-1,x8=3 .x=25. 【变式训练1】 答：当每件商品降价25元时，商场日盈利可达到 D 3150元. 【例2】 4.A5.B6.57.60 思路分析：利用因式分解法求解，此题将(x十2)看作 8.解：(1)根据题意，得 一个整体. 若降价6元，则多售出12件， 解：(x+2)(x+3)=(x+2), 平均每天销售数量为12+20=32（件）. (x+2)(x+3)-(x+2)=0, 答：平均每天销售数量为32件. (x+2)(x+3-1)=0, (2)设每件商品降价x元，根据题意，得 解得x1=x2=一2. (40-x)(20+2x)=1200. 【变式训练2】 解得x1=10,x2=20. 2 40-10=30>25(符合题意)， x1=1x4=3 40-20=20<25(舍去). 【例3】 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润 思路分析：(1)设橱栏BC长为x米，根据栅栏的全长 为1200元. 结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式 9.解：(1)从左往右：50-x202-2x 表示出AB的长； (2)根据题意，知(202一2x)x十100(50-x) (2)根据矩形图栏ABCD面积为210平方米，即可得 6240,解得x1=31,x2=20. 出关于x的一元二次方程，解之，再根据墙长即可得出 ,最多可订购30箱A款洗手液， 结论； ∴.x=20符合题意. (3)根据矩形国栏ABCD面积为240平方米，即可得 答：该公司购买了20箱A款洗手液 出关于x的一元二次方程，由根的判别式△=一31< 10.解：(1)设y与x之间的函数表达式为y=kx十b 0,可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏 (k≠0)， ABCD面积不可能达到240平方米. 将(2,100)，(5,160)代入y=kx+b,得 解：(1)(51-3x) 2士h=100解得=20： (2)依题意，得(51-3x)x=210, 5k+b=160, b=60, 整理，得x2-17x十70=0， y与x之间的函数表达式为y=20x十60(0< 解得x1=7,x2=10. x<20). 当x=7时，AB=51一3x=30>25,不合题意，舍去； (2)(60一4一40)×(20×4十60)=2240（元）. 当x=10时，AB=51一3.x=21,符合题意， 答：当每千克菠萝蜜降价4元时，超市获利2240元 答：栅栏BC的长为10米. (3)根据题意，得(60一x一40)(20x十60)=2400. (3)不可能.理由如下： 整理，得x2-17x十60=0. 依题意，得(51一3x)x=240, 解得x1=5,x2=12. 整理，得x2-17x十80=0. 又，要让顾客获得更大实惠， ,(-17)2-4×1×80=-31<0, .x=12. .方程没有实数根， 答：这种菠萝蜜每千克应降价12元. ∴.矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米. 本章综合提升 【变式训练3】 解：(1)设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC 【本章知识归纳】 2整式一个2ax2+bx+c=0(a≠0) ax 长为28-+* bx相等根x2=p(nx十m)2=p(p≥0) G红+my=n王=-b士6=4ac(6-4ac≥0) 依题意，得x·(8-+1)=10, 2a 解得x1=5,x2=4. b2-4ac>0b2-4ac=0b2-4ac<0 当x=5时，5>4.5，不符合题意，舍去； 1 因式分解零乘积一元一次一元一次 6 a 当x=4时，2(8-x+1)=2.5<4.5,符合题意. 答：若面积为10平方米，隔离区的长为4米，宽为2.5米 数量直接间接方程解根 (2)隔离区的面积不能为12平方米，理由如下： 10 设这个隔离区一边AB长为y米，则另一边BC长为 (2)设第二周单价降低x元后，这周的销量为 1 (8-y+1)米， (400+100x)本.由题意，得 400×(10-6)+(10-x-6)(400+100x)+(4 依题意，得y·2(8-y十1)=12， 6)[(1200-400)-(400+100x)]=2500, 即1600+(4-x)(400+100x)-2(400-100x)= 整理，得y2-9y十24=0， 2500, (一9)2-4×1×24<0，.此方程无实数解， 整理，得x2-2x十1=0， 隔离区的面积不能为12平方米. 解得x1=x2=1, 【通模拟】 则10一1=9（元）. 1.B2.A3.D4.C5.A6.B7.A8.C 答：第二周每个纪念品的销售价格为9元. 9.210.x1=-3,x2=411.14 17.解：(1)设该公司销售A产品每次的增长率为x, 12.解：将x=2代入方程，得2-8m+m2=0, 依题意，得20(1+x)2=45, 解得m=4士23，所以m的值是4十23或4-2/3. 解得x1=0.5=50%,x2=一2.5（不合题意，舍去）. 13.解：把x=0代入一元二次方程(k一1)x2+3x十 答：该公司销售A产品每次的增长率为50%. 2-1=0,得k2-1=0,解得k1=1,k2=1. (2)设每套A产品需降价y万元，则平均每月可售 ,k-1≠0，.k≠1，.k=-1. 14.解：(1)3(x-1)2-27=0, 出(30+05×20)套， 移项，得3(x一1)=27， .(x-1)2=9, 依题意，得(2-y)(30+六×20)=70. 开方，得x一1=士3， 整理，得4y2-5y+1=0, 解得x1=4,x2=一2. .1 (2)x2-8x-9=0, 解得y=4y:=1. 移项，得x2-8x=9, 尽量减少库存，·y=1. 配方，得x2-8x十16=25，即(x-4)2=25, 答：每套A产品需降价1万元. 开方，得x-4=士5， 【通中考】 解得x1=9,x2=一1. 18.B (3)移项，得x2一6x=4, 第二十五章图形的相似 配方，得x2一6x十9=4十9， 即(x-3)2=13, 25.1比例线段 1.B2.2:33.C4.C5.16.A7.B8.C 开方，得x一3=土13， 9.D10.5:311.D .x1=3+√13，x:=3-√/13 12.25-213.34.3855.62 (4)原方程可化为3x2-4x+1=0. .a=3,b=-4,c=1, 14D15D16号1n号 18.5-1 .(-4)2-4×3×1=16-12=4, 4士√44士2 19.解：设十4_十3_+8=，可得a=3k-4,6= 32 ,x= 2×3=6,x1=1x4=3 4 2k-3,c=4k-8,代入a+b+c=12,得9k-15= 15.解：(1)证明：原方程可化为x2-5x十(6一p)=0, 12,解得k=3. b2-4ac=(-5)2-4×(6-p2)=1+4p2.:无论 .a=5,b=3,c=4,a2=b2+c2,则△ABC为直角 p取何值时，4p2≥0，.1+4p2>0,即b2一4ac> 三角形. 0,∴无论p取何值时，方程总有两个不相等的实 20.解：(1)点P是线段AB的黄金分割点， 数根. AP>BP, (2)由根与系数的关系， 得x1十x2=5,x1·x2=6一p'. ÷AP=5,1xAB=5,1X2=5-1. 2 2 :x十x经=3x1x2: (2),QP平分∠AQB, .(x1十x2)2-5x1x2=0,.25-5(6-p2)=0,解 ∴.点P到AQ,BQ的距离相等. 得p1=1,p2=一1，由(1)，得p可取任何实数，故 p的值为1或-1. 器铝品 16.解：(1)设学生纪念品的成本为x元. 由(1)，得AP=BQ=5-1,且AB=2, 根据题意，得50.x+10(x+8)=440, 解得x=6,.x十8=6+8=14. ∴，PB=AB-AP=2-(W5-1)=3-5. 答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本 ∴AQ=AP·BQ_W5-1) PB =2. 为14元. 3-√5 11