第1章 特殊平行四边形(限时训练)-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

过点A(1,4)和点B(-2,一2)， (2)A(-1,4),B(4,-1),P(n,0),BQ∥AP,BQ=AP, 解得m=2, .四边形APQB是平行四边形，.点A向左平移一1一n个 n=2. 单位长度，向下平移4个单位长度得到点P, 即一次函数的表达式为y=2x+2 .点B(4,一1)向左平移-1一n个单位长度，向下平移4个 (2)y=2x十2与y轴交于点C,点C的坐标为(0,2).点 单位长度得到点Q(5十n,一5). B(-2,-2),点M(-2,0),∴OC=MB=2.:BM⊥x轴， 4 '.MB∥OC,.四边形MBOC是平行四边形，.四边形MBOC “点Q在)y=一兰上5十a-号解得=-引 的面积是OM·OC=4. 如图所示，连接AQ交x轴于点C,设直线AQ的函数表达 【通模拟】 式为y=k'x十b',则 1.A2.D3.y=-12 4.5 1-k′+b'=4, 5'+6'=-5 4 解得-5·直 5.解：1)八点A1,40在函数1=冬的图象上，k=1X4=4 l6=-1, 反比例函数的表达式为-兰“点B(m,一2)在反比例 线AQ的函数表达式为y=一5x一1.令 函数图象上心m=2-2, .B(-2,一2).点A(1,4),B(-2,-2)在一次函数y1= .PC=- +2=4,∴S△A阳= 5 ax十b图象上， ÷仁十有一2解得份：一次面数的表达式为 SaMe十S△ane=2X4X(4+5)=18,四边形APQB的 面积为36. 2x+2. (2)y:>ya成立的自变量x的取值范围为0<x<1或x< 故n=一号符合题盘。 -2. (3)直线AB的解析式y:=2x十2.令x=0,则y=2, 限时训练 .D(0,2),即0D=2, 第一章特殊平行四边形 ∴.S△A0地=S△0o+S△0o= ×2x2+2×2x1=3. 1 1菱形的性质与判定(1) 6.解：(1)20 解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， (2)从图象看，点C(20,90),设反比例函数的表达式为y .AB=BC,AD∥BC,.∠A=∠CBF 婴，将点C的坐标代入反比例函数表达式，得m=20×90= 'BE⊥AD,CF⊥AB, ∴.∠AEB=∠BFC=90°， 180,则反比例函数的表达式为y=1800 .△AEB≌△BFC(AAS),∴.AE=BF (2):点E是AD的中点，且BE⊥AD,直线BE为AD的垂 当z=40时y-100=45,则点D(40,45).从图象看，点A 直平分线，∴BD=AB=2. 和点D的纵坐标相同，则点A(0,45),设直线AB的表达式 1菱形的性质与判定(2) 为y=kx+45,将点B(10,90)代入，得90=10k+45,解得 1.解：连接AC交BD于点O.,四边形ABCD是菱形，，OB= k=4.5,则直线AB的表达式为y=4.5x+45. OD,AD=BC=1O,AC⊥BD.FE⊥BD,∴.FE∥AC (3)能，理由：当y=60时，则4.5x十45=60，解得x= ”当 :点F为AD的中点，∴.EF是△AOD的中位线，.OA= 2EF=8, y=60时，x=1800 60 30, ∴OD=√AD-OAF=√102-8=6， 则30一号>5，放安排在分钟到30分钟之间即可。 .BD=2OD=12. 2.证明：四边形ABCD是菱形， 【通中考】 .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D. 7.A8.C9.A10.20 :CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F, u:解：)设A关于p的函数表达式为h=。,把p=1,h=20 '.∠CEB=∠CFD=90°. 在△BCE和△DCF中， 代人，得k=1×20=20,“k关于p的函数表达式为h=20 I∠CEB=∠CFD, ∠B=∠D, 《2)把h二25代人A=0得25=0，解得P=0.8 BC=DC, 答：该液体的密度p为0.8g/cm. ,△BCE≌△DCF(AAS), 12.解：(1)反比例函数y=”的图象过A(-1,4),B(a,-1) ..BE=DF. ..AB-BE=AD-DF, 两点， 即AE=AF, .m=一1×4=a·(一1)，∴.m=一4，a=4,∴.反比例函数 1菱形的性质与判定(3) 的表达式为y=一兰，B(4,-.把A,B的坐标代入y- 解：(1)证明：ABCD,.∠ABD=∠CDB. 红+6得他。=得低- BD平分∠ABC,∴·∠ABD=∠CBD, b=3, ∴∠CDB=∠CBD,.BC=CD. 一次函数的表达式为y■一x十3. 又AB=BC,∴.CD=AB,且AB∥CD, 31 ,.四边形ABCD是平行四边形 BD=8, AB=BC, ,平行四边形ABCD是菱形. .0B-BD-4. (2),四边形ABCD是菱形，∴AO=CO, 在Rt△BOC中，由勾股定理， BD⊥AC,BO=DO= 2BD=2 得BC=√/OB+OC=√4+6=2√13. ,'点M是BC的中点，点O是BD的中点， “.A0=√AB-OB=√/20-4=4， ,.AC=20A=8. OM=号AB-BC=E. 1菱形的性质与判定(4) 2矩形的性质与判定(1) 证明：(1)四边形ABCD为平行四边形， 解：如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=4,BC=AD=6, .AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD, ∠BAD=90 .