第1章 特殊平行四边形 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 一、选择题（每小题3分，共30分）》 1.下列性质中，菱形具有而矩形没有的是 A.邻角互补 B.内角和为360 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 敏 2.已知在Rt△ABC中，CD是斜边AB的中线.若AB=8,则CD 的长是 ) A.8 B.6 C.5 D.4 3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,∠AOB= 60°，AC=6,则矩形的边AB的长为 弥 A.3 B.6 C.3√3 D.3√5 % 2 (第3题图) (第4题图) (第5题图) 4.如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形 ABCD.若测得点A,C之间的距离为6cm,点B,D之间的距 离为8cm,则线段AB的长为 ( A.5 cm B.4.8 cm C.4.6 cm D.4 cm 5.如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需要添加的条件 是 ( ) A.∠ABD=∠CBD B.AC-BD C.AC⊥BD D.AB-BC 6.如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，点E,F分别在边AB,BC 上，∠EDF=60°，BF=√6，BE=1,则BD的长为 A.√6 B.√3+1 C.√6+1 D.2W3-1 D (第6题图) (第7题图) (第8题图) 7.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=80°，E是线段BD上一动点 (,点E不与，点B,D重合).当△ABE是等腰三角形时，∠DAE 华 的度数为 ( g A.309 B.70 C.30°或60° D.40°或70 8.我们知道：四边形具有不稳定性.如图，在平面直角坐标系中， 边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB的中点是坐 标原点O,固定点A,B,把正方形沿箭头方向推，使点D落在y 第1页（共6页） 轴正半轴上的点D处，则点C的对应点C的坐标为( A.(3,1) B.(2,1) C.(1,√3) D.(2,3) 9.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=5,以A为圆心，以 适当的长为半径作圆弧，分别交AB,AD于点M,N,分别以 M,N为圆心，以大于，MN长为半径作圆弧，两弧相交于点 G;作射线AG交BC于点E,作EF∥AB交AD于点F.若AE =6,则四边形ABEF的面积等于 A.48 B.24 C.30 D.15 (第9题图) (第10题图) 10.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在CD上，且DM=2, N是AC上一动点，则DN+MN的最小值为 A.6 B.8 C.10 D.8√2 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.直角三角形斜边上的中线与高线分别是5和4，则这个直角三 角形的面积是 12.已知菱形的两条对角线长分别为2cm,3cm,则它的面积是 cm2. 13.如图，在一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm.若墙上 钉子间的距离AB=BC=16cm,则∠1的度数为 (第13题图) (第15题图) 14.矩形的对角线相交所成的角中，有一个角是60°，这个角所对 的边长为1cm,则矩形的面积为 cm2. 15.如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，使AB落在AD边上，然后 打开，折痕为AE,顶点B的落点为点F,则四边形ABEF是 16.如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,E 为BC上一点，CE=5,F为DE的中点.若△CEF的周长为 18,则OF的长为 (第16题图) (第17题图) (第18题图) 第2页（共6页） 17.如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(8,2)， 点D的坐标为(0,2)，则点C的坐标为 18.如图，已知在边长为6的正方形ABCD中，点E为正方形 ABCD内一点，DE=AD,∠EDC=a(0°<a<90°)，连接CE, AE,过点D作DG⊥AE于点F,交CE的延长线于点G,连接 AG,GF=√2，则CE的长为 三、解答题（共66分） 19.