专题3 一元二次方程根的判别式的应用-【优+学案】2024-2025学年九年级上册数学课时通(北师大版)

18.解：(1)△ABC是等三角形.理由如下：把x=1代入方程，3.解：(1)由题意知，△=(2m十1)2一4(m一2)2>0， 得a十c-2b十a-c=0,则a=b,.△ABC为等腰三角形. (2)△ABC是直角三角形.理由如下：根据题意，得△= 六20m-15>0,m>至.：m-2≠0，m≠2，故m的取值 (-2b)2-4(a+c)(a-c)=0,即b2+c2=a2,.△ABC为 直角三角形. 花图是m>且m2, (3),△ABC为等边三角形，.a=b=c, (2)由题意知，4=(2m+1)2-4(m-2)2=0, 方程化为x2一x=0,解得x1=0,x=1 .20m一15=0，∴.m= 3.:m-2≠0，六m≠2， 第2课时公式法的实际应用 3 1.D2.23.2m 故m的值是m=4 4.解：设AB的长为xm,则BC的长为(14-x)m (3)由题意知，△=(2m+1)2一4(m一2)2<0， 依题意，得x(14一x)=48, 解得x1=6,x:=8. 20m-15<0,m<4.5m-2≠0明 答：AB的长度为6m或8m 5.解：(1)设矩形与墙垂直的一边AB=xm,矩形的面积为 “m≠2，故m的取值范围是m< Sm2,则BC的长为(20一2x)m.根据题意，得 S=x(20-2x). 4解：1)：关于x的方程x-(k+1Dz+冬-0有两个不相 (2)x(20一2x)=48,解得x=4或x=6,故AB的长为4m 等的实数根， 或6m. ∴△>0且表≠0，即[-(+1)门-4级×年>0且质≠0，解得 (3)不能.理由如下：设矩形场地的宽为xm,则长为(20 2x)m,依题意列方程x(20一2x)=60,即x2一10x+30=0, k>-2且6≠0， △=102一4×1×30=一20<0，方程无实数解，故矩形场地的 面积不能达到60m2, (2)存在，若方程的一个实数根是1，则为一(k+1)+ 65米7.A810em9号 解得k=4,符合条件。 即当k=4时，方程有一个实数根为1. 10.解：设BC=xm,BE=am,则AE=2am,AB=3am.根 5.解：(1)证明：，a=1,b=-m,c=一2m2, 据题意，得2x十8a=160, .b2-4ac=(-m)2-4×1×(-2m2)=9m2 a-20-AB-3a-(60-m :不论m为何值，总有m2≥0，即9m≥0，∴.b2-4ac≥0， 不论m为何值，该方程总有两个实数根. (0-)-120, (2):x=1是x2-mx-2m2=0的根，∴1一m-2m2=0,即 2m2+m=1,.4m3+2m+5=2(2m2+m)+5=2×1+ 解得x1=x2■40， 5=7. .当BC=40m时，矩形ABCD的面积为1200m. 6.证明：方程x2+2x一m十1=0没有实数根， 11.解：(1)设与墙垂直的一面为x米，则另一面长为(26一2x十 .△=22-4(-m+1)<0,.4m<0,.m<0. 2)米， :方程x2+mx=1一2m可化为x2+mx十2m一1=0， 根据题意得x(28一2x)=80, .△=m2-8m+4.m2>0,-8m>0, 整理得x一14x+40=0, ∴m-8m+4>0,△>0， 解得x1=4,x2=10, .方程x2十mx=1一2m一定有两个不相等的实数根. 当x=4时，28-2x=20>12(舍去)， 7.解：此三角形为直角三角形.理由如下：方程整理，得(b+c)· 当x=10时，28-2x=8<12, x2一2ax-(b一c)=0.:方程有两个相等的实数根， 长为10米，宽为8米 '.△=4a3-4(b+c)·[-(b-c)]=0, (2)设小路的宽为a米，根据题意得(8-2a)(10一a)=54, .a2+b=c2,.此三角形为直角三角形. a2-14a+13=0, 8.解：：方程有两个相等的实数根，∴△=0，即(a十2)2一 解得a1=13>10(含去)，a:■1. 答：小路的宽为1米， 4x1x(-a+7）-0, 专题三一元二次方程根的判别式的应用 .a+5a-24=0, 1.