∠ABE=∠CDF. 如图①所示，当PB=PC时，点P是BC的垂直平分线与AD ,AM⊥BC,CN⊥AD, 的交点， '.MA⊥AN,NC⊥BC, .∠BAM=∠DCN. 则AP=DP=之AD=3. 在△ABE和△CDF中， 在Rt△ABP中，由勾股定理， ∠ABE=∠CDF, 得PB=√AP+AB=√3+=5. AB=CD. 如图②所示，当BP=BC=6时，△BPC也是以PB为腰的等腰 ∠BAM=∠DCN, 三角形. ∴.△ABE≌△CDF(ASA). 综上所述，PB的长度是5或6 (2)如图所示，连接AC. .'△ABE≌△CDF, .AE=CF. .MA⊥AN,NC⊥AN, .AMCN,则AE∥CF, ∴.四边形AECF为平行四边形 :四边形ABCD为平行四边形， 10 AB-AD. 2矩形的性质与判定(2) .四边形ABCD是菱形， 解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， AC⊥EF, ∴.AB∥CD,.∠BAC=∠FCO. .平行四边形AECF为菱形. 在△AOE和△COF中， I∠EAO=∠FCO, ∠AOE=∠COF, AE=CF, .△AOE2△COF(AAS), B ..OE=OF. 1菱形的性质与判定(5) (2)如图所示，连接OB 解：(1)菱形ABCD的面积为 BE=BF.OE=OF, ∴.BO⊥EF 号4C·BD号×6X8=24 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO= (2)在菱形ABCD中，AC⊥BD, 90°. '△AOE2△COF,.OA=OC. 在R△0BC中，0B=BD=4,0C=AC=3, 1 四边形ABCD是矩形， ∴BC=√OB+OC=√3+4F=5, .∠ABC=90°， ..OA=OB=OC. S毫sAeD=BC·AE=5AE=24, ∴∠BAC=∠ABO AE=2 '∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°， .∠BAC=30°. 1菱形的性质与判定(6) ,BC=2,AC=2BC=4, 解：(1)证明：：△ABC与△ADC关于AC对称， ∴.AB=√AC-BC=√4-2=23. .AB=AD.BC=DC. BC=BA..AB=BC=DC=AD. 2矩形的性质与判定(3) ,四边形ABCD是菱形. 证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， (2)由(1)可知，四边形ABCD是菱形， ∴.AB∥CD,AB=CD,即ABCE. ∴.OC=OA=6,OB=OD,AC⊥BD, DC=CE,∴AB=CE, ∴.AC=20A=12,∠B0C=90 .四边形ABEC是平行四边形 (2):四边形ABCD是平行四边形， Ssam-2AC·BD=48, .BC∥AD,.∠BCE=∠D 即2×12×BD=48, :∠AFC=∠FEC+∠BCE, '.∠AFC=∠FEC+∠D. 32 ∠AFC=2∠D,∴∠FEC=∠D, ∴.△ABD≌△CBD(SAS),'.∠ABD=∠CBD. ,AE=AD.,四边形ABCD是平行四边形，，AD=BC, 又，'AB=BC,BG=BG,.△ABG≌△CBG(SAS), AE=BC,·平行四边形ABEC是矩形. ∴.AG=GC.:GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F, 2矩形的性质与判定(4) ∴.∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，.四边形EGFC是矩形， 解：(1)证明：：AFBC,∠AFE=∠DBE.点E是AD的 ..EF-GC,..AG=EF 中点，.AE=DE.在△AFE和△DBE中， ∠AFE=∠DBE, :{∠FEA=∠BED, AE-DE. .△AFE2△DBE(AAS),AF=DB. AD是BC边上的中线，∴DB=DC, .AF=DC. 3正方形的性质与判定(3)（课程标准变动内客） (2)当AC=AB时，四边形ADCF是矩形.证明：：AF=DC, 解：(1)OE=OF AF∥BC,∴四边形ADCF是平行四边形.：AC=AB,AD是 (2)OE=OF.理由： BC边上的中线，.AD⊥BC,∴.∠ADC=90°，∴，平行四边形 :正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ADCF是矩形. AM⊥DE, 2矩形的性质与判定(5) ∴.∠AOD=∠DOE=∠AME=90°，OA=OD, 解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE, ∴.OB=OD,OA=OC ∴.