(6分)如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥AC,CE∥ BD,连接OE.求证：OE=BC. 20.(6分)如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AD交BC于点 D.请利用尺规分别在AB,AC上求作点E,F,使得四边形 AEDF是菱形.（保留作图痕迹，不写作法) 21.(7分)如图，将矩形ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点 为点E,AE与CD交于点F. (1)求证：△DAF≌△ECF; (2)若∠ECF=40°，求∠CAB的度数. 第3页（共6页） 22.(8分)如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F 是CD延长线上的一点，且BE=DF,连接AE,AF,EF. (1)求证：△ABE≌△ADF: (2)若AE=5,请求出EF的长. 23.(8分)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AC平分∠DAB, AB=2CD,E为AB的中点，连接CE. (1)求证：四边形AECD为菱形； (2)若∠CEB=60°，DC=4,求四边形AECD的面积. D 第4页（共6页） 24.(9分)如图，在△ABC中，F是BC的中点，E是线段AB的延 长线上的动点，连接EF,过点C作AE的平行线与线段EF 的延长线交于点D,连接CE,BD. (1)求证：四边形DBEC是平行四边形： (2)若已知AB=BC=2,∠ABC=120°，则点E运动过程中： ①当BE= 时，四边形BDCE是矩形； ②当BE= 时，四边形BDCE是菱形 25.(10分)如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC=60°，对角线 AC,BD相交于点O,点E在对角线BD上，连接AE,作 ∠AEF=120°且边EF与直线DC相交于点F. (1)求菱形ABCD的面积； (2)求证：AE=EF. 第5页（共6页） 26.(12分)【问题背景】如图①，正方形ABCD的边长为4.点M, N是边AB,BC上两点，且BM=CN=1,连接CM,DN,CM 与DN相交于点O. 图① 图② 图③ 【探索发现】 (1)探索线段DN与CM的关系，并说明理由； (2)如图②，若点E,F分别是DN,CM的中点，计算EF的长： 【拓展提高】 (3)如图③，延长CM至P,连接BP,若∠BPC=45°，请直接 写出线段PM的长. 第6页（共6页）数的表达式为y=三，(2)方法一：由图象，得b>c>a: 方法二：将点 （-3a,1,b,3c)分别代人=是，得a=-16=3c=1b>c>a.5.A6A 【变式(1)=(2)-87.D 能力提升 8C9.-910.解：(1：A2,3),B(m,-2)两点在反比例函数y=点的图象上k =2×3=m×(-2),.k=6,m=一3；(2)由(1)可知点B(-3,一2)，根据反比例函数图 象的中心对称性质可得点C(3,2).设一次函数的表达式为y=a.x+b.把点A(2,3),点 3,2分别代人，得双十，3解得二—次函数的表达式为y=-2士 b=5. 思维拓展 .解：(1)把点A(-2,m,点B(1,1D分别代人为三一三，得一2m=一8，一1三 解得m=4,n=8.∴.点A的坐标为（一2,4），点B的坐标为(8，一1).把点A(-2,4),点 B8,一D分别代人为=r+6得付二解得怎，立直线助的函数表达 b=3. 式为=一x+3,(2)由图象可知，当n>为时，<-2或0<<8：(3)连接AD. 直线y与y轴交于点C,点C的坐标为(0,3).CD∥x轴，∴.点D的纵坐标为 3.把y=3代入=-巾，得x=-号∴点D的坐标为(-号，3CD=号， x ∴Sam=×号×4-3)=学 模型构建专题反比例函数中k的几何意义 1.B2.C3.834.C5.106.D7.4 3反比例函数的应用 基础过关 1.B243解：1当a=0.1,=700时，700=0奇解得=70.s与a之间的函数 表达式为：=2：(2当a=0.08时=8=875，答：该轿车可以行驶875m4F =8005.A6.-1≤x<0或x≥2 能力提升 7.C8C9解：(D反比例函数的表达式为)=三，一次函数的表达式为y=x十2： (2)由图象可知，不等式m十心点的解集为-3<<0或x>1,(3)在一次函数y=x +2中，当=0时y=2:当y=0时x=-2.C(-2,0),D0,2),Sam=7×2X 1=1,Sm=45am=4设点P的坐标为(p,多）受X2×(-号)=4，解得力 =一是.