第2章 一元二次方程(限时训练)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

建议用时10分钟，实际用时 分钟 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程（答案P34) 1.已知方程(a-x)2=a(x2+x十a)-8a+16是关于x的一元二次方程. (1)求a的取值范围. (2)若该方程的一次项系数为0，求此方程的根. 2.已知关于x的一元二次方程(a一1)x2一2x+a2一1=0有一个根为x=0,求a的值. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2用配方法求解一元二次方程(1)（答案34） 解下列方程： (1)2(x-1)2=338; 22y+2-6=0: (3)4(x-2)2-49=0; (4)(3x-1)2=(x+1)2 10 优十学率·课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2用配方法求解一元二次方程(2)（答案P34) 解下列方程： (1)x2-4x-2=0: (2)x2+6x-3=0: (3)x2-x=3x-1; (4)x2+2=2√2x. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2用配方法求解一元二次方程(3)（答案P34) 解下列方程： (1)4x2+8x+3=0; (2)-3x2+2x+1=0: (3)2-6z-7=0: (4)(2x+3)(x-6)=16. 一九年取上州数学的 11 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2用配方法求解一元二次方程(4)（答案P34) 下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务. 解：3x2+12x-9=0 二次项系数化为1，得x2+4x一3=0 第一步 移项，得x2十4x=3 第二步 配方，得x2+4x+16=3+16,即(x+4)2=19 第三步 由此，可得x十4=士9 第四步 解得x1=√19-4，x2=-√/19-4 第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过 程所体现的数学思想是 ,其中，“配方法”所依据的数学公式是 ②“第二步”变形的数学依据是 ③小明同学解题过程中，从第 步开始出现错误，请直接写出正确的结果 任务二：请你运用“配方法”解一元二次方程：3x2+8x一3=0. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3用公式法求解一元二次方程(1)（答案P35) 解下列方程： (1)3x2-1=2x+2; (2)(x+3)(x+1)=1; (3)2x2+3x+1=0: (4)4x2+4x-1=-10-8.x. 12 优十学率·课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3用公式法求解一元二次方程(2)（答案P35) 1.不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)2x2+3x-4=0: (2)16y2+9=24y: (3)5(x2十1)-7x=0. 2当m取何值时，关于x的方程x2+(m-2)z+m2-1=0, (1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根； (3)没有实数根. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3用公式法求解一元二次方程(3)（答案35） 1.若关于x的一元二次方程x2一(2a+1)x十a2=0没有实数根，求a的取值范围. 2.已知关于x的一元二次方程(k十1)x2一2kx十k一2=0有两个不相等的实数根. (1)求实数k的取值范围， (2)写出满足条件的k的最小整数值，并求此时方程的根」 一九年取上州数学的 13 建议用时10分钟，实际用时分钟 4用因式分解法求解一元二次方程(1)（答案35） 1.小明同学在解一元二次方程3x2一8x(x一2)=0时，他是这样做的：解一元二次方程3x2一 8x(x-2)=0. 解：3x一8x一2=0，…第一步 一5x一2=0，…第二步 一5x=2,…第三步 2 x= …第四步 小明的解法从第几步开始出现错误？请你写出正确的求解过程. 2.用因式分解法解方程：x(5.x+4)一(4十5x)=0. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4用因式分解法求解一元二次方程(2)（答案P35) 1.用因式分解法解方程：(x+3)2=(1一2x)2. 2.用因式分解法解方程：(2x一1)2=x2+6x十9. 3.解方程：(2x一1)2+3(2x一1)十2=0. 14 优十学率·课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4用因式分解法求解一元二次方程(3)（答案P35) 阅读理解》阅读材料：为解方程(x2一1)2一5(x2一1)+4=0，我们可以将x2一1看作一个整 体，设x2一1=y,则原方程可化为 y2-5y+4=0①，解得y1=1,y2=4. 当y=1时，x2-1=1,.x2=2,.x=土√2. 当y=4时，x2-1=4,x2=5,x=土5. 故原方程的解为x1=2,x2=一√2，x3=√5，x4=一√5 解答问题： (1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 法达到了降次的目的 (2)请利用以上知识解方程(x2+x)2一4(x2+x)十3=0. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 4用因式分解法求解一元二次方程(4)（答案36） 1.认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当，并解下列方程 (1)4x2+16x=5,应选用 法。 (2)2(x十2)(x-1)=(x+2)(x+4),应选用 法。 (3)2x2-3x一3=0，应选用 法. 2.若实数x,y满足(x十y+2)(x+y一1)=0，求x+y的值. 一九年取上州数学的 15 建议用时10分钟，实际用时 分钟 *5一元二次方程的根与系数的关系（课程标准变为考查内容）（答案P36) 已知关于x的一元二次方程x2十kx一2=0. (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)已知该方程的两个根为x1,x2,且满足x1x2=x1十x2,求k的值. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6应用一元二次方程(1)（答案P36) 应用意识》某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙长为30），中间用一道墙隔开，并 在如图所示的三处各留1m宽的门，已知可建墙体材料（不包括门）总长为54m,若建成的饲 养室总面积为264m2,求墙体AB的材料长. 16 优十学率·课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6应用一元二次方程(2)（答案P36) 探究拓展》如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm,BC=7cm,点Q从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. (1)如果P,Q两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2? (2)△PBQ的面积能否等于7cm?试说明理由. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6应用一元二次方程(3)（答案P36) 应用意识》为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产 品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定 为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个.已知每个电子产 品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利 32000元？ 一九年取上州数学的 17 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6应用一元二次方程(4)（答案36） 应用意识)某旅游景区以20元的批发价进了一批纪念品予以元旦假期间销售，经第一天销售 调查可知：每个定价30元，每天能卖出5000件，若定价每上涨5元，其销售量将减少500件. (1)当每个纪念品定价为36元时，每天可卖出 件，日销售利润是 元 (2)若每个纪念品售价上涨m元，商店每天能卖出 件（用含m的代数式表示） (3)为了实现平均每日80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，售价应定为多少元？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6应用一元二次方程(5)（答案P36) 某养殖场为了提高效益，今年起采用“场内十农户”养殖模式，同时加强对蛋鸡的科学管理，蛋 鸡的产蛋率不断提高，三月份和五月份的产蛋量分别是2.5万千克与3.6万千克，现假定该养 殖场蛋鸡产蛋量的月增长率相同. (1)求该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率。 (2)假定当月产的鸡蛋当月在各销售点全部销售出去，且每个销售点每月平均销售量最多为 0.32万千克.如果要完成六月份的鸡蛋销售任务，那么该养殖场在五月份已有的销售点的基 础上至少再增加多少个销售点？ 18 优十学率·课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6应用一元二次方程(6)（答案36） 某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降 的百分率相同。 (1)求每次下降的百分率. (2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场 决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天 盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？ 建议用时10分钟，实际用时 分钟 6应用一元二次方程(7)（答案P36) 某病毒传播速度非常快，一个人如果感染某种病毒，经过了两轮的传播后被感染的总人数将达 到64人. (1)求这种病毒每轮传播中一个人平均感染多少人， (2)按照上面的传播速度，如果传播得不到控制，经过三轮传播后一共有多少人被感染？ 一九评取上用数学3 19AD=8,DH⊥AE..∠AHD=90 2用配方法求解一元二次方程(1) ∠HAD=45°，∴.