∠AFO=∠MEA. AF=CE 在△AOF和△DOE中， ∴，AF-AO=CE-CO,即OE=OF, |∠AFO=∠DEO, 四边形EBFD为平行四边形. ∠AOF=∠DOE=90°， :EF=2BO,∴，EF=BD, AO=DO, 平行四边形EBFD为矩形. .△AOF≌△DOE(AAS),∴.OE=OF (2)对角线相等的平行四边形是矩形真 3 正方形的性质与判定(4)（课程标准变动内客） 2矩形的性质与判定(6)】 解：(1)证明：DE⊥BC,∴.∠DFB=90 解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC, :∠ACB=90°，∠ACB=∠DFB, AD=BC.DA=AE,..AE=BC,AE//BC, ∴ACDE.MN∥AB,即CE∥AD, .四边形AEBC是平行四边形.AC⊥AD,.∠DAC=90°， ∴四边形ADEC是平行四边形，∴.CE=AD ∠CAE=90°，.四边形AEBC是矩形. (2)四边形BECD是菱形.理由： (2).EG⊥AB,.∠AFG=90°. 点D为AB的中点，AD=BD.CE=AD, ∠CAB=30°，.∠AGF=60°，∠EAF=60°.四边形AEBC ∴BD=CE,:BDCE,∴.四边形BECD是平行四边形 是矩形，.OA=OC=OB=OE,.∠ACE=∠CAB=30, :∠ACB=90°，点D为AB的中点， △AOE是等边三角形， ∴CD=BD,.口BECD是菱形. .AE=EO,AF=OF,AG=OG, (3)45 ∴.∠GOF=∠GAF=30°，∴.∠CGO=60°， 3正方形的性质与判定(5)（课程标准变动内客） .∠C0G=90°，.CG=2OG. 解：(1)证明：，四边形ABCD是矩形， :0C=0A=2AB=3, ∴.AD∥BC,∠B=∠BAF=90°， ∴.OG2+3=(2OG)2,解得OG=5(负值舍去)，∴△OGC的 ∴.∠DAE=∠AEB. 面积=2X3Xg=3g AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE, ∴∠BAE=∠AEB,∴.BA=BE. 2 3正方形的性质与判定(1)（课程标准变动内客） EF⊥BC, ∴.∠BEF=∠B=∠BAF=9O°， 解：：四边形ABCD是正方形， .四边形ABEF是矩形 ..AB=BC=CD=DA, 又：BA=BE,矩形ABEF是正方形. ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90. (2)如图所示，连接DE. 又：△ABE是等边三角形，AB=AE=BE, ∠EAB=∠ABE=∠AEB=6O. .∠DAE=∠DAB-∠EAB=90°-60°=30°，AE=AD, ∴∠ADE=∠ABD=专×a80-30)=75, .∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°. 3正方形的性质与判定(2)（课程标准变动内容） 证明：如图所示，连接GC,:四边形ABCD是正方形，AB= ,AB=6,四边形ABEF是正方形 BC,AD=DC,∠DAB=∠DCB=90°， .BE=AB=6,由勾股定理，得AE=5√2. 33 AD=8,DH⊥AE..∠AHD=90 2用配方法求解一元二次方程(1) ∠HAD=45°，∴.∠ADH=45, 解：(1)2(x-1)2=338, .AH=DH,由勾股定理，得DH=AH=4√2， .(x-1)2=169,.x-1=±13， .HE=AE-AH=6√2-4N2=2√2， ∴x1=14,xg=-12. Saam=Sae+SaE=号X2EX4E+号X6X (2)1 y+2)2-6-0,∴(0y+2)-12, (8-6)=14. ∴.y+2=25或y+2=-25, 3正方形的性质与判定(6)（课程标准变动内容） ∴y1=-2+2W5,ym=-2-25. 解：(1)四边形EFGH的形状是平行四边形. (3)4x-22-49=0,(x-2)=49 理由：如图①所示，连接BD. ,E,H分别是AB,AD的中点， -2-士好 六B别BD,EH=D, 1 同理FG/BD,FG=2BD, (4)方程两边直接开方，得3x-1=x+1或3x-1=一(x十1)， .2x=2或4x=0, ,EH∥FG,EH=FG, 解得x1=1,x2=0. .四边形EFGH是平行四边形 2用配方法求解一元二次方程(2)】 解：(1)x2一4x一2=0， ∴x2-4x+4=6,∴(x-2)2=6, ∴x-2=士V6,x1=2+6,x2=2-6 (2)x2+6x-3=0,x2+6x=3, ∴(x+3)2=12,x+3=±23， (2)AC⊥BD ∴x1=-3+25,x1=-3-25. 证明：如图②所示，连接AC,BD. (3):x2-x=3x-1,x2-4x十1=0， :E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边上的中点， ∴.x-4x十4=3，.(x-2)2=3, .EH∥BD,HGAC ∴x-2=±√3，∴x1=2+3,x2=2-√3 AC⊥BD, (4)x2+2=2√2x, .EH⊥HG. x2-22x十2=0， 又：四边形EFGH是平行四边形， .平行四边形EFGH是矩形. .(x-2)2=0,x1=x=2. 