“点P的坐标为(-是，-4) 思维拓展 10.解：1)由题意，将(1.5,150)代人)y=冬(x>0),得=1.5X150=225:(2把y=75 代人y=225,得75=225，解得x=3.把y=75代入y=100x,得75=100，解得x= 0.75.3-0.75=2.25(h),∴.肝功能持续受损的时间为2.25h:(3)不能驾车.理由如 下：晚上20：0到第二天早上7：0，一共有1h∴将x=1代人y=罗，得y盟 >20,.第二天早上7：00不能驾车. 难点突破专题反比例函数与几何图形的综合 1B2.A3.3+14-125.D6.C7.D8.59.410.311.解：(1)点B的坐 标为-5,0，AD=3,AB=8.E是DC的中点A(-5.8,BX-2,4反比例函数y-只 第25页（共48页） 的图象经过点E,m=-2×4=-8:(2):AD=3,DE=号X8=4,∠D=90,∴.在 R△ADE中，由勾股定理，得AE=√/AD+DE=√3+4=5.，AF-AE=2,.AF=5+ 2=7,∴.BF=8一7=1.设点E的坐标为(a,4),则点F的坐标为(a一3,1).E,F两点在 函数y=的图象上4a=a-3,解得a=-1.∴E(-1,4),m=-1×4=-4,反比 例函数的表达式为)y--兰22,2B.解：1)B2,4,C(6,4),D(6,6):(2)这 两个点是A,C.如答图，矩形ABCD向下平移后得到矩形A'BCD'.设 A --D 平移距离为a,则A'(2,6-a),C(6,4-a).:点A,C在y=的图象 C D 上，.2(6-a)=6(4-a),解得a=3.∴.A'(2,3),.k=2X3=6,即矩形 ABCD的平移距离为3，反比例函数的表达式为y=立 6 答图 第六章整合与提升 高频考点突破 1.C2.一13.C4.D5.A6.解：(1).一次函数y=kx十b的图象与反比例函数 y=兴的图象相交于点A(-1,0),B(2,1)m=一n=2,m=2,1=一2，∴反比例函 数的表达式为y=二.：一次函数y=kx十b的图象过点A(-1,一2)，点B(2,1), 氏十。2解得。一次函数的表达式为y=一1：(2)设一次函数 1b=-1. 轴的交点为点C.在一次函数y=x一1中，当y=0时，x=1,.C(1,0),即OC=1, Sm=S0+S%c=X1X1十号X1X2=号.7解：(1将点A,B的坐标代 入反比例函数表达式，得m=2×3=一2a,解得a=一3，m=6.即反比例函数的表达式 为y=,点B(-3,一2).将点A,B的坐标分别代人一次函数表达式，得 3气2k十b,解得二1，则一次函数的表达式为y=x十1：(2)设点C的坐标为( 一2=-3k+b, 0).由点A,B,C的坐标，得AB=50,AC=(c-2)2+9,BC=(c+3)2+4.∠BCA =90°，∴.由勾股定理，得AB=AC+BC,即50=(c一2)2+9+(c+3)2+4,解得c1= 3,c=一4（不合题意，舍去）.即点C的坐标为(3,0.8.A9.C10.1=是11.解： (1)设线段AB的函数表达式为y=k1x十b(k1≠0).由线段AB过点(0,10)，(2,14)，得 b=10, ,十014，解得线段AB的函数表达式为y=2x十10(0≤<5).点 b=10. 在线段AB上，.当x=5时，y=2×5+10=20.∴.点B的坐标为(5,20)..线段BC的 函数表达式为y=20(5<<10).设双曲线CD的函数表达式为y=经(%≠0. C(10,20),k=20.双曲线CD的函数表达式为y=200(10≤r≤24.综上所 x 2x+10(0x<5), 述，y关于x的函数表达式为y= 20(5≤1<10)，(2)由(1)得，恒温系统设定的恒 200(10≤x≤24)： 温度为20℃：3)把y=10代人y=0,解得x=20..2010=10(h.答：恒温 统最多关闭10h,才能使蔬菜避免受到伤害， 易错易混专攻 1.C2.13.-6 常考题型演练 1.C2.A3.A4.C5.1806.解：(1)，点A(0,-2),B(-1,0)在直线y=kx+b 上，心二2，。解得/怎一直线的函数表达式为y=一2z一2.“点Ca,2在 一k+b=0,1 Tb=-2. 直线y=-2x一2上，∴.一2a一2=2，解得a=-2.即点C的坐标为(-2,2).：双曲线 y=婴过点C-2,2》,m=-4…双曲线的函数表达式为y=兰(<0：(2)点P的 坐标为(-4,0)或(-1,0)或(1,0)或(4,0).[解析：.CD⊥x轴，C(-2,2),∴.D(一2,0)， CD=2.B(-1,0),.BD=1.A(0,-2),∴.OA=2.若以O,A,P为顶点的三角形 与△BCD相似，则OP=1或4.：点P在x轴上，∴.点P的坐标为(-4,0)或（一1,0） 或(1,0)或(4,0)] 第26页（共48页） 综合评价答案 第一章综合评价 1.D2.D3.A4.A5.B6.C7.C8.D9.B10.C11.2012.313.120 14.515.