解：(1)y-2y十1=0， a1=一8，a2=3.,a是正数，.a=3. 在等腰三角形ABC中， 4=(-2)2-4×1×1=0, ①当b=5为底时，则a=c=3,此时△ABC的周长为3+3十 .此方程有两个相等的实数根 5=11. (2)(2x-1)+x(x+2)=0, ②当b=5为腰时，e=b=5.此时△ABC的周长为 方程可变形为5x2一2x十1=0. 5十5十3=13.综上可知△ABC的周长为11或13. 4=(-2)2-4×5×1=-16<0, 9.解：(1)方程x+(2m十1)x十m2一4=0有两个不相等的 ,.此方程没有实数根。 实数根， 2.解：△=(2c)2-4(a+b)2=4(c+a+b)(c-a-b). ,.△>0，即(2m十1)2-4×1×(m2-4)>0, a,b,c分别是三角形的三条边长， .a+b>c,a+b+c>0,e-a-b<0, 4m十17>0，解得m>-1 “当m>一时，方程有两个 .4(e+a+b)(c-a-b)<0,即4<0， 不相等的实数根。 ∴方程(a+b)x2+2cx+(a+b)=0没有实数根. (2)“,方程的两个根分别是四边形的一组邻边的长，且该四边 形为菱形， 7.有两个不相等的实数根8.x1=2,x:=0 ∴方程有两个相等的实数根，∴.4m+17=0,解得 9.解：(1)x2+3x十1=0， ns、17 225 ,a=1,b=3,c=1,△=9-4×1×1=5， -3±√5-3士√5 :菱形的周长为4X 15 t= -15, 2X1 2 4用因式分解法求解一元二次方程 -3+√5 -3-√5 x1= 2x1=2 1.C2.B (2)(2x-1)2=x(3x+2)-7, 3.x1=1,x1=3 整理，得x2-6x+8=0, 17 4.x1=5,x1=3 .(x-4)(x-2)=0, x一4=0或x-2=0,x1=4,xg=2. 5.解：(1)原方程可变形为 (x-2)2-(2x-3)°=0， (3)x2=22x+12,x2-2W2x-12=0, (x-2-2x+3)(x-2+2x-3)=0, ,a=1,b=-2√2，c=-12, (1-x)(3x-5)=0, △=(-22)2-4×1×(-12)=56， 1=12=3 5 x=22生俪-2士m 2×1 (2)原方程可变形为 ∴x1=2+√4，x2=2-√4. 3x(x+1)-(3x+3)=0, 3x(x+1)-3(x+1)=0, (4)(x-3)=2(3-x),(x-3)2十2(x-3) (x十1)(3x-3)=0, 0,(x-3)(x-3+2)=0, x1=-1,xg=1 (x-3)(x-1)=0, (3)原方程可变形为(x一3)2=0， x-3=0或x-1=0,.x1=3,x=1. 10.解：将x=1代入方程ax3+bx十c=0,得a+b十c=0. x1=x1=5. 又：a,b满足等式b=√a-3+√3-a+3, (4)原方程可变形为[(x一5)一4]°=0， .a3≥0,3-a≥0，.a=3, x1=x2=9. 6.D7.C .b=3,则c=-a一b=一6. 8.解：(1)两边都除以5，得(x一1)2=25. 11.解：x2-16x+60=0,(x-6)(x-10)=0, 两边开平方，得x一1=±5，解得x1■6，x:■一4. x1=6,x2=10, (2)移项，得x2-4x=-1, ∴另一条直角边的长为√10-6=8， 配方，得x2-4x十4=3，即(x-2)2=3. 该三角形的面积-号×6×8-24. 两边开平方，得x一2一±3， 12.解：(1)：关于x的方程x2一2(m+2)x十m2+5=0没有实数 即x-2=√3或x-2=-3, 根，.△=[-2(m+2)]2-4×1×(m+5)=16m-4<0,解 ∴x1=2十3，x2=2-5. 1 (3)原方程化为一般形式，得x2-√厄x一2=0， 得m<4 a=1,b=-√2，c=-2, (2)分情况讨论：①若m十5≠0，则原方程是一元二次方程， :4=(-√2)2-4×1×(-2)=2+8=10>0， △=[-2(m+1)]2-4m(m+5)=4-12m. “x=②±10 m< 2 .4一12m>0,,原方程有两个不相等的实数根 即x1= √2+√/10 2-10 2 2 ②若m+5=0,则m=-5,原方程为8x-5=0,x=8· (4)移项，得(3x一2)2-x2=0. ,原方程有一个实数根， 因式分解，得(3x-2十x)(3x一2-x)=0, 13.