∠ADH=45, 解：(1)2(x-1)2=338, .AH=DH,由勾股定理，得DH=AH=4√2， .(x-1)2=169,.x-1=±13， .HE=AE-AH=6√2-4N2=2√2， ∴x1=14,xg=-12. Saam=Sae+SaE=号X2EX4E+号X6X (2)1 y+2)2-6-0,∴(0y+2)-12, (8-6)=14. ∴.y+2=25或y+2=-25, 3正方形的性质与判定(6)（课程标准变动内容） ∴y1=-2+2W5,ym=-2-25. 解：(1)四边形EFGH的形状是平行四边形. (3)4x-22-49=0,(x-2)=49 理由：如图①所示，连接BD. ,E,H分别是AB,AD的中点， -2-士好 六B别BD,EH=D, 1 同理FG/BD,FG=2BD, (4)方程两边直接开方，得3x-1=x+1或3x-1=一(x十1)， .2x=2或4x=0, ,EH∥FG,EH=FG, 解得x1=1,x2=0. .四边形EFGH是平行四边形 2用配方法求解一元二次方程(2)】 解：(1)x2一4x一2=0， ∴x2-4x+4=6,∴(x-2)2=6, ∴x-2=士V6,x1=2+6,x2=2-6 (2)x2+6x-3=0,x2+6x=3, ∴(x+3)2=12,x+3=±23， (2)AC⊥BD ∴x1=-3+25,x1=-3-25. 证明：如图②所示，连接AC,BD. (3):x2-x=3x-1,x2-4x十1=0， :E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边上的中点， ∴.x-4x十4=3，.(x-2)2=3, .EH∥BD,HGAC ∴x-2=±√3，∴x1=2+3,x2=2-√3 AC⊥BD, (4)x2+2=2√2x, .EH⊥HG. x2-22x十2=0， 又：四边形EFGH是平行四边形， .平行四边形EFGH是矩形. .(x-2)2=0,x1=x=2. 2用配方法求解一元二次方程(3) 解：)4z+8x十3=0，x2+2x=- 4 (x+1)-1, 1 x+1=±2 3 1 六x1=-2江4=-2 第二章一元二次方程 -3+2z+1=0-号=-= 1认识一元二次方程 1 1.解：(1)化简，得(a-1)x2十3ax一8a十16=0. :x一3 2 由方程(a一x)=a(x2十x十a)一8a十16是关于x的一元 x1=1x=-3 1 二次方程，得 a一1≠0，解得a≠1， (3)原方程变形为x2一12x一14=0，x一12x+36=14+36, 当a≠1时，方程(a-x)2=a(x2+x十a)-8a+16是关于 .(x-6)2=50,x-6=±52， x的一元二次方程. x1=6+5√2，xg=6-52. (2)由一次项系数为零，得a=0. 则原方程是-x2+16=0,即x2=16. （0原方程化为一般形式为22-9r-34=0,2-号=17。 x1=-4x:=4. r2- ,81 2.解：：一元二次方程(a一1)x2-2x+a2一1=0有一个根为 4 x=0, ,-9+丽，-9-3愿 .a2-1=0, .a=1或a=一1. 2用配方法求解一元二次方程(4) ,方程(a一1)x2-2x十a2-1=0是一元二次方程， 解：任务一：①转化思想完全平方公式 .a一1≠0，即a≠1，.a=一1. ②等式的基本性质 34 ③三x1=√7-2，x2=-√7-2 2.解：(1)：关于x的一元二次方程(k十1)x2-2kx十k一2=0 任务二：3x2+8x-3=0 有两个不相等的实数根， 2+号x-1-0, ·4=(-2)2-4k+1Dk-2)>0. 解得k>一2且k≠一1， ,实数k的取值范围为k>一2且。≠一1 416 (2)k>一2且惠≠一1，.满足条件的k的最小整数值为0， 此时原方程为x一2=0， +- 解得x1=2,x1=一2. .5 4用因式分解法求解一元 二次方程(1) 5 3 3 1,解：小明的解法从第一步开始出现错误. 3x2-8x(x-2)=0, 1 六x1■3x=-3 x[3x-8(x-2)]=0, 16 3用公式法求解一元二次方程(1) x(-5x+16)=0,解得x1=0= 解：(1)原方程变形为3x2一2x-3=0,4=(一2)°一 2.解：，"x(5x+4)-(4+5x)=0, 2士2/101士10 4×3×(-3)=40,x= .(5x+4)(x-1)=0, 2X3 3 则5x+4=0,或x-1=0, x,-1+而.，=1-m 3 一x:= 3 则x1=-4, x=1. (2)去括号，得x2十4红十3-1，移项，合并同类项，得x2+4z十 4用因式分解法求解一元 2=0.a=1,b=4,c=2, 二次方程(2) “x=-4±√4-4X1X2 =-2士√2， 1.解：方程整理，得(x+3)2-(1一2x)2=0, 2×1 因式分解，得(x+3+1-2x)(x十3-1+2x)=0, ∴x1=-2+2,x1=-2-√2 即(4-x)(3x+2)=0, (3)2x2+3x+1=0,a=2,6=3,c=1, 可得4一x=0,或3x+2=0, 六4=9-8=1>0，x=-3± 4 解得=4，=一号 =-1=-安 2.解：(2x-1)2=x2+6x+9 (2x-1)3-(x+3)2=0, (4)将方程整理为一般形式，得4x2+12x十9=0.：a=4,b 因式分解，得(3x十2)(x一4)=0， 12,c=9÷4=12一4×4X9=0,则x=82--号， ,3x十2=0，或x一4=0， 8 即=，=一 3 小x1=一3x=《 3.解：(2x-1)3+3(2x-1)+2=0,(2x-1+2)(2x- 3用公式法求解一元二次方程(2) 1+1)=0,2x(2x+1)=0,2x+1=0,或2x=0,x1= 1.解：(1)：△=32-4×2×(-4)=9+32>0， ,原方程有两个不相等的实数根 =0 (2)原方程可变形为16y一24y+9=0. 