正方形16了17.(4,4)18.-2+2E19证明：DE∥AC,CE/ BD,∴.四边形OCED是平行四边形.，四边形ABCD是菱形，.CD=BC,AC⊥BD, .∠COD=90°，∴.四边形OCED是矩形，.OE=CD,.OE=BC.20.解：如图，点E, F即为所求. 21.解：(1)：四边形ABCD是矩形，∴.AD=BC,∠B= ∠D=90°.由折叠的性质，得BC=EC,∠B=∠E=90°.∴.AD=CE,∠D=∠E=90°. 在△DAF和△ECF中，∠DFA=∠EFC,∠D=∠E,DA=EC,∴.△DAF≌△ECF (AAS):(2).△DAF≌△ECF,∴.∠DAF=∠ECF=40°.四边形ABCD是矩形， ∴.∠DAB=90°，∴.∠EAB=∠DAB-∠DAF=90°-40°=50°，即∠EAC+∠CAB= 50°.由折叠知∠EAC=∠CAB,∴.∠CAB=25°.22.解：(1)：四边形ABCD是正方 形，∴.AB=AD,∠ABC=∠ADC=90.∴.∠ADF=90.在△ABE和△ADF中，，BE =DF,∠ABE=∠ADF,AB=AD,.△ABE≌△ADF(SAS):(2):△ABE≌△ADF, ∴.AF=AE=5,∠BAE=∠DAF.四边形ABCD是正方形，∴∠BAD=90°，即 ∠BAE+∠EAD=90°..∠DAF+∠EAD=90,即∠EAF=90°.∴.EF= √AE+A=√5+5=52.23.解：(1)E为AB的中点，.AB=2AE.:AB= 2CD,∴.AE=CD.:AB∥CD,∴.四边形AECD是平行四边形.·AC平分∠DAB, ∴∠DAC=∠BAC.AB∥CD,∴∠DCA=∠CAB,∴∠DAC=∠DCA..DA=DC .四边形AECD为菱形；(2)连接DE,交AC于点O.,四边形AECD为菱形，.AC⊥ DE,CE=DC=4,∠COE=90°.AB∥CD,∠CEB=60°，∴∠DCE=60°，.∠ACE =∠DCE=7×60=30,0E=2CE=2.∴0C=CE-0E=2BAC= 20C=45,DE=20E=4,Sam=AC·DE=之×45X4=8瓦.24.解： (I)F是BC的中点，.CF=BF.CD∥AE,.∠DCF=∠EBF.在△DCF和 △EBF中，.'∠DCF=∠EBF,CF=BF,∠DFC=∠EFB,∴·△DCF≌△EBF(ASA), .DF=EF,.四边形DBEC是平行四边形；(2)①1②225.解：(1)，四边形ABCD 是菱形，∴.AB=BC.又，∠ABC=60°，∴.△ABC是等边三角形.：菱形ABCD的边长 为10，∴AB=AC=10,易得BD=10V万，S5D=号AC·BD=号×10X105= 503:(2)连接EC.,四边形ABCD是菱形，.EO垂直平分AC,∴.EA=EC,∴.∠EAC =∠ECA.由(1)得△ABC是等边三角形，∴·∠BAC=60°.在菱形ABCD中，AB∥CD, ∴.∠BAC+∠ACF=180°，∴.∠ACF=180°-∠BAC=180°-60°=120°.：∠AEF= 120°，∴.∠EAC+∠EF℃=360°-∠AEF-∠ACF=360°-120°-120°=120. ∠ECA+∠ECF=120°，∴∠EFC=∠ECF,∴.EC=EF,.AE=EF.26.解：(1) CM=DN,且DN⊥CM.理由如下：，四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠B= ∠DCN=90°.在△BCM和△CDN中，.BC=CD,∠B=∠DCN,BM=CN,∴.△BCM ≌△CDN(SAS),∴.CM=DN,∠BCM=∠CDN.:∠BCM+∠MCD=90°，∴.∠CDN +∠MCD=90°，∴.∠COD=90°，∴.DN⊥CM.线段CM和DN的关系为：CM=DN, 且DN⊥CM;(2)如图②，连接CE并延长交AD于点G,连接GM.,'四边形ABCD是 正方形，.AD=AB,∠A=90°，BC∥AD,∴∠ENC=∠EDG.点E是DN的中点， '.DE=NE.在△CNE和△GDE中，：∠ENC=∠EDG,NE=DE,∠NEC=∠DEG, .△CNE≌△GDE(ASA),.CE=EG,GD=CN=1,∴.E是CG的中点.，E,F分别 是CG,CM的中点EF是△CMG的中位线EF=号MG.正方形的边长为4， BM=CN=DG=1,∴.AM=AG=3.在Rt△AGM中，由勾股定理，得AMP+AG= GM,即3+32=GM,∴GM=32,EF=3E: 3,3PM=3严[超示：如图，过 点B作BH⊥C] 第二章综合评价 1.B2.B3.C4.A5.B6B7.C8A9.A10.D11.212.2x(x-1) =2113.一414.115.016.x=2,或x=-217.618.319.解：(1)移项，得 第27页（共48页）