解：(1)设矩形鸡舍垂直于墙的一边长为xm,则矩形鸡舍的 ∴.4x-2=0或2x-2=0,x1=0.5,x:=1. 另一边长为(26一2x)m.依题意，得x(26一2x)=80,解得 9.B10.A11.D12.D13.3 14.解：(1)24 x1=5,x2=8.当x=5时，26-2x=16>12(舍去)，当x=8 (2)x2-3x-4=0,x2+(-4+1)x+(-4)×1=0, 时，26-2x=10<12. 答：当矩形鸡舍的长为10m,宽为8m时，鸡舍的面积为 .(x一4)(x+1)=0,则x+1=0或x一4=0，解得x1=一1， 80m2. x2=4. 15.解：①当x十2>≥0，即x≥-2时，x2+2(x+2)-4=0,x2+ (2)由(1)知，靠墙的边长为10m或16m,.当a>16时，(1) 2x=0,解得x1=0,xg=-2: 中的解有两个：当10≤a<16时，(1)中的解有一个，当a< ②当x+2<0,即x<一2时， 10时，无解. x2-2(x+2)-4=0,x2-2x-8=0, (3)当S=90m2时，x(26-2x)=90,整理，得x2-13x十 解得x1=4(不合题设，舍去)，xa=一-2（不合题设，舍去）. 45=0,则△=b2一4ac=169-180=-11<0, 综上所述，原方程的解是x=0或x=一2. 故鸡舍面积不能达到90m, 阶段检测一(1~4) 14.解：(1)x2+4x+3=(x+3)(x+1). (2)2x2+3x-20=(x+4)(2x-5). 1.A2.D3.A4.B5.C6.4 10专题三一元二次方程根的判别式的应用（答案9） 类型1不解方程直接判断根的情况 国类型2根据方程根的情况，确定待定系数的 1.不解方程，判断下列方程根的情况： 取值范围 (1)y2-2y+1=0: 3.已知关于x的一元二次方程(m一2)2x2+ (2m+1)x+1=0. (1)当m为何值时，方程有两个不相等的 实数根？ (2)当m为何值时，方程有两个相等的实数根？ (3)当m为何值时，方程没有实数根？ (2)(2x-1)2+x(x+2)=0. 2.已知a,b,c分别是三角形的三条边长，不解方 4若关于工的方程kx2-(k+1)x+冬=0有两 程，判断方程(a十b)x2+2cx+(a十b)=0的根 的情况. 个不相等的实数根. (1)求k的取值范围. (2)是否存在实数k,使方程的一个实数根是 1?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 一九鲜级上饰数学的 38 类型3证明含字母系数的方程有实数根或无曲类型5判别式与几何知识的综合应用 实数根 8.在等腰三角形ABC中，三条边分别是a,b,c, 5.已知关于x的一元二次方程x2一mx- 其中b=5.若关于x的一元二次方程x2+ 2m2=0. (a+2)z- a十7=0有两个相等的实数根， (1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实 数根 求△ABC的周长 (2)若x=1是该方程的根，求代数式4m2十 2m+5的值. 6.已知方程x2十2x一m十1=0没有实数根. 求证：方程x2十mx=1一2m一定有两个不相 等的实数根 9.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+ m2-4=0. (1)若此方程有两个不相等的实数根，求m的 取值范围。 (2)若方程的两个根分别是四边形的一组邻边 的长，且该四边形为菱形，求这个四边形的 周长 类型4应用根的判别式判断三角形的形状 7.已知a,b,c为三角形三边长，且方程b(x2一1) 一2ax+c(x2十1)=0有两个相等的实数根. 试判断此三角形的形状，并说明理由. 39 优学案课时通一