2用配方法求解一元二次方程(3) 解：)4z+8x十3=0，x2+2x=- 4 (x+1)-1, 1 x+1=±2 3 1 六x1=-2江4=-2 第二章一元二次方程 -3+2z+1=0-号=-= 1认识一元二次方程 1 1.解：(1)化简，得(a-1)x2十3ax一8a十16=0. :x一3 2 由方程(a一x)=a(x2十x十a)一8a十16是关于x的一元 x1=1x=-3 1 二次方程，得 a一1≠0，解得a≠1， (3)原方程变形为x2一12x一14=0，x一12x+36=14+36, 当a≠1时，方程(a-x)2=a(x2+x十a)-8a+16是关于 .(x-6)2=50,x-6=±52， x的一元二次方程. x1=6+5√2，xg=6-52. (2)由一次项系数为零，得a=0. 则原方程是-x2+16=0,即x2=16. （0原方程化为一般形式为22-9r-34=0,2-号=17。 x1=-4x:=4. r2- ,81 2.解：：一元二次方程(a一1)x2-2x+a2一1=0有一个根为 4 x=0, ,-9+丽，-9-3愿 .a2-1=0, .a=1或a=一1. 2用配方法求解一元二次方程(4) ,方程(a一1)x2-2x十a2-1=0是一元二次方程， 解：任务一：①转化思想完全平方公式 .a一1≠0，即a≠1，.a=一1. ②等式的基本性质 34建议用时10分钟，实际用时 分钟 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定(1)（答案P31) 如图所示，在菱形ABCD中，作BE⊥AD,CF⊥AB,分别交AD,AB的延长线于点E,F. (1)求证：AE=BF. (2)若点E恰好是AD的中点，AB=2,求BD的长. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(2)（答案P31) 1.如图所示，在菱形ABCD中，BC=10,点E在BD上，点F为AD的中点，FE⊥BD,垂足 为E,EF=4,求BD的长. 2.如图所示，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证：AE=AF, 一九年取上州数学的 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(3)（答案P31) 抽象能力》如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AB∥DC,AB=BC,BD 平分∠ABC,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若AB=25,BD=4,求AC的长. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(4)（答案P32) 如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过C作CN⊥ AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE. (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)求证：当AB=AD时，四边形AECF是菱形. 《2》 优十学率·课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(5)（答案32） 运算能力)如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AC=6,DB=8, AE⊥BC于点E. (1)求菱形ABCD的面积. (2)求AE的长度. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(6)（答案P32) 如图所示，在△ABC中，BC=BA,作出△ABC关于AC对称的△ADC. (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)连接BD交AC于点O,取BC的中点M,连接OM.若OA=6,S菱形BcD=48,求OM的长. 一九年取上州数学3 3 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2 矩形的性质与判定(1)（答案P32) 如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,若点P在AD边上，连接BP,PC,△BPC是以 PB为腰的等腰三角形，求PB的长. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2 矩形的性质与判定(2)（答案32） 如图所示，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,BF.EF与 对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC. (1)求证：OE=OF. (2)若BC=2,求AB的长. 