4用因式分解法求解一元 ,4=(-24)*-4×16X9=576-576=0, ,原方程有两个相等的实数根 二次方程(3) (3)原方程可变形为5x一7x十5=0. 解：(1)换元 4=(-7)2-4×5×5=49-100<0, (2)设y=x2+x, 。原方程没有实数根， 原方程可化为y2一4y十3=0， 2.解：a=(m-2)1-4×(行m-1)=-4m十8 则(y-3)(y-1)=0, y-3=0,或y-1=0, (1)当一4m十8>0，即m<2时，方程有两个不相等的实∴y1=3,y2=1. 数根. 当y=3时，x2+x=3, (2)当一4m十8=0，即m=2时，方程有两个相等的实数根. (3)当一4m十8<0，即m>2时，方程没有实数根. 解得x=一1±VI3 2 3用公式法求解一元二次方程(3) 当y=1时，x+x=1, 1,解：关于x的一元二次方程x2一(2a十1)x+a2=0没有实 数根，.△=[-(2a+1)]-4a2<0, 解得x=二1±5 2· 解得a<-,当a<-时，原方程没有实数根。 六原方程的解为x,=二1十区 2 2 35 x,=1+5 32000,整理，得x2-360x十32400=0，解得x1=x:=180. 2 ,=15 2 180<200,符合题意 4 用因式分解法求解一元 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获 二次方程(4) 利32000元. 6应用一元二次方程(4) 1.解：(1)配方原方程整理为x+4红=， 解：(1)440070400 (x+2)=2 (2)(5000一100m) 4, (3)设售价应定为x元，则每件的销售利润为(x一20)元，日销售量 x+2=± 2x=-2士I 为5000-500×-30=(80-100x)件， 2 5 依题意，得(x-20)(8000一100x)=80000, 之+ =-2-② 2 整理，得x2-100x+2400=0, (2)因式分解 解得x1=40,x2=60. 原方程变形为(x十2)(2x一2一x一4)=0， 又：要使消费者得到实惠，∴x=40. .(x十2)(x-6)=0, 答：售价应定为40元. ∴x1=-2,x:=6. 6应用一元二次方程(5) (3)公式4=9+24=33， 解：(1)设该养殖场蛋鸡产蛋量的月平均增长率为x,根据题意， “x=3±v3 得2.5(1+x)=3.6, 4 解得x1=0.2=20%,x2=一2.2（不合题意，舍去）.故该养殖场 3+√/33 3-√/33 蛋鸡产蛋量的月平均增长率为20%. x1= 4 一，x= 4 (2)设再增加y个销售点.根据题意， 2.解：由(x+y+2)(x+y一1)=0， 得x十y十2=0或x十y-1=0, 得36+0.32y≥3.6×1+20%)，解得y≥号 解得x+y=一2或1. 答：至少再增加3个销售点. ·5一元二次方程的根与系数的关系 6应用一元二次方程(6) (课程标准变为考查内容) 解：(1)设每次下降的百分率为a,根据题意， 解：(1)证明：：“△=k2一4×（一2）=k2十8>0，，方程有两个不 得50(1-a)2=32, 相等的实数根 解得a:=1.8(舍去)，az=0.2=20%. (2):方程x2十kx一2=0的两个根为x1xg, 答：每次下降的百分率为20%. x1十x2=-k,x1x:=-2. (2)设每千克应涨价工元.由题意，得 x1x2=x1十x1 (10+x)(500-20x)=6000, .一=一2，解得k=2. 整理，得x2一15x+50=0, 6应用一元二次方程(1) 解得x1=5,x2=10. 解：设墙体AB的材料长为xm,则墙体BC的长为(54+3 :要尽快减少库存，∴x=5符合题意。 3x)m,根据题意，得x(54十3-3x)=264,整理，得x2-19x+ 答：该商场要保证每天盈利6000元，那么每千克应涨价5元， 88=0,解得x1=8,x2=11. 6应用一元二次方程(7)】 当x=8时，54+3-3x=54+3-3×8=33>30,不符合题意， 解：(1)设一个人平均感染x人 舍去： ",'经过了两轮的传播后被感染的总人数将达到64人， 当x=11时，54+3-3x=54+3-3×11=24<30,符合题意. .1+x+(1+x)x=64, 答：墙体AB的材料长为11米. 整理，得x2十2x一63=0， 6应用一元二次方程(2) 解得x1=7,x:=一9（舍去）， 解：(1)设ts后，△PBQ的面积等于4cm2,则BQ=(5-t)cm, ∴这种病毒每轮传播中一个人平均感染7人 PB=2t cm (2)64×7+64=512(人). :2≤7,1<35.由题意得号6-)X24=4. 答：经过三轮传播后一共有512人被感染. 第三章概率的进一步认识 整理，得2-5t十4=0，解得11=1,41=4（舍去）. .如果P,Q两点同时出发，那么1s后，△PBQ的面积等于 1用树状图或表格求概率(1) 4cm2. 解：画树状图如图所示. (2)△PBQ的面积不能等于7cm2.理由如下： 开始 设x秒后，△PBQ的面积等于7cm2, 甲 红色扇子 绿色扇子 BQ=(5-x)cm,PB=2t cm. 六6-x)×2x-7,整理，得2-5x+7-0, 乙红色手绢绿色手绢红色手绢绿色手组 共有4种等可能的结果，其中取出的扇子和手绢都是红色的结 ,△=25一28=-3<0，.该方程无解 .△PBQ的面积不能等于7cm. 果有1种，则取出的扇子和手绢都是红色的概率为。 6应用一元二次方程(3)】 1用树状图或表格求概率(2) 解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300十 5(200-x)]个.依题意，得(x-100)[300+5(200-x)]= 解：(1)2 36