餐4 优十学率·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(3)（答案P32) 如图所示，将□ABCD的边DC延长至点E,使DC=CE,连接AE,交边BC于点F. (1)连接AC,BE,求证：四边形ABEC是平行四边形， (2)若∠AFC=2∠D.求证：四边形ABEC是矩形. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(4)（答案P33) 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线 交BE的延长线于点F,连接CF, (1)求证：AF=DC. (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论. 一九年取上州数学的 5 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(5)（答案P33) 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AF=CE,EF=2BO,连接DE, BF,BE,DF. (1)求证：四边形EBFD是矩形. (2)你所证明结论的依据是 ,该依据的逆命题是 (填“真”或“假”)命题. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(6)（答案P33) 如图所示，在口ABCD中，AC⊥AD,延长DA于点E,使得DA=AE,连接BE. (1)求证：四边形AEBC是矩形 (2)过点E作AB的垂线分别交AB,AC于点F,G,连接CE交AB于点O,连接OG,若 AB=6,∠CAB=30°，求△OGC的面积. 6 优十学率·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(1)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在正方形ABCD内，以AB为边作等边三角形ABE,连接DE并延长，交BC于点 G.求∠BEG的度数. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(2)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B,D重合），GE⊥DC于点E, GF⊥BC于点F,连接AG,EF.求证：AG=EF. 一九年取上州数学3 7 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(3)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图①所示，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点，连接DE,过点A 作AM⊥DE,垂足为M,AM与BD相交于点F. (1)直接写出OE与OF的数量关系： (2)如图②所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥DE交ED的延长线于点M,AM的延长线 交BD的延长线于点F,其他条件不变.试探究OE与OF的数量关系，并说明理由. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(4)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点，过点 D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证：CE=AD (2)当点D是AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由. (3)若点D为AB的中点，则当∠A= 时，四边形BECD是正方形 8 优十学率·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(5)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在一次数学兴趣小组活动中，一位同学用直尺和圆规对矩形ABCD进行了如下操 作：①作∠BAD的平分线AE交BC于点E;②过点E作EF⊥BC交AD于点F,过点D作 DH⊥AE交AE于点H.请你根据操作，观察图形解答下列问题： (1)求证：四边形ABEF为正方形， (2)若AB=6,BC=8,求四边形DHEC的面积. D 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(6)（课程标准变动内容）（答案P34) 已知：如图①所示，四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,顺次连接EF,FG, GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形). (1)请说明四边形EFGH的形状 (2)如图②所示，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD,当AC与BD满足 条件 时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论. 一九评取上用数学3 9